Full text of "Archimedis opera omnia"

See other formats

Google

This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's books discoverable online.

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.

Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the
publisher to a library and finally to you.

Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the

public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.

We also ask that you:

Ἔ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individual
personal, non-commercial purposes.

and we request that you use these files for

Ὁ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine
translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

Ἢ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

* Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.

About Google Book Search

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web
a[nttp: //books . google. con/]

OC mouent va:

ARCHIMEDIS

OPERA OMNIA.

f4925£
CUM COMMENTARIIS EUTOCI.

E CODICE FLORENTINO RECENSUIT, LATINE UERTIT

NOTISQUE ILLUSTRAUIT

J. L. HEIBERG

DR. PHIL.

UOLUMEN II.

LIPSIAE
IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI.

MDCCCLXXXI.

LIPSIAE: TYPIS B. G. TEUBNERI.

PRAEFATIO.

Cum in uolumine primo satis, ut opinor, de con-
silio, genere adiumentisque huius editionis praefatus
sim, huie praefationi nihil relinquitur, nisi ut pauca
quaedam uel addam uel corrigam.

In adnotatione igitur critica uoluminis I haec
addantur, de quibus postea demum, quam prodierat
uolumen illud, ab Henrico Lebégue certior factus
sum:

I p. ὅθ, 17 etiam in A est περιφερείας; quare scrib.
,corr. ed. Dasil.^.

I p. 116, 2 post ,ed. Basil^ ponenda erat stellula
(nam ubi stellula nomini editoris recen-
tioris adponitur, hoc significatur, codices
Parisinos denuo inspectos cum cod. Flo-
rentino congruere).

] p. 122, 1 post ,uulgo^ stellula ponatur.

I p. 132, 13 deleatur ,corr. ed. Basil" nam in omni-
bus codd. est τό (excepto Florentino).

] p. 132, 18 post ,,ed. Basil" ponatur stellula.

I p. 150,. ὃ post ,ed. Basil^ ponatur stellula.

I p. 190, 19 pro ,corr. ed. Basil^ scribatur ,corr. .B
manu 2**,

I p. 216, 17 cod. C prorsus idem habet, quod JF. in
DB ita scribitur: ἡ βδ πρὸς Óy: ὥστε xal
ὡς τὸ ἀπὸ κλ πρὸς ÀÓ ἡ BÓ πρὸς δχ᾽
ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ xA cet.

I p. 452, 20 οὔτε cum omnibus codd. Parisinis reci-
piendum erat.

postremum moneo, sicubi signum interrogationis scrip-

turae cod. Florentini adponatur, hoc non significari,

me de collatione mea dubitare, sed codicem ipsum
lectu difficilem esse, ita ut prorsus certo dignosci ne-

IV PRAEFATIO.

queat, quae sit scriptura eius. unus tamen locus ex-
cipiendus est II p. 352, 19. ibi enim ad Torellii scrip-
turam τμάματος nihil:e cod. Florentino adnotaui; sed
cum ei ante eli post in eadem pagina legamus τμῆμα,
non dubito, quin errauerim, et hoc quoque loco ἡ in
cod. Florentino reperiatur.

In uolumine altero p. 359 sq. recepi interpretatio-
nem Tartaleae librorum, qui sunt περὶ ὀχουμένων,
quia intellexeram, Commandinum suo Marte plurima
mutasse, ita ut forma genuina, in qua libri illi nobis
traditi sunt, ex Tartalea solo cognosci possit. itaque
eum liber eius satis rarus sit, interesse putaui, ut
denuo cum fide ederetur quasi fundamentum hosce
libros emendandi. sed hac ipsa re accidit, ut libri
illi forma corruptissima et ila, αὖ interdum intellegi
non possint, prodirent. sed cum intellexerim, eos tam
fideliter e Graeco conuersos esse, ut pristina forma
ubique fere adpareat, constitui, postea aliquando, si
otium mihi contigerit, hos libros Graece conuertere.
ium demum licebit de lacunis explendis et erroribus
plurimis foedissimisque corrigendis seuere cogitare.
dum hoc fiat, habitu barbaro et dilacerato, quo ad
nos peruenerunt, hic quoque prodeant. hoc loco inler-
ponere libet, quae Carolus Thurot u. d. ad emen-
dandos libros illos contulit (Recherches sur le prin-
cipe d'Archiméde. Revue archéologique 1868— 69).
II p. 356, 4: ὠϑεῖσϑαι}) delet C. Thurot.

II p. 356, 6: πάντων αὐτοῦ μερῶν] πάντα δὲ τὰ av-
τοῦ μέρη idem.

II p. 357, 10: ἐσοβαρῆ iam suspicatus est Thurot. |

II p. 358, 10: καταβαίνωσι] καταβῶσι idem.

II p. 358, 2: ἐἰσοβαρῆ iam Thurot.

praeterea in uerbis Tartaleae eitandis saepe ea uel cor-

rigit uel explicat additis Graecis , in quo saepe in

—— 50 0———M——— — — — ———— --- --- — —mrT-— B

PRAEFATIO. V

eadem incidit, quae ego in adnotationibus posui de
lacuna p. 369, 5 haec habet: peut-étre y avait-il: en
effet, si a n'était pas entiérement au-dessous de la
surface, le volume du liquide égal à la portion plon-
gée aurait un poids moindre que ad. idem uir doctus
(Revue critique 1880 nr. 2) quaestionem obscuram ac
difficilem, utrum Tartalea ipse codicem Graecum ha-
buerit necne, ita soluere conatur, ut putet, libros illos
Tartaleae causa ab homine Graecae linguae satis pe-

rito, sed qui mathematicam non calleret, e Graeco

conuersos esse. praeterea consensum Thuroti (Recher-
ches etc. p. 12 not. 2) de auctoritate editionis Tar-
ialeae laetus commemoro, de qua ita iudicat: nous
monirerons plus bas que cette publication est la seule
base authentique qui puisse jusqu'ici servir à établir
le texte de ce traité d'Archiméde. — sero animaduerti,
pro littera X usurpandam fuisse litteram ἂν, ut fecit
Commandinus; nam apud Tartaleam haec littera, quae
saepius formam litterae c prae se fert, interdum ta-
men litterae *77 simillima est, ita αὖ uerl simile sit,
Tartaleam semper hanc litteram reddi uoluisse.

De lemmatis hoc addendum uidetur, Mauritium
Cantor (Vorlesungen über d. Gesch. der Math. p. 255
—bD'T) nuper pluribus de quibusdam eorum propositio-
nibus egisse. quae Curtizius et Steinschneiderus de
huius libri apud Árabes fatis disputauerunt, breui re-
censere in animo mihi est.

De codice Parisino problematis bouini e litteris
Henrici Lebégue haec cognoui codex Graecus 2448
inter alia hoc epigramma ei id quidem tertio loco
continet. de eo in Catalogo codd. mss. bibliothecae
regiae II p. 504 haec leguntur:

MMCDXLVIII.
,— 99. Archimedis supposititia ad Eratosthenem

VI PRAEFATIO.

epistola sive problema Alexandrinis versibus scriptum
de bobus solis sacris —.

Codex bombycinus, olim Colbertinus.

Is codex saeculo decimo quarto exaratus videtur".
conspectus scripturae discrepantiae, in quo de accenti-
bus et « subscripto (quod saepe omittitur) tacui, hic est:

u. 4: δασσαμένη) δασαμένη cod. Paris. 2448.
5: ἀλάσσοντα] alterum c supra Paris. 2448.
12: τετράτῳ τε] sic cod. Paris. 2448.
18: πᾶσιν] sic. cod. Paris. 2448.
16: αὖτις] αὐτούς.
16: ἐσαξομένους] ἐδαιομένους.
19: τετφάτῳ] sic.
20: τευτράτῳ] sic.
22: πάσης] πάσαιρ.
22: ἐρχομένης] ἐρχομέναις.
98: ἀγέλης] δ᾽ ἀγέλης (et sic Struuius).
: τετραχῇ] τετραχεῖ.
21: βοῶν] βόες.
29: χρῶμα] χροιάν.
30: λέγοι᾽] λέγοιο.
81: ἐναρίϑιμιος] sic.
88: ἀμβολάδην] ἀμβολάνδην.
40: οὔτ᾽ ἐπιλειπομένων]) οὔτ᾽ πιλειπομένων.
41: πραπίδεσσιν] πραπίδεσσιν.
41: ἀϑροίσας] ἀϑρήσας.
49: ὦ ξένε] Ectve τά.
44: ταύτῃ] ταύτης.
hoe problema Archimedi re uera tribuendum esse,
quamquam dubitari possit, an ipsi uersiculi ab eo con-
scripti non sint (quod ipse admiseram Quaest. Archim.
p. 26 not. 1), etiam Krumbiegelius censet; quem de
explicando uerbo πλίνϑου u. 36 (si modo explicari
potest) mecum consentire (l l p. 134) gaudeo. sed

PPPEPEPEPHEPEPPPEBPPEPEPEBERE
bo
NS

PRAEFATIO. VII

in eo sententiam meam minus recte intellexit, quod
putauit, me causis a me adlatis demonstrare uoluisse,
Archimedem huius epigrammatis auctorem esse. nam
hoe solum ostendere conatus sum, nihil esse, cur ab
eo discederemus, quod iraditum est, his uersibus con-
tineri problema ab Archimede propositum. de re ap-
tissime me monuit L. Oppermannus, eo quoque confir-
mari originem problematis Archimedeam, quod numeri
iam scite electi sint, ut cito ad ingentes numeros per-
ueniatur, in quo ipso auctor problematis praecipuam eius
difficultatem inesse uoluerit. coniecturam meam in u. 24:
ποικίλη ἰσάριϑμον πλῆϑος ἔχουσ᾽ ἐφάνη,
quam palaeographice explicare posse uideor, tamen
nunc improbaui, quia ποικίλη tum de grege vaccarum
variarum, non de toto grege vario, accipiendum erat,
quod fieri uix potest. — etiam iudicium Mauritii Can-
tor u. d. de hoc problemate adferre iuuat: Vorlesungen
über d. Gesch. d. Math. I p. 268: Zu einem Ergeb-
nisse kommen wir allerdings auch hier: dass nümlich
ein Grund das Rinderproblem darum für untergescho-
ben zu erklüren, weil Archimed es nicht habe lósen
kónnen, in keiner Weise vorliegt.

Inter fragmenta catoptricorum recipere potueram
Michaelis Pselli locum in synopsi mathemat. p. 73 ed.
Xylandri: δυνατὸν uévtf καὶ ἄλλως ἀπορίᾳ διόπτρας
τῇ μεϑόδῳ χρήσασθαι, καϑὰ δήπου καὶ ᾿Α4ρχιμήδης"
0g ποτέ τινῶν ἐρομένων 1) περὶ τῆς vx ὄψιν πυραμί-
δος, ὁπόση ἂν εἴη τὸ μέγεθος, τὴν ῥάβδον ἑτοίμως
ὔὕρϑιον πρὸς τὴν ἐξ ἡλίου τῆς πυραμέδος καταπήξας
σκιάν, ὡς τὰς ἀμφοῖν τῆς τε ῥάβδου καὶ τῆς πυρα-
μίδος ἐξ ἴσου συναποπερατοῦσϑαι σκιάς. καὶ δύο ἐν-
τεῦϑεν ἀποτελέσας ἰσογώνια αὐτόϑεν ἐπήγαγεν' ὃν
λόγον ἡ ἐν ἐπιπέδῳ κειμένη σκιὰ τῆς ῥάβδου πρὸς αὐτὴν

1) ἐρωμένων Xylander.

VIII PRAEFATIO.

ἔχει τὴν ῥάβδον, τὸν αὐτὸν καὶ ἡ ἐν ἐπιπέδῳ τῆς πυρα-
μίδος σκιὰ πρὸς αὐτὴν ἔχει τὴν πυραμίδα. καὶ λοιπὸν
τῇ διαμετρήσει τῆς σκιᾶς τῆς πυραμίδος τὸ τῆς πυραμί-
δος ὕψος τοῖς ἐρωτήσασι δῆλον κατέστησεν. nam ueri
simile est, hanc narratiunculam inde ortam esse, quod
in catoptricis Árchimedis inueniebatur propositio ali-
qua de altitudinibus ex umbra dimetiendis, qualis est
Euclidis optic. prop. 18.

ultàmo loco adnotabo errores typographicos,
quos quidem adhuc deprehenderim.

Seripbum esi: Seribendum erat:

I p. 24, 15: περιγάψαι περιγράψαι.

Ip. 46, T: ἰδούψη ἰσοὐψή.

I p. 106, 9: ἢ 0404

1 p. 240, 20: τμῆμα. ὡς τμῆμα, ὡς

I p. 380, 25: κορυφα χορυφὰ

I p. 424, ὅ: ουδὲ οὐδὲ

II p. 146, 20: ἔχοντι ἔχωντι; ei in notis

p. 147 addendum: ,20..
ἔχοντι F, uulgo."
in figura I p. 360 littera I' excidit, quae ponenda
erat in dextra parte extrema parabolae. 1 p. 244 in
figura ducatur linea .4K.
praeterea non raro in accentibus more Doriensium
ponendis erraui, uelut quo€ in futuri terlia persona
num. sing. circeumflexum non posui, et omnino in dia-
lecto restituenda fortasse parum mihi constiti. sed
huie rei aliquatenus mederi me posse spero, collectis
omnibus dialecti Doricae uestigiis, quae apud Archi-
medem occurrunt. hoc eb materiem disputandi ube-
riorem et, αὖ arbitror, fructuosiorem, cerie mihi fami-
lariorem, quam praebet quaestio de codicibus aesti-
mandis, praefationi uoluminis tertii sepono.

Serib. Hauniae Cal. Februaris MDCCCLXXXI.

DE LINEIS SPIRALIBUS.

Archimedes ed. Heiberg. II. 1

"Aoxyunjóue Δοσυϑέῳ χαίρειν.

Τῶν ποτὶ Κόνωνα ἀποσταλέντων ϑεωρημάτων,
ὑπὲρ ὧν αἰεὶ τὰς ἀποδειξίας ἐπιστέλλεις μοι γράψαι,
τῶν μὲν πλείστων ἐν τοῖς ὑπὸ Ἡρακλείδα κομισϑέν-
τεῦσιν ἔχεις γεγραμμένας, τινὰς δὲ αὐτῶν καὶ ἐν τῷδε
τῷ βιβλίῳ γράψας ἐπιστέλλω τοι. μὴ θαυμάσῃς δέ,
εἶ πλείονα χρόνον ποιησάντες ἐκδίδομες τὰς ἀποδειξίας
αὐτῶν. συμβαίνει γὰρ τοῦτο γεγενήσϑαι διὰ τὸ βου-
λέσϑαι μὲ πρότερον διδόμεν τοῖς περὶ τὰ μαϑήματα
πραγματευομένοις καὶ μαστεύειν αὐτὰ προαιρουμέγοις.
πόσα γὰρ τῶν ἐν γεωμετρίᾳ ϑεωρημάτων ovx εὐμέϑ-
οδα ἐν ἀρχᾷ φανέντα χρόνῳ τὰν ἐξεργασίαν λαμβά-
νοντι;: Κόνων μὲν οὖν οὐχ ἱκανὸν λαβὼν ἐς τὰν μά-
στευσιν αὐτῶν χρόνον μετάλλαξεν τὸν βίον. ἢ δῆλα
ἐποίησέν κα ταῦτα πάντα εὑρών. καὶ ἄλλα πολλὰ ἐξ-
ευρὼν ἐπὶ τὸ πλεῖον προάγαγεν γεωμετρίαν. ἐπιστά-
μεϑα γὰρ ὑπάρξασαν αὐτῷ σύνεσιν οὐ τὼν τυχοῦσαν
περὶ τὸ μάϑημα καὶ φιλοπονίαν ὑπερβάλλουσαν. μετὰ
δὲ τὰν Κόνωνος τελευτὰν πολλῶν évíov ἐπιγεγενη-
μένων οὐδ᾽ ὑφ᾽ évóg οὐδὲν τῶν προβλημάτων αἰἶσϑα-
νόμεϑα κεκινημένον. βουλόμαι δὲ x«9' ὃν ἕκαστον
αὐτῶν προενεγκάσϑαι' καὶ γὰρ συμβαίνει δύο τινὰ

Ψ, “ωσιϑεῳ F, uulgo. 2. θϑεορηματων F. 8. ἀποδει-
ξίας) scripsi , ui lin. 7; exoósib cum comp. ης F; ἀποδείξεις
uulgo. 7. ἐκδιδομὲν F, uulgo. 1], πόσα] Barrowius; ποιὰ F,

Arehimedes Dositheo s. .

Eorum theorematum, quae ad Cononem miseram,
quorum demonsirationes semper me perscribere iubes,
plerasque demonstrationes in iis libris perscriptas habes,
quos Heraclides ad te pertulit, nonnullas autem etiam
hoc libro perscriptas ad te mitto. neu miratus sis,
si diutius moratus demonsirationes eorum edidi. hoc
enim ea de causa factum est, quod prius ea uolui per-
mittere mathematices studiosis, et qui ipsi ea scru-
tari malint. quot enim geometriae theoremata, quae
inilio difficilia inuentu uidebantur, postea tandem con-
fecta sunt? Conon igitur, antequam satis temporis ad
ea perserutanda ei contigit, mortuus est; alioquin ea
illstrasset, his omnibus inuentis, et multis aliis in-
super de suo inuentis geometriam amplificasset. sci-
mus enim, ei fuisse et peritiam mathematices singu-
larem et industriam praecipuam. sed multis iam post
mortem Cononis annis interiectis nondum ullum pro-
blematum illorum quemquam adtigisse comperimus.
singula autem hoc loco adferam. accidit enim, ut duo

uulgo. ϑεορηματων F. 19. τὰν] τὴ» per comp. Εἰ; corr.
Torellius. 18. οὖν] addidi; om. F, uulgo. 14. ἢ δῆλα)
Maduigius; αδηλα F, uulgo; καὶ ἄδηλα ed. Β4811., Torellius.

15. xa] scripsi; καὶ F, uulgo. 16. ἐπὶ] scripsi; καὶ exi F,
uulgo. ταν γεωμετρίαν 17. συνεσ cum comp. ἡ» F.

19. Kovovog F, uulgo.

4 ΠΕΡῚ ΕΛΙΚΩΝ,

αὐτῶν ἐν αὐτοῖς μὲν κεχωρισμένα, τέλος δὲ ποϑεσό-
μενα, ὅπως oí φαμένοι μὲν πάντα εὑρίσκειν, ἀπό-
δειξιν δὲ αὐτῶν οὐδεμίαν ἐκφερόντες ἐλεγκώνται οἷα
ποϑωμολογηκότες εὑρίσκειν τὰ ἀδύνατα. ταῦτα δὴ
ποῖα τῶν προβλημάτων ἐντί, καὶ τίνων τὰς ἀποδειξίας
ἔχεις ἀπεσταλμένας, καὶ ποίων ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ
κομίξομες, δοκιμάξομες ἐμφανίξαι τοι. πρῶτον δὴ
τῶν προβλημάτων qv: σφαίρας δοθείσας ἐπίπεδον
χωρίον εὑρεῖν ἴσον τᾷ ἐπιφανείᾳ τᾶς σφαίρας" ὃ δὴ
καὶ πρῶτον ἐγένετο φανερὸν ἐχδοϑέντος τοῦ περὶ τὰν
σφαίραν βιβλίου. δειχϑέντος γάρ, ὅτι πάσας σφαίρας
& ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου
τῶν ἔν τᾷ σφαίρᾳ, δῆλον, ὡς δυνατόν ἐστι χωρίον
ἐπίπεδον εὑρεῖν ἴσον τᾷ ἐπιφανείᾳ τᾶς σφαίρας. δεύ-

τερον δέ" κώνου δοϑέντος ἢ κυλίνδρου σφαῖραν εὕ-.

ρεῖν ἴσαν τῷ κώνῳ ἢ τῷ κυλίνδρῳ. τρίτον δέ" τὰν
δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν ὥστε τὰ τμάματα
αὐτᾶς ποτ᾽ ἄλλαλα τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν. τέταρ-
τον δέ' τὰν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν ὥστε
τὰ τμάματα τᾶς ἐπιφανείας τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν
zov ἄλλαλα. πέμπτον δέ τὸ δοϑὲν τμᾶμα σφαίρας
τῷ δοϑέντι τμάματι σφαίρας ὁμοιώσαι. ἕκτον δέ"
δύο δοϑέντων τμαμάτων σφαίρας εἴτε τᾶς αὐτᾶς εἴτε

1, αὐτῶν] scripsi; vov F, uulgo. ἐν αὐτοῖς] scripsi cum
Nizzio; ev αὐτῷ F, uulgo; εὐλύτων retentis τῶν eb μή Maduigius.
μέν] ux F; corr. ed. Basil.* κεχωρασμενα F; corr. B*; εἶμεν
κεχωρισμένα 'lorellius cum Barrowio. τέλος] Nizzius; veAovg
F, uulgo. ποϑεσόμενα) scripsi; ποτεσσομὲν F, uulgo; ποτϑή-
coutv Barrow; ἀποτευξόμενα 'Torellius; ἀποεσσόμενα uel ovót-
ποϑ' ἑξόμενα Nizzius; fort. τέλους δὲ ποτιδεόμενα:. 9. φανοι
F. svowx cum comp. y» F, ut lin. 4, 9, 14. 8, οἷα ποϑω-
μολογηπκότες] Scripsi; αποϑωμολογηκοτες F, uulgo; of ποϑ᾽ ouo-
λογηκότες Barrow, "Torellius. 6. αποδειξ cum comp. ἧς Εἰ.
6. βιβλίῳ] alterum f) supra manu 1 F. 7. πκομιζοντες

DE LINEIS SPIRALIBUS. 5

quaedam eorum inter ea collocata sint, confici autem
non possint, ut isti, qui se omnia inuenire dictitent,
nullam autem demonstrationem eorum in medium
proferant, aliquando redarguanitur, quippe qui absurda
eliam se inuenire posse professi sint. ea autem pro-
blemata qualia sint, δὲ quorum demonstrationes per-
scriptas habeas, et qualium demonstrationes hoc libro
adferamus, mihi uisum est tecum communicare. pri-
mum igitur problema hoc erat: data sphaera planum
spatium inuenire superficiei sphaerae aequale [de sph.
et cyl. II p. 190], id quod etiam primum palam factum
est, edito de sphaera libro. cum enim demonstratum
sit, superficiem sphaerae quadruplo maiorem esse cir-
enlo maximo sphaerae [de sph. et cyl. I, 33], ad-
paret fieri posse, ut inueniatur spatium planum super-
ficiei sphaerae aequale. secundum autem hoc erat:
dato cono uel cylindro sphaeram inuenire cono uel
cylindro aequalem [de sph. et cyl. IT, 1]. tertium
autem: datam sphaeram plano secare, ita ut segmenta
eius inter se datam rationem habeant [ib. II, 4]. quar-
ium autem: datam sphaeram plano secare, ita ut seg-
menta superficiei inter se datam rationem habeant [ib.
JI, 3]. quintum autem: datum segmentum sphaerae
dato segmento sphaerae simile reddere [efr. ib. IT, 5].
sextum autem: datis duobus sphaerae segmentis siue
F; corr. Torellius. δοκιμάξζομες] scripsi; δοκιμαζοντες F,
uulgo. ἐμφανίξω B; ἐμφανέσω Torellius; ἐμφανέσαι A, ed.
Bags. 8. δοϑεισ cum comp. sc Εἰ; corr. Torellius. — 10. τὰν
' σφαέρα»] scripsi; τὴν (comp.) σφαιραν F, uulgo; τᾶς σφαίρας
Torellus. 15. £vQ cum comp. 7» Εἰ, ut lin. 17, 19, p. 61. 1

17. τμηματα F; corr. Torellius; sic semper in omnibus huius

uerbi formis in hoc libro, nisi ubi contra adnotatum est.
18. αὐτῆς F; corr. Torellius. 21. πέπτον F.

6 ΠΕΡῚ EAIK9N.

ἄλλας εὑρεῖν τι τμᾶμα σφαίρας, ὃ ἐσσείται αὐτὸ μὲν
ὁμοῖον τῷ ἑτέρῳ τῶν τμαμάτων, τὰν δὲ ἐπιφάνειαν
ἴσαν ἕξει τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἑτέρου τμάματος. ἕβδομον"
ἀπὸ τᾶς δοθείσας σφαίρας τμᾶμα ἀποτεμεῖν ἐπιπέδῳ
ὥστε τὸ τμᾶμα ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν
αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον τὸν ταχϑέντα λόγον
ἔχειν μείξονα τοῦ, ὃν ἔχει τὰ τρία ποτὶ τὰ δύο. τού-
τῶν μὲν οὖν τῶν εἰρημένων πάντων τὰς ἀποδειξίας
Ἡρακλείδας ἐκόμιξεν. τὸ δὲ μετὰ ταῦτα κεχωρισμένον

10 ψεῦδος ἦν. ἔστι δέ" εἴ κα σφαῖρα ἐπιπέδῳ τμαϑῇ εἰς

ἄνισα, τὸ μεῖξον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἔλασσον διπλασίονα
λόγον ἕξει, ἢ ἃ μείξων ἐπιφάνεια ποτὶ τὰν ἐλάσσονα.
ὅτι δὲ τοῦτο ψεῦδός ἐστι, διὰ τῶν προαπεσταλμένων φα-
νερόν ἐστι. κεχωρίσται γὰρ ἐν αὐτοῖς τόδε᾽ εἴ κα σφαῖρα
ἐπιπέδῳ τμαϑῇ εἰς ἄνισα ποτ᾽ ὀρϑὰς διαμέτρῳ τινὶ τῶν
ἐν τῷ σφαίρᾳ τᾶς μὲν ἐπιφανείας τὸ μεῖξον τμᾶμα ποτὶ
τὸ ἔλασσον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν τὸ τμᾶμα τὸ
μεῖξον τᾶς διαμέτρου ποτὶ τὸ ἔλασσον, τὸ δὲ μεῖξον
τμᾶμα τᾶς σφαίρας ποτὶ τὸ ἔλασσον ἐλάσσονα μὲν ἢ δι-
πλάσιον λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει ἃ μείξων ἐπιφάνεια
ποτὶ τὰν ἐλάσσονα, μείξονα δὲ ἢ ἡμιόλιον. ἦν δὲ καὶ
τὸ ἔσχατον κεχωρισμένον τῶν προβλημάτων ψεῦδος,
ὅτι, εἴ κα σφαίρας τινὸς ἃ διάμετρος τμαϑῇ ὥστε τὸ
ἀπὸ τοῦ μείξονος τμάματος τετράγωνον τριπλάσιον
εἶμεν τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τμάμα-

7. "n μειξονα ἘΠῚ corr. Nizzius. 8. o9v] per comp. F;
om. ed. Basil. αποδειξεις F, uulgo. 9. εκομισεν F, uulgo.
10. τμηϑὴη Ἐς corr. Torellius; et sic per totum hunc librum in -
omnibus uius uerbi formis (eliam in compositis), ubi nihil ad-

notatum est. 16. ποτ] πρός per comp. Εἰ; corr. Torellius.

16. τᾶς μὲν ἐπιφανείας) addidi Neue Jahrb. Suppl. XI p. 397;
om. F, uulgo. ποτὶ τὸ ἔλασσον — 19. τὸ δὲ usifov τμᾶμα

DE LINEIS SPIRALIBUS. Y

eiusdem siue alius segmentum sphaerae inuenire, quod
ipsum alteri segmento aequale sit, superficiem autem
alterius segmenti superficiei aequalem habeat [ib.
II, 6]. septimum: a data sphaera segmentum plano
abscindere, ita ui segmentum ad conum basim eandem
habentem, quam segmentum, et altitudinem aequalem
datam rationem habeat maiorem quam ὃ : 2 [ib. II, 1].
horum igitur omnium, quae nominauimus, proble-
matum demonstrationes Heraclides ad te pertulit. sed
quod deinde positum erat, falsum erai. est autem
huiusmodi: si sphaera plano in partes inaequales seca-
tur, maius segmentum ad minus duplicem rationem
habet, quam maior superficies ad minorem. hoc autem
falsum esse ex iis, quae antea ad te missa sunt, ad-
paret. in iis enim hoc positum est: si sphaera in
partes inaequales secatur plano ad diametrum aliquam
sphaerae perpendiculari, superficiei segmentum maius
ad minus eandem habebit rationem, quam maior pars
diameiri ad minorem, sphaerae autem segmentum
maius ad minus minorem quam duplicem rationem
habet, quam maior superficies ad minorem, maiorem
uero quam sesquialteram [ib. II, 8]. uerum etiam
problema ultimo loco positum falsum erat: si alicuius
sphaerae diametrus ita secatur, ut quadratum partis
maioris triplo maius sib quadrato partis minoris, et
per hoc punctum!) planum ad diametrum perpen-

1) Sc. in quo diametrus ita diuisa est.

delet Nizzius. 18. δέ] scripsi ibid.; yag F, uulgo. 19. ἔλασ-
cov] om. FV. 21. ποτὶ τάν] προς (comp.) tqv» (comp.) F; corr.
Torellius. 23. ἡ Εἰ corr. Torellius.

8 ΠΕΡῚ EAIKESNN.

τος, καὶ διὰ τοῦ σαμείου τούτου ἐπίπεδον ἀχϑὲν ποτ᾽
ὀρϑὰς τᾷ διαμέτρῳ τέμνῃ τὰν σφαῖραν, τὸ τοιοῦτον
τῷ εἴδει σχῆμα, οἷόν ἐστι τὸ usitov τᾶς σφαίρας τμᾶμα,
μέγιστόν ἐστι τῶν ἄλλων τμαμάτων τῶν ἐχόντων ἴσαν
τὰν ἐπιφάνειαν. ὅτι δὲ τοῦτο ψεῦδός ἐστι, δῆλον διὰ
τῶν προαπεσταλμένων ϑεωρημάτων. δεδείκται γάρ,
ὅτι τὸ ἡμισφαίριον μέγιστόν ἐστι τῶν περιεχομένων
ὑπὸ ἴσας ἐπιφανείας σφαίρας τμαμάτων. μετὰ δὲ ταῦτα
περὶ τοῦ κώνου προβεβλημένα ἐστὶ τάδε᾽ εἴ κα ὀρϑο-

10 yovíov κώνου τομὰ μενούσας τᾶς διαμέτρου περιενεχ-

“»ὦ
Qt

05, ὥστε εἶμεν ἄξονα τὰν διάμετρον, τὸ περιγραφὲν
σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς κωνο-
εἰδὲὸς καλείσϑω. καὶ εἴ κα τοῦ κωνοειδέος σχήματος
ἐπίπεδον ἐπιψαύῃ, παρὰ δὲ τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον ἄλλο
ἐπίπεδὸν ἀχϑὲν ἀποτέμῃ τι τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος, τοῦ
ἀποτμαϑέντος τμάματος βάσις μὲν καλείσϑω τὸ ἀπο-
τέμνον ἐπέπεδον, κορυφὰ δὲ τὸ σαμεῖον, xaO ὃ ἐπι-
ψαύει τὸ ἕτερον ἐπίπεδον τοῦ κωνοειδέος. εἰ δέ κα
τὸ εἰρημένον σχῆμα ἐπιπέδῳ τμαϑῇ zov ὀρθὰς τῷ
ἄξονι, ὅτι μὲν ἃ τομὰ κύκλος ἐσσείται, δῆλον ὅτι δὲ
τὸ ἀποτμαϑὲν τμᾶμα ἡμιόλιον ἐσσείται τοῦ κώνου
τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ὕψος
ἴσον, δείξαι δεῖ. καὶ εἴ κα τοῦ κωνοειδέος δύο τμά-
ματα ἀποτμαϑέωντι ἐπιπέδοις ὁπωσοῦν ἀγμένοις, ὅτι
μὲν οὖν aí τομαὶ ἐσσούνται ὀξυγωνίων κώνων τομαί,
δῆλον, εἴ κα τὰ ἀποτέμνοντα ἐπίπεδα μὴ ὀρϑὰ ἔωντι
ποτὶ τὸν ἄξονα᾽ ὅτι δὲ τὰ τμάματα ποτ᾽ ἄλλαλα τοῦ-

1. σημειου F; corr. Torellius; et sic per totum librum, ubi
nihil adnotatum est. τούτου] Scripsi; τὸ F, uulgo; τοῦ 2. τῶν]
την F; corr. Torellius. 8. εἰδη FF. 12. της (comp.) .
τομῆς T; corr. Torellius. 16. ἐποτμαϑέντος] sic F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 9

dieulare ducatur et sphaeram secet, figura talis specie,
quale est maius segmentum sphaerae, maxima est
omnium segmentorum aequalem superficem haben-
tium. hoc autem falsum esse, ex iis theorematis, quae
antea ad te missa sunt, adparet. ibi enim demon-
stratum est, hemisphaerium maximum esse segmento-
rum aequali superficie sphaerae comprehensorum [ib.
II, 9]. deinde de cono!) haec erant proposita: si
seclio coni rectanguli manente diametro. cireumuolui-
tur, iia ut diametrus sit axis, figura sectione coni rect-
anguli comprehensa conoides uocetur (cfr. de conoid.
p. 244). et si planum conoides contingit, et aliud
planum contingenti paralledlum segmentum aliquod
conoidis abscindit, segmenti abscisi basis uocetur
planum abscindens, ueriex aulem punctum, in quo
alilerum planum conoides contingit. sin autem figura,
quam commemorauimus, plano ad axem perpendicu-
lari secatur, sectionem circulum fore, adparet; sed seg-
mentum abscisum dimidia parte maius futurum esse
cono basim eandem habenti, quam segmentum, et
altitudinem aequalem, demonstrandum est [de conoid.
21] οὐ 81 ἃ conoide duo segmenta planis quouis
modo ductis abscinduntur, sectiones conorum acuti-
angulorum sectiones futuras esse, si plana abscin-
dentia ad axem perpendicularia non sint, adparet [de
conoid. 12]; segmenta autem eam inter se rationem

1) Uidendum est, ne scribendum asit τοῦ κωνοειδέος lin. 9.

17. κορυφὴ F, uulgo. 18. y δη F; corr. ed. Basil.* κα]
scripsi; καὶ F, uulgo. 25. ὀξυγωνίου κώνου Nizzius cum C,
Cr. 26. ἀποτεμν (cum comp. ov) τα FC.

10 ΠΕΡῚ EAIK9N.

τον ἑξοῦντι τὸν λόγον, ὃν ἔχοντι δυνάμει ποτ᾽ ἀλλά-
λας αἱ ἀπὸ τᾶν κορυφᾶν αὐτῶν ἀγμέναι παρὰ τὸν
ἄξονα μέχρι ἐπὶ τὰ ἐπέπεδα τὰ τέμνοντα, δείξαι δεῖ.
τοὐτῶν δ᾽ αἱ ἀποδειξίες οὔπω τοι ἀποστελλόνται. μετὰ
δὲ ταῦτα περὶ vüg ἕλικος ἦν προβεβλημένα ταῦτα"
ἐντὶ δὲ ὥσπερ ἄλλο τι γένος προβλημάτων οὐδὲν ἐπι-
κοινωνεόντων τοῖς προειρημένοις ὑπὲρ ὧν ἐν τῷδε
τῷ βιβλίῳ τὰς ἀποδειξίας γεγραφήκαμές τοι. ἔστιν δὲ
τάδε" εἴ κα δὐθεῖα γραμμὰ ἐν ἐπιπέδῳ μένοντος τοῦ
ἑτέρου πέρατος ἐσοταχέως περιενεχϑεῖσα Gxoxavaota
πάλιν, ὅϑεν ὥρμασεν, ἅμα δὲ τᾷ γραμμᾷ περιφερομένα
φερήται τι σαμεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ κατὰ τᾶς εὐ-
ϑείας ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος, τὸ σαμεῖον
ἕλικα γράψει ἐν τῷ ἐπιπέδῳ. φαμὶ δὴ τὸ περιλαφϑὲν
χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἀποκατα-
σταϑείσας, ὅϑεν ὥρμασεν, τρίτον μέρος εἶμεν τοῦ
κύκλου τοῦ γραφέντος κέντρῳ μὲν τῷ μένοντι σαμείῳ,
διαστήματι δὲ τῷ εὐθείᾳ τᾷ διανυαϑείσᾳ ὑπὸ τοῦ σα-
μείου ἐν τᾷ. μιᾷ περιφορᾷ τᾶς εὐθείας. καὶ si κα τᾶς
ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα κατὰ τὸ πέρας τὰς ἕλικος
τὸ ἔσχατον γενόμενον, ἄλλα δέ τις εὐθεῖα τᾷ περι-
αχϑείσᾳ καὶ ἀποκατασταϑείαᾳ γραμμᾷ ποτ᾽ ὀρϑὰς ἀχϑῇ
ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος αὐτᾶς, ὥστε ἐμπεσεῖν τᾷ
ἐπιψαυούσᾳ, φαμὶ τὰν ποταχϑεῖσαν εὐθεῖαν (aav εἶμεν
τᾷ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ. καὶ εἴ κα ἃ περιαγομένα
γραμμὰ καὶ τὸ δαμεῖον τὸ φερόμενον κατ᾽ αὐτᾶς πλει-

1. ἔχοντι] scripsi; ἐχωντι F, uulgo. 9. ἐπὶ τὰ scripsi;
τα Ἐς, uulgo. τὰ τέμνοντα] scripsi; τὰά om. F, uulgo. 4. απο-
δειξ cum comp. ης F; ἀποδείξεις uulgo. οὔπω] Torellius et
Nizzius; ovro F, uulgo. b. δλικας Εἰ: corr. BD. 6. επι-

xowoveóvtoy] scripsi; εἐπικοινωρεοντα F, uulgo; ἐπέκοινον
ἔχοντα Barrowius; ἐπίκοινον ἐχόντων Torelius; ,communi-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 11

habitura esse, quam habeant quadrata linearum, quae
8 uerticibus eorum usque ad plana absceindentia axi
parallelae ducantur, demonstrandum est [ib. 24]. ho-
rum autem demonstrationes nondum ad te müttuntur,
post haec autem de linea spirali haec proposita erant;
sunt autem quasi aliud problematum genus, quae
cum iis, quae adhuc commemorauimus, nihil commune
habent; de quibus hoc libro demonstrationes tibi
perscripsimus. sunt autem haec: si linea recta, ma-
nente altero termino, in plano aequabiliter cireumacta
rursus in eum ]locum restituitur, unde coepia est
moueri, et simul dum linea cireumagitur, punctum
aliquod aequabiliter sibi ipsi in linea promouetur a
iermino manente incipiens, punctum in plano spiralem
describet. dico igitur, spatium comprehensum spirali
et linea in eum locum restituta, unde moueri coepta
est, ierliam partem esse circuli, cuius centrum sit
lerminus manens, radius autem linea ἃ puncto in unà
lineae circeumuolutione permeata [prop. 24] οὐ si
linea in extremo termino spiralis spiraslem contingit,
alia autem linea ἃ termino manente ad lineam cireum-
actam et in suum loeum restitutam perpendicularis
ducitur, ita αὖ in lineam contingentem incidat, dico,
lineam ita [ad contingentem] ductam circuli ambitui
aequalem esse [prop. 18] οὐ si linea, quae cireum-
agitur, οὐ punctum, quod in ea mouetur, pluribus

cans Cr. 8. γεγραφηκαμεν F, uulgo. τοι] Torellius; co: F,
uulgo. 9. περι sÀuxov F mg. 16. ὠρμὴσεν F. — 28. πέρατος
αὐτὰς] περι ro cvvo F; corr. Torellius. — 24. φημι ἘΠ; corr. To-

0
rellius. σπραχϑεισαν F; corr. Torellius; fort. προαχϑεῖσαν.

12 ΠΕΡῚ EAIKO9N.

όνας περιφορὰς περιενεχϑέωντι καὶ ἀποκατασταϑέωντι
πάλιν, ὅϑεν ὥρμασεν, φαμὶ τοῦ χωρίου τοῦ ἐν τῷ
δευτέρᾳ περιφορᾷ ποτιλαφϑέντος ὑπὸ τὰς ἕλικος τὸ
μὲν ἐν τᾷ τρίτῳ ποτιλαφϑὲν διπλάσιον ἐσσείσϑαι, τὸ
ὃὲ ἐν và τετάρτα τριπλάσιον, τὸ δὲ ἐν τᾷ πέμπτᾳ
τετραπλάσιον, καὶ ἀεὶ τὰ ἐν ταῖς ὕστερον περιφοραῖς
ποτιλαμβανόμενα χωρία κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀρυϑμοὺς πολ-
λαπλάσια ἐσσείσϑαι τοῦ ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ ποτι-
λαφϑέντος" τὸ δὲ ἐν τᾷ πρώτα περιφορᾷ ποτιλαφϑὲν
χωρίον ἕκτον μέρος εἶμεν τοῦ ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ
ποτιλαφϑέντος χωρίου. καὶ εἴ κα ἐπὶ vág ἕλικος τᾶς
ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμμένας δύο σαμεῖα λαφϑέωντι,
καὶ ἀπ᾽ αὐτῶν ἐπιξευχϑέωντι εὐϑείαι ἐπὶ τὸ μεμενακὸς
πέρας τᾶς περιενεχϑείδας γραμμᾶς, καὶ κύκλοι δύο
γραφέωντι κέντρῳ μὲν τῷ μεμενακότι σαμείῳ, διαστη- ᾿
μάτεσσι δὲ ταῖς ἐπιξζευχϑείσαις ἐπὶ τὸ μεμενακὸς πέρας

τᾶς εὐϑείας, καὶ ἃ ἐλάσσων τῶν ἐπιξευχϑειαᾶν ἐπεκβλη-

$3, φαμὶ τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς τοῦ μείξονος
κύκλου περιφερείας τᾶς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Aut μεταξὺ τᾶν
εὐϑειᾶν ἐούσας καὶ τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς éx-
βληϑείσας ποτὶ τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς τοῦ
ἐλάσσονος κύκλου περιφερείας καὶ τᾶς αὐτᾶς ἕλικος καὶ
τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιξευγνούσας τὰ πέρατα αὐτῶν τοῦτον
ἕξειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει & ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσ-
Govog κύκλου μετὰ δύο τριταμορίων τᾶς ὑπεροχᾶς, ἃ
ὑπερέχει & ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείξονος κύκλου τᾶς
ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος xvxAov ποτὶ τὰν ἐκ

2. zal cum comp. *» F. 10. τοῦ] τα F; corr. B.
11. ελικας F; corr. B. 16. γραφέωντι] scripsi; γεγραφεῶντι
F, uulgo. 19. τᾷ] addidi; om. F, uulgo. 21. περιληφϑὲν F
23. αὐτᾶν] cvrav supra scripto compendio c» uel cireum-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 13

circeumuolutionibus cireumaguntur et rursus in eum
locum restituuntur, unde moueri coepta est [linea recta],
dico, spatio in secunda circeumuolutione a spirali
adiecto duplo maius fore spatium in tertia adiectum,
iriplo autem maius spatium in quarta adiectum, qua-
druplo autem spatium in quinta adiectum, et omnino
spatia in sequentibus circumuolutionibus adiecta multi-
plicia fore, quam spatium in secunda circumuolutioue
adiectum, secundum numerorum insequentium seriem;
spatium uero in prima cireumuolutione comprehensum!)
sextam partem esse spatii in secunda adiecti [prop. 21].
οὐ si in spirali in una circumuolutione descripta duo
puncta sumuntur, eli ab iis ad manentem terminum
lineae cireumactae ducuntur lineae, οὲ duo circuli
describuntur, quorum centrum est punctum manens,
radi autem lineae ad manentem terminum lineae
ductae, et minor linearum ductarum producitur, dico,
spatium comprehensum eo ambitu circuli maioris, qui
in eadem parte est, in qua est spiralis, inter lineas
positus, et spirali et linea producta ad spatium com-
prehensum ambitu cireuli minoris et eadem spirali
οὐ linea terminos earum iungenti eam habiturum esse
rationem, quam habeat radius circuli minoris cum
duabus parlibus excessus, quo radius circuli maioris
radium minoris circuli excedat, ad radium circuli minoris
cum terlia parte eiusdem excessus [prop. 28]. horum

1) Puto scribendum esse: περιλαφϑέν lin. 9.

flexu F. 24. efe, F, uulgo. 25. &] ας F; corr. Torellius.
96. μείξονος κύκλον — p. 14, 1: κέντρου τοῦ om. Εἰ: corr.
Torellius, nisi quod om. alterum τοῦ lin. 27.

14 IIEPI EAIKSN.

τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου μετὰ ἑνὸς τριτα-
μορίου τᾶς εἰρημένας ὑπεροχᾶς. τούτων δή μοι καὶ
ἄλλων περὶ τᾶς ἕλικος αἴ ἀποδειξίες ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ
γραφόνται. προκείνται δέ, ὡς καὶ τῶν ἄλλων τῶν
γεωμετρουμένων, τὰ χρείαν ἔχοντα εἰς τὰν ἀπόδειξιν
αὐτῶν. λαμβάνω δὲ καὶ ἐν τούτοις, ὡς ἐν τοῖς πρό-
τερον ἐκδεδομένοις βιβλίοις, λῆμμα τόδε" τῶν ἀνίσαν
γραμμᾶν καὶ τῶν ἀνίσων χωρίων τὰν ὑπεροχάν, ἃ
ὑπερέχει τὸ μεῖξον τοῦ ἐλάσσονος, αὐτὰν ἑαυτᾷ συν-
τιϑεμέναν δυνατὸν εἶμεν παντὸς ὑπερίδχειν τοῦ προ-
τεϑέντος τῶν ποτ᾽ ἄλλαλα λεγομένων.

Εἴ κα κατά τινος γραμμᾶς ἐνεχϑῇ τι σαμεῖον ἐσο-
ταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ φερόμενον, καὶ λαφϑέωντι ἐν αὐτᾷ
δύο γραμμαί , αἵ ἀπολαφϑείσαι τὸν αὐτὸν ἐξοῦντι λό-
γον ποτ᾽ ἀλλάλας, ὔνπερ οἵ χρόνοι, ἐν οἷς τὸ σαμεῖον
τὰς γραμμὰς ἐπορεύϑη.

ἐνηνέχϑω γάρ τι σαμεῖον κατὰ τᾶς 4B γραμμᾶς
ἰσοταχέως, καὶ λελάφϑωσαν iv αὐτᾷ δύο γραμμαὶ αἵ
ΓΖ, 4E. ἔστω δὲ ὃ χρόνος, ἐν à τὰν ΓΖ γραμμὰν τὸ
δαμεῖον διεπορεύϑη, ὁ ΖΗ, ἐν ᾧ δὲ τὰν AE ὃ ΗΘ.
δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΓΖΩ͂ γραμμὰ
ποτὶ τὰν 4 E γραμμάν, ὃν ὁ χρόνος ὁ ZH ποτὶ τὸν ΗΘ.

συγκείσϑωσαν γὰρ ἐκ τᾶν I'4, AE γραμμᾶν αἵ
A44, AB γραμμαὶ καϑ'᾿ ἁντινοῦν σύνϑεσιν οὕτως,
ὥστε ὑπερέχειν τὰν 44 τᾶς 4B. καὶ ὁσάκις μὲν
συγκχείται ἃ ΓΖΩ͂ γραμμὰ ἐν τᾷ 421, τοσαυτάκις συγ-

1. μετ᾽ ed. Basil, Torellius. 3. ἀποδειξ cum comp. ἧς
F; ἀποδείξεις uulgo. 4. πρόκειται Nizzius. 6. og] scripsi;
τῶν per comp. F, uulgo. 7. λῆμμα τόδε] scripsi; λημα ταῦε

DE LINEIS SPIRALIBUS. 15

igitur [lheorematum] et aliorum quorundam de spirali
demonstrationes hoc libro a me perscribuntur. prae-
mittuntur autem, ut etiam in ceteris scriptis geome-
iricis, quae ,ad ea demonstranda utilia sunt. οὐ hic
quoque, sicut in libris antea editis!), hoc lemma sumo:
excessum linearum uel spatiorum inaequalium, quo
maius excedat minus, sibi ipsi adiectum excedere posse
quamuis magnitudinem datam earum, quae inter se
comparari possunt.

S1 in linea aliqua punctum aliquod sibi ipsi aequa-
biliter fertur, et in ea duae lineae sumuntur, lineae
sumptae eandem rationem habebunt, quam tempora,
quibus punctum lineas permeauit.

feratur enim aequabiliter punctum aliquod in linea
A B, et in ea duae lineae ΓΖ, 4/4 E sumantur. tempus
aulem, quo punctum lineam ΓΖ, permeauit, sit ZH,
et quo lineam Z/E, sii HO. demonstrandum est,
esse ΓΖ: AE — ZH: ΗΘ.

componantur enim ex lineis ΓΖ, 4E lineae 4 4,
4 B, quotiescunque sumuntur lineae illae, ita ut linea
44 lineam 4.8 excedat.) οὐ quoties linea ΓΖ in
linea 4421 continetur, toties contineatur tempus ZH

1) H. e. περὶ σφαέρας καὶ κυλίνδρου (I λαμβ. 6 p. 10) et
τετραγ. παραβ. praef. (Quaest. Arch. p.: 465).
2) Hoc fieri potest per lemma illud lin. 7 — 11.

F, supra scripto μ et τὰ manu prima (et sic uulgo); λημμάτων
τόδε Nizze. 18. ηνεχϑὼ F, uulgo. 22. ἔχοντι] scripsi; egovt
F, uulgo. I4] 44 Ἐς corr. Torellius; «y ed. Basil; ,cd*
Cr. 94 vo» — γραμμων (comp.) Εἰ; corr. Torellius.

16 ΠΕΡῚ EAIKOSN.

κείσϑω ὁ χρόνος ὁ ZH ἐν τῷ χρόνῳ τῷ ΛΗ͂' ὁσάκις
δὲ συγχείται & 4 E γραμμὰ ἐν τᾷ 4B, τοσαυτάκις

Ι | | [I —— ————17—4—34
A D 4

---- --- —Ó— —Ó —FL34—4
A - Z Η 9 K

συγκείσϑω ὁ ΘΗ χρόνος ἐν và KH χρόνῳ. ἐπεὶ οὖν
ὑποκείται τὸ σαμεῖον ἰσοταχέως ἐνηνέχϑαι κατὰ τᾶς

5 48 γραμμᾶς, δῆλον, ὡς, ἐν ὅσω χρόνῳ τὰν ΓΖ ἐν-

ηνέκται, ἐν τοσούτῳ καὶ ἑἕκάσταν ἐνηνέκται τἂν ἴσαν
τᾷ ΓΖ. φανερὸν οὖν, ὅτι καὶ συγκειμέναν τὰν 44
γραμμὰν ἐν τοσούτῳ χρόνῳ ἐνηνέκχται, ὅσος ἐστὶν ὁ
AH χρόνος, ἐπειδὴ τοσαυτάκις συγκείται & τε ΓΖ
γραμμὰ ἐν τᾷ 44] γραμμᾷ, καὶ ὁ ZH χρόνος ἐν
τῷ 4H χρόνῳ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ τὰν B4 γραμμὰν
ἐν τοσούτῳ χρόνῳ τὸ σαμεῖον ἐνηνέκται, ὅσος ἐστὶν
ὁ ΚΗ χρόνος. ἐπεὶ οὖν μείξων ἐστὶν & 44 γραμμὰ
τᾶς B4, δῆλον, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ τὸ ἀαμεῖον τὰν

16 4.4 διαπορευέται γραμμάν, ἢ τὰν B. ὥστε ὁ χρό-

νος ὁ ΛΗ μείξων ἐστὶ τοῦ ΚΗ χρόνου. ὁμοίως δὲ
δειχϑησέται, καὶ εἴ κα ἐκ τῶν χρόνων τῶν ZH, ΗΘ
συντεϑέωντι χρόνοι x«9' ἁντινοῦν σύνϑεσιν, ὥστε
ὑπερέχειν τὸν ἕτερον τοῦ ἑτέρου, ὅτι καὶ vüv ἐκ τᾶν
γραμμᾶν τᾶν ΓΩ͂, 4Ε κατὰ τὰν αὐτὰν σύνϑεσιν συν-
τεϑεισᾶν ὑπερέξει ἃ ὁμόλογος τῷ ὑπερέχοντι χρόνῳ.
δῆλον οὖν, ὅτι τὸν αὐτὸν ξξει λόγον & DL'4 ποτὶ τὰν
A4E, ὃν ὃ χρόνος ὁ ZH ποτὶ τὸν χρόνον τὸν HO.

1. ocax cum comp. «sg F, ut lin. 3, 9. 6. τωσουτω F.
εκαστ cum comp. ην Εἰ; corr. Torellius. 11, τὰ αὐτά Torel-
lius. 17. αἴκα Torellius, ut fere semper.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 11

in tempore 4H. quoties autem linea Z/E in linea 48
continetur, toties contineatur tempus 6 H in tempore
KH. iam quonianr suppositum est, punctum in linea
AB aequabiliter ferri, adparet, quo tempore lineam
ΓΖ permeat, eo etiam singulas lineae I'7/ aequales
permeare. manifestum igilur est, punctum illud etiam
lineam compositam 4,2] eo tempore permeare, quan-
tum est tempus 44H, quoniam, quoties linea ΓΖ in
linea 4421 continetur, toties continetur tempus ZH
in tempore 4H. eadem igitur de causa etiam lineam
B 4 eo tempore permeat punctum, quantum est tempus
KH. iam quoniam 44217 ΒΖ, adparet, punctum longiore
lempore lineam 7144 permeare quam lineam B4.
quare erit ΔΗ͂» ΚΗ. ei eodem modo demonstrabimus,
etiam 81 ex temporibus ZH, ΗΘ tempora componantur,
quotiescumque in iis illa tempora contineantur, ita ut
alilerum excedat alterum, etiam linearum ex lineis
ΓΖ, 4E iolies sumptis, quoties tempora ZH, ΗΘ,
compositarum eam excedere alteram, quae tempori
excedenti respondeat. adparet igitur, esse I: 4E
— ZH: ΗΘ [Eucl. V def. 5].

Archimedes ed. Heiberg. II. 2

18 IITEPI ΕΛΙΚΩΝ.

Εἴ κα δύο σαμείων ἑκατέρου κατά τινος γραμμᾶς
ἐνεχϑέντος μὴ τᾶς αὐτᾶς ἰσοταχέως αὐτοῦ ἑαυτῷ φερο-
μένου λαφϑέωντι ἐν ἑκατέρᾳ τῶν γραμμᾶν δύο γραμ-
uoi, &v ct vs πρώται ἐν ἴσοις χρόνοις ὑπὸ τῶν σα-
μείων διανυέσϑων καὶ αἱ δευτέραι, τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι
λόγον ποτ᾽ ἀλλάλας αἵ λαφϑείσαι γραμμαί.

ἔστω κατὰ τὰς 48 γροαμμᾶς ἐνηνεγμένον τι σα-
μεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ, καὶ ἄλλο κατὰ τᾶς K Α.
λελάφϑωσαν δὲ ἐν τᾷ AB δύο αἱ ΓΖ, AE γραμμαί,
καὶ ἐν τᾷ ΚΑ αἵ ZH, ΗΘ, ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ τὸ κατὰ
τὰς 48 γραμμᾶς ἐνηνεγμένον σαμεῖον τὰν ΓΖΩ͂ γραμ-
μὰν διαπορευέσϑω, ἐν ὅσῳ τὸ ἕτερον κατὰ τᾶς ΚΑ
ἐνηνεγμένον τὰν ZH: ὁμοίως καὶ τὰν 4 E γραμμὰν
ἐν ἴσῳ διαπορευέσϑω τὸ σαμεῖον, ἐν ὅσῳ τὸ ἕτερον
τὰν HO. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον & ΓΖ,
ποτὶ τὰν 4Ε, ὃν & ZH ποτὶ τὰν ΗΘ.

ἔστω δὴ ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὰν ΓΖ γραμμὰν διεπο-
φεύετο τὸ σαμεῖον, ὁ ΜΝ. ἐν τούτῳ δὴ τῷ χρόνῳ
καὶ τὸ ἕτερον σαμεῖον διαπορευέται τὰν ΖΗ. πάλιν
δὲ καί, ἐν ᾧ τὰν AE γραμμὰν διεπορεύετο τὸ σα-
μεῖον, ἔστω ὁ NA χρόνος. ἐν τούτῳ δὴ καὶ τὸ ἔτε-
ρον σαμεῖον διαπορευέται τὰν ΗΘ. τὸν αὐτὸν δὴ
λόγον ἑξοῦντι & τε ΓΖΩ͂ ποτὶ τὰν 4 E γραμμάν, ὃν
ὁ χρόνος ὃ ΜΝ ποτὶ NAÀ, καὶ & ZH ποτὶ τὰν
ΗΘ, ὃν ὃ χρόνος ó MN ποτὶ τὸν NA. δῆλον οὖν,
ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον & DI'4 ποτὶ τὰν 4Ε, ὃν
ἃ ZH ποτὶ τὴν HO. —

9. αὐτοῦ] scripsi; «vro F, uulgo. 4. λαφϑενωντι F.
δ. ἃν] addidi; om. F, uulgo. — copusíov] sic F. — 9. sevo F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 19

II.

Si duo puncta in sua quodque linea sibi ipsa
aequabiliter feruntur, ei in utraque linea duae lineae
sumuntur, quarum linearum et priores et posteriores
aequalibus temporibus a punotis permeentur, lineae
sumptae eandem inier se rationem habebunt.

feratur in linea 4B punctum aliquod sibi ipsum
aequabiliter, et in linea K.4 aliud punctum eodem
modo. sumantur autem in linea 4B duae lineae
ΓΖ, A E, et in linea K 4 lineae ZH, ΗΘ, et punctum,
-quod in linea 4B fertur, eodem tempore lineam ΓΖ
permeet, quo alterum punctum, quod in linea ΚΑ
fertur, lineam ZH permeat. et eodem modo etiam
lineam zZ/E eodem iempore permeet punctum, quo
alterum lineam ΗΘ permeat. demonstrandum est,
esse ΓΖΔ: AE — ZH: HO.

tempus igitur, quo punctum lineam Γ᾽ Ζ[ permeauit,
sibi MN. itaque hoe tempore alterum punctum lineam
ZH permeat. rursus autem tempus, quo punctum
lineam 4 Ε permeauit, sit N,&. hoc igitur tempore
etiam allerum punctum lineam ΗΘ permeat. erit

A I 4. E B
A Z H Θ K
——À -------- E——
M N m

igitur ΓΖ: 4E— MN: NEet ZH: HO— MN: NA
[prop. 1]. adparet igitur, esse ΓΖ: 4E — ZH: ΗΘ.

10. τᾷ] to F; corr. B. 14. ἐνηνεγμένον" seripsi; q»eyus-
vov» F, uulgo. 15. σαμεῖον] sic F, ut lin. 1. δέ] To-
rellius; δὴ Ε΄, uulgo. 25. mor] (prius) Qo; per comp. E;
corr. Torellius, 96. ΝᾺ B| ΜΗ͂ ΘΒ. 292". ἐχωντι F

20 ΠΕΡῚ EAIKSN.

γ΄.

Κύκλων δοϑέντων ὁποσωνοῦν τῷ πλήϑει δυνατόν
ἐστιν εὐθεῖαν λαβεῖν μείξονα ἐοῦσαν τᾶν τῶν κύκλων
περιφερειᾶν.

περιγραφέντος γὰρ περὶ ἕκαστον τῶν κύκλων πολυ-
γώνου δῆλον, ὡς ἡ ἐκ πασᾶν συγκειμένα τᾶν περι-
μέτρων εὐϑεῖα μείξων ἐσσείται πασᾶν τἂν τῶν κύκλων
περιφερειᾶν.

δ΄.

Ζύο γραμμᾶν δοϑεισᾶν ἀνισᾶν, εὐθείας τε καὶ
κύκλου περιφερείας, δυνατόν ἐστι λαβεῖν εὐθεῖαν τᾶς
μὲν μείξονος τᾶν δοϑεισὰᾶν γραμμᾶν ἐλάσσονα, τᾶς δὲ
ἐλάσσονος μείξονα.

ὁσάκις γὰρ ἁ ὑπεροχά, ᾧ ὑπερέχει ἃ μείξων γραμμὰ
τᾶς ἐλάσσονος, αὐτὰ ἑαυτᾷ συντιϑεμένα ὑπερέξει τᾶς
εὐϑείας, εἰς τόσαῦτα ἴσα διαιρεϑείσας τᾶς εὐϑείας τὸ
ὃν τμᾶμα ἔλασσον ἐσσείται τᾶς ὑπεροχᾶς. εἰ μὲν οὖν
κα ἦ ἃ περιφέρεια μείξων τῶς εὐϑείας, ἕνὸς τμάματος
ποτιτεϑέντος ποτὶ τὰν εὐϑεῖαν τᾶς μὲν ἐλάσσονος τᾶν
δοϑεισᾶν δῆλον ὡς μείξων ἐσσείται, τᾶς δὲ μείξονος
ἐλάσσων. εἰ δέ κα ἐλάσσων, ἕνὸς τμάματος ποτιτε-
ϑέντος ποτὶ τὰν περιφέρειαν ὁμοίως τᾶς μὲν ἐλάσ-
σονος μείξων ἐσσείται, τᾶς δὲ μείξονος ἐλάσσων. καὶ
γὰρ ἃ ποτικειμένα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ὑπεροχᾶς.

2. ὅποσ cum compp. ων et οὖν F. 8. ουσαν F, uulgo.
6. πασων F, uulgo. συγκειμενὴ vov F, uulgo. 7. ἐσσεέται
scripsi; ἔσται per comp. F; uulgo. 11. λαβ cum comp. ἣν
F. 15. αὐτὰ ἑξαυτᾷ] scripsi; αὐτὰ F, uulgo. 106. eig] scripsi;
και, εἰς F, uulgo. 17. ἐσσείται) scripsi cum B; ἔσται per
comp. F, uulgo. 18. κα 7] scripsi; καὶ F, uulgo. 20. μεέ-

fov| scripsi; μεῖζον F, uulgo. — usifov cum comp. eg F. 21.
εἰ δέ κα usque ad μεέξονος ἐλάσσων lin. 98 addidi; om, F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 21

III.

Datis circulis quotlibet numero fieri potest, ut
suxaatur linea maior, quam ambitus cireulorum. eir-
ecumseripbo enim circum singulos circulos polygono
adparet, lineam ex omnibus eorum perimetris com- .
positam maiorem futuram esse, quam omnes ambitus
eireulorum [de sph. et. eyl. I, 1]. |

IV.

Datis duabus lineis inaequabilibus, recta linea et
cireuli ambitu, fieri potest, ut sumatur linea recta
minor maiore linearum datarum, minore autem maior.

nam quoties excessus, quo maior linea minorem
excedit, sibi ipse adiectus lineam rectam excedet?) in
tot partes aequales diuisa linea recia una pars minor
erii excessu. iam si ambitus maior est linea recta,
adparet, si ungm partem ad lineam rectam adiiciamus,
summam maiorem fore minore linearum datarum,
minorem uero maiore. sin minor est [ambitus quam
linea recta], si unam partem ad ambitum adiicimus,
summa rursus minore linea maior erit, maiore autem
minor. nam quae adiicitur, minor est excessu.?)

1) Hoc fieri potest per lemma p. 14.
2) Bit p ambitus, i linea recta; erit igitur, si p — 1,

n(p—D 51x p—V» L1, »»ΊΈΕΞι, quare »;»}Ὲ ΣΤ»
sin 17» p, erit: nü—52»1»x1l—p»lbp-
1
quare |I 2 p E02

29 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

Κύκχλου δοθέντος καὶ εὐϑείας ἐπιψανούσας τοῦ
κύκλου δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου
ἀγαγεῖν εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν με-

b ταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ vig. τοῦ κύκλου περιφερείας —
εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἐλάσσονα λόγον
ἔχειν, ἢ & περιφέρεια τοῦ κύκλου ἃ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς
καὶ τᾶς διαχϑείσας ποτὶ τὰν δοϑεῖσαν ὁποιανοῦν κύ-
κλου περιφέρειαν.

10 δεδόσθω κύκλος ὁ Α ΒΓ, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ K,
καὶ ἐπιψαυέτω τοῦ κύκλου & 4Ζ κατὰ τὸ B. δεδόσθω
δὲ καὶ κύκλου περιφέρεια ὁποιαοῦν. δυνατὸν δή ἐστι
τᾶς δοϑείσας περιφερείας λαβεῖν τινα εὐθεῖαν μείξονα,
καὶ ἔστω & E εὐϑεῖα μείξων τᾶς δοϑείσας περι-

15 φερείας. ἄχϑω δὲ ἀπὸ τοῦ Καὶ κέντρου παρὰ τὰν 4Z
& AH, καὶ κείσϑω ἃ HG ἴσα và E νεύουσα ἐπὶ τὸ
B, ἀπὸ δὲ τοῦ K κέντρου ἐπὶ τὸ O ἐπιξευχϑεῖσα ἐκ-
βεβλήσϑω. τὸν αὐτὸν δὴ λόγον ἔχει & ΘΖ ποτὶ τὰν
ΘΚ, ὃν & ΒΘ ποτὶ τὰν ΘΗ. ἁ ἄρα ΖΘ ποτὶ τὰν

20 ΘΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἃ BO περιφέρεια
ποτὶ τὰν δοϑεῖσαν περιφέρειαν, διότι ἃ μὲν ΒΘ
εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΒΘ περιφερείας, & δὲ ΘΗ
μείξων τᾶς δοϑείσας περιφερείας. ἐλάσσονα οὖν λό-
γον ἔχει καὶ ἃ ZO ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου, ἢ & ΒΘ

25 περιφέρεια ποτὶ τὰν δοϑεῖσαν περιφέρειαν.

2. ἐπιψανουσῆης F; corr. Torellius. 12. δή] scripsi; δὲ
F, uulgo. 15. ἀπό] διά 17. δέ] scripsi; ἢ F, uulgo.
19. ἃ] (alt) scripsi; ἡ F, uulgo. 20. ὃν ἔχει & suspicatur
Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS, 3

Υ.

Dato cireulo et linea ecireulum contingenti fieri
potest, ub a centro circuli ad contingentem linea du-
eatur, ita ut linea inter contingentem et ambitum cir-
culi posita ad radium eam rationem habeat, quam
ambitus circuli inter punctüm contactus et lineam pro-
ductam positus ad quemlibet datum ambitum circuli.

datus sit circulus 4BI et centrum eius sit K, et
4Z circulum in B contingat. datus sit etiam qui-
libet ambitus circuli fieri igitur potest, ut sumatur
linea aliqua, dato ambitu maior [prop. 3], et sit E
dato ambitu maior. ducatur autem a centro K lineae
4Z parallela linea 4H, et ponatur H6 linéa lineae
E aequalis ad punctum B uergens!), et [linea] a Καὶ

E mE puncto ad € ducta produca-
iur. erit igitur '
LÁ 274 ΘΖ: ΘΚ — ΒΘ: ΘΗ

itaque ΖΘ: K minorem ra-
7 “ἃ ο΄ tionem habet; quam ambitus
BO ad datum ambitum, quia

T "nea BG minor est ambitu
ΒΘ [de sph. et cyl. I λαμβ. 1

p. 8], ei linea 6H (quia

lineae E aequalis est] maior ambitu dato [efr. Eucl.

V, 8]. itaque ΖΘ ad radium minorem rationem habet,
quam ambitus BO ad datum ambitum.

1) Quod quo modo fieri possit, Archimedes non dicit; cfr.
Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 66 nr
2) Nam cum '4Z 4 4H, erit [. ΒΖθ -- 'eXH; et
B6Z-—XK6H
quare BGZ c ΚΘΗ; tum ἃ. Eucl. VI, 4

94 ΠΕΡῚ EAIKSN.

Κύκλου δοϑέντος καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμᾶς ἐλάσ-
ὅονος τᾶς διαμέτρου δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ
κύκλου ποτὶ τὰν περιφέρειαν αὐτοῦ ποτιβαλεῖν εὐ-

5 ϑεῖαν τέμνουσαν τὰν ἐν τῷ κύκλῳ δεδομέναν γραμ-
μάν, ὥστε τὰν ἀπολαφϑεῖσαν εὐθεῖαν μεταξὺ τᾶς
περιφερείας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδο-
μένας ποτὶ τὰν ἐπιξευχϑεῖσαν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς
ποτιπεσούσας τοῦ ἐπὶ τᾶς περιφερείας ποτὶ τὸ ἕτερον

10 πέρας τῶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας εὐθείας τὸν ταχ-
ϑέντα λόγον ἔχειν, εἴ κα ὃ δοθεὶς λόγος ἐλάσσων ἦ
τοῦ, ὃν ἔχει & ἡμίσεια τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας
ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγμέναν.

δεδόσϑω κύκλος ὁ ABI, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ K,

15 καὶ ἐν αὐτῷ δεδόσϑω εὐϑεῖα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου
& DA, καὶ λόγος, ὃν ἔχει & Ζ ποτὶ H, ἐλάσσων τοῦ,
ὃν ἔχει & ΓΘ ποτὶ τὰν ΚΘ, καϑέτου ἐούσας τᾶς ΚΘ.
ἄχϑω δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου παρὰ τὰν 4Γ' ἁ ΚΝ, καὶ

Z—— . τῷ ΚΓ ποτ᾽ ὀρϑὰς & I A.
40 — Z4 —————— — — ὁμοῖα δή ἐστι τὰ ΓΘΚ,

5 ΓΚΑ τρίγωνα. ἔστιν οὖν,
ὡς & ΓΘ ποτὶ τὰν ΘΚ,
i; VAN οὕτως & KT' ποτὶ τὰν ΓΔ.
4 A ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει

& Ζ ποτὶ τὰν H, ἣ & ΚΓ

ποτὶ τὰν ΓΑ. ὃν δὴ λόγον
ἔχει & Z ποτὶ τὰν H, τοῦτον ἐχέτω & ΚΙΓ ποτὶ μεί-
ξονα τᾶς ΓΑ. ἐχέτω ποτὶ τὰν ΒΝ. κείσϑω δὲ & BN
μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ vüg εὐθείας διὰ τοῦ Γ΄’

10. πέρας] μερος F; corr. Torellus. 11. καὶ scripsi; και
F, uulgo. ἦ] scripsi; y» F, uulgo. 18. αγμένων F; corr.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 25
VI.

Dato cireulo et in circulo linea minore, quam dia-
meirus est, ΠΟΥ potest, ut ἃ centro circuli ad ambitum
eius ponatur linea lineam in eirculo datam secans, ita
ui linea inter ambitum et lineam in ecireulo datam
comprehensa ad lineam, quae ducitur ab eo termino
lineae ad ambitum ductae, qui in ambitu est, ad
uirumuis terminum limeae in circulo: datae datam ra-
tionem habeat, si ratio data minor est ea, quam habet
dimidia pars lineae in circulo datae ad lineam ἃ
centro ad eam perpendicularem duüctam.

sit datus circulus 4 BI, οὗ centrum eius K, et in
eo data sit linea I'/ minor diamelro, et ratio, quam
habet Ζ : H, minor ea, quam habet ΓΘ: ΚΘ, perpen-
dieulari ducta linea ΚΘ. dueatur autem a centro
linea ΚΝ lineae A4I' parallela, et linea I'4 ad KT'
perpendicularis. erit igitur I'OK co I'K A [Eucl. I,
29]. quare D'O: 9 K — KI':I'4 [Eucl ΥἹ, 4]. erit
igitur Z: H «« KI':I'4. ilaque quam rationem habet
Z: H, eam habebit KI' ad lineam maiorem linea I4
[Eucl. V, 10]. habeat ad lineam BN. et ponatur
linea ΒΝ per punctum I'!) inter ambitum et lineam
[KN].?) fieri enim potest, ut ita secetur?) et cadet

1) Cfr. Zeitschr. f. Math., hist, Abth. XXV p. 66 not.

2) Per τᾶς εὐθείας lin. '29 uidetur significari linea. 4 Γ.
quod cum ferri nequeat, fortasse addendum τὰς ΚΝ.

8) Hoc problema eodem fere redit, quo problema p. 28
nof. 1 commemoratum.

Torellius. 16. τοτί ὦ προς per comp. F; corr. Torellius. 17.
ουσας F, uulgo. à καί B, ed Basi. 19. τὴ F, uulgo.
21. ἐχέτω ἁ] ἕξει "a ποτί] προς "per comp. F'; eorr. Torel-
lius. 28. ποτέ} om. F; corr. Torellius; fort. del. ἐχέτω.

26 ΠΕΡῚ EAIK9NN.

δυνατὸν δέ ἐστιν οὕτως τεμεῖν xal πεσείται ἐκτός,
ἐπεὶ μείξων ἐστὶν v&g ΓΔ. ἐπεὶ οὖν ἃ ΚΒ ποτὶ BN
τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν & Z ποτὶ H, καὶ ἁ ΕΒ
ποτὶ ΒΓ τὸν αὐτὸν ἔξει. λόγον, ὃν & Z ποτὶ H.

5 ξ΄.

Τῶν αὐτῶν δεδομένων καὶ vig ἐν τῷ κύκλῳ sU-
ϑείας ἐχβεβλημένας δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου
σοτιβαλεῖν ποτὲ τὰν ἐκβεβλημέναν, ὥστε τὰν μεταξὺ
τὰς περιφερδίας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας ποτὶ τὰν ἐπι-

10 ξευχϑεῖσαν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ἐναπολαφϑείσας ποτὶ
τὸ πέρας τᾶς ἐκβεβλημένας τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν,
εἴ κα ὁ δοϑεὶς λόγορ μείξων 17) τοῦ, ὃν ἔχει & ἡμίσειᾳ
τᾶς ἐν τῷ κύχλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ κέν-
τρου κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγμέμαν.

15 δεδόσθω τὰ αὐτὰ, καὶ ἔστω ἁ ἐν τῷ κύκλῳ. γραμμὰ

ἐκβεβλημένα, ὃ δὲ δοϑεὶς

λόγος ἔστω, ὃν ἔχει & Ζ

ποτὶ τὰν H, μείξῳων τοῦ,

ὃν ἔχει & ΓΘ ποτὶ τὰν O K.

4 μείξων οὖν ἐσσείται καὶ

τοῦ, ὃν ἔχει ἁ K Γ ποτὶ I A.

ὃν δὴ λόγον ἔχει & Z ποτὶ

H— — — H, τοῦτον ἕξει ἃ Κ Γ ποτὶ

ἐλάσσονα τᾶς I4: ἐχέτω

26 ποτὶ IN νεύουσαν ἐπὶ τὸ I" δυνατὸν δέ ἐστιν οὕτως
τέμνειν" καὶ πεσείται ἐντὸς τᾶς ΓΖ, ἐπειδὴ ἑλάσσων
ἐστὶ τᾶς ΓΔ. ἐπεὶ οὖν τὸν αὐτὸν ἔχοι λόγον & ΚΙ'

2. KB] ἈΒΓ' expuncta ΓΈ; KT' BOC*; TK VD; BK ed.
Basil., Torellius. stotí weoc per comp. T; corr. Ὁ". 8.
τὰν .H ed. Basil, Torellius. . εὐθεῖαν ποτὶ susp. Torellius;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 91

οχίγα [lineam 1I'4]!), quia maior est linea ΓΖ. iam
quoniam ΚΒ: ΒΝ -—Z:H [nam KB -- KI?], erit
etiam EB: BI'— Z: H [nam K B: BN — EB: BI*5
Eucl. VI, 2].

VII.

lisdem datis et linea in circulo posita producta
fieri potest, ut a centro ad lineam productam. ponatur
linea, ita αὖ linea inter ambitum et lineam productam
ad lineam, quae a termino lineae [in circulo] com-
prehensae ad terminum produetae dueitur, datam ra-
&tionem habeat, si data ratio maior est ea, quam ha-
bet dimidia pars lineae in cireulo datae ad lineam ἃ
ceniro δὰ eam perpendicularem ductam.

eadem data sint, οὐ linea in circulo posita pro-
ducatur, et.da£a ratio sit Z : H, maior quam ΓΘ: ΘΑ͂.
quare eliam Z: H 7» KI':I'4.") quam igitur ratio-
nem habet Z: H, eam habebit .KI'.ad lineam mino-
rem linea ΓΔ [Eucl V, 10]; habeat ad lineam IN
δὰ punctum Γ᾽ uergentem. .fieri autem polest, ut
ie secebur.?) οἱ inira lineam I'4 cadet, quoniam

1) Puto, haec uerba awdiri posé, neque necesse esse cum
Nizzio scribere: τέμνειν, καὶ πεσξίται ἐκτὸς τᾶς ΓΛ lin. 1.
Y 2) Nam KXI'G -o KT'A4; quare ΓΘ: OK — ΧΙ: IA (Eucl.
I, 4). E
᾿ 8) U. prop. 5 p. 38 not. 1.

—————— M ———————————————————— o md

probat Nizazius. 10. εναποληφϑεισὰας F. 19. κα acripsi;

x«& F, uulgo. 15. ἐστω per comp, addito eve F; ἐστώτε C.

21. ποτί] προς per comp. Εἰ; corr. Torellius, ut lin. 22, 28, 25,
. 28 ln 1 (ter. 26. veu» cum comp. ἢν F. τῆς Εἰ; corr.
orellius. 21. τῆς per comp. F; corr Torellius.

28 IIEPI EAIKSN.

ποτὶ IN, ὃν ἃ Z ποτὶ H, καὶ & EI ποτὶ II' τὸν
αὐτὸν ξξει λόγον, ὃν à Z ποτὶ τὰν H.
η΄.

Κύκλου δοθέντος καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμᾶς ἐλάσ-
σονος τᾶς διαμέτρου καὶ ἀλλᾶς ἐπιψαυούσας τοῦ κύκλου
κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας δυνατὸν
ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ποτιβαλεῖν τινα εὐθεῖαν
ποτὶ τὰν εὐθεῖαν, ὥστε τὰν ἀπολαφϑεῖσαν dx αὐτᾶς
μεταξὺ τῶς τοῦ κύχλου περιφερείας καὶ τᾶς ἐν τῷ
κύκλῳ δεδομένας γραμμᾶς ποτὶ τὰν ἀπολαφϑεῖσαν
ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν, εἴ
κα ὃ δοθεὶς λόγος ἐλάσσων ἡ τοῦ. ὃν ἔχει & ἡμέσεια
τὰς ἐν τῷ κύχλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ vot κέν-
τρου τοῦ xüxAov κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγμέναν.

ἔστω κύκλος δεδομένος ὁ 4ΒΓ 2, καὶ ἐν τῷ κύχλῳ
εὐθεῖα δεδόσϑω ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ I'4, καὶ
& E44 ἐπιψαυέτω τοῦ κύκλου κατὰ τὸ D, καὶ λόγος,
ὃν ἔχει & Ζ ποτὶ H, ἐλάσσων τοῦ, ὃν ἔχει & ΓΘ ποτὶ
6 K. ἐσσείται δὴ ἐλάσσων καὶ vov, Ov ἔχεε ἁ ΓΚ
ποτὶ ΓΑ, εἴ κα παράλληλος ἀχϑῇ ἁ ΚΑ τῷ ΘΓ. ἐχέτω
δὴ & KD ποτὶ ΓΙ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν & Ζ ποτὶ H.
μείζων δή ἐστιν ἁ ΕΓ τᾶς ΓΔ. γεγράφϑω κύκλου
περιφέρεια περὶ τὰ K, 4, AK. ἐπεὶ οὖν ἐστι μείξων ἃ
ED τᾶς DA, καὶ mov ὀρϑάς ἐντι ἀλλάλαις αἱ ΚΓ,
Ξ.4, δυνατόν ἐστι và MI' ἴσαν ἄλλαν ϑέμεν τὰν IN

2. e£ove: F; corr. Torellius. — 8. ποτὶ τὰν εὐθεῖαν errore
om. Riualtus; prob. Torellius. αποληφϑεισαν P; corr. To-
rellius, ut lin. 10. 11. τὰς] τῆς τας FC. 12. 1] gcripsi;
ἐστι F, uulgo. 18. ποτί (bis)] προς per comp. F; corr. Torellius,
ut lin. 20, 91 (bis); p. 80, 2, 8, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14 (bis).
H] H ἔστω BC, ed. Basil, Torellius. 20. ἃ] ἡ F; corr. To-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 29

minor est linea ΓΖ. iam quoniam est KI':IN —
Z: H, erit eliam EI:II'2Z:H.!)

VIII. -

Dato cireulo et in eo linea, quae minor est dia-
meiro, et alia linea circulum in termino lineae in
circulo datae contingenti, fieri potest, ut a centro
circuli ad lineam [datam] linea ponatur, ita ut ea
pars eius, quae inter ambitum circuli et lineam in
circulo datam abscinditur, ad partem contingentis li-
neae abscisam datam rationem habeat, si data ratio
minor est ea, quam habet dimidia pars lineae in cir-
culo datae ad lineam a centro ad eam perpendicula-
rem ductam.

datus sib circulus 4BI'f, et in circulo data sit

linea I2 minor diametro, et linea ,5.4 circulum in

puncto I' contingat, et [data sit] ratio Z : H, minor

ea, quam habet ΓΘ: 0 K. erit igitur etiam
Z:H«LDrK:IA4,

8i K.4 lineae OGI' parallela ducitur.) sit igitur
KDI:D5-—2:H.

itaque erit ΚΑ Γ΄» ΓΖ [Eucl. V, 10]. describatur am-

bitus circuli per puncta K, 4, X. iam quoniam

AD IA, et KIT | AA, fieri potest, ut ponatur

1) Nam ΓΙΈ KIN; quare KI: IN — EI:II'; sed
KI - KI.
2) Nam ΘΙ ὁ KI'A4; tum u. Eucl. VI, 4.

rellius. τῷ] τη F; corr. Torellius. — 22. δή] δὲ F; corr.
Torellius. 24. τ κλλήλαις F; corr, Torellius.

30 ΠΕΡῚ EAIKON.

νεύουσαν ἐπὶ τὸ K. τὸ δὴ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν
AI, I4 ποτὶ τὸ ὑπὸ: τῶν KE, 14 τὸν αὐτὸν ἔχει
λόγον, ὃν ἁ AT ποτὶ
ΚΕ, καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν
KI, IN ποτὶ τὸ ὑπὸ
τῶν ΚΙ, ΓΖ τὸν αὐτὸν
ἔχει λόγον, 0v & IN
ποτὶ ΓΑ. ὥστε καὶ &
IN ποτὶ L4 ἐστιν, ὡς
& HI ποτὲ ΚΕ. ὥστε
καὶ ἃ ΓΜ ποτὶ ΓΑ,
καὶ & EI ποτὶ ΚΓ καὶ
ποτὶ K B ἐστιν, ὡς & EI
ποτὶ KE, καὶ λοιπὰ ἃ 1Γ ποτὶ BE τὸν αὐτὸν ἔὄχει

15 λόγον, ὃν & ΕΓ ποτὶ τὰν ΓΚ, καὶ ὃν & Η ποτὶ Ζ.

πέπτωκεν οὖν ἃ ΚΝ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, καὶ ἔχει
& μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς εὐθείας ἃ BE ποτὶ

A 3 P 3 bl —- , N 9,5 *
τὰν ἀπολαφϑεῖσαν ἀπὸ vXg ἐπιψαυούσας τὸν αὐτὸν
λόγον, ὃν & Z ποτὶ τὰν H.

ϑ'΄.

Τῶν αὐτῶν δεδομένων καὶ τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δε-
δομένας γραμμᾶς ἐκβεβλημένας δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέν-
τρου τοῦ κύχλου ποτιβαλεῖν ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν
εὐθεῖαν, ὥστε τὰν μεταξὺ vüg περιφερείας καὶ τᾶς
ἐκβεβλημένας ποτὶ τὰν ἀπολαφϑεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπι-

— — ——— M M —

1. uid του F; corr. Torellius. 2. SIA F; corr. AB.
τἂν] τῶν EF; corr. Torellius. 4. τὰν] vo» per comp. Εἰ: corr.
Torellius, ui lin. 6. 685. KIN F; corr. ed. Basil. 6. τὸν αὖ-
τὸν ἔχει Aéro», ὃν ἃ IN ποτὶ T4] om. F; corr. Commandi-
nus. 8. ἃ] ἡ Εἰ; corr. Torellius, ot lin. 10, 11, 12, 13, 14.

14. λοιπη F uulgo. 15. Z] scripsi; vo Z 'F, uulgo. 18.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 31

linea Z.N lineae MI'aequalis ad punctum K uergens.!)
erii igitur "SI15« I4: KE»« I4 — Ξ1: ΚΕ, οἱ
KI »« IN : KI »« I'4A « IN : I'A. quare erit
IN:IA-—BAI:KE) quare etiam
ΓΜ:ΓΑ κα ΞΙ ΚΕ
[mm ΓΝ I'M], et |
AD:KI-—AD:KB [nam ΚΓ -- KB] — XI: K E?)
et IT: BE-—— &8I': 'K*) — H:Z.
iaque linea ἈΝ ad lineam contingentem ducta est,
ei linea inler ambitum et lineam [AI'] posita, h. e.
BE, ad partem lineage contingentis [ἃ K N] abscisam
[h. e. II'] eandem rationem habet quam Z.: H.

IX.

lisdem datis et producta linea in circulo data fieri
potest, ut ἃ ceniro cireuli ad lineam productam po-
natur [linea], ita ut linea inter ambitum et lineam
productam posita ad eam partem lineae contingentis,

1) Quod quo modo per sectiones conicas fieri possit, osten-
dit Pappus I p. 298 (cfr. p. 272) duobus lemmatis praemissis;
de cuius loci emendatione u. Zeitschr. f. Math., hist. Abth.
XXIII p. 117 βα.; Balizer apud Hultsch: Papp. ΠῚ p. 1231 sq.

2) Nam XEI»«IA»x»KI»«IN (Eucl. III, 85),
et KE»«IA4-KI»DnA4,
quia EI't4 KA (tum u. Eucl. VI, 2).

8) Nam 'M:I4- 5D: XI (Eucl III, 35).

4) Nam cum sit '3I': KB 2» EI: KE, erit ἐναλλάξ

ΕΓ ἘΠῚ τὸ ΚΒ. ΚΕ,
unde ἀναστρέψαντι ΞΤ : 1Γ τό ΚΒ:ΒΕ —DK:BE; tum
ἐναλλάξ ED:DK-IDI:BE.

αποληφϑεισαν F; corr. Torellius. «vto» ἔχει Aoyov F'; corr.
Torellins. 19. ὃν ἔχει Torellius. — H λογον F, uulgo; λογον
eleui.

32 ΠΕΡῚ EAIKON.

ψαυούσας ποτὶ τὰν ἁφὰν τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν,
εἴ κα ὁ δοθεὶς λόγος μείξων d τοῦ, ὃν ἔχει à ἡμί-
σεια τᾶς ἐν τῷ. κύκλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ
κέντρου κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγομέναν.
δεδόσϑω κύκλος 0 A4BI' 4, καὶ ἐν τῷ κύκλῳ εὑ-
ϑεῖα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου & I'4 διάχϑω, καὶ ἐπι-
ψαυέτω τοῦ κύκλου ἃ EI κατὰ τὸ I, καὶ λόγος, ὃν
χει ἃ Z ποτὶ τὰν H, μείξων τοῦ, ὃν ἔχει ἃ ΓΘ ποτὶ
τὰν ΘΚ. ἐσσείται δὴ μείξων καὶ τοῦ. ὃν ἔχει & ΚΓ
ποτὶ τὰν D'4. ἐχέτω οὖν à KI' ποτὶ τὰν ΓΞ τὸν
αὐτὸν λόγον, ὃν ἁ Ζ
ποτὶ τὰν Η. ἐλάσσων
ἄρα ἐστὶν αὐτὰ τᾶς ΓΔ.
πάλιν δὴ γεγράφϑω κύ-
κλος διὰ τῶν X, K, 4
σαμείων. ἐπεὶ οὖν ἐλάσ-
cov ἐστὶν ἃ ED τᾶς
ΓΔ, καὶ ποτ’ ὀρϑάς
ἐντι ἀλλάλαις αἴ K M,
H EI, δυνατὸν và ΓΜ
I—— — — —14 ἰσαν ϑέμεν τὰν IN
νεύουσαν ἐπὶ τὸ K. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΚΙ, 14
ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν AI, KE ἐστιν, ὡς EMI ποτὶ KE,
ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τᾶν HI, 14 ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν
KI, IN, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν 41, KE ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ
τἂν ΚΙ, ΓΔΑ διὰ τὸ εἶμεν, ὡς τὰν ΚΕ ποτὶ IK, οὔ-
vog τὰν 4Γ ποτὶ 41, καὶ ὡς ἄρα & XI ποτὶ ΚΕ,
οὕτως τὸ ὑπὸ τᾶν ΚΙ]. Ι1Ν ποτὶ τὸ ὑπὸ τῶν KI, ΓΑ,
τουτέστιν ὡς NI ποτὶ ΓΑ, τουτέστιν ἁ ΓΜ ποτὶ ΓΛ.

2. ἢ] scripsi; om. F, uulgo; ἦν Torellus. 6. διηχϑὼ F;
corr. Torellius. 9. ἐσσεέται] scripsi; ἔσται per coiwp. F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. aa

quae ad punctum iaeclionis uersus abscinditur, datam
rationem habeat, si data ratio maior esb ea, quam
habet dimidia pars lineae in circulo datae ad lineam
ἃ centro ad eam perpendicularem ductam.

datus sib circulus 4BI'Z, et in circulo linea I4
ducatur minor diameiro, eti circulum in puncto I' con-
σεῦ linea XI, et [data sit] ratio Ζ : H maior ea,
quam habet ΓΘ: ΘΚ. erit igitur eliam

Z:H» KI:IA4.
sit igitur KI':I' — Z: H. itaque erit 5 «14
[Eucl. V, 10]. rursus igitur circulus per puncta X,
K, A describatur. iam quoniam EXI'I'A, et K M 1T,
fieri potest, ut ponatur lineae I'M aequalis linea I.N
ad K uergens. iam quoniam
EIS«IA: AIS« KE — EI: KE,
et KI»« IN -- X3I»«IA4 [Eucl. III, 35], et
KI »«I4-— 41;»« ΚΕ,

qua KE:IK - 4Γ: 413), erit igitur eliam
AI: KE-—EKISXIN:KISXIA-—NI:IA-—IM:IA.

1) De hoc problemate cfr. p. 31 not. 1.
2) Quia K I4 c» PIE, erit ΓΙ: I4 τῷ EI:IK (Eucl VI,
4) unde συνϑέντι ΓΛ: IA-— KE:IK. —

10. eyeco F. 18. αὐτὴ της F; corr. Torellius, 17. της EF;

corr. Torellius. 19. ἐντι! εἰσιν F, uulgo. αλληλαις E;
eorr. Torellius. 20. vy E; corr. Torellius. 21. c cum
comp. 7» F; corr. Torellius. ϑειναι την F; corr. Torellius.

42. τὰν] vo» (comp.) F; corr. Torellius, ut lin. 28, 24 (bis), 25,
26, 28 (bis). ZIA F, uulgo, ut lin. 24. 28. ποτί (bis)]
προς per comp. EF; corr. Torellius, ut lin. 26, 27 bis, 28, 29 bis,
P 84 lin. 1 bis, 2 bie. 41, KE] AX E supra scripta I man. 2

. 84. τῷ] vo F. 26. εἶμεν) ewe per comp. F; corr. To-
rellus. 21. ἡ F; corr. Torellius, ut lin. 29, p. 34 lin. 1 bis, 2.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 3

ἔστιν δὲ xal ὡς & ΓΜ ποτὶ L'A, & AI' ποτὶ KT;
τουτέστι ποτὶ KB. ἔστιν ἄρα, ὡς ἃ EI ποτὶ KE,
& ED ποτὶ KB: καὶ λοιπὰ & ΙΓ ποτὶ λοιπὰν τὰν
BE ἐστιν, ὡς & EI' ποτὶ ΓΚ. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἃ

5 EI ποτὶ ΓΚ, τοῦτον. ἔχει ἃ Η ποτὶ Ζ. ποτιπέπτωκεν
δὴ & KE ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν, καὶ & μεταξὺ τῶς
ἐκβεβλημένας καὶ τᾶς περιφερείας ἃ BE ποτὶ τὰν
II τὰν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας ἀπολαφϑεῖσαν τὸν av-
τὸν ἔχει λόγον, ὃν ἃ Z ποτὶ τὰν Η.

ἢ

10 L.

Εἴ κα γραμμαὶ ἑξῆς τεϑέωντι ὁποσαιοῦν τῷ ἴσῳ
ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι, ἦ δὲ ἃ ὑπεροχὰ ἴσα τᾷ ἐλα-
χίστᾳ, καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεϑέωντι τῷ μὲν πλήϑει
ἴσαι ταύταις, τῷ δὲ μεγέϑει ἑκάστα τᾷ μεγέστᾳ, τὰ

16 τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτιλαμβά-
νοντα τό τε ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετράγωνον καὶ τὸ περι-
ἐχόμενον ὑπό τε τᾶς ἐλαχίστας καὶ τᾶς ἴσας πάσαις
ταῖς τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαις τριπλάσια ἐσσούν-
ται τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ

20 ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν.

ἔστων γραμμαὶ ὁποσαιοῦν ἐφεξῆς κειμέναι τῷ ἴσῳ
ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι αἱ 4, B, Γ, 4, E, Z, Η.Θ, &
0b Θ ἴσα ἔστω τᾷ ὑπεροχᾷ. ποτικείσϑω δὲ ποτὶ τὰν
B ἴσα τῷ Θ ἃ I, ποτὶ δὲ τὰν Γ ἁ K ἴσα và H, ποτὶ

25 δὲ τὰν 4 & 4 ἴσα τῷ Z, ποτὶ δὲ τὰν E ἁ M ἴσα τᾷ

1. οὕτως ἁ XI οἃ. Basil, Torellius. 8. ἡ F; corr. To-
rellius (bis), ut lin, 4 bis, 5. * ποτί] προς per comp. Εἰ; corr.
Torellius (bis), ut lin. 4, 6 bis. λοιπὴ et λοιπὴν F, uulgo.
8. ἀποληφϑεισαν F. 18. ταῖς} addidi; om. F. uulgo. 21.
ἔστων} scripsi; δστω F, uulgo; ἔστωσαν AV et Nizzius. 2b.
&] (prius) ς om.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 3b

est autem etiam | |

I'M:IAÁ4-—SD:KI [Euc.llI,35] — 3I': KB.
ent igitur 51: KE-— SI: KB, et II: BE ESI: T'K.!)
sed XD: ΓΚ « H:Z. iaque linea K E ad lineam
productam ducta est, οὐ linea B E, quae inter lineam
produciam et ambitum posita est, ad lineam ΓΙ,
quae ἃ linea contingenti abscisa est, eandem rationem
habet, quam Ζ : H.

Si quotlibet lineae deinceps datae sunt aequali
spatio inter se excedentes, et excessus minimae aequa-
lis est, et praeterea aliae lineae datae sunt numero
is aequales, magnitudine autem singulae maximae
[aequales]?), quadrata linearum maximae aequalium
adiecto οὐ quadrato maximae el rectangulo compre-
henso minima lineaque omnibus simul lineis inter
se aequali spatio excedentibus aequali triplo maiora
erunt omnibus quadratis linearum aequali spatio inter
se excedentium.

lineae quotlibet deinceps datae sint aequali spatio
inter se excedentes 4, B, Γ, 7/, E, Z, H, O, et Θ aequa-
lis sit excessui. et lineae B adiiciatur linea I lineae
Θ᾽ aequalis, I'autem lineae linea K lineae H aequa-
lis, 41 auiem lineae linea 4 lineae Z aequalis, E
autem lineae linea M lineae E aequalis, Z aulem

1) Nam ἐναλλάξ est: EI:EI'—KE:KB, unde διελόντε
ID: &SI'— BE: KB; lum ἐναλλάξ.
2) Fortasse scribendum lin. 14: ἑκάστα ἴσα τᾷ.

σι

36 IIEPI EAIKQN.

E, ποτὶ δὲ τὰν Z & N ἴσα và 4, ποτὶ δὲ τὰν H &
A ἴσα τᾷ T, ποτὶ δὲ «àv Θ & O ἴσα τᾷ B. ἐσσούνται
δὴ αἱ γενομέναι ἴσαι ἀλλάλαις καὶ τᾷ μεγίστᾳ. δεικ-
τέον οὖν, ὅτι τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶς τε 4
καὶ τᾶν γενομέναν ποτιλαβόντα τό τε ἀπὸ τᾶς Α τετρά-
γωνον καὶ τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας
πάσαις ταῖς 4, B, Γ, 4, E, Z, Η, Θ τριπλάσιά ἐντι
τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν Α, B, I, 4,
E, Z, H, 6.
ἔστιν δὴ τὸ μὲν ἀπὸ τᾶς BI τετράγωνον ἴσον τοῖς
ἀπὸ τᾶν I, B τετραγώνοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ τᾶν B, I
περιεχομένοις. τὸ δὲ ἀπὸ τᾶς ΚΙ' ἴσον τοῖς ἀπὸ τᾶν
K, Γ' τετραγώνοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ τῶν K, I' περι-
ἐχομένοις. ὁμοίως δὴ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τᾶν ἰσᾶν
τᾷ 4 τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων
. . τετραγώνοις καὶ δυσὶ τοῖς
| ὑπὸ τῶν τμαμάτων περιεχο-
o

μένοις. τὰ μὲν οὖν ἀπὸ τᾶν
4, B, T, 4, E, Z, H, Θ καὶ
τὰ ἀπὸ τᾶν I, K, 4, M, N,

*
A, O0 ποτιλαβόντα τὸ ἀπὸ
li τᾶς 4 τετράγωνον διπλάσιά
d |. ἔντι τῶν ἀπὸ τᾶν A, B, T,
ie| 4, E, Z, H, Θ τετραγώνων.
λοιπὸν δὲ ἐπιδείξομες, ὅτι τὰ
διπλάσια τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν τμαμάτων τῶν
ἐν ἑκατέρᾳ γραμμᾷ τᾶν ἰσᾶν τᾷ A4 ποτιλαβόντα τὸ
περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς

4
M
N
4
E
z

3, δή] Nizzius; δὲ F, uulgo; igitur" Cr. 11. τᾶν] (prins)
scripsi; τῶν F, uulgo, ut etiam lin. 13,14. δύο] δυσί Torellius,
utlin.18 (h.l'etium B) 19. τῆς F; corr. Torellius. 18. περι.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 9d

lneae linea N lineae 27 aequalis, H autem lineae
linea ,X lineae I' aequalis, 6 autem lineae linea O
lineae B aequalis. itaque quae oriuntur lineae, inter
se οὐ lineae maximae aequales erunt. demonstrandum
igitur, quadrata omnium linearum, et lineae .4 et
earum, quae oríae sunt [adiiciendo], cum quadrato
lineae ΑΓ et rectangulo comprehenso linea Θ᾽ et linea
omnibus simul 4, B, Γ, 4, E, Z, H, 9 aequali triplo
maiora esse omnibus quadratis hnearum 4, B, Γ, 7f,
E, Z, H,0.!)

est igitur (B -]- I) — I? -]- B* --2 BI [Eucl. II, 4],
et (K -- D)! τὰ K? 4- I*--2 KI: eodem modo igitur
eliam ceterarum linearum lineae 44 aequalium qua-
drata aequalia sunt quadratis partium et duobus rect-
angulis & partibus comprehensis. iam
4) 4- BIS 8-4 Ε"- 23 -4- HH?-4-6 - 1

T KT ἘΠ Μὴ ΝΡ Κ᾽ - 05- 4
— 2(4 - B! -- I? Ὁ 4! J- E? 4- 22 4- H* 4-693)

deinde restat, ut demonstremus, dupla rectangulo-
rum partibus uniuscuiusque linearum lineae 24 aequa-
lium comprehensorum cum rectangulo

1) H. e. demonstrandum est esse
A* 4. (Β- D* (DH E) d (4-44 -Ὲ (ΒΕ - Μὴ)
J- (ὦ 4- Ny! 4- (H 4- Εν). (0 4-0 45-
0 »x(4-4-B-F-T--4-4-E-FEZ-4-H--68)
«s B (4? -]- B* -- P3 -- 4? 4- E? -- Z3 -- H? 4- 65.
» 2) Nam I € 0, K 2 H, 4 Z, Mzz E, N — 4, E T,
x» B.

spouesov F; corr. B. 14. δή] àé Torellius. 11. ὑπό
scripsi; «xo F, uulgo. 21. O ποτιλαβόντα)] OII οτι (comp.
λαβοντα Εἰ; corr. AB. 23. τἂν] τῶν F, uulgo. 25. επι-

δείξομεν F, uulgo. 26. τῶν ἐν] scripsi; τῶν om. F, uulgo..

38 ΠΕΡῚ EAIKON.

Α, B, I, 4, E, Z, H, Θ ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν 4, B,
I,24,E,Z, H, Θ. καί ἐντι δύο μὲν τὰ ὑπὸ B, I
περιεχόμενα ἴσα δυσὶ τοῖς ὑπὸ τῶν B, 0 περιεχομέ-
voig, δύο δὲ τὰ ὑπὸ τᾶν K,I' ἴσα τῷ περιεχομένῳ

5 ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς τετραπλασίας τᾶς Γ διὰ τὸ τὰν

K διπλασίονα εἶμεν τᾶς Θ, δύο δὲ τὰ ὑπὸ τᾶν 4, 4
ἴσα τῷ ὑπὸ τᾶς O καὶ τᾶς ἑξαπλασίας τᾶς 21 διὰ τὸ
τὰν 4 τριπλασίαν εἶμεν vüg Θ. ὁμοίως δὴ καὶ τὰ
ἄλλα τὰ διπλάσια τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν τμαμάτων

10 ἔσα ἐντὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς πολλα-

πλασίας ἀεὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριϑμοὺς ἀρτίους τᾶς ἕπο-
μένας γραμμᾶς. τὰ οὖν σύμπαντα ποτιλαβόντα τὸ
περιεχόμενον ὑπό vs vig Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς
A, B, I, 4, E, Z, H, Θ ἐσσούνται ἴσα τῷ περιξχο-

15 μένῳ ὑπό τε τᾶς O καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾷ τε 4 καὶ

τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς B καὶ vg πενταπλασίᾳ τᾶς D' καὶ
ἀεὶ τᾷ [περισσὰ] κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριϑμοὺς περισσοὺς
πολλαπλασίᾳ τᾶς ἑπομένας γραμμᾶς. ἐντὶ δὲ καὶ τὰ
ἀπὸ τᾶν 4, B, T, 4, E, Z, H, Θ τετράγωνα ἴσα τῷ
περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν αὐτῶν γραμμᾶν. ἔστι γὰρ τὸ
ἀπὸ τᾶς 44 τετράγωνον ἴσον τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε
τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας [πάσαις] τῷ τε .4 καὶ τᾷ ἴσα ταῖς
λοιπαῖς, ὧν ἑκάστα ἴσα và 4 ἰσάκις γὰρ μετρεῖ ἅ ve
Θ τὰν 4, καὶ & Α τὰς ἴσας αὐτᾷ πάσας σὺν τῷ A4.
ὥστε ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ A4 τετράγωνον τῷ περιεχομένῳ
ὑπό τὸ τᾶς Θ καὶ vüg ἴσας τᾷ .4 καὶ τᾷ διπλασίᾳ
τῶν B, I, 4, E, Z, H, Θ' αἵ γὰρ ἴσαι τᾷ 4 πάδαι

1. vo» F, uulgo, ut lin. 8, 4. 2. καί ἐντι) scripsi; καὶ
eme, F, uulgo. 8. δή] scripsi; δὲ F, uulgo. 10. παλλα-
πλασιὰας F. 17. πδρισσα) deleo. 18. πολλαπλασίᾳ) scripsi;
πολλαπλασιους F, uulgo. 19. τῶν] to» F, uulgo. 22. πά-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 80
8»(44- B--D4-4-4-E4- Z J- H 4- 8)

aequalia esse omnibus simul
“48 -- B* -- T? -4- 2g? H- E* 4- H* -- e,

est enim 2B »« I —— 2B »« 0, et 2K »« I' 2 6 2« 4T,
quia Καὶ --- 26, et 2 4 »« 4 — 0 »« 6 Z4, quia 4 — 36.
eodem modo igitur etiam dupla ceterorum rectan-
gulorum partibus comprehensorum aequalia sunt rect-
angulis comprehensis linea € et linea semper secun-
dum numeros pares deinceps positos multiplici lineae
sequentis. omnia igitur [rectangulorum dupla] cum
rectangulo

6»«(4--B--D--4--E-X-Z4- H-4- 6)
aequalia erunt
6»«(4-4-3B--5T--14-L-9E--11Z-4-13 H 4- 156).
sed etiam

P -ἰ BÓ -Γ". “43. Ε - Ζ5) -ἰ ΗἹ - 9.
eidem rectangulo aequalia sunt. nam .4* aequale est
rectangulo comprehenso linea Θ᾽ et linea, quae aequalis
est et lineae 44 et lineae aequali ceteris, quarum quae-
que lineae 44 aequalis est." [nam quoties linea Θ᾽ li-
neam .4 metitur, toties etiam linea 4“ omnes lineas
Sibi aequales cum linea 44] quare erit

4! es 8 »«(4 4- 2(B4- P4- 4-4- E4-Z 4- H 4- 6)).

1) H. e. 43 & 8 x (4 4- (B -- 1) -- (P 4- K) H- (4 4- 4)
aao 1 Ὁ GE N) E (Β Ἔ A E (EO) m eoe

co:g] deleo. — 923. ὧν] o» F, uulgo. ισακ cum comp. «e F.
24. σύν] εν Εἰ; corr. Torellius. 27. τῶν] των F, uulgo.
B] 48 F; corr. B, ut p. 40 lin. 1. |

40 ΠΕΡῚ EAIESNN.

χωρὶς τᾶς 44 διπλασίαι ἐντὶ τἂν B, Γ, 4, E, Z, H, 6.
ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς B τετράγωνον ἴσον ἐντὶ
τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας τᾷ τε B
καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶν I, 4, E, Ζ, H, Θ. καὶ πάλιν τὸ
ἀπὸ τῶς Γ' τετράγωνον ἴσον τῷ ὑπὸ τᾶς Θ καὶ τᾶς
ἴσας τᾷ τε Γ' καὶ τᾷ διπλασία τᾶν 4, E, Z, Η, 6.
ὁμοίως δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τετράγωνα ἴσα ἐντὶ
τοῖς περιεχομένοις ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας αὐτᾷ
ve καὶ τῷ διπλασίᾳ τᾶν λοιπᾶν. δῆλον οὖν, ὅτι τὰ
ἀπὸ πασᾶν τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό
τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τῷ τε 4 καὶ và τριπλα-
σίᾳ τᾶς B καὶ τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς Γ καὶ τᾷ κατὰ τοὺς
ἑξῆς ἀριϑμοὺς περισσοὺς πολλαπλασίᾳ τᾶς ἑπομένας.

ΠΟΡΙΣΜΑ.

Ἔκ τούτου οὖν φανερόν, ὅτι τὰ τετράγωνα πάντα
τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τῷ μεγίστᾳ τῶν μὲν τετραγώνων τῶν
ἀπὸ τῶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν ἐλάσσανά ἐστιν
ἢ τριπλάσια, ἐπειδὴ ποτιλαβόντα τινὰ τριπλάσιά ἔντι,
τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώ-
vov μείζονα ἢ τριπλάσια,. ἐπειδὴ τὰ ποτιλαφϑέντα
ἐλάσσονά ἐστιν ἢ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας -

5. της Γ' F; corr. Torellius. ὑπό τε ra; ΘΒ. 6. 44]
om. F; corr. Torellius. 9. vov λοιπῶν F, uulgo. 14. πό-
φισμα] om. F, uulgo. 19. της μεγιστῆς E; corr. D. Post
τετραγώνου in F uacat spatium adpositis IV punctis.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 41

[nam (B-4-1)-4- (D4- K) Ἑ (4 Ὁ 4) 4- (E 4- M)
-- (Z 4- N) 4- (GI 4- 8) -- (8 4- N)
—2(B--I--z4--E--Z--H--9)

eodem autem modo etiam

B!-2(B-42(D---4-E--Z-4- H-4- 9),

el rursus

T? —68»(D-4-2(44- EJ-Z 4- H 4- 8),

οὐ eodem modo eliam celerarum quadrata aequalia

sunt rectangulis comprehensis linea € et linea aequali

ipsi lineae et duplo ceterarum. adparet igitur, qua-
draía omnium [linearum] aequalia esse rectangulo
eomprehenso linea € et linea, quae aequalis est

44-3B-r-5rT--14--9E-4-11Z4- 13 H 1-156.)

COROLLARIUM.

Hinc igitur manifestum est, omnia quadrata linea-
rum maximae aequalium minora esse quam triplo
maiora [omnibus] quadratis linearum aequali spatio
inter se excedentium, quoniam adiectis demum qui-
busdam [spatiis]") triplo maiora sunt, reliquis autem
praeter quadratum maximae maiora esse quam triplo
maiora, quoniam quae adiecta sunt, minora sunt quam

1) Cum littera 4 lin. 6 in codd. desit, fortasse sic scri-
bendum est lin. 6: xol τᾷ διπλασίᾳ τἂν 4, E, Z, H, 8. καὶ
πάλιν τὸ ἀπὸ τᾶς 4 τετράγωνον ἴσον và ὑπὸ vig O xal
τὰς ἴσας và τε d καὶ τὰ διπλασέᾳ τᾶν E, Z, H, Θ.

2) Huius demonstrationis tenor mire praeposterus est; quare
suspicari licet, hic illic quaedam explicandi causa interposita
esse, quae in interpretatione Latina uncis inclusi. demonstratio
ipsa magis. perspicue exposita est et simul ea ratione, qua
nunc utimur, confecta ab Nizzio p. 126—927; cfr. Quaest. Arch.
p. 52— 58.

3) Sc. 43--692« (4 3-B-F-T"-4-4--E-FZ-4- H 4- 6).

49 | ΠΕΡῚ EAIKSN.

τετραγώνου. καὶ τοίνυν εἴ κα ὁμοῖα εἴδεα ἀναγρα-
φέωντι ἀπὸ πασῶν ἀπό τε τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-
ἐεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τῶν ἰσᾶν τᾷ μεγέστα, τὰ εἴδεα τὰ
ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστα τῶν μὲν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ
ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν εἰδέων ἐλάσσονα ἐσσούνται ἢ
τριπλάσια, τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγί-
στας εἴδεος μείξονα ἢ τριπλάσια. τὸν γὰρ αὐτὸν
ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις.

ux.

Et κα γραμμαὶ ἑξῆς τεϑέωντι ὁποσαιοῦν τῷ ἴσῳ
ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι, καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεϑέωντι τῷ
μὲν πλήϑει μιᾷ ἐλασσόνες τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-
ἐεχουσᾶν, τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τῷ μεγίστᾳ, τὰ
τετράγωνα πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τῷ μεγέίστα ποτὶ
μὲν τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-
ἐχουσᾶν χωρὶς τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι,
ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ποτὶ τὸ ἴσον
ἀμφοτέροις τῷ τὸ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς μεγίστας
καὶ τὰς ἐλαχίστας καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς
ὑπεροχᾶς τετραγώνου, ᾧ ὑπερέχει & μεγίστα τᾶς ἐλα-
χίστας, ποτὶ δὲ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ
ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας
τετραγώνου μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου.

ἔστωσαν γὰρ γραμμαὶ ὁποσαιοῦν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν
ὑπερεχούσαι ἑξῆς κειμέναι, ἃ μὲν AB τᾶς ΓΖ, ἁ δὲ

1. ἀναγραφέωντι] scripsi; αναγεγραφεωντι F, uulgo. 8.
τὰ εἴδεα... μεγίστῳ] om. F; corr. Commandinus. Ante prop. 11
in F spatium quasi figurae relinquitur; in mg. adscripsit ma-
nus 2: ,vacat spá^". 16. τῆς ἐλαχίστης FB*; fort. τοῦ ἀπὸ
τᾶς ἐλ. 19. τοῦ... τετραγώνου] scripsi; τῶ .. τετραγωνω F,
uulgo. 94. ἔστωσαν per comp. F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 43

irplo maiora quadrato maximae.!) et eliàm si species
similes eonstruuntur in omnibus lineis, et iis, quae
aequali spatio inter se excedunt, et quae maximae
aequales sunt, species in lineis maximae aequalibus
minores erunt quam triplo maiores, quam [omnes]
species, quae in lineis aequali spatio inter se exce-
dentibus construetae sunt, reliquis autem praeter eam,
quae in maxima construeta est, maiores quam iriplo
maiores. nam species similes eandem ralionem habe-
bunt, quam quadrata [Eucl. VI, 20].

XI.

Si lineae quotlibet deinceps ponuntur aequali spatio
inter se excedentes, et aliae quoque lineae ponuntur
numero una pauciores lineis aequali spatio inter se
excedentibus, magnitudine uero singulae maximae
aequales, omnia quadrata linearum maximae aequa-
lium ad quadrata linearum aequali spatio inter se
excedentium praeler [quadratum] minimae minorem
rationem habent, quam quadratum maximae ad spa-
lium utrique aequale, οὐ rectangulo maxima οὗ minima
comprehenso οὗ tertiae parti quadrati exeessus, quo
maxima minimam excedit, ad quadrata autem linea-
rum aequali spatio inter se excedentium praeter qua-
dratum maximae rationem maiorem eadem ratione.

sint enim quotlibet lineae &equali spatio inter se
excedentes deinceps positae, ita ut lmea 4B lineam

2€ (4 FG 4 D--QI-FEr-MEuR
N 6 -]- O)) (p. 89 not. 1)
4-FE-rFZ-H-T. Itaque quae

44 ΠΕΡῚ EAIKO9N.

ΓΖ τᾶς EZ, à δὲ EZ τᾶς HO, ἁ δὲ HO τᾶς IK,
& δὲ IK τᾶς AM, ἁ δὲ AM τᾶς ΝΗ͂. ποτικείσϑω.
ὃὲ ποτὶ μὲν τὰν ΓΖ ἴσα μιᾷ ὑπεροχᾷ & ΓΟ, ποτὶ ὃδὲ
τὰν EZ ἴσα δυσὶν ὑπεροχαῖς ἃ EII, ποτὶ δὲ τὰν ΗΘ
ἴσα τρισὶν ὑπεροχαῖς & HP, καὶ ποτὶ τὰς ἄλλας τὸν
αὐτὸν τρόπον. ἐσσούνται δὴ αἱ γενομέναι ἀλλάλαις
ἴσαι, καὶ ἑκάστα và μεγίστᾳ. δεικτέον οὖν, ὅτι τὰ
ἀπὸ πασᾶν τῶν γενομέναν τετράγωνα ποτὶ μὲν πάντα
τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν t&v τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν
ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς NX τετραγώνου ἐλάσ-
dove λόγον ἔχει, ἢ τὸ ἀπὸ vüg 4B τετράγωνον ποτὶ
τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ vs περιέχομένῳ ὑπὸ τᾶν AB,
ΝΕ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τὰς NT τετραγώ-
νου, ποτὶ δὲ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῶν αὐτᾶν χωρὶς
τοῦ ἀπὸ τᾶς 41Β τετραγώνου μείζονα λόγον ἔχει τοῦ
αὐτοῦ λόγον.

ἀπολελάφϑω ἀφ᾽ ἑχάστας τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν
ὑπερεχουσᾶν ἴσα τᾷ ὑπεροχᾷ. ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ -
ἀπὸ τὰς 48 ποτὶ συναμφότερα τό vs ὑπὸ τῶν AB,
ΦΒ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς
4 ᾧ τετραγώνου, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τό τε ἀπὸ τᾶς
OZ τετράγωνον ποτί τε τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν
ΟΖ, 4X καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς XO τετρα-
γώνου, καὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΖ ποτὶ τὸ
περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΠΖ, ΨΖ καὶ τὸ τρίτον μέρος
τοῦ ἀπὸ τᾶς "UII τετραγώνου, καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν
τετράγωνα ποτὶ τὰ ὁμοίως λαμβανόμενα χωρία. ναὶ
τὰ πάντα δὴ τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν ΟΖ, IZ, PO, ΣΚ,

TM, TX ποτί vs πάντα τὰ περιεχόμενα ὑπό τε τᾶς

8. δέ] Nizze; δὴ F, uulgo. ταν] τα F; corr. B. 6. oà-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 45

ΓΖ excedat, ΓΖ lineam EZ, EZ lineam HO, ΗΘ
lineam IK,IK lineam 4M, 4M lineam NA. οἱ
lineae ΓΖ adiüciatur linea I'O uni excessui aequalis,
lineae autem EZ duobus excessibus aequalis linea
ἘΠ, lineae autem ΗΘ tribus aequalis linea H P, cete-
risque eodem modo. itaque quae oriuntur lineae,
inter se aequales erunt, et unaquaeque maximae
[aequalis]. demonstrandum igitur, quadrata omnium
lmearum, quae [adiiciendo] ortae sunt, ad omnia qua-
drata omnium linearum aequali spatio inter se exce-
dentium praeter quadratum lineae NX minorem ratio-
nem habere, quam 4B? : AB »« NS - $ ΝΥ, ad
quadrata uero earundem linearum praeter quadratum
lineae 4B rationem maiorem eadem ratione:

a singulis lineis aequali spatio inter se excedentibus
abscindatur [linea] excessui aequalis. itaque erit:

AB: 4B»« 0B --4 A4d*
— 04:042 4X 4-4 XO?
— I123: HZ» VZz-- 4I,
et eandem rationem habebunt quadrata ceterarum [li-
nearum] ad spatia similiter composita. quare etiam erit

[Eucl. V, 12]

ληλαις F; corr. Torellius. 18. HE F. 288. P9] PO F.
29. τὰ] addidi; om. F, uulgo.

46 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

NA καὶ τᾶς ἴσας πάδαις ταῖς εἰρημέναις γραμμαῖς
καὶ τὰ τριταμόρια τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν
OX, ΠΨ, PO, Σ΄, Ta, TN τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι
λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς 4B τετράγωνον ποτὶ τὰ συν-
ἀμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν AB, OB περιεχόμενον καὶ
τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ 4 τετραγώνου. εἰ οὖν κα
δειχϑῇ τό vs περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς NE καὶ τᾶς
ἴσας πάσαις ταῖς ΟΖ, IIZ, PO, ZK, TM, TA καὶ
τὰ τρίτα. μέρεα τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τῶν ΟΧ,
ΠΨ, PO, ΣΦ. Ta, TN τῶν μὲν τετραγώνων τῶν
ἀπὸ τᾶν 4B, ΓΖ, EZ, HO, IK, AM ἐλάττονα, τῶν
ób τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΖ, ΕΖ, HO, IK, AM,
NA μείξονα, δεδειγμένον ἐσσεί-

4,0 .IH.P.Z TT. vu, τὸ προτεϑέν. ἐντὶ δὴ τὸ μὲν
περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς NA καὶ
τᾶς ἴσας πάδαις ταῖς ΟΖ, ΠΖ,
PO, ΣΚ, TM, TA καὶ τὰ
τρίτα μέρεα τῶν τετραγώνων τῶν
ἀπὸ τᾶν OX, ΠΨ, ΡΩ, ΣΦ,
Ta, TN ἴσα τοῖς τετραγώνοις
*| Tee ΤΑΝ: τοῖς ἀπὸ X44, ΨΖ, 00, OK,
Β. ΜΗ ol xls MI qM, NE καὶ và περιεχομένῳ
ὑπό τε τᾶς ΝΗ καὶ τᾶς ἴσας πά-

σαις ταῖς OX, ΠΨ, ΡΩ, ΣΦ. Ta, TN καὶ τῷ τρίτῳ
μέρει τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν OX, ΠΨ, ΡΩ,
ZO, Ta, DN. τὰ ὃὲ ἀπὸ τῶν AB, L'A, EZ, ΗΘ,
IK, AM τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τᾶν B, X4, WZ,
2. τριταμωρια Β. 8. Σ᾿] ZA F, ut lin: 10 et infra sae-
pius; nam 9) in F plerumque ita deprauatum est, ut similli-
mum sit litterae .4, et eandem formam Jraebet ed. Basil. (^).

T4] hic et lin. 10 littera q in similitudinem compendii πρός
corrupta est, 9. μερη Εἰ, uulgo. 10. uév] addidi; om. F,

DN
Li

DE LINEIS SPIRALIBUS. 41

04) 4- IIZ -- P8! -- EK! -- TM? -- T&3 :
NÀ x (04 -- HZ 4- P8 4- EK 4- TM 4- TA))
-H 4 (OX? -- I1'P? 4- P9? -- ZON Ὁ Τῷ -- 7N?)

z 48": 4B»« B -- 4 0.4.
itaque si demonstrauerimus

N& x (04 -- IZ 4- P8-- ZK - TM 4- 7A)
-F 1 (OX* -L- I19? 4- P9? -- ZOy -- T$? -- PN?

«— AB? -- ΓΖ“ A- EZ? -ἰ He? -- IX? -- AM?,

sed

2» L4? -- EZ -4- He* J- IK* -- AM? -- ΝΕ",

demonstratum erit, quod propositum est [Eucl. V, 8].
eri igitur
NAR x (04 4- HZ 4- P8 4- ZK -- TM -- TA)
-F 4 (OX? 4- ID? -4- P3 -- ZO 4- Té -- TN?)
z (X 4? -]- ΨΖ' - $0* -- Κ' -- aM? 4- NA?)
J- NE »« (QX -- ΠΨ - PO -- ZO, 4- Ta 4- TN)
F4 (OX? -- Ir" -4- P9? - ZO -- TG -- TN?)3)

1) Nam 4X z VZ:z-0-K9O9 -MqzsNGE. Arcbi-
medes enim tacite supponit, hic quoque minimam linearum
aequali spatio inter se excedentium excessui aequalem esse (nec
alioquin in demonstrando prop. X uti potuit), quamquam nec
ad demonstrationem conficendam per se necessarium est, nec
postea, ubi hac propositione utitur (prop. 26 et 26), ab eo ad-
sumitur.

2) Nam Oz 0X -ἰ X4, IIZ 2 IIVT -- ΨΖ cett., eb
NE --3X.4:-UZ cett.

uulgo. 12. τραγωνων F. 11. TA] TN E; corr. Torellius.
18. μερη F, uulgo. 21. $0] pro €& in F est compendium
uerbi ovrog mire corruptum. — 28. καί τὰς] vag om. F, uulgo.

48 ΠΕΡῚ EAIK9NN.

£20, OK, aM τετραγώνοις καὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν A44,
DX, EVT, H9, 1. 4« καὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶς
ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τῶν 4Φ, ΓΧ, EV, HO, 195,
Aq. κοινὰ μὲν οὖν ἐντι ἑκατέρων τὰ τετράγωνα τὰ
5 ἀπὸ vüv ἰσᾶν τᾷ NE. τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶς
NA καὶ τᾶς ἴσας ταῖς OX, II, P, O9Z, aT, TN
ἔλασσόν ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τᾶς ΒΦ καὶ
τᾶς διπλασίας τᾶν ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, H9, ION, 4a διὰ
τὸ τὰς νῦν εἰρημένας γραμμὰς ταῖς μὲν ΓΟ, ΕΠ, PH,
10 IZ, AT, T'N ἴσας εἶμεν. τᾶν δὲ λοιπῶν μειξόνας. καὶ
τὰ τετράγωνα δὲ τὰ ἀπὸ τῶν 40, ΓΧ, EV, H9,
1. 44 μείξονά ἐντι τοῦ τρίτου μέρεος τῶν ἀπὸ τᾶν
OX, II'U, PO, ΣΦ. Ta, TN- δεδείκται γὰρ τοῦτο
. ἐν volg ἐπάνω. ἐλάττονα ἄρα ἐντὶ và ῥηϑέντα χωρία
16 τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν AB, ΓΖ, EZ, ΗΘ,
IK, AM. λοιπὸν δὲ δειξοῦμες, ὅτι μείζονά ἐντι τῶν
τετραγώνων τῶν ἀπὸ riv ΓΖ, EZ, HO, IK, AM,
NEA. πάλιν δὴ và τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΓΖ, EZ,
ΗΘ, IK, AM, NA ἴσα ἐντὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν XT,
20 ΒΨ, ΗΩ, 1. AG καὶ τοῖς ἀπὸ τἂν X4, ΨΖ. 96,
O)jK, aM, NA καὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς ΝΗ
καὶ τᾶς διπλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ, ΕΨ, HO, IOS, 4a.
καί ἐστι κοινὰ μὲν τὰ ἀπὸ τᾶν X4, UZ, 20, OK,
Ma, NA, μεῖξον δὲ τὸ ὑπό τε τᾶς NA καὶ τᾶς ἴσας

2. H9] M9 F supra scripto H manu 1. ΤᾺ] P9, "Hal
scripbo I manu 1 F. 8. ταν ΒΦ F; corr. A?, ed. Basil.

N92 F. In figura pro 9 in F acribitur Il, AM littera 7
9. γραμμαις F; corr. Torellius. I'O] ΓΘ T, sed corr. ma-
nus 1l. 12. μείζονά ἐντι.. . . lin. 18: LN om. F; corr. To-
rellius (nisi quod μέρους habet lin. 12) et ommandinus (ἐστι,
μέρους, τῶν τετραγώνων τῶν ἀπό). 15. τὰν] τῶν per comp.
F; corr. Torellius. 106. δείξομεν F, uulgo. 20. καὶ τοῖς.
lin. 21: NJ] om. F; corr. Commandinus. 22. H2] H om. F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 49

sed
AB? -- IZ? -- EZ --- He? -- TK? - AM?

-- (Bd? -I- Xf! -- *9Z? -- 26* -- OK? -- aM?)
J- (44 -- PX? -- E*? -- H9? -- IO -- 49?)
J- B »«2(40 - X -- EZ 4- H9 -- I9, ῸῸ 49a)
[Eucl II, 4] itaque utriusque partis communia sunt
quadrata linearum lineae ΝΞ aequalium, et praeterea
est NA »« (OX 4- I1 -- 9P-- ἋΣ --aT-I-TN)
« B 5»«2(490 -- 'X 4- ET -- H9 -- IO 4- 49),

quia hae lineae aequales sunt lineis
IO -- EII - PH -- IZ--AT-- TN,
sed reliquis [PX 4- E^ -- H9-|- IOS -Ἰ 4a] maiores
[et OX 4- IIT - 29P-- OZ --aT-E- TN
— ΓΟ ΕΠ PH -- IZ-4- AT 4- TN)
4 (DX -- EV -- H9, 4- IO) 4- 4«8)].
sed etiam
A49? -- X? -- ET? -- H9? - IO -- Ao?
(0X? -- I1?? -- P9? -- ZOy - Τα -- "N?)
hoec enim supra demonstratum est [prop. 10. coroll.
p. 40]. itaque [omnia simul] quae commemorauimus,
spatia erunt
« AB? -- ΓΖ“ 4L EZ? --- HG? -- IK? -- AM*.
deinde autem demonstrabimus, maiora ea esse
quam I'/*-- EZ! - ΗΘ -- IK? -- AM? --ENA?.
rursus igitur erii:
DZ?--EZ -J-H8*--IK*-- AM? - NX?

— (XI? -- EU? -- H9? -- IO? -- 4o)
(X4 -- ΨΖ' -- 26 -ἰ Ὁ Κ' - αΜ'-Ὁ NR?)
ἜΝΑΣ»«2(ΓΧ. ΕΨ-ΚΗΩ- 12-} 49) [Eucl. IT, 4].
el communia sunt

X4 -- PZLROAKUEMSENE

Archimedes, ed. Heiberg. II.

σι

50 ΠΕΡῚ EAIK9NN.

πάσαις ταῖς OX, II'U, PQ, ΣΟ, Ta, TN τοῦ ὑπὸ
τᾶς ΝΗ͂ καὶ τὰς διπλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ, ΕΨ, ΠΩ,
IOS, 44. ἐντὶ δὲ καὶ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΧΟ,
WII, ὩΡ, ὯΣ,4Τ, TN τῶν ἀπὸ τᾶν X, EV, ΗΩ,
IOS, 43a μείξονα ἢ τριπλάσια. δεδείκται γὰρ καὶ τοῦτο.
μείξονα ἄρα ἐντὶ τὰ ῥηθέντα χωρία τῶν τετραγώνων
τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΖ, EZ, ΗΘ, IK, AM, ΝΑ͂.

ΠΟΡΙΣΜΑ.

Καὶ τοίνυν εἴ κα ὁμοῖα ἀναγραφέωντι ἀπὸ πασᾶν
ἀπό τε τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν καὶ ἀπὸ
τἂν ἰσᾶν τῷ μεγέστᾳ εἴδεα, πάντα τὰ ἀπὸ τῶν ἰσᾶν
τᾷ μεγίστᾳ ποτὶ τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-

“ὖ —- 2 8 t ’ /
ἐχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας εἴδεος ἐλάσσονα
λόγον ἑξοῦντι, ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας
ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ τε περιεχομένῳ ὑπό τε
vüg μεγίστας καὶ τᾶς ἐλαχίστας καὶ τῷ τρίτῳ μέρει
τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ὦ ὑπερέχει à μεγίστα τᾶς ἐλα-

3 9 € ^ 3. - ^
χίστας, ποτὶ δὲ và ἀπὸ τᾶν cvr&v εἴδεα χωρὶς τοῦ
ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείξονα τοῦ αὐτοῦ λόγου. τὸν αὐτὸν
γὰρ ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις.

ΟΡΟΙ.

α΄. Εἴ κα εὐϑεῖα ἐπιξευχϑῇ γφαμμὰ ἐν ἐπιπέδῳ
καὶ μένοντος τοῦ ἑτέρου πέρατος αὐτᾶς ἰσοταχέως

1. IIV'] IIP F. 3. τά] (prius) addidi; om. F, uulgo.

6. ἐντέ] εἐντη F. 8. πόρισμα] om. F, uulgo; ,,corollarium
praemissae Cr. 10. ἀαναγραφεδντι Εἰ; corr. B. 11. ἰσᾶν...
in. 19: ἀπὸ τἂν] om. F; corr. Torellius. 14. τό] (prius) zo F.

20. δξουσι F, uulgo. 21. ὅφοι] om. F, uulgo; , definitiones"
Cr. 38. καί om. ἘΠ; corr. Torellius. ισοταχει ὡς F'; corr. B.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 51

οὐ ΝΕ »« (OX -- II ---P9, -e- ΣΦ -]- Ta -- TN)
2» NE» 2(DX-LF EU -- H9 -|- I9) »« 40).?)
et praeterea sunt

XO? -- VII? ΡΒ ΟΣ" -qT? -- PN?

—8(IX-L-EW?--Hf9 --19y -Ἰ 4a).

nam hoc quoque demonstratum est [prop. 10 coroll.
p.40] itaque [omnia simul] spatia, quae commemo-
rauimus, maiora sunt quam

D4i-- ΕΖ -L HG?-- IK? -- AM3 -- NR*.

COROLLARIUM.

Quare etiam si in omnibus lineis, et iis, quae
aequali spatio inter se excedunt, et iis, quae maximae
aequales sunt, similes species consiruuntur, omnes
specles in lineis maximae aequalibus constructae ad
Species in lineis aequali spatio inter se excedentibus
constructas praeter speciem in minima constructam Ὁ
minorem rationem habebunt, quam quadratum maximae
lineae ad spatium utrique aequale, et rectangulo linea
maxima et minima comprehenso et terliae parti qua-
drati excessus, quo maxima minimam excedit, ad
Species uero in iisdem lineis constructas praeler spe-
elem in maxima constructam rationem eadem ratione
maiorem. nam species similes eandem rationem habe-
bunt, quam quadrata [Eucl. VI, 20].

DEFINITIONES.
I. Si in plano recta linea ducitur et manente
altero termino aequabiliter cireumacta rursus in eum

1) Nam I'O -J- EII -- PH -- IZ J- AT -- TN
2 DX-FEU-- H2 19) - 48
tum Ὁ. p. 49, 12 sq.
A*

59 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

περιενεχϑεῖσα ἀποκατασταϑῇ πάλιν, ὅϑεν ὥρμασεν,
&u& δὲ τᾷ γραμμᾷ περιαγομένᾳ φέρηταί τι σαμεῖον
ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ κατὰ τᾶς εὐθείας ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος, τὸ σαμεῖον ἕλικα γράψει
ἐν τῷ ἐπιπέδῳ.

β΄. καλείσϑω οὖν τὸ μὲν πέρας τᾶς εὐϑείας τὸ
μένον περιαγομένας αὐτᾶς ἀρχὰ τὰς ἕλικος.
γ΄. & δὲ ϑέσις τᾶς γραμμᾶς, ἀφ᾽ ἃς ἄρξατο &
εὐθεῖα περιφερέσϑαι, ἀρχὰ τὰς περιφορᾶς.

δ΄. εὐθεῖα, ἂν μὲν ἐν τῷ πρώτᾳ περιφορᾷ διαπο-
ρευϑῇ τὸ σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐϑείας φερόμενον, πρώτα
καλείσϑω, ἃν δ᾽ ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ τὸ αὐτὸ
σαμεῖον διανύσῃ, δευτέρα, καὶ αἵ ἄλλαι ὁμοίως ταύ-
ταις ὁμωνύμως ταῖς περιφοραῖς καλείσϑωσαν.

ε΄. τὸ δὲ χωρίον τὸ περιλαφϑὲν ὑπό τε τᾶς ἕλι-
κος τᾶς ἐν τᾷ πρῶώτᾳ περιφορᾷ γραφείδας καὶ τᾶς
εὐθείας, & ἐστιν πρώτα, πρῶτον καλείσϑω, τὸ δὲ
περιλαφϑὲν ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περι-
φορᾷ γραφείδσας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας δεύτε-
ρον καλείσϑω, καὶ τὰ ἄλλα ἑξῆς οὕτω καλείσϑω.
ς΄, καὶ εἴ κα ἀπὸ τοῦ σαμείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς
ἕλικος, ἀχϑῇ τις εὐθεῖα γραμμά, τᾶς εὐθείας ταύτας
τὰ ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐφ᾽ & κα ἃ περιφορὰ γενήται, προ-
αγούμενα καλείσϑω, τὰ δὲ ἐπὶ ϑάτερα ἑπόμενα.

ξ΄. ὅ τε γφαφεὶς κύκλος κέντρῳ μὲν τῷ σαμείῳ,
0 ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, διαστήματι δὲ τᾷ εὐθείᾳ, &
ἐστιν πρώτα, πρῶτος καλείσϑω, ὁ δὲ γραφεὶς κέντρῳ

8. εαὐτο F; corr. BC.* 11. τὸ κατὰ] vo om. F. Nu-
meros ipse addidi. 28. τὰ ἐπί) scripsi; τά om. F, uulgo.
ἐφ᾽ ἃ καὶ a&ddidi; om. Εἰ, uulgo. προαγούμενα] h. e. προ-

ηγούμενα, scripsi; προαγομενα F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 53

locum restituitur, unde moueri coepta est, et dum
limea circumagitur, punctum aliquod sibi ipsum ae-
quabiliter in linea fertur ἃ manente termino inci-
piens, punctum in plano lineam spiralem describet.!)

II. Terminus igitur lineae, qui, dum ipsa circum-
agitur, manet, principium spiralis uocetur.

III. Positio autem lineae, unde circumagi coepta
esi, principium circumactionis.

IV. Ea linea, quam in prima circeumactione punctum
permeauerit, quod in linea fertur, prima uocetur; quam
in secunda cireumactione idem punctum permeauerit,
secunda, et ceterae eodem modo circumactionum
cognomines sint.

V. Spatium autem spirali in prima cireumactione
descripta ei linea, quae est prima, comprehensum
primum uocetur; quod spirali in secunda circum-
actione descripta et linea seeunda comprehenditur, se-
eundum uocetur, ei cetera quoque deinceps eodem
modo nominentur.

VI. Eti si ἃ puncto, quod principium spiralis est,
recta linea ducitur, quae in eadem eius lineae parte
sunt, in quam fii circumactio, praecedentia uocen-
tur, quae in altera parte sunt, sequentia.

VII. Et circulus, cuius centrum est punctum,
quod prineipium spiralis est, radius autem linea, quae
esí prima, primus uocetur, circulus autem, cuius

1) Cfr. Pappus I p. 234 (IV, 30), ubi similiter linea spi-
ralis definitur.

54 ΠΕΡῚ EAIKSN.

μὲν τῷ αὐτῷ, διαστήματι δὲ τῷ διπλασίᾳ εὐθείᾳ δεύ-
τερος καλείσθω, καὶ oí ἄλλοι δὲ ἑξῆς τούτοις τὸν αὐὖ-
τὸν τρόπον.

| ιβ΄.

δ — El κα ποτὶ τὰν ἕλικα τὰν ἐν μιᾷ περιφορᾷ ὁποια-
οὖν γεγραμμέναν ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος εὐϑείαι
ἐμπεσῶντι ὁποσαιοῦν ἴσας ποιούσαι γωνίας ποτ᾽ ἀλλά-
λας, τῷ ἴσῳ ὑπερέχοντι ἀλλάλαν.

ἔστω ἕλιξ, dp! ἃς αἱ MB, AT, 44, AE, AZ ἴσας

10 γωνίας ποιούσαι ποτ᾽ ἀλλάλας. δεικτέον, ὅτι τῷ ἴσῳ
ὑπερέχει ἃ ΑΓ τᾶς 48, καὶ & 44 vág AT, καὶ αἵ
ἄλλαι ὁμοίως.

ἐν à γὰρ χρόνῳ & περιαγομένα γραμμὰ ἀπὸ τᾶς

AB ἐπὶ τὰν 4Γ ἀφικνείται, ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ τὸ
16 σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐϑείας φερόμενον τὰν ὑπεροχὰν
διαπορευέται, ᾧἅ ὑπερέχει ἃ

σ΄ 4 E ΓΑ τᾶς 48, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ
ἀπὸ τᾶς 4Γ ἐπὶ τὰν 44, ἐν
τούτῳ διαπορευέται τὰν ὑπερ-
οχάν, & ὑπερέχει ἃ 44 τῶς

AI. ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἁ περι-

αγομένα γραμμὰ ἀπότετᾶς AB

ἐπὶ τὰν AT' ἀφικνείται καὶ ἀπὸ τᾶς 4Γ ἐπὶ τὰν A 4,

ἐπειδὴ αἵ γωνίαι ἴσαι ἐντί. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ
26 κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον σαμεῖον διαπορευέται τὰν

. ὕπεροχάν, ᾧ ὑπερέχει & ΓΑ͂ τᾶς AB, καὶ τὰν ὑπερ-

4“

1. τῷ] addidi; om. F', uulgo. b ελικαν F. τὰν ἐν
Scripsi; τας μὲν Εἰ; om. Torellius; τὰν μέν ed. Basil, uulgo.
6. γεγραμμενὰ F; corr. ed. Basil. 8. υπερέχοντι F. 17. τὰς]
ταν F; corr. B. 26. ΓΗ͂ P4 F; AT' vulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 55

centrum idem. est, radius autem linea duplo maior,
secundus uocetur, et celeri deinceps eodem modo
nominentur.

XII.

Si ad spiraslem qualibet circumactione descriptam
à principio spiralis lineae quotlibet ducuntur aequales
angulos inter se efficientes, aequali spatio inter se ex-
cedunt. .
sit spiralis, in qua lineae 4B, ALI, 4414, AE, 4Z
sint!) aequales angulos inter se efficientes. demon-
sirandum, aequali spatio excedi lineam 418 a linea
AT, lineam ATI' ἃ linea 471, ceterasque eodem modo.

nam quo tempore linea, quae circumagitur, ab
“48 ad AI'peruenit, eo tempore punctum, quod in
linea fertur, excessum permeat, quo excedit linea I'4
lineam 4B, et quo tempore ab AT' ad 471 peruenit,
eo permeat excessum, quo 4724 linea excedit lineam
ΑΓ. sed aequali temporis spatio linea, quae circum-
agitur, ab 4B ad AI' e& ab 4Γ ad 447 peruenit,
quoniam anguli aequales sunt. eodem igitur temporis
spatio punctum, quod in linea fertur, excessum per-
meat, quo linea I'4 lineam 4B excedit, et quo linea

1) Fort. soribendum lin. 9: ἐφ᾽ ἧς [τὰ A, B, Γ, 4, E, Z, H.
ἔστω δὲ ἀρχὰ τὰς ἕλικος τὸ A4. καὶ ἀπὸ τοῦ A4 ἐμπίπτωντι])
αἱ κτλ.

56 IIEPI EAIKSNN.

ogdv, ᾧ ὑπερέχει & 44 τᾶς AI. τῷ ἴσῳ ἄρα ὑπερ-
ἔχει & τε 4Γ τᾶς AB, καὶ ἁ 44 τᾶς AT, καὶ αἴ
λοιπαί.

w'.
Ei κα εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἐπκιψαύῃ, xc

ὃν μόνον ἐπιψαύσει σαμεῖον.
ἔστω ξλιξ, ἐφ’ ἧς τὰ 4, B, D, 4. ἔστω δὲ ἀρχὰ
μὲν τᾶς ἕλικος τὸ 4 σαμεῖον, ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς
ἃ 414 εὐϑεῖα, καὶ ἐπιψαυέτω τᾶς ἕλικος εὐθεῖά τις &
ΖΕ. φαμὶ δὴ καϑ᾽ ἕν μόνον σαμεῖον ἐπιψαύειν αὐτᾶς.
ἐπιψαυέτω γάρ, εἰ δυνατόν, κατὰ δύο σαμεῖα τὰ
I, H, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἵ AI, AH, καὶ ἃ γωνία
Ζ δίχα τετμάσϑω ἃ περι-

e ἐχομένα ὑπὸ τᾶν AH,
E Z AI. xa9' ὃ δὲ σαμεῖον

ἁ δίχα τέμνουσα τὰν
γωνίαν τᾷ ἕλικι ποτι-
πίπτει, ἔστω τὸ Θ. τῷ
δὴ ἴσῳ ὑπερέχει ἅ τε Ἢ
τᾶς 40, καὶ & 4Θ τᾶς AT, ἐπειδὴ ἴσας γωνίας περι-
ἔχοντι ποτ᾽ ἀλλάλας. ὥστε διπλασίαι ἐντὶ αἴ AH,
4Γ τᾶς .40. ἀλλὰ τᾶς ἐν τῷ τριγώνῳ [τᾶς 40]
δίχα τεμνούδας τὰν γωνίαν μειξόνες ἐντὶ ἢ διπλασίαι.
δῆλον οὖν, ὅτι, καϑ᾿ ὃ συμπίπτει σαμεῖον và ΓΗ
εὐθείᾳ & 46, μεταξὺ τῶν Θ, 4 ἐντι σαμείων. τέμνει
ἄρα & ΕΖ τὰν ἕλικα, ἐπειδή τι τῶν ἐν τᾷ ΓΘΗ͂ σα-
12. ἃ] ἡ F; corr. Torellius, ut lin. 18. 18. τετμησϑω F,
uulgo. περιεχομδνὴ vxo tov (comp.) Εἰ; corr. Torelhius. 16.
την ἘΠ corr. Torellius. 20. της 4€ F; corr. Torellius.
περιεχουσ cum comp. ἡ» F; corr. VA. — 22. τᾶς A46 (alterum)]

deleo. 28. uei£o» F; corr. B.* 24. vo σημειον F; τό uncis in-
clusit ed, Basil; del. Torellius. 26. ΓῊ D, ed. Basil, Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 51

444 lineam ΑΓ excedit. quare “Γ᾽ lineam 4B οἱ
44 lineam A4I'aequali spatio excedunt [prop. 1], et
ceterae eodem modo.!)

XIII.

Si linea recta spiralem contingit, in uno solo
puncto continget.

510 spiralis, in qua sint puncta 4, B, I', 4f. princi-
pium autem spiralis si 4 punctum, et principium
eireumaclionis linea 44 7f, et linea aliqua EZ spiralem
contingat. dico igilur, eam in uno solo puncto con-
tingere.

contingat enim, si fieri potest, in duobus punctis
I, H, et ducantur lineae A4I', 4H, et in duas
paries aequales secetur angulus, qui lineis 4H, 4Γ
comprebenditur. et punctum, in quo linea angulum
in aequales partes secans in sSpiralem incidit, sit 6.
quare aequali spatio .excedit linea 44H lineam 46,
οὗ linea 46 lineam ΑΓ, quoniam aequales angulos
inter se efficiunt [prop. 12]. quare 4H -]- 41'— 2.40.
sed 4H -]- 4I' maiores sunt quam duplo maiores
linea in triangulo angulum in aequales partes se-
canti.) adparet igitur, punctum, in quo linea 46 in
lineam ΓΗ͂ incidat, inter puncta 6, 4 positum esse.
quare EZ spiralem secat, quoniam quoddam punctum
lmeae ΓΗ͂ intra spiralem est.") at suppositum est,

1) Hanc propositionem citat Pappus I p. 984 (IV, 38).

2) De hac propositione: duo simul latera cuiusuis trian-
guli maiora esse quam duplo maiora linea, quae angulum ab

lis comprehensum in duas partes aequales secet, cfr. Zeitschr.
f. Math. hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 5, Nizze p. 183, Sturm

p. 403.
8) Cfr. Eucl. III, 16 πόρισμα.

58 ΠΕΡῚ EAIKEQN.
μείων ἐντός ἐστι τᾶς ÉAuxog. ὑπέκειτο δὲ ἐπιψαύουσα.
καϑ' ἕν ἄρα μόνον ἁπτέται ἃ ΕΖ τᾶς ἕλικος.
ιδ΄.
Εἴ κα ποτὶ τὰν ἕλικα τὰν ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ

5 γεγραμμέναν ποτιπεσῶντι δύο εὐϑείαι ἀπὸ τοῦ σα-

μείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, xal ἐκβληϑέωντι ποτὶ
τὰν τοῦ πρώτου κύκλου περιφέρειαν, τὸν αὐτὸν
ἑξοῦντι λόγον αἷ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι ποτ᾽
ἀλλάλας, ὃν el περιφερείαι τοῦ κύκλου al μεταξὺ τοῦ
πέρατος τᾶς ἕλικος καὶ τῶν περάτων τᾶν ἐκβληϑεισᾶν
εὐθειᾶν τῶν ἐπὶ τὰς περιφερείας γινομένων, ἐπὶ τὰ
προαγούμενα λαμβανομέναν τῶν περιφερειᾶν ἀπὸ τοῦ
πέρατος τᾶς ἕλικος.

ἔστω ἕλιξ & 48ΓΖῈΘ ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γε-
γραμμένα, ἀρχὰ δὲ τᾶς μὲν ἕλικος ἔστω τὸ 4 σαμεῖον,
ἃ δὲ O4 εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς ἔστω, καὶ κύ-
κλος ὁ ΘΚΗ͂ ἔστω ὁ πρῶτος. ποτιπιπτόντων δὲ ἀπὸ
τοῦ 44 σαμείου ποτὶ τὰν ξλικα αἱ AE, 44, καὶ ἐκ-
πιπτόντων ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἐπὶ τὰ
Z, H. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον & AE
ποτὶ τὰν 444, ὃν & ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ͂
περιφέρειαν.

περιαγομένας γὰρ τὰς 4 γραμμᾶς δῆλον, ὡς τὸ
μὲν Θ σαμεῖον κατὰ vüg τοῦ ΘΚΗ͂ κύκλου περιφε-
ρεέας ἐνηνεγμένον ἐστὶν ἰσοταχέως, τὸ δὲ Α κατὰ τᾶς
εὐθείας φερόμενον τὰν AO γραμμὰν πορευέται, καὶ
τὸ Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φε-
ρόμενον τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν, τὸ δὲ 4 τὰν 4Ε

1. τῆς F; eorr. Torellius. 2. EZ] EH F; corr. B mg.
4. τὴν per comp. Εἰ; corr. Torellius. 9. 0v] ὧν F. 20.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 59

eam contingere. itaque in uno solo puncto linea EZ
spiralem tangit.

XIV.

S1 ad spiralem prima& circumactione descriptam
duae lineae a puncto, quod principium est spiralis,
ducuntur et ad ambitum primi circuli producuntur,
lineae ad spiralem ductae eandem inter se rationem
habebunt, quam ambitus circuli inter terminum spi-
ralis et terminos linearum productarum, qui in am-
bitu sunt, positi, si ambitus a iermino spiralis ad
praecedentia uersus sumuntur.!)

H sit spiralis 48 ΓΖ ΕΘ prima
2E Z ceircumactione descripta, et prin-
cipium spiralis sit punctum 4, et

D linea 9 4 principium circumactio-
4 9 nis sit, et circulus € KH primus

B sil. ab 4 autem puncto ad spi-
Y ralem ducantur lineae 4E, 44

οὗ producantur ad ambitum cir-

culi ad Z, H. demonstrandum, esse

AE:44-—0KZ:0KH.

nam $i circeumagitur linea 449, adparet, punctum
6 in ambitu circuli 9 K H aequabiliter ferri, 4 autem
punctum, dum in linea feratur, lineam 4469 permeare, δὲ
punctum 6, dum in ambitu circuli feratur, arcum 6 K Z
permeare, 4 auiem lineam 44 E?), et rursus punctum

1) Cfr. Pappus I p. 284 (IV, 32).
2) 8c. eodem temporis spatio.

ὅχωντι F; corr. Torellius. — 24. της Εἰ; corr. Torelliu , ut lin.
25, 21. 26. xogevéroi] scripsi; πεπορϑυξται F, uulgo.

60 ΠΕΡῚ EAIK9N.

εὐθεῖαν, xal πάλιν τό τε 4 σαμεῖον τὰν 44 γραμ-
μάν, καὶ τὸ Θ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν, ἑκάτερον ἰσο-
ταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ φερόμενον. δῆλον οὖν, ὅτι τὸν
αὐτὸν ἔχοντι λόγον & AE ποτὶ τὰν 44, ὃν & ΘΚΖ
περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ͂ περιφέρειαν. δεδείκται
γὰρ τοῦτο ἐπάνω ἐν τοῖς προτέροις. ὁμοίως δὲ δειχ-
ϑησέται, καὶ εἴ κα ἃ ἑτέρα τᾶν ποτιπιπτουσᾶν ἐπὶ τὸ
πέρας τᾶς ἕλικος ποτιπίπτῃ, ὅτι τὸ αὐτὸ συμβαίνει.

ε΄.

Εἰ δέ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γε-
γραμμέναν ἕλικα ποτιπίπτωντι εὐϑείαι ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς
τᾶς ἕλικος, τὸν αὐτὸν ξξοῦντι λόγον αἵ εὐϑείαι ποτ᾽
ἀλλάλας, ὃν αἵ εἰρημέναι περιφερείαι μεϑ᾽ ὅλας τᾶς
τοῦ κύκλου περιφερείας λαμβανομένας.

ἔστω ἕλιξ, dp! dg & 4ΒΓ4Θ, ἁ μὲν 4Β8ΓΖ40Θ
ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, & δὲ O AEM ἐν
τᾷ δευτέρα. καὶ ποτιπιπτόντων εὐθϑείαι αἱ AE, 4.4.
δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον & 4.4 ποτὶ τὰν
AE, ὃν & ΘΚΖ περιφέρεια us9' ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου

20 περιφερείας ποτὲ ΘΚΗ͂ μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλον

περιφερείας.

ἐν ὅσῳ γὰρ χρόνῳ τὸ 4 σαμεῖον κατὰ τᾶς εὐϑείας
φερόμενον τὰν 4.4 γραμμὰν διαπορευέται, καὶ τὸ Θ
δαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύχλου περιφερείας φερόμενον

95 ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΖ

περιφέρειαν διαπορευέται, καὶ πάλιν τὸ 4, σαμεῖον
τὰν AE εὐϑεῖαν., καὶ τὸ Θ ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου
περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΗ͂, ἑκάτερον ἰσοταχέως

4. ἐχωντι EF. 6. ἐπάνω] scripsi; s&e F, uulgo. προ-
τέροις} scripsi; πρώτοις F, uulgo. 8. ὅτι] addidi; om. F,

DE LINEIS SPIRALIBUS. 61

4 lneam 441 et 0 arcum 6 KH, utrumque aequa-
biliter sibi ipsum. adparet igitur, esse

AE: 42 -0KZ:0KH.
hoc enim supra in prioribus demonstratum est [prop. 2].
et eodem modo demonstrabimus, etiam si altera linea-
rum ad spiralem duetarum in terminum spiralis inci-
derit, idem futurum esse.

XV.

Sin ad spiralem secunda circumactione descriptam
a principio spiralis lineae ducuntur, eandem rationem
inter se habebunt, quam arcus, quos commemorauimus
[prop. 14], adsumpto toto circuli ambitu.

sib spiralis, in qua sit linea ABIfO, iia ut
ABI40 prima, €94EM secunda circumaetione de-
scripla sit. et ducantur ad spiralem lineae 4E, 4 4.
demonstrandum, habere lineam 4.4 ad lineam AE
eandem ralionem, quam arcus € KZ adsumpto toto
eireuli ambitu ad 9 K H adsumpto toto circuli ambitu.

nam quo tempore!) punctum 44, quod in linea fer-
tur lineam 44.4 permeat, etiam punctum 6, quod in
ambitu cireuli fertur, et totum circuli ambitum et
praeterea arcum 6 KZ permeai, et rursus [quo tem-
pore] punctum 44 lineam A4 E permeat, etiam punctum
6 totum ambitum circuli et praeterea arcum. 9 K H,

1) Ut foeda uitetur anacoluthia (lin. 26 8q.), fortasse prae-
stat lin. 22: ἐν ἴσῳ γάρ.

uulgo, "14. ἅπαξ λαμβανομένας 16. ABI'40 EAM To-
rellius, 17. ποτιπιπτωντι Ἐς; corr. B. 18. ἐχωντι F; corr.
Torellius. 20. ποτί] προς per comp. T; corr. Torellus. 23.
καὶ τὸ 8] κατα το E F; corr. Torellius.

62 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

αὐτὸ αὑτῷ φερόμενον. δῆλον ovv, ὅτι τὸν αὐτὸν
ἔχοντι λόγον & 4.4 γραμμὰ ποτὶ τὰν AE, 0v & ΘΚΖ
περιφέρεια μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ
τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου
ὅ περιφερείας.
τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον δειχϑησέται, καὶ εἴ κα ποτὶ
τὰν ἐν τᾷ τρέτα περιφορᾷ γεγραμμέναν ἕλικα ποτι-
πεσῶντι εὐϑείαι, ὅτι τὸν αὐτὸν λόγον ἑξοῦντι ποτ᾽
ἀλλάλας, ὃν αἵ εἰρημέναι περιφερείαι μεϑ’ ὅλας τᾶς
10 τοῦ χύχλου περιφερείας δὶς λαμβανομένας. ὁμοίως
ὃὲ xal αἱ ποτὶ τὰς ἄλλας ἑλίκας ποτιπιπτούσαι δεικ-
νύνται, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον, ὃν ol εἰρημέναι
περιφερείαι μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύχλου περιφερείας
τοσαυτάκις λαμβανομένας., ὅσος ἐστὶν ὁ ἑνὶ ἐλάσσων
16 ἀριϑμὸς τᾶν περιφορᾶν, καὶ εἴ κα ἃ ποτιπίπτουσα ἃ
ἑκατέρα ποτὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος πίπτῃ.

ες΄.

Εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν và πρώτᾳ περιφορᾷ γε-
γραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ, καὶ ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς

20 εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιξευχϑῇ ἐπὶ τὸ σαμεῖον, ὅ ἐστιν
ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἃς ποιεῖ γωνίας ἃ ἐφαπτομένα ποτὶ
τὰν ἐπιξευχϑεῖσαν, ἀνίσοι ἐσσούνται, καὶ ἃ μὲν ἐν τοῖς
προαγουμένοις ἀμβλεῖα, & δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ὀξεῖα.
ἔστω ἕλιξ, ἐφ᾽ ἧς τὰ 4, B, T, 4, 0, ἐν τᾷ πρώτᾳ

26 περιφορᾷ γεγραμμένα. καὶ ἔστω τὸ μὲν Α' σαμεῖον

2. εχωντι F; corr. Torellius. γραμμὰν F. — 8. ὅτι] om.
F; corr. Nizzius. 12. εγωντι EF; corr. Torellius. , ἃ εὑρη-
pevo περιφεδρεια F; corr. Torellius. 14. τοσαυτας ἘΠ; corr.
Torellius, £éy(], ἕν F; corr. B; om. ed. Basil.; ,'uno mino-
rem* Cr. 18. τη πρωτὴ F; corr. Torellius. 22. ἐσουνται
F, uulgo. 28. προαγομένοις F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 63

utrumque sibi ipsum aequabiliter, permeat. adparet igi-
lur, eandem habere rationem 444: 4E, quam arcus 9KZ
cum toto ambitu circuli
ad arcum 6 K H cum toto
ambitu circuli [prop. 2].

οὗ eodem modo de-
monsirabimus, eliam si
ad spiralem tertia cir-
cumuolutione descriptam
lineae ducantur, eas ean-
dem inter se rationem
habituras esse, quam ar-
eus, quos significauimus, cum toto ambitu circuli bis
sumpio. et eodem modo etiam lineae ad ceteras spi-
rales ductae eandem rationem habere demonstrabun-
iur, quam arcus, quos significauimus, cum toto ambitu
eirculi toties sumpto, quoties indicat numerus uno
minor [numero] circumactionum, etiam si altera linea-
rum ductarum in terminum spiralis incidat.

XVI.

Si spiralem prima circumactione descriptam linea
recta contingit, ei a puncto tactionis ad punctum,
quod principium spiralis est, linea recta ducitur, an-
guli, quos linea contingens cum linea ad eam ducta
efficit, inaequales erunt, et angulus, qui in prae-
cedentibus est, obtusus erii, angulus autem, qui in
sequentibus est, acutus.

sit spiralis, in qua sint puncta 44, B, I, 71, 9, prima
eircumactione descripta. et sit punctum 24 principium

64 ΠΕΡῚ EAIKQNN.

ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἃ δὲ 46 εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς,
0 τε πρῶτος κύκλος ὁ ΘΚΗ͂. ἐπιψαυέτω δέ τις εὐθεῖα
γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἃ Ε4Ζ κατὰ τὸ 4, καὶ ἀπὸ τοῦ
4 ἐπὶ τὸ 4 ἐπεξεύχϑω ἁ 4.4. δεικτέον, ὅτι ἃ 4Z

5 ποτὶ τὰν 44 ἀμβλεῖαν ποιεῖ γωνίαν.

γεγράφϑω κύκλος ὁ 4 TN κέντρῳ μὲν τῷ A,
διαστήματι ὃὲ τῷ
4 4. ἀναγκαῖον δὴ
τούτου τοῦ κύκλου
τὰν μὲν ἐν τοῖς προ-
αγουμένοις περι-
φέρειαν ἐντὸς πίπτειν
τᾶς ἕλικος, τὰν δὲ
ἐν τοῖς ἑπομένοις
ἐχτὸς διὰ τὸ τᾶν
ἀπὸ τοῦ 4 ποτὶ τὰν
ἕλικα ποτιπιπτουσᾶν
εὐθειᾶν τὰς μὲν ἐν

80 μειξόνας εἶμεν τᾶς 44, τὰς δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις

ἑἐλασσόνας. ὅτι μὲν οὖν ἃ γωνία ἃ περιεχομένα ὑπὸ
τᾶν 44, AZ οὔκ ἐστιν ὀξεῖα, δῆλον, ἐπειδὴ μείξων
ἐστὶ τᾶς τοῦ ἡμικυκλίου. ὅτι δὲ ὀρϑὰ οὔκ ἐστι, δεικ-
τέον οὕτως" ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, ὀρϑά. ἃ ἄρα
EAZ ἐπιψαύει τοῦ ΦΤΝ κύκλου. δυνατὸν δή ἐστιν
ἀπὸ τοῦ 4 ποτιβαλεῖν εὐϑεῖαν ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν,
ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλον
περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ
κύκλου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ, ὃν ἔχει ἃ μεταξὺ

2. πρῶτος oc F. 3. 4EZ F, uulgo. 7. τῷ] τᾷ To-

. rellius. 10. τάν] τα F; corr. BC.* mooayopevoig F,

τοῖς προαγουμένοις᾽

DE LINEIS SPIRALIBUS. 65

spiralis, linea autem 446 principium circumactionis,
ei primus cireudlus ΘΚ H. contingat autem linea recta
E42 spiralem in puncto 2f, et à puncto z/ ad 4
ducatur linea 21.4. demonstrandum, lineam 27/Z cum
linea 44 obtusum angulum efficere.

describatur circulus Z/ TN, cuius centrum sit 4,
radius autem 4.2. itaque necesse est, huius circuli
ambitum, qui in praecedentibus est, inira spiralem
cadere, qui in sequentibus est, extra, quia linearum
ab 4 ad spiralem ductarum quae in praecedentibus
sunt, maiores sunt linea 7471, quae in sequentibus
sunt, minores. angulum igitur lineis 471, 412 com-
prehensum acutum non esse, adparet, cum maior sit
angulo semicirculi.!) rectum uero eum non esse, it&
demonstrandum est: sit enim, si fieri potest, rectus,
itaque linea EZ/Z circulum ΖΦ ΤΙΝ contingit [Eucl.
III, 16 πόρισμα]. fieri igitur potest, ut ab ^4 linea
ad lineam contingentem ducatur, ita ut linea inter
contingentem et ambitum circuli posita ad radium
cireuli minorem rationem habeat, quam habet arcus
inter punctum taetionis et lineam ad contingentem

1) H. e. angulo inter lineam 444 et arcum 4 PT com-
prehenso, qui maior est quolibet acuto angulo rectilineo (Eucl.
IIT, 16); quare cum hic angulus pars sit anguli 4.42, adparet,
hunc acutum certe non esse (Euel. I xoi. m 9).

€ À— M]

uulgo. 18. ευχϑειαν F. 22. των 44Ζ F, uulgo. 48.
ορϑη F; corr. Torellius. 24. οὕτως} per compendium paulo
insolentius scriptum F; ὄν B, ed. Basil, Torellius. ^ og7. 7
F; corr. Torellius. 86. ἀπό] & F.

Archimedes, ed. Heiberg. II. b

66 ΠΕΡῚ EAIKON,

τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς ποτιπιπτούσας περιφέφεια ποτὶ τὰν
δοθεῖσαν περιφέρειαν. ποτιπιπτέτω δὴ & Al. τεμεῖ
δὴ αὐτὰ τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ 4, τὰν δὲ vov ANT
περιφέρειαν κύκλου κατὰ τὸ P. καὶ ἐχέτω à PI εὐ-
ϑεῖα ποτὶ τὰν AP. ἐλάσσονα λόγον τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ΔΡ
περιφέρεια ποτὶ τὰν ΔΙ N T περιφέρειαν. καὶ ὅλα ἄρα

&IA ποτὶ τὰν AP ἐλάσσονα λόγον ἔχει, 3 & PANT

1ὅ

περιφέρεια ποτὶ τὰν 4 NT περιφέρειαν, τουτέστιν Ov
ἔχει & ZHKO περιφέρεια ποτὶ τὰν Η ΚΘ περιφέρειαν.
ὃν δὲ à ΣΗΚΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν Η ΚΘ περι-
φέρειαν, τοῦτον ἔχει & 4.4 εὐϑεῖα ποτὶ τὰν 4.2. δε-
δείκται γὰρ τοῦτος ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἃ AI
ποτὶ τὰν AP, ἥπερ & 4.4 ποτὶ τὰν 4.4 ὅπερ ἀδύ-
γατον. ἴσα γὰρ & PA τᾷ 44. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὀρϑὰ
ἃ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν 44, 472. δεδείκται δέ, ὅτι
οὐδὲ ὀξεῖα. ἀμβλεῖα ἄρα ἐστίν. ὥστε & λοιπὰ ὀξεῖά
ἐστιν. ὁμοίως δὲ δειχϑησέται, καὶ εἴ κα & ἐπιψαύ-
ουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύῃ, ὅτι τὸ αὐτὸ
συμβησέται.

εζ΄.

Καὶ τοίνυν εἴ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ
γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ ἃ εὐθεῖα, τὸ αὐτὸ συμ-
βησέται.

ἐπιψαυέτω γὰρ ἃ ΕΖ εὐϑεῖα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ
περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ Zl, καὶ τὰ ἄλλα
τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσϑω. ὁμοίως δὴ τᾶς
τοῦ PN 4 περιφερείας κύκλου τὰ μὲν ἐν τοῖς προαγου-

1. περιφέρεια] scripsi; περιφερείας F, uulgo. 6. dTN
Torellius. 9. HKG]| H supra scriptum manu 2 F. 14.

A4] 44, μείζων δὲ ἃ IA xag 44 Commandinus, Torellius,
Nizzius. ορϑη F; corr. Torellius, ut p. 68 lin. 8, 4. 15.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 61

ductam positus ad datum arcum [prop. 5] ducatur
igitur ad lineam contingentem linea 41. ea igitur
spiralem in puncto 4, ambitum autem circuli Zf N T'!)
in puncio P secabit. et sit PI : 4P «— 4P: ANT.
quare eliam 14: AP « PANT : ANT?), h. e.
—- EZHK0:HKO0O.*) sed ZHKO0: HK0 — A4:4 4.
hoc enim demonstratum est [prop. 14]. itaque
41: AP « 434: 42,

quod fieri non polest. nam PA — 4324 [et I4 — 44]
[Eucl. V, 8]. itaque angulus lineis 471, 412 compre-
hensus rectus non est. et demonstratum est, ne acu-
ium quidem eum esse. itaque obtusus est. quare
reliquus angulus acutus est. et eodem modo demon-
strabitur, etiam si linea spiralem contingens in ier-
mino contingat, idem futurum esse.

XVII.

Iam etiam si spiralem secunda circumactione de-
scriptam limea contingit, idem futurum esi.

contingat enim linea EZ spiralem secunda cireum-
aclione descripiam in puncto 4f, et celera eodem modo,
quo supra [prop. 16], comparentur. itaque, ut supra,
ea pars ambitus cireuli PN Z, quae in praecedentibus

1) Mirus uerborum ordo lin. 8—4 defenditur simili loco
lin. 27.

m Sc. συνθέντι; Pappus VII, 46 p. 686.

8) Nam
PANT:ANT —[ PAT ( 180) : 4AT (7 180?)

— XHKO:HKO (Eucl VI, 83).
τῶν per comp. Εἰ; corr. Torellius. 442 F, uulgo. δέ]
om. F; corr. AB. 18. ὅτι] addidi; om. F, uulgo. 234. EZ]
AZ F. 265. περιφορᾷ] scripsi; περίφορας F, uulgo.
5*

68 ΠΕΡῚ EAIKOSN.

μένοις τὰς ἕλικος ἐντὸς πεσούνται, τὰ δὲ ἐν volg ézo-
μένοις ἐκτός. ἁ οὖν γωνία à ὑπὸ τᾶν 44, 4Z οὔκ
ἐστιν ὀρϑά, ἀλλὰ ἀμβλεῖα. ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν,
óp8d. ἐπιψαύσει δὴ ἃ EZ τοῦ PN 4 κύκλου κατὰ
τὸ Δ. ἄχϑω δὴ πά-
λιν ποτὶ τὰν ém:-
ψαύουσαν ἁ AI, καὶ
τεμνέτω τὰν μὲν
ἕλικα κατὰ τὸ X,
τὰν δὲ τοῦ PNAÀ
κύκλου περιφέρειαν
κατὰ τὸ Ῥ ἐχέτω
δὲ «& PI ποτὶ PA
ἐλάσσονα λόγον vov,
ὃν ἔχει & 4} περι-
A φέρεια ποτὶ ὅλαν
τὰν τοῦ ΔΡΝ κύκλου περιφέρειαν καὶ [ποτὶ] τὰν

ANT. δεδείκται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν. καὶ ὅλα

ἄρα ἃ I4 ποτὶ τὰν AP ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἢ &
20 PAN T περιφέρεια μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περι-
φεφρείας ποτὶ τὰν ΔΩ ΝΤ περιφέρειαν μεϑ᾽ ὅλας τᾶς
τοῦ κύκλου περιφερείας. ἀλλ᾽ ὃν ἔχει λόγον & PANT
περιφέρεια ue9' ὅλας τᾶς τοῦ Ω͂ΝΤΡ κχύχλου περι-
φερείας ποτὶ τὰν ΖΙΝΤ' περιφέρειαν μεϑ᾽ ὅλας τᾶς
τοῦ ZNTP κύκλου περιφερείας, τοῦτον ἔχει τὸν 1λ6-
γον ἃ ΣΗΚΘ περιφέρεια μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου
περιφερείας τᾶς ΘΣΗΚ ποτὶ τὰν Η ΚΘ περιφέρειαν
μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ O.ZHEK κύκλου περιφερείας. ὃν
δὲ λόγον ἔχοντι αἵ ὕστερον εἰρημέναι περιφερείαι,

οι

2. 442 F, uulgo. 6. τάν] τα F. 18. ποτέ] προς per
comp. F; corr. Torellius. 17. ποτί] deleo: In figura pro

DE LINEIS SPIRALIBUS. 69

esi, inira spiralem cadet, quae in sequentibus est, extra.
angulus igitur lineis 421, 412 comprehensus rectus
non est, sed obiusus. sit enim, si fieri potest, rectus.
continget igitur linea EZ cireulum P.N Z in puncto
4| [Eucl III, 16 πόρισμα]. rursus igitur ad lineam
contingentem: ducatur linea 4I, et spiralem in puncto
X, ambitum autem cireuli PNZ/ in puncto P secet.
et sit PI: PA — AP: APN!) H- ANT. nam demon-
Siralum est, hoc fieri posse [prop. 5]. quare erit [p. 67
not. 2] 14: AP PANT - APN: ANT -]- A4PN.
est autem
PANT -- ANTP)): ANT 4- ANTP

— XHKO9--02HK?:HK0--092ZHK-—XA4:44.

1) Significaui hoc modo &mbitum totum circili 4PN, ut
rursus h. pag. lin. 10 bis.

2) Per 4N TP hoc loco idem significatur, quod supra per
ΡΝ (u. not. 1).

8) H. e. totus ambitus circuli 69 Z HK. proportio gutem
hoc modo sequitur: εὐ PANT τὰ P,, ANTP—OC, AN D P,
ZHKO:z27p, ΘΣΗΚ- c, ΗΚ ME erit igitur P.

- C : c (Eucl. V1, 88 πόρ.; Poiinrhr f Math, bist. Abth. ixiv
5, 181 pa 14) quare PD, LT C AT jen A
PipeO:icet P--Cip--c or aed P:
[p. ὅτ᾽ aot δ) ilaque P, -- C: 5» bon P4 C 25 4- c, ὦ

elàd£ P,--C:P-EO—p dc: Pw e. d.

8 in F est O. 26. περιφέρειαν F. 29. ἐχουσιν Εἰ; corr.
Torellius. |

10 ΠΈΡΙ EAIK9N.

τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἃ XA εὐϑεῖα ποτὶ τὰν 44
εὐθεῖαν. δεδείκται γὰρ τοῦτο. ἐλάσσονα ἄρα λόγον
ἔχει ἁ I4 ποτὶ τὰν AP, ἢ & 4X ποτὶ τὰν 414 ὅπερ
ἀδύνατον. ἴσα μὲν γὰρ ἃ ΡΑ͂ τᾷ 44, μείζων δὲ à

614 τᾶς AX. δῆλον οὖν, ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν & περι-

1ὅ

ἐχομένα ὑπὸ τᾶν 44, 4Z. ὥστε & λοιπὰ ὀξεῖα ἐστι.
τὰ δ᾽ αὐτὰ συμβησέται, καὶ εἴ κα ἃ ἐπιψαύουδσα κατὰ
τὸ πέρας τᾶς ἕλικος ἐπιψαύῃ.

IIOPIZMA,

Ὁμοίως δὲ δειχϑησέται. καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιαοῦν
περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα, καὶ
εἴ κα κατὰ τὸ πέρας αὐτᾶς, ὅτι ἀνίσους ποιήσει [τὰς]
γωνίας ποτὶ τὰν ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπιξευχϑεῖσαν ἐπὶ τὰν
ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ τὰν μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις
ἀμβλεῖαν, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ὀξεῖαν.

ιη΄.

Εἰ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γε-
γραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ κατὰ τὸ πέρας τᾶς
ἕλικος, ἀπὸ δὲ τοῦ σαμείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς EAuxog,
ποτ᾽ ὀρϑὰς ἀχϑῇ τις τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς, & ἀχϑεῖσα
συμπεσείται τᾷ ἐπιψαυούσαᾳ, καὶ ἃ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς
ἐπιψανούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα ἐσσείται
τᾷ τοῦ πρώτου κύκλου περιφερείᾳ. —'

ἔστω EAE ἃ ABI'40, ἔστω δὲ τὸ A4 σαμεῖον ἀρχὰ

8. ἃ] (alt. om. F; corr. Torellius. 4. "n F,; corr. Torellius.

i] (bis) ἡ F; corr. Torellius, ut lin. 5, *&] τη F; corr.

orellius. b. τὰς] της F; "corr. Torellius. περιεχομένη E;

corr. Torellius. 6e. A4Z T, uulgo. λοιπὴ F; corr. Torel-

lius. 11. περιφορᾷ] &ddidi; om. F, uulgo; ,,quacunque re-

uolutione'" Cr. 19. τάς] deleo. 21. συνπεσειται F. «]
om. F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 11

hoc enim demonsiratum est [prop. 15]. quare erit
I4: 4P« 4X:.44; quod feri non potest. [nam
ΡΑ-τα 44, οἱ 147 4X]! adparet igitur, angu-
lum lineis 44271, 4722 comprehensum obtusum esse)
quare reliquus angulus acutus est. eadem autem eue-
nient, eliam ΑἹ linea contingens in termino spiralis
contigerit.
COROLLARIUM.

Eodem autem modo demonstrabimus, etiam si spi-
ralem qualibet cireumactione descriptam linea aliqua
contingat, etiam si in termino eius, inaequales eam
angulos effecturam esse cum linea a puncto taclionis
ad primcipium spiralis ducta, et angulum in prae-

| eedentibus positum obtusum fore, qui in sequentibus
| positus sit, acutum.)

XVIII.

Si spiralem prima circumactione descriptam linea
recta contigerit in termino spiralis, et à puncto, quod
principium est spiralis, linea ad principium circum-
actionis perpendicularis ducta erit, linea [ita] ducta in
contingentem incurret, et linea inter contingentem et
principium spiralis posita aequalis erit ambitui circuli
|| primi.
| sib spiralis 4BI'46, et punctum 4 principium

1) Putauerim, uerba ἴσα μέν lin. 4— τὰς 4X lin. 5 sub-
diliua esse, cum quia formae uulgares in cod, F hoc loco con-
stanter traditae eunt, tum quod Archimedes, si e&usam plene
adferre uoluisset, hoc sine dubio non hoc loco, sed supra p. 66,
14, ubi leuis tantum significatio additur, fecisset.

2) Nam ne acutus quidem est; u. p. 65 not. 1.
8) Cfr. prop. 15 corollarium.

12 ΠΕΡῚ EAIK9N.

τᾶς ἕλικος, & δὲ ΘΑ͂ γραμμὰ ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, ὃ
δὲ ΘΗ K κύκλος ὁ πρῶτος. ἐπιψαυέτω δέ τις τᾶς
ἕλικος κατὰ τὸ O0, & ΘΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 ἄχϑω ποτ᾽
ὀρθὰς và 0 4 ἁ AZ. συμπεσείται δὴ αὐτὰ ποτὶ τὰν
5 OZ, ἐπεὶ αἱ ZO, 6.4 ὀξεῖαν γωνίαν περιέχοντι. συμ-
πιπτέτω κατὰ τὸ Z. δεικτέον, ὅτι & Z4 ἴσα ἐστὶ τᾷ
τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείᾳ.
εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείξων ἐστὴν ἢ ἐλάσσων. ἔστω
πρότερον, εἰ δυνατόν, μείξων. ἔλαβον δή τινα εὐθεῖαν
10 τὰν 44 τᾶς μὲν ΖΑ εὐϑείας ἐλάσσονα, τᾶς δὲ τοῦ

ΘΗΚ κύκλου περιφερείας μείξονα. ἔστιν δὴ κύκλος
τις ὁ ΘΗΚ, καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς
διαμέτρου & ΘΗ, καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἃ ΘΑ͂ ποτὶ 44,
μείξων τοῦ, ὃν ἔχει & ἡμίσεια τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ
15 τοῦ 44 κάϑετον ἐπ᾽’ αὐτὰν ἀγμέναν, διότι καὶ τοῦ, ὃν
ἔχει ἃ ΘΑ͂ ποτὶ 4Ζ. δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α
ποτιβαλεῖν ποτὶ τὰν ἐχβεβλημέναν τὰν ΑΝ, ὥστε τὰν
μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐχβεβλημένας τὰν ΝΡ
ποτὶ ΘΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν & ΘΑ͂ ποτὶ τὰν —
90 41.4. ἕξει οὖν & NP ποτὶ τὰν PA λόγον, ὃν ἃ ΘΡ
εὐθεῖα ποτὶ τὰν 44. ἁ δὲ OP ποτὶ τὰν 44 ἐλάσ-
σονα λόγον ἔχει, ἢ & GP περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ

8. ποτ᾽] προς per comp. PF; corr. V. b. περιέχουσιν Ἐς;

DE LINEIS SPIRALIBUS. T9

sSpiralis sit, linea autem 6.4 principium cireumactionis,
eireulus autem € HK primus. contingat autem [linea]
aliquà ΘΖ spiralem in puncto Θ, οὐ ἃ puncto 4 ad
lineam 6.4 perpendicularis ducatur linea AZ. ea igi-
iur in lineam ΘΖ incurret, quoniam lineae ΖΘ, ΘΑ͂
aculum angulum comprehendunt [prop. 16; tum ἃ.
Eucl. I «ir. 5]. incidat in eam in puncto Z. demon-
sirandum, lineam Z.4 aequalem esse ambitui circuli
e KH.

nam si aequalis non est, aut maior esi aut minor.
sib prius, si fieri potest, maior. sumpsi igitur lineam
aliquam 444 minorem linea Ζ.4, maiorem autem amb-
itu circuli 9H K [prop. 4]. itaque datus est circulus
quidam 6 H K, et in cireulo linea 8H minor diametro),
οὐ ratio 9 4: 4.4 maior ea, quam habet dimidia linea
ΗΘ ad lineam ἃ puncto 4 ad eam perpendicularem
ductam, quia ea quoque minor est, quam habet

6.4: AZ) |

fieri igitur potest, ut ab 4 ad lineam productam 4N
linea ducatur, ita ub sit. NP : 9P « 6.4 : 4 4 [prop. 1].
ert igitur NP: PA — OP: 4.4?) sed linea 9 P ad
4.4 minorem rationem habet, quam arcus 6 P ad amb-

1) Nam ΘΖ, spiralem contingens, extra eam cadet, nec
per punctum .4 transire potest; tum ἃ. Eucl. III, 7.

4) Nam 44 — ZA (tum ἃ. Eucl. V, 8. ἘΠῚ si ducitur li-
nea ab 4 ad H6 perpendicularis, eam in duas partes aequales
secabit (Eucl. lII, 8), et efficietur triangulus similis triangulo
A0Z (Eucl. VI, 8) ; tum ἃ. Eucl. VI, 4.

3) Nam ἐναλλάξ: NP:604A — 0P: 44, et 84 — PA.

c — ».ὦ.»Ψ

corr, Torellius. 18. ποτί] προς per comp. Εἰ; corr. V (ἢ
Torellius p. 286 e), ut lin. 16. 17. τάν] (prius) ταν t«v

Ὁ.
F:
corr. D. 19. ποτὶ τὰν ΘΡ εὐθεῖαν dubitans Nizzius. ᾿

14 ΠΕΡῚ ἘΛΙΚΟΝ.

ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν. ἃ μὲν γὰρ OP εὐϑεῖα
ἐλάσσων ἐστὶ τὰἄς ΘΡ περιφερείας, & δὲ 4.4 εὐϑεῖα
τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας μείξων. ἐλάσσονα
οὖν λόγον ξξει καὶ ἃ ΝΡ ποτὶ P4, ἢ & P περι-
φέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗ Κὶ κύκλου περιφέρειαν. καὶ
ὅλα οὖν & ΝΑ͂ ποτὶ τὰν AP ἐλάσσονα λόγον ἔχει,

ἥπερ ἃ OP περιφέρεια us0' ὅλας τᾶς τοῦ xUxÀov -

περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ OHK κύχλου περιφέρειαν.
ὃν δὲ λόγον ἔχει ἃ GP περιφέρεια μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ
ΘΗΚ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου
περιφέρειαν, τοῦτον ἔχει ἃ X4 ποτὲ τὰν 4Θ. δε-
δείκται γὰρ τοῦτο. ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἃ ΝΑ͂
ποτὶ τὰν 4}, ἥπερ ἁ & XA ποτὶ τὰν 40" ὅπερ ἀδύ-
νατον. ἃ μὲν γὰρ N.4 μείξων ἐστὶ τᾶς AX, ἁ δὲ
AP ἴσα ἐστὶ τᾷ 0 4. οὐκ ἄρα μείξων & Ζ. τᾶς τοῦ
κύκλου περιφερείας τοῦ O HK.

ἔστω δὴ πάλιν, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων ἁ Z4 τᾶς
τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας. ἔλαβον δή τινα εὐ-
ϑεῖαν πάλιν τὰν 4.4 τᾶς μὲν AZ μείξονα, τᾶς δὲ τοῦ
G HK κύκλου περιφερείας ἐλάσσονα, καὶ ἄγω ἀπὸ τοῦ
Θ τὰν ΘΜ παράλληλον τᾷ 4Ζ. πάλιν οὖν κύκλος
ἐστὶν ὁ G HK, καὶ ἐν αὐτῷ ἐλάσσων γραμμὰ τᾶς δια-
μέτρον & ΘΗ, καὶ ἄλλα ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου κατὰ
τὸ Θ, καὶ Aóyog, ὃν ἔχει ἃ 4 ποτὶ τὰν Α͂ A, ἐλάσσων

1, ΘΗ ΧῚ 6 H F; corr. Torellius. 4. ποτί] προς per
comp. F; corr. V(?). 11. τὰν 46] Torellus; vo» (comp.)
A0 F, uulgo. . 12. ἄρα] om. ἘΠ; corr. ΑΒ. 17. 19' F; om.
uulgo, sed infra pro prop. 19 in "Cr. est prop. 20, et sic dein-
ceps. 19. τὴν Ἐς; corr. Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 15

ium cireuli € HK. nam linea 68 P minor est arcu
6P, οὗ linea 4.4 maior ambitu circuli 9H K [ex hy-
pothesil. quare etiam linea NP ad ΡΩ͂ minorem ra-
tionem habebit, quam arcus 6 P ad ambitum circuli
6HK. itaque eliam tota linea N.4 ad lineam AP
minorem ralionem habet, quam arcus GP cum toto
ambitu circuli ad ambitum circuli 9H K.') sed quam
ralionem habet arcus 6 P cum toto. ambitu circuli
6HK ad ambitum circuli 9H K, eam habet X 4: 40.
hoe enim demonstratum est [prop. 15] quare erit
NA4:4P« X4:.40; quod fieri non potest. nam
NA AX, eb 4P — 04. quare linea Z4 maior non.
erii ambitu cireuli 6H K.

rursus, Si fieri polest, linea Z4 minor sit ambitu
cireui ΘΗ K. sumpsi igitur rursus lineam quandam
4.4 linea 4Z maiorem, ambitu autem circuli ΘΗ K

minorem [prop. 4], οὗ ἃ puncto 9 lineae 472 parallelam
duco lineam 6M. rursus igitur datus est circulus 9 H K,
οὗ in eo linea diametro minor 6H [p. 13 not. 1], et
alia linea [8.M] circulum in puncto 6 contingens
[Euel. IIT, 16 πόρ.], et ratio 40 : 4.14 minor ea, quam

1) Sc. συνθέντι; τι. p. 67 not. 2.

16 ΠΕΡῚ EAIKQN.

τοῦ, Ov ἔχει ἃ ἡμίδεια τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ 4
κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγμέναν, ἐπειδὴ καὶ τοῦ, ὃν ἔχει
ἃ 0.4 ποτὲ AZ, ἐλάσσων ἐστί. δυνατὸν οὖν ἐστιν
ἀπὸ τοῦ .4 ἀγαγεῖν τὰν 4Π’ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν,
ὥστε τὰν ΡΝ τὰν μεταξὺ vüg ἐν τῷ κύκλῳ εὐϑείας
καὶ τᾶς περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΠ ἀπκολαφϑεῖσαν ἀπὸ
τᾶς ἐπιψαυούσας τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἃ
6.4 ποτὶ τὰν 44. τεμεῖ δὴ ἃ 4Π τὸν μὲν κύχλον
κατὰ τὸ P, τὰν δὲ ἕλικα κατὰ τὸ X. καὶ ἔξει καὶ
10 ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν λόγον & NP ποτὶ PA, ὃν & ΘΠ
ποτὶ 4.4. & δὲ ΘΙ ποτὶ τὰν 4.4 μείζονα λόγον ἔχει,
ἢ ἃ GP περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗ Κὶ κύκλου περι-
φέρειαν. ἃ μὲν γὰρ ΘΠ εὐϑεῖα μείξων ἐστὶ vag ΘΡ
περιφερείας, ἃ δὲ 4.4 ἐλάσσων τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου
15 περιφερείαξ. μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἃ NP ποτὶ τὰν
AP, ἢ & ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου
περιφέρειαν. ὥστε xal & PA ποτὶ τὰν AN μείξονα
λόγον ἔχει, ἢ ἃ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρεια ποτὶ
τὰν ΘΚΡ περιφέρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει & τοῦ HK
20 κύχλου περιφέρεια ποτὲ τὰν ΘΚΡ περιφέρειαν, τοῦ-
τον ἔχει ἃ ΘΑ͂ εὐϑεῖα ποτὶ τὰν AX. δεδείκται γὰρ
τοῦτο. μείξονα ἄρα λόγον ἔχει ἃ P4 ποτὶ τὰν AN,
4 & 0. ποτὶ τὰν 4X: ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα
μείξων ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ἃ Z4 τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύ-
26 xAov περιφερείας" ἴσα ἄρα.

δι

8. ποτέ] προς P comp. F; core v0) ut lin. 10, 11 (prius).
15 ΘΉΗΧ, eNK corr manus 2 25. (en F; corr. To-
rellius

DE LINEIS SPIRALIBUS. T1

habet dimidia linea H6 ad lineam ἃ puncto 4 ad
eam perpendicularem ductam, quoniam minor est ea,
quam habet ΘΑ͂: A4Z [p. 13 not. 2]. fieri igitur pot-
est, ub ab 44 ducatur linea 41I ad lineam contingen-
lem, ita αὖ 8: PN:61I1 2 044: 44 [prop. 8]. ita-
que linea 41I circulum in puncto P secabit, spiralem
autem in puncto X. et etiam uicissim erit [Eucl. V,
16] NP:P4?) — ΘΠ: 44A. linea autem ΘΙ ad 44
maiorem rationem habet, quam arcus 9 P ad ambitum
cireuli HK; nam linea ΘΙΠ maior est arcu 6 P*),
el 444 minor ambitu circuii 9HK [ex hypothesi].
itaque maiorem rationem habet NP: A4P, quam arcus
6 P ad ambitum circuli 9H K. quare etiam PA4:N A
maiorem rationem habet, quam ambitus circuli ΘΗ Καὶ
ad arcum &.K P5) sed quam rationem habet ambitus
cireuli € HK ad arcum KP, eam habet 0 4 : 4X,
hoc enim demonstratum est [prop. 14]. erit igitur
PA: 4N 7» 04: AX; quod fieri non potest.*)) itaque
linea Z.4 neque maior est neque minor ambitu cir-
eui €H K. ilaque aequalis est.

1) Nam P A --ὦ 6 4.
|. 9$) Si ducitur HII, erit HII - ΠΘ maior arcu H6 (de
sph. et cyl. I λαμβ ? p.35 sed HII -|- I16 — 261I (Zeitschr.
f. Math., hist. jo ]V p. 181 nr. 15), et arcus

ΗΘ —920P»: ΘΠ.» 8P.

8) Nàm ἀνάπαλιν est 4P: ΝΡ .« 0G HK : GP (Pappus VII,
49 P 688), δ ἀναστρέψαντι AP: ΜΝ» ΘῊΚ: OKP (Pappus
VII, 48 p. 686).

4) PA 25 ΘΑ, et AN 7 AX; tum u. Eucl. V, 8.

18 IIEPI EAIKSNN.

(:9.

Ei δέ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας
ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύῃ εὐϑεῖα, καὶ ἀπὸ τᾶς
ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχϑῇ vig ποτ᾽ ὀρθὰς τᾷ ἀρχᾷ τᾶς

5 περιφορᾶς, συμπεσείται αὐτὰ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν,
καὶ ἐσσείται ἃ εὐθεῖα & μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ
τὰς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος διπλασία τᾶς τοῦ δευτέρου κύ-
XÁOU περιφερδίας.

ἔστω γὰρ ἃ μὲν ΑΒΓΘ ἕλιξ ἐν τᾷ πρώτα περι-

10 φορᾷ γεγραμμένα, ἃ δὲ ΘΕΤ ἐν τᾷ δευτέρᾳ, καὶ ὃ
μὲν ΘΚΗ͂ κύκλος ὁ πρῶτος, ὁ δὲ TMN ὃ δεύτερος.
ἔστω δέ τις γραμμὰ ἐπιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ
Θ, ἃ TZ, à δὲ ZA ποτ᾽ ὀρϑὰς ἄχϑω τᾷ TA. συμ-
πεσείται δὴ αὐτὰ và TZ διὰ τὸ δεδείχϑαι τὰν γωνίαν

15 ὀξεῖαν ἐοῦσαν τὰν ὑπὸ τῶν AT, TZ. δεικτέον, ὅτι
ἃ ΖΑ εὐϑεῖα διπλασία ἐντὶ τᾶς τοῦ TMN κύκλου
περιφερείας.

εἰ γὰρ μή ἐστι διπλασία, ἥτοι μείζων ἐστὶν ἢ δι-
πλασία ἢ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία. ἔστω πρότερον,

20 εἰ δυνατόν, μείξων ἢ διπλασία. καὶ λελάφϑω τις εὐ-
ϑεῖα ἃ 4.4 τᾶς μὲν Ζ4 εὐθείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ τοῦ
TMN κύκλου περιφερείας μείξων ἢ διπλασία, ἔστιν
δή τις κύκλος 0 TMN, καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ δε-
δομένα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἃ TN, καὶ ὃν ἔχει ἃ

26 ΤΑ͂ ποτὶ τὰν 4 A, μείξων τοῦ, ὃν ἔχει & ἡμίσεια τᾶς
TN ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ 4 κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγομέ-
v&v. δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ A4 ποτιβαλεῖν τὰν
AZ ποτὶ τὰν TN ἐκβεβλημέναν ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς

1. κ' F. 2. καὶ scripsi; κατὰ F, uulgo; del. Nizzius.
8. ἐπιψαυοι Ἐς; corr. Torellius. — 5. συνπεσειται F. — 7. αρχας

DE LINEIS SPIRALIBUS. 19

XIX.

Sin spiralem secunda circumactione descriptam in
lermino contingit linea, et a principio spiralis linea
ad principium circumactionis perpendicularis ducitur,
ea in lineam contingentem incidet, et linea inter con-
lngentem eli principium spiralis posita duplo maior
erib ambitu cireuli secundi. |

nam spiralis 4 BI'O prima circumactione descripta
sit, € ET autem secunda, et circulus 9K H primus
sit, TMN autem secundus. et linea aliqua T'Z spi-
ralem contingat in puncto 6, et linea ΖΑ͂ ad lineam
TA perpendicularis ducatur. ea igitur in lineam TZ
incidet, quia demonstratum est, angulum linéis 471,
TZ comprehensum acutum esse [prop. 17]. demon-
sirandum, lineam Z.4 duplo maiorem esse ambitu cir-
cui TMN.

nam si duplo maior non est, aut maior est aut
minor quam duplo maior. sit prius, si fieri potest,
maior quam duplex. et sumatur linea 4 4 minor quam
duplo maior linea Z.4, sed maior quam duplo maior
ambitu cireuli T'M.N [prop. 4]. itaque datus est cir-
eulus T MN, et in circulo linea minor diametro, T'N
[p. 73 not. 1], et [ratio] T4: 4.44 maior ea, quam
habet dimidia linea TN ad lineam ab 4 ad eam per-
pendieularem ductam [p. 13 not. 2]. fieri igitur pot-
est, αὖ ab 4 linea 4. ad lineam T'N productam ita

και τας F; corr. B. 14. δή] scripsi; δὲ F, uulgo. αὐτα)
Nizzius; τα αὐτὰ F, uulgo. 16. ουσαν F, uulgo. τὰν] τῶν

per comp. F; corr. 'V. 4TZ F, uulgo. — 23. γραμμὰ δεδο-
μένα] scripsi; γεγραάμμενα F, uulgo; γραμμά B; ,linea data'*
Cr. 24. ἔχει λόγον B*D, ed. Basil, Torellius (non C*).

80 ΠΕΡῚ EAIKSN.

περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας τὰν ΡΣ ποτὶ τὰν
ΤΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν & ΤΑ ποτὶ τὰν A A.
τεμεῖ δὴ & ΑΣ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ P, τὰν δὲ

ἕλικα κατὰ τὸ X. καὶ ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον
& ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΑ, ὃν ἁ ΤΡ ποτὶ τὰν 44. ἁ δὲ
ΤΡ ποτὶ τὰν 4.4 ἐλάσδονα λόγον ἔχει, ἢ ἃ TP περι-
φέρεια ποτὶ τὰν διπλασίαν τοῦ TMN κύκλου περι-
φέρειαν. ἔστιν γὰρ ἃ μὲν TP εὐϑεῖα ἐλάσσων τῶς
ΤΡ περιφερείας, ἃ δὲ 4.4 εὐϑεῖα μείζων ἢ διπλασία
10 τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας. ἐλάσσονα ἄρα
λόγον ἔχει & PZ ποτὶ τὰν AP, ἢ ἁ ΤΡ περιφέρεια
ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς τοῦ T.MN κύκλου περιφερείας.
ὅλα οὖν & ΣΑ͂ ποτὶ τὰν AP ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἢ
& TP περιφέρεια μετὰ τὰς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περι-
φερείας δὶς εἰρημένας ποτὶ τὰν τοῦ TMN κύκλου
περιφέρειαν δὶς εἰρημέναν. ὃν δὲ λόγον ἔχοντι αἵ
εἰρημέναι περιφερείαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον & ΧΑ
ποτὶ τὰν AT. δεδείκται γὰρ τοῦτο. ἐλάσσονα ἄρα
λόγον ἔχει & 42 ποτὶ τὰν AP, v) ἃ ΧΑ͂ ποτὶ τὰν TA
20 ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία &

σι

2. εχει F'; corr. B. 7. διπλασια F. ΤΗΝ] MN F;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 81

ducatur, ub sit ΡΣ: TP — T4:44. 42 igitur cir-
culum in puncto P secabit, spiralem autem in puncto X.
el uicissim erit [Eucl. V, 16]: ΡΣ: TA — TP: 44.
sed ratio T'P: 4.4 minor est ea, quam habet arcus TP
ad duplicem ambitum circuli TMN. nam linea TP
minor est arcu ΤΡ, et linea 4.4 maior quam duplo
maior ambitu circuli TM N. quare linea ΡΣ ad A4P!)
minorem rationem habet, quam arcus ΤΡ ad duph-
cem ambitum cireui TMN. itaque tota linea 2.4
ad 4P minorem rationem habet, quam arcus ΤΡ cum
ambitu circuli TM NN bis numerato ad ambitum cir-
eui T'MN bis numeratum.?) sed quam rationem ha-
bent ambitus, quos significauimus, eam habet X 4 : 4 T.
hoc enim demonstratum est?) itaque

AX :AP« XA:T A3
quod fieri non potest.) itaque linea Z4 maior non

1) Nam AP — AT.

2) Sc. συνθέντι; u. p. 67 mot. 2.

8) Prop. 15; hoc loco altera line& in terminum spiralis
cadit; sed hoc nihil ad demonstrationem referre, diserte dictum
est prop. 14 p. 60, 6 et 16 coroll. p. 62, 15. tum arcus a linea
ad terminum apiralis uersus abscisus nullus est.

4) Nam 42/7 X4 ei AP — T 4; ium ἃ. Eucl. V, 8.

M ed. Basil, uulgo; corr. Torellius. 14. τοῦ] addidi; om.

F, uulgo. 15. εἰλημμένας et lin. 16 εἰλημμέναν Torellius.
16. ἐχουσιν F, uulgo. 19. AP 75 ἁ XA ποτὶ τάν repetuntur
in F.

Archimedes, ed. Heiberg. IL 6

82 ΠΕΡῚ EAIKQN.

ΖΑ εὐθεῖα τᾶς τοῦ T.MN κύκλου περιφερείας. ὁμοίας
δὲ δειχϑησέται, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἢ διπλασία. δῆλον
οὖν, ὅτι διπλασία ἐστίν.

ΠΟΡΙΣΜΑ.

b διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δεικτέον, καὶ εἴ κα τᾶς
ἐν ὁποιαοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ
τις εὐθεῖα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, καὶ ἀπὸ τᾶς
ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος sov ὀρϑὰς ἀχϑεῖσα τᾷ ἀρχᾷ τᾶς
περιφορᾶς συμπίπτῃ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὅτι πολλα-

10 πλασία ἐστὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοῦ κατὰ
τὸν ἀριϑμὸν τὰς περιφορᾶς λεγομένου τῷ αὐτῷ
ἀριϑμῷ.

κ΄.
Εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γε-
15 γραμμένας εὐϑεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ μὴ κατὰ τὸ πέράς
τᾶς ἕλικος, ἀπὸ δὲ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς £AL-
κος εὐθεῖα ἐπιξζευχϑῇ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ ἀρχᾷ τᾶς
ἕλικος, διαστήματι δὲ τᾷ ἐπιξευχϑείσᾳ κύκλος γραφῇ»
ἀπὸ δὲ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχϑῇ τις ποτ᾽ ὀρϑὰς τᾷ
20 ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιξευχϑείσα,
συμπεσείται αὐτὰ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, καὶ ἐσσείται
& μεταξὺ εὐθεῖα τὰς τε συμπτώσιος καὶ τᾶς ἀρχᾶς
vüg ἕλικος ἴσα τᾷ περιφερείᾳ τοῦ γραφέντος κύκλου
τῷ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς τομᾶς, καϑ᾽ ἂν τέμνει
οὔ ὁ γραφεὶς κύκλος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφορᾶς, ἐπὶ τὰ
9. ὅτι) Nizzius; om. F, uulgo. 13. κα΄ F. 19. τὰ]
om. Εἰ; corr. ABC. Initio prop. 20 spatium uacat in F. 81.
ἐσσείται] εὔειται F. 22. συμπτώσιος] scripsi; συμπτωσιας F,

uulgo. 24. τᾷ] τας F; corr. B man. 2. — dv) scripsi; ὁ F,
nulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 83

est quam duplo maior ambitu circuli TM N. οἱ &i-
militer demonstrabimus, eam ne minorem quidem esse
quam duplo maiorem. adparet igitur, eam duplo ma-
lorem esse.

COROLLARIUM.

Eodem modo demonstrandum, etiam si spiralem
qualibet cireumactione descriptam linea in termino
spiralis contingat, et ἃ principio spiralis linea ad
principium cireumaetionis perpendicularis ducatur et
in contingentem incidat, eam toties multiplicem esse
quam ambitum circuli ex numero circeumactionis nomi-
nati, quoties indicet idem numerus.!)

XX.

Si spiralem prima circumactione descriptam recta
linea contingib extra terminum spiralis, et ἃ puncto
iactionis ad principium spiralis linea ducitur, et de-
Scribitur circulus, cuius centrum est principium spira-
lis, radius autem linea ducta, et a principio spiralis
lne& ducitur ad lineam a puncto tactionis ad prin-
cipium spiralis ductam perpendicularis, ea in lineam
contingentem incidet, et linea inter punctum concur-
sionis ei principium spiralis posita aequalis erit am-
bitui circuli descripti inter punctum actionis et sec-
lionem posito, in qua cireulus descriptus principium

1) Ofr. prop. 15 coroll. et prop. 17 coroll.

84 ΠΕΡῚ ἘΛΙΚΟΝ,

προαγούμενα λαμβανομένας τᾶς περιφερείας ἀπὸ τοῦ
σαμείου τοῦ ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἃς ἃ ABD, ἐν τᾷ πρώτᾳ περι-
φορᾷ γεγραμμένα, καὶ ἐπιψαυέτω τις αὐτᾶς εὐϑεῖα ἃ
EA4Z κατὰ τὸ 4, ἀπὸ δὲ τοῦ 4] ποτὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς
ἕλικος ἐπεξεύχϑω ἁ 44, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ A, δια-
στήματι δὲ τῷ 44 κύκλος γεγράφϑω ὁ Ω ΜΝ. τε-
μνέτω δ᾽ οὗτος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφορᾶς κατὰ v K.
ἄχϑω δὲ ἃ ZA ποτὶ τὰν 44] ὀρϑά. ὅτι μὲν οὖν
αὐτὰ συμπίπτει ποτὶ τὰν Z4, δῆλον" ὅτι δὲ καὶ ἴσα
ἐστὴν ἃ Z4 εὐϑδϑεῖα τᾷ KMN A περιφερείᾳ, δεικτέον.

δἰ γὰρ μή, ἤτοι μείξων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω,
εἰ δυνατόν, πρότερον μείξων. λελάφϑω δή τις & 4.4

τᾶς μὲν ΖΑ εὐϑείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ KMN A περι-
φερείας μείξων. πάλιν δὴ κύχλος ἐστὶν ὁ KMN, καὶ
ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἃ AN,
καὶ λόγος, ὃν ἔχει & 4.4 ποτὶ 4.4 usífov τοῦ, ὃν
ἔχει ἃ ἡμίσεια τᾶς ΔΝ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ 4 κάϑετον
ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγμέναν. δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α
ποτιβαλεῖν τὰν AE ποτὶ τὰν N44 ἐκβεβλημέναν, ὥστε
τὰν EP ποτὶ τὰν 4Ρ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν ἁ
44 ποτὶ τὰν 4.4. δεδείκται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν.

1. προαγμενὰα F, supra scripto compendio ov insolenter

DE LINEIS SPIRALIBUS. 85

cireumaclionis secat, ambitu ἃ puncto in principio
eireumactionis posilo ad praecedentia uersus sumpto.

sib spiralis, in qua sit 4 BIZ, prima cireumactione
descripta, et eam contingat linea aliqua EZ1Z in
puncto 4, et a puncto 7f ad principium spiralis du-
eatur 441, οὐ describatur circulus 44M N, cuius cen-
irum sit 4, radius autem 4171. hic autem principium
eireumactionis in puncto K secet. et ducatur linea Z 4
ad lineam 4471 perpendicularis. adparet igitur, eam in
lineam ZZ incidere [angulus enim 47/Z acutus est;
prop.16]. sed demonstrandum est, lineam Z4 etiam
aequalem esse arcui K M N Zf.

nam 51 non est, aut maior esb aut minor. sit prius,
8i fieri potest, maior. sumatur igitur linea 744 minor
linea Z.4, sed maior areu K MN Z4 [prop. 4]. rursus
igitur datus est cireulus K MN, et in circulo linea
4N minor diametro [p. 73 not.1], et ratio 144: 4.4
malor ea, quam habet dimidia linea z/ N ad lineam ab
4 ad eam perpendicularem ductam [p. 73 not. 2].
fieri igitur potest, ut ab 44 ducatur linea AE ad li-
neam ANZ/ productam, ita ut sit EP: AP — 44:4 4.
nam demonstratum est, hoc fieri posse [prop. 7]. quare

ducto; προαγευμενα ed. Baeil. 8. περιφορᾷ] Torellius; om.

, uulgo. 4. καί supra scriptum manu 1 F. 5. EAZ]
Nizzius; AEZ F, 4EZ uulgo. 8. ovrog ἘΠ; corr. Torellius.
10. ποτὶ τὰν ZA] addidi; om. F, uulgo. 18. πρωτερον F.
δή] scripsi; δὲ F, uulgo. 17. most] προς per comp. Εἰ; corr.
Torellius.

σι

86 ΠΕΡῚ EAIKSN,

ξξει οὖν καὶ ἃ EP ποτὶ τὰν AP τὸν αὐτὸν λόγον,
ὃν ἃ 4Ρ ποτὶ τὰν 44. ἁ δὲ 4Ρ ποτὶ τὰν 4.4
ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἢ ἁ 4 περιφέρεια ποτὶ τὰν
Κὶ ΜΖ περιφέρειαν, ἐπεὶ ἃ μὲν 4} ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς
ΖΡ περιφερείας, à δὲ 44 μείξων τᾶς KM περι-
φερείας. ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ἃ EP εὐϑεῖα ποτὶ
PA, ἢ ἃ AP περιφέρεια ποτὶ τὰν K MA περιφέρειαν:
ὥστε καὶ ἃ AE ποτὶ AP ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἢ ἁ

KMP περιφέρεια ποτὶ τὰν KM περιφέρειαν. ὃν,

δὲ λόγον ἔχει ἃ ΚΜΡ ποτὶ τὰν KM. περιφέρειαν,
τοῦτον ἔχει ἃ ΧΑ͂ ποτὶ 44. ἐλάσσονα ἄρα λόγον
ἔχει & ΕΑ ποτὶ AP, & AX ποτὶ 4.4. ὅπερ ἐστὶν
ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείξων ἃ Ζ.4 vàg KM περι-
φερείας. ὁμοίως δὲ volg πρότερον δειχϑησέται, ὅτι
οὐδὲ ἐλάσσων ἐστίν' ἴσα ἄρα.

IIOPIZMA.

διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχϑησέται, καὶ εἴ κα
τᾶς ἐν τῷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπι-
ψαύῃ εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, τὰ δὲ ἄλλα
τὰ αὐτὰ κατασκευασϑέωντι, ὅτι ἃ μεταξὺ εὐθεῖα ἃ
ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν συμπίπτουσα τᾶς τε συμπτώ-
σιος καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα ἐστὶν ὅλᾳ τᾷ τοῦ
γραφέντος κύκλου περιφερείᾳ καὶ ἔτι và μεταξὺ τῶν
εἰρημένων δαμείων, ὡσαύτως τᾶς περιφερείας λαμβα-
νομένας. καὶ εἴ κα τὰς ἐν ὁποιαοῦν γεγραμμένας
περιφορᾷ ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέ-

———M

2. δὲ 4P] δὲ AP F; corr. Torellius. 6. ποτί] προς per

, comp. F; oorr. Torellius, ut lin. 8, 9, 10, 11, 12 (bis). . 9.

ταν) addidi; om. F, uulgo. 19. ἁ E4] ῆ ÉA F; corr. To-
rellius. ἃ AX] ἃ om. F. 15. ἐση F ; corr. Torellius.
20. κατασκευασϑεντι Ἐπ corr. Torellius. 'é] (alt. scripsi; τὰς

DE LINEIS SPIRALIBUS. 87

eliam erit [Eucl. V, 16] EP: 4Ρ — 4P: 4.4.3) sed
4 P ad 4.4 minorem rationem habet, quam arcus ΖΡ
ad arcum KM, quoniam linea 41} minor est arcu
4P, linea autem 444 maior arcu KM [ex hypo-
thesi] itaque EP ad P4 minorem rationem habet,
quam arcus 4 ad arcum K M. quare eliam AE
ad 4P minorem rationem habet, quam arcus K MP
ad arcum Καὶ MZ?) sed quam rationem habet arcus
K M P ad arcum K M 4, eam habet X 4: “4 [prop. 14].
ert igitur EA: 4P « 4X: 44; quod fieri non pot-
esi?) quare linea Z4 arcu Καὶ ΜΖ maior non est. et
eodem modo, quo supra, demonstrabimus, ne minorem
quidem eam esse. itaque aequalis est.

COROLLARIUM.

Eodem autem modo demonstrabimus, etiam si spi-
ralem secunda cireumactione descriptam linea contingat
exira terminum spiralis, et cetera eadem comparentur,
lineam in contingentem incurrentem inter punctum
concursionis et principium spiralis comprehensam ae-
qualem esse toli ambitui circuli descripti et praeterea
arcul inter puncta, quae commemorauimus [p. 82, 24],
comprehenso, arcu eodem modo sumpto. et etiam si
spiralem qualibet cireumactione descriptam linea con-
lingat exira terminum spiralis, οὐ cetera eadem com-

1) Nam dA - AP.
2) συνθέντι; u. p. 67 not. 2.
3) Nam AP — 44 et EA 7 AX; tum u. Eucl. V, 8.

——M —À — M— M À € M M HÀ — M

F, uulgo; om. B. 21. συμπιπτούσας Torellius. τᾶς τε
συμπτώσιος] addidi; om. F, uulgo. 22. καί] ἀπό ed. Basil,
Torellius. 26. περιφορας Εἰ; corr. À.

88 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

ρας τᾶς ἕλικος, τὰ δὲ ἄλλα và αὐτὰ κατασκευασϑέωντι,
ὅτι & μεταξὺ εὐϑεῖα τῶν εἰρημένων σαμείων πολλα-
πλασία τίς ἐστι τᾶς τοῦ γραφέντος κύκλου περιφερείας
κατὰ τὸν ἑνὶ ἐλάσσονα ἀριϑμὸν τοῦ, καϑ᾽ ὃν cl περι-

δ φοραὶ λεψγόνται, καὶ ἔτι ἴσα τᾷ μεταξὺ τῶν εἰρημένων

σαμείων ὁμοίως λαμβανομένᾳ.

κα΄.

Δαμβάνοντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε

τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας
10 καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς πρώτας ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περί-
φορᾶς δυνατόν ἐστι περὶ αὐτὸ σχῆμα ἐπίπεδον περι-
γράψαι καὶ ἄλλο ἐγγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκεί-
μενον. ὥστε τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμμένου
μεῖξον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου.

15 ἔστω ἕλιξ, ἐφ᾽ ἧς & 4ΒΓΖ, ἐν τᾷ πρώτᾳ περι-
φορᾷ γεγραμμένα. ἔστω δὲ ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Θ
σαμεῖον, ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς & ΘΑ͂, 0 δὲ πρῶτος
κύχλος ὁ ZHIA, αἱ δὲ
AH, ZI διαμέτροι αὐτοῦ
ποτ᾽ ὀρϑὰς ἀλλάλαις. ἀεὶ
δὴ τᾶς ὀρϑᾶς γωνίας
δίχα τεμνομένας καὶ τοῦ
τομέως τοῦ τὰν ὀρϑὰν
γωνίαν περιέχοντος ἐσ-
σείται τὸ καταλειπόμενον
τοῦ τομέως ἔλαδσδον τοῦ
προτεϑέντος. καὶ ἔστω
γεγενημένος ὁ τομεὺς ὁ

1. κατεσκευασϑαιωντι F. — 4. ἑνί] Torellius; om. F, uulgo.
6. λαμβανομένᾳ] scripsi; λαμβανομενας F, uulgo. 7. κβ΄ F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 89

parentur, lineam inter puncta, quae significauimus,
comprehensam toties multiplicem esse quam ambitum
eireuli descripti, quoties indicel. numerus uno minor
eo, quo circumactiones nominentur, et praeterea aequa-
lem [arcui] inter puncta, quae commemorauimus, eo-
dem modo sumpto.)

XXI.

Sumpto spatio comprehenso spirali prima circum-
actione descripta et linea prim& earum, quae in prin-
eipio cireumactionis sunt, fieri potest, ut circum hoe
spatium circumseribatur figura plana et alia inscriba-
iur ex similibus sectoribus compositae, ita ut figura
circumscripta excedat inscriptam spatio minore, quam
est quodlibet spatium datum.

sib spiralis, in qua sit 4.Β ΓΖ, prima circumactione
descripta. ei principium spiralis sit punctum 6,
principium autem circumactionis linea 6.4, οὐ primus
circulus ZHI 4, οἱ diametri 4H, ZI inter se perpen-
diculares. angulo igitur recto eti sectore, qui rectum
angulum comprehendit, semper deinceps in duas partes
aequales diuiso, quae relinquitur pars sectoris, [ali-
quando] minor erit dato spatio [Eucl X, 1]. et ortus

1) Cfr. prop. 16 coroll, prop. 17 coroll.

8. λαμβάνοντα λαβόνταῦ 132. τομων F; corr. Nizzius; idem
uerba ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον post περιγράψαι collocat.
20. ποτ᾽] προς per comp. Εἰ; corr. Torellius. αλληλαις F ad-
dito compendio ας supra 4; corr. Torellius. 23. τὴν ορϑὴην
F; corr. Torellius. In figura ordo litterarum turbatus est in F.

90 ΠΕΡῚ ΕΛΙΚΩ͂Ν.

ὄ

46K ἐλάσσων τοῦ προτεϑέντος χωρών. διαιρήσϑω-
ὅαν δὴ αἱ γωνίαι αἱ τέσσαρες ὀρϑαὶ εἰς τὰς ἴσας
γωνίας τᾷ περιεχομένᾳ ὑπὸ τᾶν 460, ΘΚ, καὶ c που-
οὔύδσαι τὰς γωνίας εὐϑείαι ἔστε ποτὶ τὰν ἕλικα ἄγϑω-
cav. καϑ᾽ ὃ δὴ τέμνει σαμεῖον ἃ ΘΚ τὰν ἕλικα, ἔστω
τὸ 4, καὶ κέντρῳ τῷ Θ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΑ͂ xvxAog
γεγράφϑω. πεσείται δὴ αὐτοῦ ἁ μὲν εἰς τὰ προαγού-
μενα περιφέρεια ἐντὸς τᾶς ἕλικος, ἃ δὲ εἰς τὰ ἑπό-
μενα ἐκτόρ. γεγράφϑω δὴ ἃ περιφέρδια, ἔστε κα συμ-
πέσῃ τᾷ ΘΑ͂ κατὰ τὸ O, ἁ ΟΜ, καὶ τᾷ μετὰ τὰν ΘΚ
εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσᾳ. πάλιν δὴ καὶ
x«9' ὃ τέμνει τὰν ἕλικα σαμεῖον ἃ ΘΜ, ἔδτω τὸ Ν,
καὶ κέντρῳ τῷ O, διαστήματι δὲ τῷ ΘΝ κύκλος ys-
γράφϑω, ἔστε κα συμπέσῃ & περιφέρεια τοῦ κύκλου
τᾷ ΘΚ καὶ τῷ μετὰ τὰν O M ποτιπιπτούσᾳ ποτὶ τὰν
ἕλικα. ὁμοίως δὲ καὶ διὰ τῶν ἄλλων πάντων, κατ᾽
ἃ τέμνοντι τὰν ἕλικα αἴ τὰς ἴσας γωνίας ποιούδαε,
κύκλοι γεγράφϑωσαν κέντρῳ τῷ Θ, ἔστ᾽ ἂν συμπέσῃ
ἑκάστα ἃ περιφέρδια τᾷ τε προαγουμένᾳ εὐθείᾳ καὶ
τᾷ ἑπομένᾳ. ἐσσείται δή τι περὶ τὸ λαφϑὲν χωρίον
περιγεγραμμένον ἐξ ὁμοέων τομέων συγχείμενον καὶ
ἄλλο ἐγγεγραμμένον. ὅτι δὲ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα
τοῦ ἐγγεγραμμένου “μεῖξόν ἐστιν ἐλάσσονι τοῦ προ-
τεϑέντος χωρίου, δειχϑησέται. ἔστιν γὰρ ὁ μὲν 0 40
τομεὺς ἴδος τῷ OM 4, ὃ δὲ ΘΝΠ τῷ ONP, ὁ δὲ
ΘΧΣ τῷ OXT, ἔστιν δὲ καὶ τῶν ἄλλων τομέων

2. δὴ αἴ δὴ ov» Ε; corr. B. 8. τας περιεχομενας E;
corr. Torellius. 4. ἔστε ποτέ] scripsi; eG τὴν κατὰ F, uulgo;
ἐκβεβλήσθωσαν ἐστ᾽ ἂν κατά lorelhus. ἄγχθωσα» B; αχϑω-
σιν F, uulgo; ἀγϑῶντι Torellius, 1. 95] δὲ F; corr. ΒΞ. σπρο-

, ἀγούμενα] scripsi; προαγωμενα F; προαγόμενα uulgo. 8. περι-

φερειαι Y. 9. ἔστε καὶ scripsi; Ἔσται (comp.) καν F, uulgo;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 91

ϑιὺ seclor 40 K dato spatio minor. diuidantur igitur
anguli recii quattuor in angulos ei aequales, qui
lineis 49, 6 K comprehenditur, et lineae angulos
efficientes usque ad spiralem producantur. punctum
igitur, in quo linea ΘΙ spiralem secat, sit 4, οὐ de-
seriba&ur circulus, euius centrum sit O, radius autem
0.4. ea igitur pars ambitus eius, quae in praecedenti-
bus est, inira spiralem cadet, quae in sequentibus est,
exira. describatur igitur ambitus usque eo, ut occurrat
et lineae ΘΩ͂ in puncto O et lineae post O K ad spi-
ralem ductae, et sit ΟΜ. rursus igitur punctum, in
quo linea G.M spiralem secat, sib Ν, et describatur
eirculus, cuius centrum sit 6, radius autem 9 N, usque
eo, ut ambitus circuli lineae ΘΙ et lineae post. 9 M
ad spiralem dueiae occurrat. et eodem modo etiam
per cetera omnia puncta, in quibus lineae aequales
angulos efficientes spiralem secant, circuli describantur
quorum centrum sit O, usque eo ut singuli ambitus
οὐ praecedenti lineae et sequenti occurrant. itaque
eireum spatium sumptum [figura] quaedam circum-
scripta erit et alia inscripta ex similibus sectoribus
compositae. demonsirabimus autem, figuram circum-
scripbam excedere inscriptam spatio minore, quam
est datum spatium. est enim 0 40 — 6 M A,

F; corr. B. 16. x«9' α Torellius. 19. ἕκαστας Ἐ: corr.
Torellius. —zQocyovuévo] scripsi; προαγομενα F, uulgo. 2320.
ἐσσείται} scripsi; Ἔσται per comp. F, uulgo. 21. περιγεγραμ-
μένον σχῆμα Torellus. τομαιῶν F.

99 ΠΕΡῚ EAIKON.

ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι ἴσος τῷ
κοινὰν ἔχοντι πλευρὰν τομεῖ τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ
σχήματι τομέων. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ πάντες οἵ τομεῖς
πάντεσσιν ἴσοι ἐσσούνται. ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἐγγε-
γραμμένον σχῆμα ἐν τῷ χωρίῳ τῷ περιγεγραμμένῳ
περὶ τὸ χωρίον σχήματι χωρὶς τοῦ ΘΑ͂Κ τομέως. μό-
νος γὰρ οὗτος οὐ λελάπται τῶν ἐν τῷ περιγεγραμ-
μένῳ σχήματι. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμμένον
Oy τοῦ ἐγγεγραμμένου μεῖξόν ἐστι τῷ 4 ΚΘ τομεῖ,
ὃς ἐλάσσων ἐστὶν τοῦ προτεϑέντος.

IIOPIZMA.

ἐκ τούτου δὲ φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστι περὶ τὸ
εἰρημένον χωρίον σχῆμα, οἷον εἰρήται, γράφειν, ὥστε
τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα μεῖξον εἶμεν τοῦ χωρίου
ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου, καὶ πάλιν
ἐγγράφειν, ὥστε τὸ χωρίον ὁμοίως μεῖξον εἶμεν τοῦ
ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέν-
τος χωρίου.

κβ΄.

“Μαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶς ἕλι-
κος τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς
εὐθείας, & ἐστι δευτέρα τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφο-
ρᾶς δυνατόν ἐστι περὶ αὐτὸ σχῆμα ἐπίπεδον περιγρά-
ψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι,
ὥστε τὸ περιγραφὲν τοῦ ἐγγραφέντος μεῖξον εἶμεν
ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου.

4. ἐσουνται F, uulgo. δ. τῷ] (alterum) ro F. 7. οὐ
addidi cum Nizzio; om. F, uulgo; λέλειπται B. 9. ueites]

BCD; usi£o» F, uulgo. 14. εἶμεν] Torellius; eio: per comp. F,
uulgo. 16. ἐλάσσονι] ελασσον εἰμὲν Εἰ; corr. B. παῖ cum

DE LINEIS SPIRALIBUS. 93

seclorum unusquisque eorum, qui in figura inscripta
sunt, aequalis est sectori latus commune habenti eorum,
qui in figura circumscripta sunt. adparet igitur, etiam
omnes sectores omnibus aequales fore. itaque figura
spatio inscripta aequalis est figurae circumscriptae
praeter sectorem 69.4 K. hic enim solus non adsump-
ius est eorum, qui in figura circumscripta sunt.
adparet igitur, figuram cireumscriptam excedere in-
scriplam sectore 44K, qui minor est spatio dato
[ex hypothesi].

COROLLARIUM.

Hinc autem manifestum est, fieri posse, αὖ circum
spatium, quod commemorauimus, figura huiusmodi de-
scribatur, ita ut figura circumscripta spatium excedat
spatio minore, quam est quodlibet spatium datum, et
rursus inscribatur, ita ut spatium eodem modo figuram
inscriptam excedat spatio minore, quam est quodlibet
datum spatium.)

XXII.

Sumpto spatio comprehenso spirali secunda circum-
actione descripta et linea secunda earum, quae in
principio circumactionis sunt, fieri potest, ut circum
id [spatium] figura plana circumsceribatur et alia in-
scribatur ex similibus sectoribus compositae, ita ut
figura circumscripta excedat inscriptam spatio minore,
quam est quodlibet datum spatium.

1) Nam spatium maius est figura inscripta, minus uero cir-
cumscripta.

comp. ἢν uel ἐν F. 16. uei£ cum comp. ov Ε. 19. κγ΄ F.
: 90. υπό ce B, Torellius.

94 ΠΕΡῚ EAIKQNN.

ἔστω EE, ép! dg ἃ ΜΒΓΖΔΕ, ἐν và δευτέρᾳ
περιφορᾷ γεγραμμένα. καὶ ἔστω τὸ μὲν O0 σαμεῖον
ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, & δὲ 4Θ ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, ἃ
ὃὲ ΕΑ ἁ δευτέρα εὐθεῖα τῶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περι-

ὅ φοῤᾶς. ὁ δὲ AZH κύκλος ἔστω δεύτερος, καὶ αἵ
ΑΓΗ͂, ZI διαμέτροι αὐτοῦ ποτ᾽ ὀρϑὰς ἀλλάλαις.
πάλιν οὖν δίχα τεμνομένας τᾶς ὀρϑᾶς γωνίας καὶ
τοῦ τομέως τοῦ τὰν ὀρϑὰν γωνίαν περιέχοντος ἐσσεί-
ται τὸ καταλειπόμενον ἔλασσον τοῦ προτεθέντος. καὶ
10 ἔστω γεγενημένος ὁ ΘΚΑ͂ τομεὺς ἐλάσσων τοῦ’ προ-
τεϑέντος. διαιρεϑεισᾶν δὴ v&v ὀρϑᾶν γωνιᾶν εἰς τὰς
ἴσας γωνίας τᾷ ὑπὸ τᾶν ΚΘ, ΘΑ͂ καὶ τῶν ἄλλων
καταδσχευασϑέντων κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον ἐσσεί-
ται τὸ περιγεγραμμένον δὄχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου
16 σχήματος μεῖξον ἐλάσσονι, ἢ ὁ τομεὺς ὁ ΘΚΑ͂. μεῖξον
γὰρ ἐσσείται τᾷ ὑπεροχᾷ, & ὑπερέχει 0 ΘΚΑ͂ τομεὺς

tov O EP.

IIOPIZMA A'.
δῆλον οὖν, ὅτι δυνατόν ἐστι xal τὸ περιγραφὲν
20 σχῆμα τοῦ λαφϑέντος χωρίου μεῖξον εἶμεν ἐλάσσονι
παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου, καὶ πάλιν τὸ λαφϑὲν
χωρίον μεῖξον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσ-
6ovL παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου.

6. ACH] «ΤῊ F; corr. ACD; ΓΗΒ, ed. Basil.; 4H To-
rellius. ποτ᾽) προς per comp. Εἰ; corr. Torellius. αλλη-
λαις F; corr. Torellius. — 7. zo4 cum comp. ἣν uel εν Εἰ, ut
lin. 21. ἀεὶ δέχα Torellius. 8. τὴν ορϑὴν (comp.) F; corr.
Torelius. 9. x«l ἔστω ad προτεϑέντος lin. 11 mg. F, manu 1,
signo adposito, quod idem in textu exstat; χωρέου addidit (lin.
11) ed. Basil, Torellius. 12. τὰν] τῶν per comp. F; corr.
Torellius. K6 A F, uulgo. 15. ueitov] (alt.) μειξων per
comp. F; corr. Torellius. 16. τῷ] Torellius; ἃ F, uulgo. 20.
λαμφϑέεντος F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. . 95

sib spiralis, in qua sit 4BI'4E, secunda circum-
actione descripta. et punctum 6 principium sit Spi-
ralis, linea autem 449 principium circumactionis, linea
&ulem E.4 secunda earum, quae in principio circum-
actionis sunt. ei circulus 4Z.H secundus sit, εὐ 4 ΓΗ͂,
ZI diameliri eius inter se perpendiculares. rursus
igitur recto angulo ei seciore rectum angulum com-
prehendenti in partes
aequales diuiso, quod re-
linquiur, minus erit dato
spatio [Eucl. X, 1]. et
ortus sit sector 60K 4
M dato spatio minor. an-
gulis igitur rectis [quat-
iuor] in angulos aequa-
les angulo lineis ΚΘ, ΘΑ͂
comprehenso diuisis et
celeris eodem modo, quo
antea, comparatis figura circumscripta excedet in-
Scriplam spatio minore, quam est sector ΘΚ 4. ex-
cedet enim spatio, quod est, 9 K 4 —- € EP.

COROLLARIUM 1.

Adparet igitur, fieri posse, ut figura circumscripta
spatium sumptum excedat spatio minore, quam esi
quodlibet spatium datum, et rursus ut spatium sump-
ium figuram inscriptam excedat spatio minore, quam
est quodlibet datum spatium [p. 98 not. 1].

96 | ΠΕΡῚ EAIKQN.

IIOPIZMA Β΄.

διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου φανερόν, διότι δυνατὸν
λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό vs τᾶς
ἕλικος τᾶς ἐν ὁποιαοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ
ὅ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς κατὰ τὸν
αὐτὸν ἀριϑμὸν λεγομένας περιγράψαι σχῆμα, οἷον
εἰρήται, ἐπίπεδον, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖξον
εἶμεν τοῦ λαφϑέντος χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ
προτεϑέντος χωρίον, καὶ πάλιν ἐγγράψαι, ὥστε τὸ
10 λαφϑὲν χωρίον μεῖξον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήμα-

τος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου.

κγ΄.
Ααβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς
ἕλικος, & ἐστιν ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμ-
15 μένας, οὐκ ἐχούσας πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ
τῶν εὐθειᾶν τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς ἕλικος ἀγο-
μέναν δυνατόν ἐστι περὶ τὸ χωρίον σχῆμα ἐπίπεδον
περιγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο
ἐγγράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος
80 μεῖξον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου.
ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἃς & ABI'AE, πέρατα δὲ αὐτᾶς
τὰ 4, E, ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλικος τὸ Θ, καὶ ἐπεξεύχ-
ϑωσαν αἱ 40, ΘΕ. γεγράφϑω δὴ κύκλος κέντρῳ
μὲν τῷ Θ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΑ͂, καὶ συμπιπτέτω τῷ
26 ΘΕ κατὰ τὸ Z. ἀεὶ δὴ τᾶς γωνίας τᾶς ποτὶ τῷ Θ
καὶ τοῦ τομέως τοῦ OZ δίχα τεμνομένων ἐσσείται
τὸ καταλειπόμενον τοῦ προτεϑέντος ἔλασσον. ἔστω
ἐλάσσων ὁ τομεὺς ὁ ΘΑ͂Κ τοῦ προτεϑέντος. ὁμοίως

1. πόρισμα β΄] mg. Πορισμα (comp.) F. 2. διότι] ὅτι
Nizzius. 7. ὥστε] soto per comp. F; corr. AB. 9. sto

DE LINEIS SPIRALIBUS. 91

COROLLARIUM II.

Et eadem ratione manifestum est, fieri posse, ut
sumpto spatio comprehenso spiral qualibet circum-
actione descripta et linea eodem numero nominata
earum, quae in principio circumactionis sunt, figura
plana eius modi circumscribatur, ita ut figura circum-
scripta spatium sumptum excedat spatio minore, quam
est quodlibet spatium datum, et rursus inscribatur, ita
αὖ spatium sumptum figuram inscriptam excedat spatio
minore, quam est quodlibet datum spatium.

XXIII.

Sumpto spatio comprehenso spirali, quae minor est
spirali una cireumactione descripta, sed cuius terminus
non est principium spiralis, et lineis a terminis spi-
ralis ductis fieri potest, ut circum id spatium figura
plana cireumseribatur et alia inscribatur ex similibus
seetoribus compositae, ita ut figura circumscripta ex-
cedat inscriptam spatio minore, quam est. quodlibet
datum spatium.

sib spiralis, in qua sib 4BI'^ E, et termini eius
4, E puncta, ei principium spiralis sit Θ, et ducantur
lineae 460, ΘΕ. describatur igitur circulus, cuius
eentrum 5810 6, radius autem 69.4, οὐ in lineam 6 E
incidat in puncto Z. ilaque angulo ad € posito et
sectore 9 4Z semper deinceps in duas partes aequales

cum comp. y» uel,» F. 12. xà Βὶ 14. ἐστι. LE, uulgo. 16.
τοῦ πέρατος Biualtus, Torellius. 26. d] scripsi; δὲ F, uulgo.
τῷ} scripsi; ro F, uulgo. 26. ἐσσεέται) scripsi; ἔσται per
comp. F, uulgo.

Archimedes, ed. Helberg. II. (i

98 HÉPI EAIKSN.

δὴ τοῖς πρότερον γεγράφϑωσιαν κύκλοι διὰ τῶν σα-
μείων, x«9' ἃ τέμνοντι τὰν ἕλικα αἵ τὰς ἴσας γωνίας
ποιούδσαι ποτὶ τῷ Θ, ὥστε τᾶν
περιψερειᾶν ἑκάσταν συμ-
πίπτειν τᾷ τε προαγουμένᾳ
καὶ τᾷ ἑπομένᾳ. ἐσσείται δή τι
περὶ τὸ περιεχόμενον χωρίον
ὑχό ts τᾶς 4ΒΓΖΕ ἕλικος
καὶ τῶν 40Θ, OE εὐϑειᾶν
περιγεγραμμένον σχῆμα ἐπί-
πεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγ-
κείμενον καὶ ἄλλο ἐγγεγραμ-

μένον, καὶ τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμμένου

ἐλάσσσνι ὑπερέχει τοῦ προτεϑέντος χωρίου. ἐλάσσων
15 γάρ ἐστιν ὁ OAK τομεύῦς.

IIOPIZMA,

ἐκ τούτου φανερόν ἐστιν, ὅτι δυνατόν ἐστιν περὶ
τὸ εἰρημένον χωρίον σχῆμα ἐπίπεδον, οἷον εἰρήται,
περιγρώψαι ὥστε τὸ περίὶγραφὲν σχῆμα μεῖξον εἶμεν
20 τοῦ χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου,
καὶ πάλιν ἐγγράψαι ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον μεῖξον
εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ

σιροτεϑέντος χωρέου.

κδ΄.

25 Τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό vs τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν
τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς
πρώτας τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς τρίτον μέρος
ἐστὶ τοῦ κύκλου τοῦ πρώτου.

2. τεμνουσιν τὴν F; corr. Torellius. 8. τῷ] Torellius;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 99

diuiso, quod relinquitur, minus erit spatio dato. sec-
tor 6,.4,K sib dato spatio mimor. eodem igitur modo,
quo g8niea, circuli deseribantur per ea puncta, in
quibus lineae aequales angulos ad € punoium efficien-
ies spiralem secant, ita ui unusquisque arcus et prae-
cedenti lineae eb sequenti oecnrrat. eri igitur circum
spatium comprehensum spirali 4BI'4 E et lineis 46,
ΘΕ figura plana cireumscripta et alia inscripta ex
similibus sectoribus compositae, οὐ figura circumscripta
excedit inscripiam spatio minore, quam est datum spa-
tium. eo enim minor esi sector 6 4 K.

COROLLARIUM.

Hinc manifestum est, fieri posse, ut circum spatium,
quod commemorauimus, figura plana eiusmodi circum-
scribatur, iia αὖ figura circumscripta excedat spatium
spatio minore, quam est quodlibet datum spatium, et
rursus inscribatur, ita ut spatium illud figuram in-
seriptam excedat spatio minore, quam est quodlibet
datum spatium [p. 93 not. 1].

XXIV.
Spatium comprehensum spirali prima circumactione
descripta ei linea prima earum, quae in principio cir-
eumactionis sunt, tertia pars est circuli primi!)

1) Hoe theorema suis uerbis propositum et propria ratione
demonstratum habet Pappus IV, 84 p. 236—88.

τα F, uulgo. 4. exacro F; corr. Torellius. 7. περί] 0m.
F; corr. Torellius. 14. ελασσ cum comp. ov F. 18. σχῆμα]
&ddidi; om. F, uulgo. 21. καὶ πάλιν ad lin. 28 χωρίου om.
F; eorr. Rjualtus. 2424. xs' F.

QoTr

100 ΠΕΡῚ EAIKSN.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἃς ἃ ABI AEG, ἐν τᾷ πρώτᾳ περι-
φορᾷ γεγραμμένα. ἔστω δὲ τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ
τᾶς ἕλικος, ἃ δὲ ΘΑ͂ εὐθεῖα πρώτα τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ
τᾶς περιφορᾶς, ὁ 0b 4ΚΖΗΙ κύκλος πρῶτος, οὗ τρί-
τον μέρος ἔστω ὃ, ἐν ᾧ α, κύκλος. δεικτέον, ὅτε ἴσον
ἐστὶ τὸ προειρημένον χωρίον τῷ Q κύκλῳ.

εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεῖξόν ἐστι ἢ ἔλασσον. ἔστω πρό-

τερον, εἰ δυνατόν, ἔλασσον.

δυνατὸν δή ἐστι περὶ τὸ

χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς 4ΒΓΖ4 EO ἕλικος
καὶ τᾶς 40 εὐϑείας περιγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ

ὁμοίων τομέων συγκείμενον,

ΙΑ͂

ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα
μεῖξον εἶμεν τοῦ χωρίου
ἐλάσσονι τᾶς ὑπεροχᾶς, &
ὑπερέχει ὃ Q κύκλος τοῦ
εἰρημένου χωρίου. περε-
γεγράφϑω δή, καὶ ἔστω
τῶν τομέων, ἐξ ὧν συγ-
κείται τὸ εἰρημένον σχῆμα,
μέγιστος μὲν ὁ Θ4 K, ἐλά-
χιότος δὲ ὁ ΘΕΟ. δῆλον
οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμμέ-
νον σχῆμα ἔλασσόν ἐστι
τοῦ ἡ κύχλου. ἐκβεβλή-
σϑωσαν δὲ αἵ εὐϑείαι al
ποτὶ τῷ € ποιούσαι τὰς
ἴσας γωνίας, ἔστ᾽ ἂν ποτὶ

τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πεσῶντι. ἐντὶ δή τινες
γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι
τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι, ὧν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ

3. τῶν] addidi; om, F, uulgo. 4. AKZ HI] ΑΝΖΗ͂Ι supra

scripto-K manu, ut uidetur, 2 F.

.
v.

. * 1
.* *

6. ὃ] addidi; om. F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 101

sib spiralis, in qua sit 4BI'EO, prima cireum-
aelione descripta. οὖ punctum 6 principium sit spi-
ralis, linea autem 6 4 prima earum, quae in principio
eireumaciionis sunt, et 4KZHI circulus primus, cuius
lerlia pars sit circulus, in quo est littera 4. demon-
sirandum, spatium illud cireulo 4 aequale esse.

nam 81 non est, aut maius est aut minus. sii
prius, si fieri potest, minus. fieri igitur potest, αὐ
eireum spatium comprehensum spirali 48 ΓΖ ΕΘ et
linea 46 figura plana cireumscribatur ex similibus
seetoribus composita, ita ut figura circumscripta sp&-
lium excedat spatio minore, quam excessus est, quo
eireulus q spatium illud excedat [prop. 21]. circum-
scribatur igitur, et sectorum, ex quibus figura illa
eomposita esí, maximus sib 64K, minimus auiem
6EO. adparet igitur, figuram circumscriptam mino-
rem esse circulo 4. producantur igitur lineae, quae
ad punetum Θ᾽ aequales angulos efficiunt, usque eo,
πὸ ad ambitum circuli perueniant. sunt igitur lineae
quaedam, eae scilicet, quae a puncto Θ᾽ ad spiralem
ductae sunt, aequali spatio inter se excedentes, qua-

1) Sit spatium illud E, figura autem circumscripta 7; tum
erii ex hypothesi F — E «q— RE»: F«q.

11. συγκείμενον) om. F; corr. Torellius. 21. ὅτι] comp. F.

924. «f| (prius) addidi; om. F, uulgo. αἴ om. F; corr. To-
rellius. 25. ποτί]) προς per comp. Εἰ; corr. Torellus. τῷ]

scripsi; ro F, uulgo. 28. αἴ] addidi; om. F, uulgo. 29.
o» F, uulgo. μεγίστα͵ scripsi; μειξων F, uulgo.

102 . ΠΕΡῚ EAIK SN.

6 4, ἐλαχίστα δὲ ἁ OE, καὶ & ἐλαχίστα ἴσα τᾷ ὑπερ-
οχᾷ. ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι τινὲς γρομμαὶ αἵ ἀπὸ τοῦ 6
ποτὶ τὰν περιφέρειαν τοῦ κύχλου ποτιπιπτούδσαι τῷ
βὲν πλήθει ἴσαι ταύταις, τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα
τῷ μεγίστα, καὶ ἀναγεγραφόάται ἀπὸ πασᾶν ὁμσίοι vo-
μέες, ἀπό τε τῶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπορεχουαᾶν καὶ
ἀπὸ τᾶν ἰσῶν ἀλλάλαις τε καὶ τῷ. μεγίστᾳ. οὗ ἄρα
τομέες οἵ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστα ἐλασσόνες ἐντὶ ἢ
ἐριπλασίοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ τῶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν'
ὑπερεχουσᾶν. δοδείκται γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ οἵ μὸν
τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαιρ τε καὶ τᾷ μεγέφταᾳ
ἴσοι τῶ AZHI κύκλῳ, οἵ δὲ τομέες oí ἀπὸ τᾶν τῷ
ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν ἴσοι τῷ περιγεγραμμένο»
δχήματι. ἐλάσσων ἄρα ὁ AZHI κύκλος τοῦ περι-
γεγραμμένου σχήματος ἢ τριπλασίων" τοῦ δὲ Q κύχλου
τριπλασίων. ἐλάσσων ἄρα ὁ α κύκλος τοῦ περιγεγραμ-
μένου σχήματος. οὔκ ἐστι δέ, ἀλλὰ μείξων. οὐκ ἄρα
ἐστὶν τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς 4ΒΓΖΕΘ
ἕλικος καὶ τᾶς 4€ ἔλασσον τοῦ α χωρίου.

οὐδὲ τοένυν μεῖξον. ἔστω γάρ, εἶ δυνατόν, μεῖξον.
ἔστι δὴ πάλιν δυνατὸν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον
ὑπὸ τᾶς 4ΒΓΖ ΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς 46 εὐϑείας ἐγ-
γράψαι σχῆμα, ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ ἐγγρα-
φέντος σχήματος μεῖξον εἶμεν ἐλάσσονι, ἢ ᾧ ὑπερέχει
τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ Q κύχλου. ἐγγεγράφϑω δή,

1. ἐλαχίστα) (prius) scripsi; ελασσων F, uulgo; ἃ. Quaest.
Arch. p. 138. 2. αἴ] addidi; om. F, uulgo. 6. ἀναγεγρα-
gres] seripsi; αναγεέγραπται F, uulgo; defendit Ahrens: de gr.
ling lI p. 888. πασων b; eorr V. 9. αλλαῖλα F. 14.
AZHI] scripsi; 4ZHIK F, uulgo; ,afgi* Cr. 19. χωρίου]
κύκλου Torellius. 20. κα΄ F. 23. 4BI'40 Ἐς corr. To-
rellius

DE LINEI8 SPIRALIBUS. 108.

rum maxima est 9,4, minima autem 6 E, et minima
excessul aequalis est. sed etigm aliae lineae sunt,
eae scilicel, quae a puncto Θ᾽ ad circulj ambitum due-
iae sunt, numero illis aequales, magnitudine autem
singulae aequales maximae, et in omnihus similes,
Seelores construcii suni, ei in iis, quae aequali spatio
inier se excedunt, et in iis, quae inter se ei maximae
aequales sunt. seclores igitur in lineis maximae agqua-
libus consiructi minores sunt, quam ixiplo maiores
sectoribus in lineis aequali spatio inter se excedenti-
bus constructis. hoc enim demonstratum est [prop. 10
eoroll. 3]. sed sectores in lineis inter se eb maximae
aequalibus consiructi aequales sunt circulo AZHI,
seckores autem in lineis aequali spatio inter se exce-
dentibus constructi aequales sunt figurae cireumscrip-
iae, itaque circulus 4Z HI minor est quam triplo
maior figura circumscripta; circulo autem 4 triplo
maior esi. itaque circulus q minor est figura circum-
scripla. erat antem non minor, sed maior. quare
apalium comprehensum spirali 4 ΓΖ EO et linea 409
minus non est spabio G.

sed ne. maius quidem est. sit enim, si fieri pot-
esí, maius. ilaque rursus fieri potest, ub spatio com-
prehenso spirali 4BI'EO ei linea 4 figura in-
scribatur, ita ut. spatium, quod commemorauimus,
figuram inscriptam excedat spatio minore, quam quanto
spatium illud circulum α excedit [prop. 21 coroll.].

1) Lineas ΘῈ, ΘΖ, € I', ΘΒ cett. aequali spatio inter se
excedere, adparet ex prop. 12, quia angulos aequales faciunt.
lineam &utem 6 E excessui aequalem esse, siue ΘΕ - £6 4,

sequitur ex prop. 1; nam cum anguli aequales sint, tempus
tempore duplo maius est.

104 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν συγκείται τὸ ἐγγεγραμ-
μένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ G PE, ἐλάχιστος dh ὁ
ΟΘΕ. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖ-
ξόν ἐστι τοῦ G xvxAov. ἐκβεβλήσθωσαν δὴ αἱ ποιού-
σαι τὰς ἴσας γωνίας ποτὶ τῷ €, ἔστ᾽ ἂν ποτὶ τὰν
τοῦ κύκλου περιφέρειαν πεσῶντι. πάλιν οὖν ἐντί τι-
veg γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι αἴ ἀπὸ τοῦ
Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι, ὧν ἐστι μεγίστα μὲν
& ΘΑ͂, ἐλαχίστα δὲ ἃ OE, καί ἐστιν ἃ ἐλαχίστα ἴσα
10 τᾷ ὑπεροχᾷ. ἐντὶ δὲ καὶ
ἄλλαι γραμμαὶ αἵ ἀπὸ
τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ AZHI
κύκλου περιφέρειαν ποτι-
πιπτούσαι τῷ μὲν πλήϑει
ἴσαι ταύταις, τῷ δὲ μεγέ-
ϑει ἑδκάστα ἴσα τᾷ μεγίστᾳ,
καὶ ἀναγεγραφόνται ἀπὸ
πασᾶν ὁμοίοι τομέες ἀπό
τε τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε
καὶ τᾷ μεγίστᾳ καὶ ἀπὸ
τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-
ἐχουσᾶν. οἵ ἄρα τομέες οἵ
ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστα
μειξόνες ἐντὶ ἢ τριπλα-
25 σίοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ r&v τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-

ἐχουσῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας. δεδείκται γὰρ

τοῦτο. ἐντὶ δὲ οἱ μὲν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ

μεγίστᾳ ἴσοι τῷ AZHI κύκλῳ, ol δὲ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ

ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ἴσοι

Θι

2. ἐλάχιστος] B; ελασσων F, uulgo. 8. OG E] scripsi;
ΘῈ F, uulgo; 9 EO Torellius. οὖν] per comp. F. 071]

DE LINEIS SPIRALIBUS. 105

inseribatur igitur, ei sectorum, ex quibus composita
est figura inscripta, maximus sit 9 PX, minimus autem
OG E. adparel igiiur, figuram inscriptam maiorem
esse circulo 4.7 producantur igitur lineage ad punctum
6 aequales angulos efficientes usque eo, ut ad amb-
itum circuli perueniant. rursus igitur lineae quaedam
sunt aequali spatio inter se excedentes, eae scilicet,
quae à puncto Θ ad spiralem ductae sunt [prop. 12],
quarum maxima est 64, minima autem 6 E, et mi-
nima excessui aequalis est [p. 103 not. 1]. et prae-
lerea aliae quoque lineae sunt, quae a puncto Θ ad
ambitum cireuli 4ZHI ductae sunt, numero illis ae-
quales, magnitudine autem singulae maximae aequales,
et in omnibus sectores similes construetli sunt, οὖ in
lis, quae inter se el. maximae aequales sunt, et in iis,
quae aequali spatio inter se excedunt. sectores igitur
in lineis maximae aequalibus consirucli maiores sunt
quam triplo maiores sectoribus in lineis aequali spatio
inter se excedentibus consiructis praeter sectorem in
maxima constructum. hoc enim demonstratum est
[prop. 10 coroll]. sed sectores in lineis maximae
aequalibus eonstructi aequales sunt circulo A4ZHLI,
sectores autem in lineis aequali spatio inter se ex-
cedentibus construcli praeter sectorem in maxima con-

1) Sit. figura inscripta f, spatium illud E; erit ex hypo-
thesi E —f«E—qQ»:f3.

om. F'; corr. B. 5. τῷ] scripsi; vo F, uulgo. 7. αἴ] ad-
didi; om. n uulgo. 8. o» F, uulgo. 11. ἄλλαι τινές Το-
rellius. αἴ &ddidi; om. F, uulgo. 17. ἀναγεγραφάται B.
29. ἀπό) ὕπο F; corr. Torellius.

106 ΠΕΡῚ EAIKQN.

τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι. μείξων ἄρα ὁ AZHI κύ-
κλος ἢ τριπλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήμαψος᾽ τοῦ
ὃὲ ᾳ κύκλου τριπλασίων. μείξωην ὥρα ἐστὶν ὁ Q κύ-
xAoc τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος. οὔκ ἐστι. δέ, ἀλλὰ
ἐλάσσων. οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ μεῖξον τὸ χωρίον τὸ
ὑπό τὸ τᾶς 4ΒΓΖ ΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς 460 εὐϑείας τοῦ
α, κύκλου. ἴσον ἄρα ἐστὶν [τῷ περιλαφϑέντι ὑπὸ vüg
ἕλικος καὶ τᾶς 46 εὐϑείας].

κε΄.

10 Τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν
τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας
τᾶς δευτέρας τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς ποτὶ τὸν
δεύτερον κύκλον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ
ξ΄ ποτὶ τὰ ιβ΄, ὅς ἐστιν ὃ αὐτὸς τῷ, ὃν. ἔχει và συν-

15 ἀμφότερα τό τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶς ἐκ τοῦ κέντρου
ποῦ δευτέρου κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρον τοῦ
πρώτου 'κύχλου καὶ τὸ τρέτον μέρος τοῦ τεπραγώνου
τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, à ὑπερέχει & ἐκ τοῦ κένερου
ποῦ δευτέρου κύχλου τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ πρώτου

80 κύκλου ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέν-
τρον τοῦ Ósvrégor κύκλου.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ᾽ ἃς & ABIDE, ἐν τᾷ δευτέρᾳ περι-
φορᾷ γεγραμμένα. ἔσσω δὲ τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ
τᾶς ἕλικος,) ἃ 0b OE εὐθεῖα ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περι-

25 ῳορᾶς X πρώτα, & δὲ 4Ε ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς
& δευτέρα, ὃ δὲ κύκλος ὁ AZHI ὁ δεύτερος ἔστω,
καὶ αἱ 4H, IZ διαμέεροι ποτ᾽ ὀρϑὰς ἀλλάλαις. Ótx-
τέον, ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε v&c ABIAE

e. ABHEO F. 7. ἴσος Torellius; sed de spatio agitur,
non de circulo; quare retinendum ἔσον (comp. F) et delenda

mE -— ——- —À m

DE LINEIS SPIRALIBUS. 107

sirucbum. aequales sunt figurae inseriptae. itaque cir-
culus 4ZHI maior est quam triplo maior figura in-
seripéa; sed circulo 4 triplo maior est. quare circulus G
maior esi figura inscripta. sed maior nom est, uerum.
minor. itaque ne maius quidem cireulo 4 erit spatium
comprehensum spirali 4BI'^4EO οἱ linea 4409. itaque
aequale est.

XXV.

Spatium comprehensum spirali secunda circum-
aelione descripta et linea secunda earum, quae in
principio circumactionis sunt, ad circulum secundum
eam habet rationem, quam 7:12, quae eadem est
ratio, quam habet rectangulum comprehensum radio
secundi circuli e£ radio primi una cum tertia parte
quadraii eius excessus, quo radius secundi circuli ra-
dium primi excedit, ad quadratum radii secundi circuli.

sit spiralis, in qua sib 4BI'/E, secunda circum-
aclione descripta. et punctum 6 principium sii spi-
ralis, linea autem 9 E prima earum, quae in principio
circeumaclionis sunt, 4E autem secunda; et circulus
AZHI seeundus st, et 4H, IZ diameir inter
se perpendiculares, demonstrandum, spatium spirali

uerba τῷ περιλαφϑέντι.. εὐϑείας lin. T1—8; om. Cr. 9. «£'
F. 10. τὸ περιλωφϑέν] addidi; om. Εἰ, uulgo. 16. δευ-
τέρου] B F; et sic saepius infra (uelut lin. 17, 19 bis, 21).

27. προς (comp.) ορϑας αλληλαις F; corr. Torellius.

108 ΠΕΡῚ EAIKSN.

ἕλικος καὶ τᾶς AE εὐθείας ποτὶ τὸν AZHI κύκλον
λόγον ἔχει, ὃν τὰ ξ΄ ποτὶ ιβ΄.
ἔστω δή τις κύκλος ὃ α, & δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ
α κύχλου δυνάμει ἴσα τῷ τε ὑπὸ τᾶν 4O, OE περι-
δ ἐχομένῳ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς AE τετρα-
γώνου. ἕξει δὴ ὁ α κύχλος ποτὶ τὸν AHZI, ὡς ζ΄
ποτὶ ιβ΄, διότι καὶ & ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ποτὶ τὰν
ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ AZHI κύκλου τοῦτον ἔχει δυ-
νάμει τὸν λόγον. δειχϑησέται οὖν ἴσος ὃ ἃ κύκλος
τῷ περιεχομένῳ χωρίῳ
ὑπό τε τᾶς 4 ΒΓΖ E ἕλι-
κος καὶ τᾶς 4Ε εὐϑείας.
εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείξων
ἐστὶν ἢ ἐλάττων. ἔστω
δὴ πρότερον, εἰ δυνατόν,
μεέξων. δυνατὸν δή ἐστι
περὶ τὸ χωρίον περι-
γράψαι σχῆμα ἐπίπεδον
ἐξ ὁμοίων τομέων συγ-
20 κείμενον, ὥστε τὸ περι-
γραφὲν σχῆμα μεῖξον εἷ-
μὲν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι,
ἢ ᾧ ὑπερέχει ὁ Q κύ-
κλος τοῦ χωρίου. περι-
25 γεγράφϑω, καὶ ἔστω, ἐξ ὧν συγκείται τὸ περιγεγραμ-
μένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ 6.4 K τομεὺς, ἐλάχιστος
δὲ ὁ 604. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγραφὲν σχῆμα
ἔλαττόν ἐστι τοῦ κύκλου. ἐκβεβλήσϑωσαν αἷ εὐϑείαι
αἷ ποιούσαι ποτὶ τῷ Θ ἴσας γωνίας, ἔστ᾽ ἂν ποτὶ τὰν

2. πρὸς per comp. F; corr. Torellius. 8. 4] 5 semper
ed. Basil., Torellius. δ. προς per comp. Εἰ; corr. Torelhus.

DE LINEIS SPIBALIBUS. 109

ABIAE et lineà 4E comprehensum ad circulum
AZHI eam rationem habere, quam ' : 12.

sib igitur circulus quidam 4, et radius eius qua-
dratus sib —— 40». ΘΕ - 14 E?. itaque circulus ἃ
ad circulum 4H ZI eam rationem habebit, quam ἴ: 12,
quia radius eius quadratus ad radium circuli AZ HI
quadratum hanc rationem habet [Eucl XII, 2]. de-
monsirabimus igitur, circulum 4 aequalem esse spatio
comprehenso spiral ΑΒΓΔΕ ei linea 4E. nam si
aequalis .non est, aut maior est aut minor. sil igitur,
Si fieri potest, prius maior. fieri igitur potest, ut cir-
eum spalium cireumscribatur figura plana ex simili-
bus sectoribus composita, ita αὖ figura circumscripta
spatium excedat spalio minore, quam quanto circulus ἃ
spatium excedit [prop. 22]. circumscribatur, οὐ [sec-
torum], ex quibus composita esi figura circumsceripíia,
maximus sibi 64K, minimus autem 90. adparet
igitur, figuram cireumscriptham minorem esse circulo
[p. 101 not. 1]. producantur lineae ad punctum 6
aequales angulos efficientes, usque eo ut ad ambitum

1) Nam 40;».«ΘῈ -- 4E? : 40* — 20E! -- 40E? : 4OE?
-ὦ 6095 -ἰ 0E!:120 E? — 7:12, quia OE — 4E; nam sit
ambitus circuli primi p; erit ex prop. 15: ΘΕ: Θ4-α|: 3}.

— —

ut lin. 7 bis. 28. περεχεε F. — 26. ἔστω τῶν τομέων Torel-

lius. 28. τοῦ Qq κύκλου Nizzius. 29. τῷ] scripsi; ro F,

uulgo. In figura O, 41 cum F' posui; sed pro 4f posui 4, et
didi.

110 ΠΕΡῚ EAIKQN.

φροῦ δευτέρου κύκλου περιφέρειαν πεσῶντι. ἐντὶ δή
τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι αἱ ἀπὸ
“φοῦ Θ «ori τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι, ἂν ἐστε μεγίστα
μὲν ἃ ΘΑ͂, ἐλαχίστα δὲ ἃ OE. ἐντὶ δὲ xol ἄλλαι

δ γράμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ AZHI κύκλου

σεδριφέροιαν ποτιπιπτούσαι, τῷ μὲν πλήϑει μιᾷ ἐλασ-
-“σόνες ταυτᾶν, τῷ δὲ μεγέϑει ἀλλάλαις τε ἴσαι καὶ τᾷ
μεγέστα, xal ἀναγεγφαφάται ὁμοίοι τομέες ἀπὸ τᾶν
ἐσᾶν τᾷ μεγίστᾳ καὶ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-

10.δχουσῶν, ἀπὸ δὲ τῶς ἐλαχίστας οὐκ ἀναγραφέται. οἵ

“ὥρα τομέες οἵ ἀπὸ τῶν ἰσᾶν τῷ μεγίστᾳ ποτὶ τοὺς co-
'μέας τοὺς ἀπὸ r&v τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χω-
-glg τοῦ ὠκὸ τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι, ἢ
'τὸ 'νετρώγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τᾶς € 4 πατὶ τὰ
“συναμφότερα τό τε ὑπὸ τῶν 40, ΘΕ περιχόμενον καὶ
τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου. δε-
δείκπαι γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ τοῖς μὲν τομέεσσι τοῖς ἀπὸ
τῶν ἰσᾶν ἀλλάλαις καὶ τᾷ μεγέστᾳ ἴσος ὁ AZHI κύ-
xÀog, τοῖς δὲ τομέεσσι τοῖς ἀπὸ vüv τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν
ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας ἴσον τὸ
περιγεγραμμένον σχῆμα. ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ὃ
κύκλος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα, ἢ τὸ τετρά-
yovov τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΘ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό
τε ὑπὸ τῶν 40, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ
τᾶς AE τετραγώνου. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τετρά-
γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ͂, ΘΕ καὶ
τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς 4 E τετραγώνου, τοῦτον
ἔχει ὁ AZHI κύκλος ποτὶ τὸν Q κύκλον. ἐλάσσονα

8. ποτιπιπτουσιν ἘΠ: corr. B. ων F, uulgo. 5. ποτί]

Beripsi; ez, F, uulgo. 6. sace cum comp. o» FE; corr. To-
rellius; ἐλάσσους B. 7. ταυτᾶν] scripsi; εαυταν F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 111

circuli secundi perueniant. sunt igitur lineae quaedam
aequali spatio inter se excedentes [prop. 12], eae sci-
lieet, quae ἃ puncto Θ ad spiralem ductae sunt, qua-
rum maxima est 6,4, minima autem € E. sed etiam
aliae lineae sunt, quae ἃ puncto Θ᾽ ad ambitum cir-
euli 4ZHI ductae sunt, numero una pauciores illis,
magnitudine autem οὖ inter se et maximae aequales,
ei construcli sunt sectores similes in lineis maximae
aequalibus et in iis, quae aequali spatio inter se ex-
cedunt, in minima autem nullus constructus est. iía-
que seciores in lineis maximae aequalibus constructi
ad sectores in lineis aequali spatio inter se excedenti-
bus eonstructos praeter sectorem in minima consiruc-
ium minorem rationem habent, quam habet
64?: 409 5« € E - 4 E A*.
hoc enim demonstratum est [prop. 11 coroll]. sed
secioribus in lineis inter se οὗ maximae aequalibus
construclis aequalis est circulus 42.811, sectoribus
aulem in lineis aequali spatio inter se excedentibus
consiruclis praeter seclorem in minima constructum
aequalis est figura circumscripta. itaque circulus
[4ZHI] δὰ figuram circumscriptam minorem rationem
habet, quam 405 : 40 5« ΘΕ - 1.4.3. est autem
AZHI:G8—045:042«0E--$44E*
[πο]. V, 1 πόρισμα]. quare circulus 4ZHI ad figu-

ἀλλάλαις} λαι supra scriptum manu 1 F. 8. ἀναγεγράφονται
Torellius. 10. ἀαναγραψεται F. 19. αλλαν F. 4. με-
γέστας] p supra scriptum manu 1 F. 17. τομέεσσι] scripsi;
τομεσσι F; τομέσι ed. Basil,, uulgo; τομεῦσι Torellius. 18.

αλλαλας F; cor A. — AZH F; corr. B. 19. copscu Εἰ; το-
μεῦσι Torellius. 21. ὁ κύκλος AHZI (debuit ó 4HZI xv-
xlog) Torellius; habet Cr. 236. Θ E] scripsi; 48 F; 4E uulgo.
28. προς per comp. Εἰ; corr. Torellius.

112 ΠΕΡῚ EAIK9N.

ovv λόγον ἔχει ὁ AZHI κύκλὸς ποτὶ τὸ περιγεγραμ-
μένον σχῆμα ἢ ποτὶ τὸν Q κύκλον. ὥστε ἐλάσσων
ἐστὶν ὁ Q κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος. οὔκ
ἐστι δέ, ἀλλὰ μείξων. οὐκ ἄρα μείξων ἐστὶν ὁ Q κύ-
κλος τοῦ χωρίου τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τᾶξ ΑΒΓΔΕ
ἕλικος καὶ τᾶς AE εὐϑείας.

οὐδὲ τοίνυν ἐλάσσων. ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, ἐλάσ-
σων. πάλιν οὖν δυνατόν ἐστιν
εἰς τὸ χωρίον τὸ περιεχόμε-
νον ὑπό τε τᾶς ἕλικος καὶ
τᾶς ΑΕ εὐϑείας ἐγγράψαι
σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ ὁμοίων
ά rouéov συγκείμενον, ὥστε τὸ
περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε
ví; 4BIAE ἔἕλικος καὶ τᾶς
ΑΕ εὐϑείας μεῖξον εἶμεν
τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος
ἐλάσσονι, ἢ ᾧ ὑπερέχει τὸ
αὐτὸ χωρίον τοῦ α χύκλου.
ἐγγεγράφϑω οὖν, καὶ ἔστω
τῶν τομέων, ἐξ ὧν συγκείται
τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα, μέ-
γιστος μὲν ὁ ΘΚΡ cousvs,
ἐλάχιστος δὲ ὃ ΘΕΟ. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμ-
μένον σχῆμα μεῖξόν ἐστι τοῦ α κύκλου. ἐκβεβλήσϑω-
σαν αἱ ποιούσαι ἴσας γωνίας ποτὶ τῷ Θ, ἔστ᾽ ἂν ποτὶ
τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πεσῶντι. πάλιν οὖν ἐντί
τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι αἱ ἀπὸ
τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι, ἂν μεγίστα μὲν
ἃ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἃ ΘΕ. ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμ-

---- —

οι

7. κη΄ F. 838. ΘΧΡῚ supra scriptum X manu, πὲ uide-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 118

ram circumscriplam minorem rationem habet quam
ad circulum Q. quare circulus ἃ minor est figura
cireumscripta [Eucl. V, 10]. sed non est minor, uerum
maior. itaque circulus G maior non est spatio com-
prehenso spirali 4BI'4E et linea AE.

sed ne minor quidem est. sit enim, si fieri pot-
esti, minor. rursus*igitur fieri potest, αὖ spatio com-
prehenso spirali et linea 4E figura plana inscribatur
ex similibus sectoribus composita, ita ut spatium com-
prehensum spirali 4BI'E eti linea AE figuram in-
scriplam excedat spatio minore, quam quanto idem
spatium circulum ἃ. excedit [prop. 22 coroll]. inscri-
batur igitur, et sectorum, ex quibus figura inscripta
composita esi, maximus sit 9 K P, minimus autem 6 EO,
adparet igitur, figuram inscriptam maiorem esse cir-
culo 4 [p. 105 not. 1]. producantur lineae ad punctum
Θ᾽ aequales angulos efficientes usque eo, ut ad amb-
itum circuli perueniant. rursus igitur lineae quaedam
sunt aequali spatio inter se excedentes, eae scilicet,
quae a puncto Θ ad spiralem ductae sunt [prop. 12],
quarum maxima esí 9,4, minima autem E. sed

— ———— —— .

tur, 1 F. 26. προς per comp. Εἰ; corr. Torellius. τῷ]
scripsi; ro F, uulgo. 29. o» F, uulgo.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 8

σι

114 ΠΕΡῚ EAIKQSN.

meal αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν
ποτιπιπτούσαι τῷ μὲν πλήϑει μιᾷ ἐλάσσους ταυτᾶν,
τῷ δὲ μεγέϑει ἴσαι ἀλλάλαις τε καὶ τῷ μεγέστᾳ, καὶ

ἀναγεγραφάται ἀπὸ τῶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν .

ὁμοίοι τομέες καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τῷ μεγίστᾳ. οἱ ἄρα
τομέες οἵ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίσταᾳ ποτὶ vovg τομέας
τοὺς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ
ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείζονα λόγον ἔχοντι, ἢ τὸ vevgd-
γῶνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε
περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν 40, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον τοῦ ἀπὸ
vt&g E. τετραγώνου. ἔστιν δὲ τοῖς uiv τομέεσσιν
τοῖς ἀπὸ τῶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ
ἀπὸ τᾶς μεγίστας ἴσον τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῷ
χωρίῳ, τοῖς δὲ ἑτέροις ὁ κύκλος. μείξονα οὖν λόγον
ἔχει ὃ AZ HI κύκλος ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα,
ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν
ΘΑ, ΘΕ καὶ τὸ τρέτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς 4E τετρα-
γώνου, τουτέστιν ó 4ΖΗ1 κύκλος ποτὶ τὸν Q χύκλον.
μείξων ἄρα ἐστὶν ὁ ἡ κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου σχή-
ματος᾽ ὅπερ ἀδύνατον: ἦν γὰρ ἐλάσσων. οὐκ ἄρα
ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ Q κύκλος τοῦ περιεχομένου χω-
ρίου ὑπό τε τᾶς 4ΒΓΖ Ε ἔλικος καὶ τᾶς 4Ε εὐϑείας.
ὥστε ἴσος.

ΠΟΡΙΣΜΑ.
διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχϑησέται. καὶ διότι
τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό vs τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν
ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς
κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριϑμὸν ταῖς περιφοραῖς λεγομένας

2. μιὰν F; corr. ΒΡ, ταυτᾶν] scripsi; ταυτη F; αὐτῇ AB, ed.
Basil.; pd Torellius. 8. αλληλαις F. — 4. ἀναγεγράφονται

DE LINEIS SPIRALIBUS. 115

eliam aliae lineae sunt, quae a puncto € ad ambitum
eireuli ductae sunt, numero ung pauciores illis, magni-
ludine autem et inter se ei maximae aequales, οὖ sec-
tores similes constructi sunt οὖ in lineis aequali spatio
inter se excedentibus ei in lineis maximae aequalibus.
ilaque sectores im lineis maximae aequalibus constructi
ad sectores in lineis aequali spatio inter se exceden-
libus constructos praeter sectorem in maxima con-
siructum maiorem rationem habent, quam
0 f : 460 5« GE -- 1 4 [prop. 11 coroll].
seetoribus autem in lineis aequali spatio inter se ex-
cedentibus construelis praeter sectorem in maxima
constructum aequalis est figura spatio inscripta, alteris
autem circulus. itaque circulus 4ZHI ad figuram
inseriptam maiorem rationem habet, quam
40*:094»«0E -- 1585,

h. e. quam A4ZHI:34 [ex hypothesi] itaque circulus
q maior est figura inscripta [Eucl. V, 10]; quod fieri
non potest; erat enim minor. itaque circulus G me
minor quidem est spatio comprehenso spirali ABIA E
et linea 4E. quare aequalis est.

COROLLARIUM.

. Eadem autem ratione demonstrabimus, etiam spa-
lium comprehensum spirali qualibet circeumactione de-
scripta et linea eodem numero nominata, quo circum-
actiones, ad circulum nominatum eodem numero, quo

Torellius. 10. ὑπο] scripsi; ὑπὸ ve F, uulgo. τρίτον μέρος

B, Torellius. li. τομευσιν F, uulgo. 13. ἀπό) ὕπο F;

fom. Torellius. 16. προς per comp. F; corr. Torellius, ut

18. τἂν] cov pe r comp. F; corr. Torellius. 19. μει-

for. 25. διότι] ὅτι Nizzius. 928. ' xoc] scripsi; zov: F, uulgo.
&*

116 ΠΕΡῚ EAIKO9NN.

ποτὶ τὸν κύκλον τὸν κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριϑμὸν Asyó-
μενον ταῖς περιφοραῖς λόγον ἔχει, ὃν συναμφότερον
τό τε ὑπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κατὰ τὸν αὐτὸν
ἀρυιϑμὸν κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κατὰ τὸν
ἑνὶ ἐλάσσονα τᾶν περιφορᾶν Asyouévov καὶ τὸ τρίτον
μέφος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ vüg ὑπεροχᾶς, & ὑπερ-
ἔχει ἃ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείξονος κύκλου τῶν εἰρη-
μένων τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τῶν
εἰρημένων ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ
κέντρου τοῦ μείξονος κύκλου τῶν εἰρημένων.

xe.

Τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς &Auog, & ἐστιν
ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμμένας, οὐκ ἐχού-
δας πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος καὶ τᾶν εὐϑειὰν τᾶν
ἀπὸ τῶν περάτων αὐτᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος
ἀγμέναν ποτὶ τὸν τομέα τὸν ἔχοντα τὰν μὲν ἐκ τοῦ
κέντρου ἴσαν τῷ μείξονι τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων ἐπὶ
τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἀγμέναν, τὰν δὲ περιφέρειαν,
& ἐστι μεταξὺ τᾶν εἰρημέναν εὐθειᾶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τᾷ
ἕλικι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα τό
τε περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων ἐπὶ τὰν
ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἀγμέναν καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ
τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾧ ὑπερέχει & μεί-
fov τᾶν εἰρημέναν εὐϑειᾶν τᾶς ἐλάσσονος, ποτὶ τὸ
τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μείξονος τᾶν ἀπὸ τῶν περά-
τῶν ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιξευχϑεισᾶν.

ἔστω ἕλιξ, dp! ἄς ἃ 4ΒΓΖΕ, ἐλάσσων τᾶς ἐν
μιᾷ περιφορᾷ γεγραμμένας, πέρατα δὲ αὐτᾶς ἔστω τὰ

4. τὸν É»(] scripsi; τὰ μὲν svi F; μὲν svi C*D; μενε V;
τα μὲν À, ed. Basil; τῷ μὲν ἑνί B*, Torellius. 8. vag

DE LINEIS SPIRALIBUS. 117

eircumacliones, eam rationem habere, quam rectan-
gulum comprehensum radio circuli eodem numero
nominati et radio circuli numero uno minore, quam
numerus cireumactionum est, nominati simul cum:
leriia parie quadrati eius excessus, quo radius circuli
maioris radium circuli minoris eorum, quos commemo-
rauimus, excedit, ad quadratum radii cireuli maioris
eorum, quos commemorauimus.

XXVI.

Spatium comprehensum spiralij quae minor est
.Spirali una circumactione descripta, et cuius terminus
non est principium spiralis, et lineis a terminis eius
ad principium spiralis ductis ad sectorem, cuius radius
aequalis es& maiori linearum a terminis ad principium
spiralis ductarum, arcus autem arcui inter lineas illas
posito ad eandem partem uersus, in qua est spiralis,
eam rationem habet, quam habet rectangulum lineis
ἃ lerminis ad principium spiralis ductis comprehensum
simul cum terlia parte quadrati eius excessus, quo
maior linearum, quas commemorauimus, minorem ex-
cedit, ad quadratum maioris linearum a terminis ad
principium spiralis ductarum.

sib spiralis, in qua sit 4BI'/ E, minor spirali una
eireumaciione deseripia, et iermini eius sint ^, E.

ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τῶν εἰρημένων mg. F
manu 1, adposito signo x/, quo ad suum locum referantur; om.

ed. Basil. 11. «9 F, 16. rov (comp.) περατος P; corr.
Torellius. 20, ἐστι τα FV; fort. scrib. περιφέρειαν ἴσαν cq
μεταξύ. 25. τῶν (comp.) εἰρημενῶν ευϑειων F; corr. To-

rellius.

118 ΠΕΡῚ EAIKO9N.

4, E. ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλιιος τὸ O δαμεῖον. καὶ
κέντρῳ μὲν vo Θ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΑ͂ κύκλος γε-
γράφϑω, καὶ συμπιπτέτω τᾷ περιφερείᾳ αὐτοῦ ἃ ΘΕ
κατὰ τὸ Z. δεικτέον, ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον
5 ὑπό τε τᾶς ΑΒΙΓΖΕ ἕλικος καὶ τᾶν εὐϑειᾶν τᾶν 4Θ,
ΘΕ ποτὶ τὸν τομέα τὸν 4ΘΖ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον,
ὃν ἔχει συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν 4Θ, ΘΕ καὶ τὸ
τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ ποτὶ τὸ τετράγωνον
τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂. |
10 ἔστω δὴ κύκλος, ἐν ᾧ QX, τὰν ἐκ τοῦ κέντρου
ἔχων ἴσαν δυνάμει τῷ τὲ ὑπὸ τᾶν 4Θ, ΘΕ καὶ τῷ
τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ, ποτὶ δὲ τῷ κέντρῳ
αὐτοῦ γωνία ἴσα τᾷ ποτὶ τῷ Θ. ὁ δὴ τομεὺς ὁ αΧ
ποτὶ τὸν τομέα τὸν Θ4Ζ τὸν
1ὅ ᾿αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει
τὸ ὑπὸ τῶν 40, OE καὶ
τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ
τᾶς ΕΖ τετραγώνου ποτὶ τὸ
ἀπὸ τᾶς O 4 τετράγωνον᾽ at
γὰρ ἐκ τῶν κέντρων τοῦτον
ἔχοντι τὸν λόγον δυνάμει
ποτ᾿ ἀλλάλας. δειχϑησέται
δὴ ὁ Χα τομεὺς ἴσος ἐὼν
τῷ χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ
ὑπό τὸ τᾶς 4ΒΓΖ Ε ἕλικος
καὶ τᾶν 4Θ, OE εὐϑειᾶν.
εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείξων ἐστὶν
ἢ ἐλάττων. ἔστω δὴ πρό-
τερον, εἰ δυνατόν, μείξων. δυνατὸν οὖν ἐστι περὶ τὸ

2. τῷ} (bis) vo F; eorr: Torellius. 12, τῷ] scripsi cum
BC*D; ro F, uulgo. κέντρον À, ed. Basil., Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 119

principium aulem spiralis sib € punctum. οὐ descri-
batur circulus, euius centrum sib 9, radius autem 6&4,
ei linea 6E in ambitum eius incidat in puncto Z.
demonstrandum, spatium comprehensum spirali 4BI E
οὐ lineis 440, 6 E ad sectorem 40Z eam habere ra-
lionem, quam 40 »« ΘΕ -- EZ? : 6 45.

sit igitur cireulus, in quo sit α X, cuius radius qua-
dratus aequalis sit 40 »« ΘΕ - 4 EZ?, et ad centrum
eius angulus ponatur aequalis angulo ad € posito.
itaque seclor GX ad sectorem Θ.4Ζ eandem rationem
babet, quam 40 »« ΘΕ - 4EZ?:0.4*; nam radii
quadrati hanc inter se rationem habent.) demonstra-
bimus igitur, sectorem .XG aequalem esse spatio spi-
rali 4BI'E ei lineis 409, € E comprehenso. nam
sl aequalis non est, aut maior est aui minor. prius
igitur, si fieri potest, maior sit. itaque fieri potest,
πὸ cireum spatium, quod commemorauimus, figura

1) Nam sectores similes, siue quorum anguli aequales sunt,
eam rationem habent, quam circuli; tum u. Eucl. XII, 2. cfr.
Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 14.

13. προς per comp. Εἰ; corr. Torellius. 21. eyovz, F. 28. ov
F, uulgo. 27. ἐστίν] addidi; om. F, uulgo; post ἐλάττων in-
seruit Torellius. 28. δή] scripsi; γαρ F, uulgo.

120 ΠΕΡῚ EAIK9NN.

εἰρημένον χωρίον περιγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ομοίων
τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιγραφόμενον σχῆμα
μεῖξον εἶμεν τοῦ εἰρημένου χωρίου ἐλάσσονι, ἢ ἁλίχῳ
ὑπερέχει ὁ QX τομεὺς τοῦ εἰρημένου χωρίου. περει-
γεγράφϑω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν συγκείταε
τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ OAK,
ἐλάχιστος δὲ ὁ OO. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμ-
μένον σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ XG τομέως. διάχϑω-
σαν δὴ «i εὐϑείαι αἵ ποιούσαι τὰς ἴσας γωνίας ποτὲ
τῷ Θ, ἔστ᾽ ἂν ποτὶ τὰν περιφέρειαν τοῦ ΘΑ͂Ζ τομέως
πεσῶντι. ἐντὶ δή τινὲς εὐθείαι τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-
εχούσαι, αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι.,
ὧν ἐστι μεγίστα μὲν & ΘΑ͂, ἐλαχίστα δὲ ἃ ΘΕ. ἐντὶ
δὲ καὶ ἄλλαι εὐϑείαι τῷ μὲν πλήϑει μιᾷ ἐλασσόνες
ταυτᾶν, τῷ δὲ μεγέϑει ἴσαι ἀλλάλαις τὸ καὶ τᾷ με-
γίστᾳ, αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ 4ΘΖ τομέως περε-

᾿ φέρειαν ποτιπιπτούσαι χωρὶς τᾶς ΘΖ, καὶ ἀναγεγρα-

φάται ὁμοίοι τομέες ἀπὸ πασᾶν ἀπό τε τᾶν ἰσᾶν
ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ καὶ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ
ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν, ἀπὸ δὲ τῶς ΘΕ οὐκ ἀνα-
γεγράπται. τομέες οὖν οἵ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ
Tü μεγίστᾳ ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ
ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας
τομέως ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι, ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ
τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν 46Θ, ΘΕ καὶ τὸ τρί-
τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετραγώνου. ἔστιν δὲ
τοῖς μὲν τομέεσσιν τοῖς ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ

6. μέγιστος] scripsi; μείζων F, uulgo. 64AH ed. Basil,
Torellius (qui etiam in figura H pro K habent); 64K F, uulgo*
T. ἐλάχιστος] scripsi; ελασσων F, uulgo. 8. διηγϑωσαν
F, uulgo. 9. δὴ aí] scripsi; «f om. F', uulgo. 10. τῷ]

DE LINEIS SPIRALIBUS. 121

plana cireumscribatur ex similibus sectoribus com-
posila, ita ut figura circumscripta spatium illud ex-
ced&t spatio minore, quam quanto sector ἃ X spatium
illud excedit [prop. 23] circumsceribatur igitur, et
seclorum, ex quibus figura eircumscripta composita
est, maximus sibi 90.4 K, minimus-autem 60. «^ad-
paret igitur, figuram circumscriptam minorem esse
seelore qX [p. 101 not. 1]. producantur igitur lineae
aequales angulos ad punctum 6 efficientes usque eo,
αὖ ad ambitum sectoris 9,4Z perueniant. sunt igitur
lineae quaedam aequali spatio inter se excedentes,
quae a puncto Θ ad spiralem ductae sunt [prop. 12],
quarum maxim& esti 6.4, minima autem ΘΕ. sed
etiam aliae lineae sunt, numero una pauciores illis,
magnitudine autem et inter se el. maximae aequales,
quae a puncto € ad ambitum sectoris 46Z ductae
sunt, praeter ΘΖ, ei in omnibus lineis, ei iis, quae
inter se e& maximae aequales sunt, et iis, quae aequali
spatio inter se excedunt, similes sectores constructi
sunt, in € E autem nullus constructus est. sectores
igitur in lineis et inter se δὺ maximae aequalibus con-
siírucli ad sectores in lineis aequali spatio inter se
excedentibus constructos praeter sectorem in minima
constructum minorem rationem habent, quam
094?: 409 5« ΘΕ -- EZ? [prop. 11 coroll].

sed sectoribus in lineis et inter se'et maximae aequa-

BCripsi; vo F, uulgo. 18. oy F', uulgo. 14. ελασσ cum
comp. o» Εἰ, uulgo; corr. Torellius; ἐλάσσους B; ἐλάσσονι ed,
15. αλληλαις F; corr. Torellius, ut lin. 19. 17. &va-

γεγράφονται Torellius. 18. τομεῖς F, uulgo. 25. τό τε]
scripsi; τα τὰ F, uulgo. 27. τομευσιν F, uulgo. αλληλαις

F; corr. Torellius. "

192 IIEPI ΕΛΙΚΩΝ,

v μεγίστᾳ ἴσος ὁ G.4Z, τομεύς, τοῖς δὲ ἀπὸ τᾶν τῷ
ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν τὸ περιγεγραμμένον. ἐλάσ-
dova οὖν λόγον ἔχει ὁ ΘΑΖ τομεὺς ποτὶ τὸ περι-
γεγραμμένον σχῆμα, ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂
ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΘΕ καὶ τὸ
τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΖΕ. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ
ἀπὸ τᾶς ΘΑ. ποτὶ τὰ εἰρημένα, τοῦτον τὸν λόγον ἔχει
ὁ OZ τομεὺς ποτὶ τὸν XQ τομέα. ὥστε ἐλάσσων
ἐστὶν Ó XQ τομεὺς τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος.
οὔκ ἐστι δέ, ἀλλὰ μείξων. οὐκ ἄρα ἐσσείται ὃ XQ
τομεὺς μείξων τοῦ περιεχομένου χωρίου ὑπό τὸ τᾶς
ABDAE ἕλικος καὶ τἂν 40, ΘΕ εὐϑειᾶν.

οὐδὲ τοίνυν ἐλάττων. ἔστω γὰρ ἐλάσσων. καὶ τὰ
ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω. πάλιν δὴ δυνατόν ἐστιν
εἰς τὸ χωρίον ἐγγράψαι σχῆμα
ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων
συγκείμενον, ὥστε τὸ εἰρημένον
χωρίον μεῖξον εἶμεν τοῦ ἐγ-
γραφέντος δχήματος ἐλάσσονι,
ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει τὸ αὐτὸ χω-
ροίον τοῦ Χᾳ τομέως. ἐγ-
γεγράφϑω οὖν, καὶ ἔστω τῶν
τομέων, ἐξ ὧν συγκείται τὸ
ἐγγεγραμμένον σχῆμα, μέγιστος
μὲν ὁ OBH, ἐλάχιστος δὲ ὁ
ΟΘΕ. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγ-
γεγραμμένον δὄχῆμα μεῖζόν ἐστι
τοῦ XQ τομέως. πάλιν οὖν ἐντί
τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι, αἱ ἀπὸ τοῦ

2. περιγεγραμμένον σχῆμα Torelius. ὅ. τό τε] to τε F.
8. Xq] X F; corr. Torellius, ut lin. 9. 10. soto; per comp.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 123

libus eonstructis aequalis est sector 6 4Z, iis autem,
qui in limeis aequali spatio inter se excedentibus 'con-
siructi sunt, [figura] cireumsceripta. itaque sector 9 4Z
ad figuram circumscripiam minorem rationem habet,
quam 0,:045« 0E -ἰ 4ZE*. est autem
64:04» 0E -- 3ZE* —0AZ:Xa.

quare sector XQ minor est figura circumscripta [Eucl.
V, 10]. sed minor non est, uerum maior. itaque
sector X«q maior non erit spatio comprehenso spirali
ABI'AE et lineis 40, ΘΕ.

sed ne minor quidem est. sit enim minor, ét cetera
eadem comparentur. rursus igitur fieri potest, ul spatio
inscribatur figura plana ex similibus sectoribus com-
posita, ita ut spatium, quod commemorauimus, figuram
inscriplam excedat spatio minore, quam quanto idem
spatium sectorem XG excedit [prop. 28 coroll]. inscri-
batur igitur, et sectorum, ex quibus figura inscripta com-
posita est, maximus sii 9B H, minimus autem OO E.
adparet igitur, figuram inscriplam maiorem esse sec-
iore Xa [p. 105 not. 1]. rursus igitur lineae quaedam
sunt aequali spatio inter se excedentes, quae a puncto

F, uulgo. 18. λ΄ F. γάρ, εἰ δυνατόν Torellius. 19. ελασ-
σον Fb corr. B*. 24. μέγιστος] scripsi; μειξων F, uulgo

26. ΘΒΙ' ἘΠ, vuulgo* (eliam in figura I' pro H); GBX ed.
Basil; corr. Torellius. ἐλάχιστος scripsi; e4acco» F, uulgo.
26. GE EF. γεγραμμενον F; corr. BD. 28. Xq] scripsi; X F,
uulgo. 239. oí] om. Εἰ; corr. Torellius.

124 ΠΕΡῚ EAIKESNN.

Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι., ὧν ἐστι μεγίστα μὲν &
Gf, ἐλαχέστα δὲ & ΘΕ. ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ
αἱ ἀπὸ τοῦ € ποτὶ τὰν τοῦ € AZ τομέως περιφέρειαν
ποτιπιπτούσαι χωρὶς τᾶς ΘΑ͂ τῷ μὲν πλήϑει μιᾷ ἐλασ-
σόνες τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν, τῷ δὲ με-
γέϑει ἀλλάλαις τε καὶ τῷ μεγίστα ἴσαι, καὶ ἀναγεγρα-
φάται ἀπὸ ἑκάστας ὁμοίοι τομέες, ἀπὸ δὲ τᾶς μεγέστας
τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν ovx ἀναγεγράπται.
oí τομέες οὖν οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ
μεγίστᾳ ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλά-
λαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας usífova
λόγον ἔχοντι, ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ
τὸ ὑπὸ τῶν ΘΑ͂, OE καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ
τᾶς ΕΖ. ὥστε καὶ ὁ 60.4Z τομεὺς ποτὶ τὸ ἐγγεγραμ-
μένον σχῆμα μείξονα λόγον ἔχει. ἥπερ ποτὶ τὸν XQ τομέα.
ὥστε μείξων ó XQ τομεὺς τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήμα-
τος. οὔκ ἐστι δέ, ἀλλὰ ἐλάσσων. οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ
ἐλάσσων ὁ XG τομεὺς τοῦ περιεχομένου χωρίου ὑπό
τὸ Tüg ΑΒΓΖΕ ἔἕλικος xol viv 40, OE εὐϑειᾶν.
ἴσος ἄρα.

κζ΄.

Τῶν χωρίων τῶν περιεχομένων ὑπό τε τᾶν ἑλίκων
καὶ τᾶν εὐθειᾶν τᾶν ἐν τᾷ περιφορᾷ τὸ μὲν τρίτον
τοῦ δευτέρου διπλάσιόν ἐστι, τὸ δὲ τέταρτον τριπλά-
όιον, τὸ δὲ πέμπτον τετραπλάσιον, καὶ ἀεὶ τὸ émóus-
νον κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριϑμοὺς πολλαπλάσιον τοῦ δευ-

1. ὧν F, uulgo. 8. αἴ om. F; corr. Torellius. 4. μεας
F; corr. Torellius. b. τὰν] vo» F; corr. Torellius. τῷ]
addidi cum V(?); om. F, uulgo. 6. ἀψναγεγραφεται F, uulgo;
ἀναγεγράφονται Torellius. 7. roptig ΕΒ. ταν μεέγισταν EF;
corr. B. 8. τὰν τῷ] τῶν om. F; corr. Torellius; τῶν B

DE LINEIS SPIRALIBUS. 125

Θ ad spiralem ductae sunt [prop. 12], quarum maxima
est 69 4, minima autem 6 E. sed aliae quoque lineae
sunt, quae ἃ Θ ad ambitum sectoris 9 4Z ductae sunt,
praeter lineam 60,4, numero una pauciores iis, quae
aequali spatio inter se excedunt, magnitudine autem
eb inter se ei maximae aequales, el in omnibus simi-
les sectores consirucii sunt, in maxima autem earum,
quae aequali spatio inter se excedunt, nullus construc-
ius est. sectores igitur in lineis οὗ inter se et maxi-
mae aequalibus consiructi ad sectores in lineis aequali
spatio inter se excedentibus consiructos praeter sec-
iorem in maxima construetum maiorem rationem ha-
bent, quam 84:604 »« ΘΕ -᾿ 4EZ? [prop. 11 co-
roll]. quare etiam sector 9 4 Z ad figuram inscriptam
maiorem rationem habet quam ad sectorem X4. quare
sector X«q maior est figura inscripta [Eucl. V, 10].
sed maior non est, uerum minor. itaque sector XG
ne minor quidem est spatio spirali 4 ΓΖ E et lineis
49, OE comprehenso. ilaque aequalis est.

XXVII.

Spatiorum comprehensorum spiralibus et lineis,
quae in circumactione sunt, tertium duplo maius est
secundo, quartum uero triplo maius, quintum uero
quadruplo maius, eti semper deinceps insequens spa-
lium toties multiplex erit, quàm spatium secundum,

—- LA ——M — —— ——— — ------.-.- .

manu 2. 10. τῷ] om. F; corr. B. 18. OE] AE F; corr. Β.

14. ὥστε] sevo per comp. F; corr. BC. 16. προς per comp.
F; corr. Torellius. ΧΑ] scripsi cum Cr; X F, uulgo, ut lin. 16,
18. 20. cx Εἰ; corr. Torellius. 21. λα΄ F. 23. τρέτον]
y F, et sic semper in hac propositione, nisi quod interdum
scribitur α΄ (p. 126 lin. 7).

126 ΠΕΡῚ EAIKO9N.

τέρου χωρίου, τὸ ὃὲ πρῶτον yoQgíov ἕχτον μέρος ἐστὶ
τοῦ δευτέρου.
ἔστω ἃ προκειμένα ξλιξ ἔν τε τᾷ πρώτα περιφορᾷ
γεγραμμένα καὶ ἐν τῷ δευτέρᾳ καὶ ἐν ταῖς ἑπομέναις
5 ὁποσαισοῦν. ἔστω δὲ ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ € σαμεῖον,
& δὲ ΘΕ. εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς. τῶν δὲ χωρέων
ἔστω τὸ μὲν K τὸ πρῶτον, τὸ δὲ 4 τὸ δεύτερον, τὸ δὲ M
τὸ τρίτον, τὸ δὲ Ν τὸ τέταρτον, τὸ δὲ E τὸ πέμπτον.
δεικτέον, ὅτι τὸ μὲν Καὶ χωρίον ἔκτον μέρος ἐστὶ τοῦ
10 ἑπομένου, τὸ δὲ M διπλάσιον τοῦ 44, τὸ δὲ Ν τρι-
πλάσιον τοῦ 4, καὶ τῶν ἑξῆς αἰεὶ τὸ ἑπόμενον πολλα-
πλάδιον τοῦ 4 κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριϑμούς.
ὅτι μὲν οὖν τὸ Καὶ ἔχτον μέρος ἐστὶ vot 4, ὧδε
δεικνύται. ἐπεὶ τὸ Κα 4 χωρίον ποτὶ τὸν δεύτερον
κύκλον δεδείχται τοῦτον
ἔχον τὸν λόγον, ὃν ἔχει
τὰ t ποτὶ và ιβ΄, ὁ δὲ
δεύτερος κύκλος ποτὶ τὸν
πρῶτον xvxAov, ὡς ιβ΄
ποτὶ τὰ γ΄" δῆλον γάρ
ἐστιν’ ὁ δὲ πρῶτος κύ-
κλος ποτὶ τὸ K χωρίον
ἔχει, ὡς γ΄ ποτὶ α΄, ἕκτον
ἄρα ἐστὶ τὸ K χωρίον τοῦ Δ. πάλιν δὲ καὶ τὸ
26 ΚΑΜ χωρίον ποτὶ τὸν τρίτον κύκλον δεδείκται ὅτι
τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερον τό τε
ὑπὸ ΓΘ, ΘΒ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΒ
8. προκειμεένω F. — 5. δέ] addidi; om. F, uulgo. 10. N

τριπλάσιον.) HII E ΟΣ, 11, παλλαπλασιον F. 16. ἔχον] scripsi;
δγειν F, uulgo. 17. προς per comp. F; corr. Torellius, ut
li. 28. 28. ἕκτον) ς΄ FBC*; καί A; ἴσον ed. Basil, uulgo,
24. 4] 4 Ἐ; corr. À. 27. '8B F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 121

quoties indicant numeri ordine sequentes, primum
autem spatium sexía pars esi secundi.

Spiralis proposita in prima, secunda, reliquisque
quollibet cireumaetionibus descripti sii. principium
autem spiralis sit punctum 6, linea autem ΘΕ prin-
cipium cireumactionis. spatiorum autem primum sit
Κι, seeundum 4, tertium M, quartum N, quintum 55.
demonstrandum, spatium K sextam partem esse spalii
sequentis [4], spatium autem .M duplo maius spatio
4, spatium autem N iriplo maius spatio 4, et reli-
quorum spaliorum semper deinceps insequens toties
multiplex esse, quam spatium 7f, quoties indicent nu-
meri ordine sequentes.

iam spatium K sextam partem esse spatii 4, hoc
modo demonstramus. quoniam demonsiratum est, spa-
lium Καὶ -- 4 ad secundum circulum eam habere ra-
tionem, quam 4:12 [prop. 25], secundus autem cir-
culus ad primum circulum eam rationem habet, quam
12:8 (hoc enim manifestum est)') primus autem cir-
culus ad spatium K eam rationem habet, quam 3 :1
[prop. 24], erit igitur spatium K sexta pars spatii 4.)

rursus autem demonstratum est, etiam spatium

K 4-4 4- M
ad tertium cireulum eam habere rationem, quam
ΓΘ»«ΘΒ -- 4IT'B?: I'8? [prop. 25 coroll.];

1) Ex Eucl XII, 2; nam 6 B — 26 4.

2) Sit enim circulus primus C,, secundus C, cett. erit:
K-4-4:0,29 1:12, C, :10€, — 12:3; inde δι᾽ ἔσου (Eucl. V,
22): K--4:0,-271:8. est autem Οἱ : K — 3:1; itaque
δι ἴσου: K-- 4: πα 1:1; siue K ]-4— 71K, 4A — 61.

128 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

τετραγώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ ΓΘ τετράγωνον. ὁ δὲ τρίτος
κύκλος ἔχει ποτὶ τὸν δεύτερον κύκλον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς
ΓΘ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΒ. ὁ δὲ δεύτερος
κύχλος ἔχει ποτὶ τὸ Καὶ 4 χωρίον, ὃν τὸ ἀπὸ BO τε-

5 τράγωνον ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΒΘ,
6.4 καὶ τὸ τρέτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς AB τετραγώνου.
καὶ τὸ KA4M ἄρα ποτὶ τὸ Καὶ λόγον ἔχει, ὃν τὸ ὑπὸ
᾿τᾶν ΓΘ, ΘΒ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΒ
ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΘ, 6.4 καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ
10 ἀπὸ τᾶς 48 τετραγώνου. ταῦτα δὲ ἔχει ποτὲ ἄλλαλα
λόγον, ὃν 19' ποτὶ τὰ ζ΄. ὥστε καὶ τὸ ΚΑΜ χωρίον
ποτὶ τὸ AK χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ειϑ'
ποτὶ τὰ ξζ΄. αὐτὸ οὖν τὸ M ποτὶ τὸ KA λόγον ἔχει,
ὃν τὰ ιβ΄ ποτὶ τὰ ξ΄. τὸ δὲ ΚΑ ποτὶ τὸ 4 λόγον
15 ἔχει, ὃν τὰ ζ΄ ποτὶ τὰ ς΄. δῆλον οὖν, ὅτι διπλάσιόν
ἐστι τὸ M τοῦ 4. ὅτι δὲ τὰ ἑπόμενα τὸν τῶν ἕξῆς
ἀριϑμῶν λόγον ἔχει, δειχϑησέται. τὸ γὰρ KAMNAE
ποτὶ τὸν κύκλον, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου & ΘΕ, τοῦ-
τον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερον τό τε ὑπὸ
80 τᾶν EO, 0.1 περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ
ἀπὸ τᾶς 4 E τετραγώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς OE τετρά-
yovov. ὃ δὲ κύκλος, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρόυν à ΘΕ,
ποτὶ τὸν κύκλον, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου & O4, τοῦ-
τον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΕ τετράγωνον
25 ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς O1 τετράγωνον. ὁ δὲ κύκλος, ov
ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου & 410, ποτὲ τὸ ΚΑΜΝ χωρίον
τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς O1 τετράγω-

9. τῆς ΓΘ E; corr. Torellius. 7. xal τὸ K AM ἄρα us-

que ad τοῦ ἀπὸ tüg AB τετραγώνου lin. 10 om. F, uulgo, et
oríasse abesse possunt; suppl Commandinus (τῶν pro τᾶν

lin. 9; corr. Torellius), nisi quod omisit τετραγώνου lin. 10,
quod ipse addidi. 10. πρὸς per comp. Εἰ; corr. Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 129

eirculus autem tertius ad secundum eam rationem ha-
bet, quam 1'6*:6 B? [Eucl. XII, 2]; secundus autem
cireulus ad spatium K -ἰ- 4 eam rationem habet, quam
ΒΘ": B0 2« 0 4 -|- 4.AB* [prop. 25]; erit igitur etiam
K-4-4--M:K-4-4

— I'9 »« 0B J- 4T'B' : BG 5« 0.4 J- $4 B?, )

h. e. — 19: 1.) quare etiam
|. K4- 4--M:4-4- K — 19:71.
ergo M: K ]- 4 — 12: [Eucl. V, 17]. sed
ΚΕ 4: 4 --ῷ 1 16.

[ergo Μ: 4 — 12:6 (Eucl. V, 22)]. quare M — 2 A.

iam demonsirabimus, spatia insequentia eas ratio-
nes habere, quas numeri deinceps ordine sequentes.
nam spatium Κα - 4-J4- M--N-- SX ad circulum,
cuius radius est linea 9 E, eam rationem habet, quam
E60 »« 04 4- 3 4E?: 9 E? [prop. 25 coroll]. circulus
autem, cuius radius est GE, ad circulum, cuius radius
est 941, eam rationem habet, quam Θ E? : Θ 7f? [Eucl.
XII, 2]. circulus autem, cuius radius est 7/0, ad
spatium Καὶ -- 4 -- M -J- N eam rationem habet, quam

1) Nam K--4--M:C, — DO» 0B jTB' ἬΝ
C,: C, τὰ D'0* : ΘΒ", h. e. (Eucl. yp, 22) E E A M
— ΓΘ». ΘΒ -. 4rP
βοᾷ C, : K -]- 4 — 0 B*: 595: 04 τ ΑΒ duin u. Eucl. V, 22.
2) Nam ΓΘ —364, 68 —2604, ΓΒ — 4B - ΘΑ (p. 109
not. 1); quare T9 » 9B - ΓΒ": BO » 64 4- 485
— 66 4?*-]- $0.4? : 20 4? -- 130 4? — 190 4* : 16 4“ — 19 : 7.

αλληλα FBC*. — 15. οὖν ὅτι] ott ov» utrumque per comp. F.
17. HKA, ΜΝΞ Ὲ. 20. τῶν per comp. F; corr. Torellius.
26. ἐκ] scripsi; ἀπὸ F, uulgo.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 9

130 ΠΕΡῚ EAIKO9N.

vov ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν O 4, ΘΓ καὶ
τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΖΓ τετραγώνου. καὶ
τὸ KAMN&A ἄρα ποτὶ τὸ K AMN λόγον ἔχει, ὃν τὸ
ὑπὸ r&v OE, O41 καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς
ΖΕ ποτὶ τὸ ὑπὸ τῶν 40, ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος
τοῦ ἀπὸ τᾶς 4I. διελόντι καὶ τὸ X χωρίον ποτὶ τὸ
KAMN λόγον ἔχει. ὃν ἃ ὑπεροχὰ τοῦ τε ὑπὸ ΕΘ,
Θ4 μετὰ τοῦ τρίτου μέρεος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ xol τοῦ
ὑπὸ τῶν 40, ΘΙΓ μετὰ τοῦ τρίτου μέρεος τοῦ ἀπὸ
τᾶς 4Γ ποτί τε τὸ ὑπὸ τᾶν 410, ΘΓ καὶ τὸ τρίτον
μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς AI. ὑπερέχει δὲ τὰ συναμφότερα
τῶν συναμφοτέρων, ᾧ καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΕΘ, ΘΖ τοῦ
ὑπὸ τᾶν 40, OI. ὑπερέχει δὲ τῷ ὑπὸ τᾶν 40, ΓΕ.
τὸ A ἄρα ποτὶ τὸ ΚΑ͂ΜΝ λόγον ἔχει, ὃν τὸ ὑπὸ τῶν

ὅ ΘΩ͂, ΓΕ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν 40, ΘΙΓ καὶ τὸ τρίτον

μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΖΩ͂ τετραγώνου. διὰ δὲ τῶν αὐὖὐ-
τῶν δειχϑησέται καὶ τὸ Ν ποτὶ τὸ K AM χωρίον λό-
yov ἔχον τοῦτον, ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν OI, B. ποτὶ τὰ
συναμφότερα τό τε ὑπὸ ΓΘ, ΘΒ καὶ τὸ τρίτον μέρος
τοῦ ἀπὸ ΓΒ τετραγώνου. τὸ Ν ἄρα ποτὶ τὸ KAMN
χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ὑπὸ OI, ΒΩ͂
ποτὶ τὸ ὑπὸ OI, B4 καὶ τὸ ὑπὸ ΘΙ, ΘΒ καὶ τὸ
τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΒ [καὶ ἀνάπαλιν}Ὑὔ" ταῦτα

4. τἂν] vov F; corr. Torellius, ut lin. 5, 10, 18 (alt.), 14 et
lin. 12, 13, 15 (comp. F) 5. 48] 40 FD. 7. ἡ ὑπεροχὴ Ἐς;
corr. Torellius. 8. μερους Εἰ, uulgo. καὶ τοῦ ὑπό... ad
τὰς Z4I'lin. 10 om. FE; corr. Torellius, nisi quod τῶν lin. 9
omisit. 10. zoví] προς F; corr. Torellius. 12. E64 F;
corr. Torellius. 18. 40r F; corr. Torellius. 14. ὃν τό]
ον τὲ F; corr. A; 0v τε τό DB. 16. της F; eorr. Torellius.
19. τό ze] τῶ ve F. ΓΘΒ F, uulgo. 29. τὸ ὑπὸ ΘΙ͂, Β4
καί) addidi; om. F; ; post I'B lin. 93 addunt Commandinus et
Torellius: καὶ τὸ ὑπὸ OI, ΒΩ. ὑπό] om. F; corr. B. 23.
καὶ ἀνάπαλιν] deleo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 131

02:021 »« ΘΓ - 4 4I? [prop. 25 coroll]. quare
erii eliam
K -4--M-FEN--5ES:K-r-4-4-M-FEN

— GEO4--$4E' : 49»« 6T -- 1 4Γ5""
οὐ dirimendo [Eucl. V, 17] erit

S:K--44- M-EN-EO0»«04--4E4Z

-— (40 »«8T -- 5 417?) : 40 »« 6T -EF- 4 AT,
sed EO »«64 -- 3 EZ -— (40 »« GT 4- $ 4T?)

— ΕΘ 2«024--.405«0I0

[quia Ez — 4D] -— 4Θ »« ΓΕ. erit igitur
A:K-4d-A4-4- MA-N—042«LDE: 40»«0T --- 3 L4.
et eadem ratione demonstrabimus, esse
N:K--44- M-—90Dr»B4:DI05»«0B --3LTB*
erit igitur N: K - 4-4- Md- N
— 6T» BA4:002«0B -- 4IT'B*-- 6er» Ba.?
sed GI'»« B4 --GI'2« 0B -- Y LP?
— 40 «0D - 1 ΓΖ" [δὰ D4-IB]

1) Est enim
K--A--M--N-4-E:0, — E0»x«04-- 434513: 6 E?
et C, : C, — ΘΕ": 6 4*; undé (Eucl. V, 29):
K-4-4A--M-FEN-rFSE:C,—E0»«04--t4EbE! :04;
sed C,: K 3-4 -- M--N 04*:0942« ΘΓ - 14Γ8; tum
τ. Eucl. V, 22.
2) Cum sit

N:K-LA-d-M-89r»B4:TDT92«98--$4TP!,
erit etiam ἀνάπαλιν

K--A--M:N2 DT0»«90B--4D7B::09DT » BA,
el συνθέντι
K--A-4- MJ- N: N—'8»«0 B--4 DB? --9GD»«B 4:9 DP 2« B Zu,
et ἀνάπαλιν
N:K--A-- M--N 6 T»«B 4: 8»«0B-E-4TD B3 4-8 D» B 4.
Hinc simul intellegitur, ineptum esse additamentum καὶ ἀνά-
παλιν lin. 28; nam proportio N : K -|- 4 -- M -- N ipsa ἀνά-
παλιν Orta est. his uerbis deletis hoc quoque adipiscimur, ut
uerbum ταῦτα lin. 28 habeat, quo apte referatur
(ac. ΘΙ» Β4-Ὁ ΘΓ »« ΘΒ - 1185, proxime antecedens).

9**

139 ΠΕΡῚ ΕΛΙΚΩ͂Ν.

δὲ ἴσα ἐντὶ τῷ τε ὑπὸ τᾶν 40, ΘΙΓ καὶ τῷ τρέτῳ
μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΖ τετραγώνου. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν
& χωρίον ποτὶ τὸ ΚΑΜΝ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν
τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΩ͂, ΓΕ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε

5 ὑπὸ τᾶν 40, ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς
ΓΖ τετραγώνου, τὸ δὲ KAMN ποτὶ τὸ Ν, ὃν τὰ
συναμῳότερα τό τε ὑπὸ τᾶν 40Θ, ΘΓ καὶ τὸ τρέτον
μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΖ τετραγώνου ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν
ΘΓ, 4B, ἔχει ἄρα καὶ τὸ Καὶ ποτὶ τὸ IN τὸν αὐτὸν λόγον.

10 ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΖ, DE ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν OI, AB.
τὸ δὲ ὑπὸ τᾶν ΘΩ͂, DE ποτὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΙ, 4B
τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν & O1 ποτὶ τὰν ΘΓ, ἐπεὶ
ἴσαι ἐντὶ αἱ ΓΕ, Β4. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ τὸ 5E ποτὶ
τὸ Ν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν & ΘΖ ποτὶ τὰν ΘΓ.

15 ὁμοίως δὲ δειχϑησέται καὶ τὸ Ν ποτὶ τὸ M τοῦ-
τον ἔχον τὸν λόγον, ὃν & ΘΓ ποτὶ τὰν ΘΒ, καὶ τὸ
M ποτὶ τὸ 4, ὃν & BO ποτὶ τὰν 4Θ. αἱ δὲ [ΕΘ]
40, ΓΘ, BO, 40 εὐϑείαι τὸν τῶν ἑξῆς ἀριϑμῶν
λόγον ἔχοντι.

20 κη΄.

Εἴ κα ἐπὶ τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁποιαοῦν περιφορᾷ
γεγραμμένας δύο σαμεῖα λαφϑέωντι μὴ τὰ πέρατα,
ἀπὸ δὲ τῶν λαφϑέντων σαμείων ἐπιξευχϑέωντι εὐϑείαι
ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ κέντρῳ μὲν τᾷ ἀρχᾷ

26 τᾶς ἕλικος, διαστημάτεσσι δὲ τοῖς ἀπὸ τῶν σαμείων
ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος κύκλοι γραφέωντι, τὸ περι-
λαφϑὲν χωρίον ὑπό τε τῶς μείξονος τᾶν περιφερειᾶν

3. προρ per comp. F; corr. Torellius. 4. τό] (ali.) scripsi;
vo F, uulgo. 6. 401' F, uulgo. 6. τὸ δέ] τα δὲ ἘΠ; corr.
Torellius. 7. 46TI'F, uulgo. 8. τὸ ὑπό] τὰ vxo F; corr.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 133

iam quoniam
E:K--44- M-N — 084» TFE: 40» 9T -- 4Γ43
et
K--44- MJ- N:N — 40»« 9T--4T45:9D»« 4B
[Eucl. V, 1 πόρισμα], erit igitur etiam [Euel. V, 22]
ES:N-—O0Z4»LIE:0D»4B-—6064:0Dr
(quoniam ΓΕ - Bzf) adparet igitur, esse
S&:N—064:901I.
et eodem modo demonsirabimus, esse etiam
N:M-—909I0:0B, M: A4 - BO : 40.
sed lineae 2/70, ΓΘ, BO, 46 eam rationem habent,
quam numeri ordine sequentes.!)

XXVIII.

Si in spirali qualibet?) cireumactione descripta
duo puncta sumuntur, quae. termini eius non sunt,
el a punctis [ita] sumptis ad principium spiralis
lineae ducuntur, et circuli describuntur, quorum cen-
irum est principium spiralis, radii autem lineae a
punctis ad principium spiralis ductae, spatium com-

1) Ent igitur 9: iN: M: 4— 04: 0D: OB: ΘΑ. hinc
autem intellegitur, lineam ΕΘ male additam esse lin. 17. ne-
que enim ei ullum spatium respondet.

2) Propositio de omni spirali uera est, sed ab Archimede
de spirali una circumactione descripta sola demonstratur; quare
ὁποιαοῦν lin. 21 suspectum est; cfr. p. 12, 12.

B. τὰν] τὰ F; corr. ABD. 10. τὸ ὑπὸ τᾶν O 4, ΓῈ ποτι
repetuntur in FV A. 11. O41] ΘΑ F; corr. manus 1. 17.
τὰν) vo» F; corr. B. ΕΘ] deleo. 19. egevr. F. 20. «7 ]
om. F. 21. ὁποιαοῦν) μιᾷ Nizzius. 22. λαφϑῶωντι F, uulgo.
23. ἐπιξευχϑέωντι) scripsi; εἐπιξευχϑώσιν F, uulgo; ἐπιξευχ-
ϑῶντι Torellius. ^ 25. διαστημάτεσσι) scripsi; διαστημασι FC;
διαστήματι uulgo; διαστημάσσι Torellius. — cepsíov] sic F.
26. rx αοχα Ἐς; corr. Torellius.

134 ΠΕΡῚ EAIKQN.

τᾶν μεταξὺ τᾶν εὐϑειᾶν καὶ τᾶς ἕλικος τᾶς μεταξὺ
τᾶν αὐτᾶν εὐϑειᾶν καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐκβληϑείσας
τοῦτον ἕξει τὸν λόγον ποτὶ τὸ ἀπολαφϑὲν χωρίον ὑπό
τε τᾶς ἐλάσσονος περιφερείας καὶ τᾶς αὐτᾶς ἕλικος
καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιξευγνυούδας τὰ πέρατα αὐτᾶν,
ὃν ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου μετὰ δύο
τριταμορίων τᾶς ὑπεροχᾶς, & ὑπερέχει & ἐκ τοῦ κέν-
τρου τοῦ μείξονος κύχλου τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου cot
ἐλάσσονος κύκλου πότὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσ-
ὅονος κύχλου μετὰ ἑνὸς τριταμορίου τᾶς αὐτᾶς ὑπερ-
οχᾶς.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἃς & ABI, ἐν μιᾷ περιφορᾷ γε-
γραμμένα, καὶ λελάφϑω ἐπ᾽ αὐτᾶς δύο σαμεῖα τὰ A,
I, ὥστε τὸ Θ σαμεῖον ἀρχὰν εἶμεν τᾶς ἕλικος. καὶ
ἀπὸ τῶν 4, D ἐπεξεύχϑωσαν ἐπὶ τὸ O. καὶ κέντρῳ
τῷ O, διαστημάτεσσι δὲ, τοῖς O 4, GT' κύκλοι γεγράφ-
ϑωσαν. δεικτέον, ὅτι τὸ XE χωρίον ποτὶ τὸ II τὸν
αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερος & τε 40
καὶ δύο τριταμόρια τᾶς H4 ποτὶ συναμφότερον τάν
τε 4Θ καὶ ἕν τριταμόριον τᾶς H A.

τὸ γὰρ χωρίον τὸ NIJ ποτὶ τὸν HI'O τομέα δε-
δείκται τοῦτον ἔχον τὸν λόγον, ὃν ἔχει τό τε ὑπὸ τᾶν
HO, 46 καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς 4H τετρα-

1. τᾶν μεταξύ] scripsi; τὰς ἰὸν F, uulgo. 9. εκβλη-
ϑειὰς F. 8. περιλαφϑέν᾽ . ἐλάσσονος om. F; corr. To-
rellius. 7. πυπεροχει F. $. mor τὰν ἔκ τοῦ κέντρου τοῦ

ἐλάσσονος κύκλου om. F; corr. ed. Basil (πρὸς τήν pro ποτὶ
τάν, quod corr orellius). 10. τριτημορίον F. — 12. ἐν] ad-
didi; om, Εἰ, uulgo. 15. EN ταν per Mn . F. εὐθεῖαι
ἐπέ ed. Basil., Torellins (non B 16. τῷ] το F. 18. τε]
addidi; om. F, uulgo. A0] H lo FBC*; ΘΑ͂ uulgo, ut lin.
20. 19. di ορια F C*, r5 HFBC*. 90. H4] M4
FBC* 2. ἔχον] B*, Nizzius; εχων FO* V; ἔχειν uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 135

prehensum maiore eorum arcuum, qui sunt inter
lineas, et spirali inter easdem lineas posita et linea
producta") eam habebit rationem ad spatium com-
prehensum arcu minore et eadem spirali et linea ter-
minos eorum iungenti, quam radius cireuli minoris
eum duabus partibus excessus, quo radius circuli ma-
iris radium circuli minoris excedit, ad radium cir-
eui minoris cum tertia parte eiusdem excessus.

sit spiralis, in qua sit 48 ΓΖ, una cireumactione
descripta, οὐ sumantur in ea duo puncta 4, I, ita ut
punetum Θ᾽ principium sit spiralis. et.a punctis 4, Γ
ad punctum Θ᾽ [lineae] ducantur. et describantur cir-
culi, quorum centrum sit Θ, radii autem 6 4, 6 I'. de-
monstrandum, esse κ᾿: ΠῚ 40 -- 43H 4:40 -- 3 H A.

nam demonsiratum est, esse N -- II: HI'O

— HO »« 40 4- 44 H? : H€* [prop. 26].

1) Indicandum erat, radium circuli minoris ad &mbitum
eirculi maioris producendum esse.

134 ΠΕΡῚ EAIKQ9N.

τᾶν μεταξὺ τᾶν εὐθειᾶν καὶ τᾶς ἕλικος tüc μεταξὺ
τᾶν αὐτᾶν εὐθειᾶν καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐκβληϑείσας
τοῦτον ἕξει τὸν λόγον ποτὶ τὸ ἀπολαφϑὲν χωρίον ὑπό
τε τᾶς ἐλάσσονος περιφερείας καὶ τὰς αὐτᾶς ἕλικος
καὶ vüg εὐθείας τᾶς ἐπιξευγνυούσας τὰ πέρατα αὐτᾶν.
ὃν ἃ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύχλου μετὰ δύο
τριταμορίων τᾶς ὑπεροχᾶς, & ὑπερέχει ἃ ἐκ τοῦ κέν-
τρου τοῦ μείξονος κύκλου τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῖ
ἐλάσσονος κύκλου πότὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσ-
ὅονος κύκλου μετὰ ἕνὸς τριταμορίου τᾶς αὐτᾶς ὑπερ-
οχᾶς.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἃς & 48ΒΓ4, ἐν μιᾷ περιφορᾷ γε-
γραμμένα, καὶ λελάφϑω ἐπ᾽ αὐτᾶς δύο σαμεῖα τὰ A,
I, ὥστε τὸ Θ δαμεῖον ἀρχὰν εἶμεν τᾶς ἕλικος. καὶ
ἀπὸ τῶν 4, D ἐπεξεύχϑωσαν ἐπὶ τὸ O. καὶ κέντρῳ
τῷ Θ, διαστημάτεσσοι δὲ, τοῖς O 4, OT' κύκλοι γεγράφ-
ϑωσαν. δεικτέον, ὅτι τὸ Ξ' χωρίον ποτὶ τὸ II τὸν
αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερος & τὲ 4Θ
καὶ δύο τριταμόρια τᾶς H4 ποτὶ συναμφότερον τάν
τε 4Θ καὶ fv τριταμόριον τᾶς Η A.

τὸ γὰρ χωρίον τὸ NIJ ποτὶ τὸν ΗΓΘ τομέα δε-
δείκται τοῦτον ἔχον τὸν λόγον, ὃν ἔχει τό τε ὑπὸ τᾶν
ΗΘ, 40 καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς 4 H τετρα-

————

1. τᾶν μεταξὺ] Scripsi; τας βέταξυ F, uulgo. 2. ἐκβλη-
ϑειας F. 8. περιλαφϑέν . ἐλάσσονος om. Εἰ; corr. To-
rellius. 7. υπεροχει F. $. mor τὰν ἔκ τοῦ κέντρου τοῦ

ἐλάσσονος κύκλου] om. F; corr. ed. Basil (πρὸς τήν pro ποτὶ
τάν, quod corr. "Torellius). 10. τριτημοριου F. 12. £y] ad-
didi; om, F, uulgo. 15. rus, ταν per cn . F. εὐθεῖαι
ἐπί ed, Basil, Torellius (non B 16. τῷ] zo F. 18. τε]
addidi; om. F, uulgo. A0] H lo FBC*; ΘΑ͂ uulgo, ut lin.
20. 19. τοῦτ ορια FC*, ry H FBC*. 590. H4] MA
FBC* 2. ἔχον] B*, Nizzius; eyo» FC*V; ἔχειν uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 135

prehensum maiore eorum arcuum, qui sunt inter
lineas, et spirali inter easdem lineas posita et linea
producta!) eam habebit rationem ad spatium com-
prehensum arcu minore et eadem spirali et linea ter-
minos eorum iungenti, quam radius cireuli minoris
cum duabus partibus excessus, quo radius circuli ma-
ioris radium circuli minoris excedit, ad radium cir-
euli minoris cum tertia parte eiusdem excessus.

sit spiralis, in qua 51 48 [ΓΖ], una cireumactione
descripta, et sumantur in ea duo puncta 4, I) ita ut
punetum Θ᾽ principium sit spiralis. et.a punctis 4, Γ
ad punctum Θ᾽ [lineae] ducantur. et describantur cir-
culi, quorum centrum sit 0, radii autem 69 4, GI. de-
monstrandum, esse E: I1 — 40 -- 3H 4: 40 -- 4H A.

nam demonstratum est, esse N -- JI: HI'O

— HO »« 40 -- 434 H? : H€? [prop. 26].

1) Indicandum erat, radium circuli minoris ad ambitum
circuli maioris producendum esse.

136 ΠΕΡῚ EAIKSNN,

γώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς HO τετράγωνον. αὐτὸ ἄρα τὸ
A ποτὶ τὸ NII τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ
τῶν 0 4, AH μετὰ δύο τριταμορίων τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ͂
τετραγώνου ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν 4.
G H καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ. καὶ ἐπεὶ τὸ
ΝΠ χωρίον ποτὶ τὸν NIIX τομέα τοῦτον ἔχει τὸν λόγον,
ὃν ἔχει συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΘΗ καὶ τὸ
τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς OH
τετράγωνον, ὁ δὲ ΝΠΞΞ τομεὺς ποτὶ τὸν N τομέα τοῦ-
τον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς O H ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς
0.4, ἕξει καὶ τὸ NII χωρίον ποτὶ τὸν Ν τὸν αὐτὸν
λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερον τό τε ὑπὸ ΘΑ͂, ΘΗ͂ καὶ
τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ τὸ ἀπὸ Θ 4.
τὸ ἄρα NII ποτὶ τὸ II λόγον ἔχει, ὃν συναμφότερον
τό τε ὑπὸ τῶν HO, 60.4 καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ
τὰς H4 ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν Η 4, 0.4
καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώνου.
ἐπεὶ οὖν τὸ E χωρίον ποτὶ τὸ NII τοῦτον ἔχει τὸν
λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερον τό τε ὑπὸ ΘΑ͂, AH καὶ
δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς H.4 τετραγώνου ποτὶ τὰ
συναμφότερα τό τε ὑπὸ τἂν HO, O4 καὶ τὸ τρίτον
μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς H 4, τὸ δὲ NII χωρίον ποτὶ τὸ II
τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ
τὰν HO, 0.4 καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς HAÁ
τετραγώνου ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΑ,
46 καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς H4 τετραγώ-
vov, ἕξει καὶ τὸ E ποτὶ τὸ II τοῦτον τὸν λόγον, ὃν

1. της Ἐ; corr. Torellius. 8. G4H F, uulgo; similiter
lin.4& 6.Ν IIS] ΝΗΞ FD; NX uulgo: corr. Torellius. 7.
τῶν] τῶν per comp. Εἰ; corr. Torellius. 8. τὰς] tov per comp.
F. 9. NHSN F V. au N τομέα B, ed. Basil, Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 131

quare erit!)
8:N--II—04»-«AH--3H4: 405«06H -- 3H 43.
et quoniam est
N-H:N-IH-JE-—04x0H--4H45::0H?,
et N -4- II H- 8: N 5 0H*:0 4*,?) erit igitur

N MF H:N-04-0H--4H.£:0 4? [Eucl. V, 22].
itaque

N-- II: 11 — HO2«04-- 3HA4A:HAT«04A--3 HAP7)
iam quoniam est.

5S:N--II—04-« AH--$3H4£):H0»«04--4H£
et

N 4 H:II— HO5«04--3HAO: HAz« 40 - 4HAC,

1) ἀνάπαλιν: HI'O: Ν᾿ d-II— ΗΘ. HO» 40 --$A4H*;
unde διελόντι:
EIN-LII- ΗΘ" --- (HO»«40-- 34H*): H0 «A40 --1AH*.
sed H6? -- (HO »« 40 -- 44H?)
— H 43 4- 483 --2HA»« 40 4 Η4»«4θ -- 46'— 34H"
(Eucl. II, 4) — HA» A0 -2HA*.

2) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 14. cfr.
p. 119 not. 1.

8) ἀναστρέψαντι (Eucl. V def. 17) erit
N-- II:I1— 04»«0H --43HA4:0A4»5«0H-B- AH A4* — 0 43,
sed erit
6420H--1H4*--04? — ΘΑ (ΘΗ T Θ4ὴ - 1}43
--. θΘ4.»« Η4. -ἰ 1}.43

Figura in F paullo aliter descripta est, numeris additis. 14,

ΝΠ χωρίον ed. Basil, Torellius. ποτί] xo^ F; corr. Torel-
lius. ΠῚ I1 A F. συναμφοτερὰ EF; corr. B. 15. HO A
F, uulgo; similiter lin. 19, 21, 24, 26. 16. H 4] (prius) M 4 F.

ποτί] om. Εἰ; corr. B. e 4j ΘΕ FV. 21. vzó τὰν]
vxav F. 9Ἷ. ΕἾ χωρίον ed. Basil, Torellius. .

138 ΠΕΡῚ EAIK9NN.

ἔχει συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν O4, HA καὶ δύο
τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς H4 ποτὶ συναμφότερον τό
τε ὑπὸ τᾶν ΘΑ͂, H4 καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ
τᾶς Η4. τὰ δὲ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑ͂, ΗΜ“
καὶ δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφό-
τερον τό τε ὑπὸ t&v O4, HA xol τὸ τρίτον μέρος
τοῦ ἀπὸ τᾶς Η 4 τετραγώνου τοῦτον ἔχει τὸν λόγον,
ὃν ἔχει συναμφοτέρα & τε Θ 4 καὶ δύο τριταμόρια τᾶς
Η. ποτὶ συναμφοτέραν τάν vs ΘΑ͂ καὶ τὸ τρίτον
μέρος τᾶς ΗΑ. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ τὸ E χωρίον ποτὶ
τὸ Π χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν συναμφοτέρα
& τε O.4 καὶ δύο τριταμόρια τᾶς H4 ποτὶ συναμ-
φότερον τάν τε O4 καὶ τὸ τρίτον μέρος τᾶς H A.

1. 04] OH F, ut lin. 8. 4. 94] ΘΗ F V, ut lin. 8,
9,19, 18. ὅ. συναμφοτερὰ F, uulgo. 6. O4, HA] OHA F,;
corr. Δ. — 11. II] scripsi; N F, uulgo. 12. ov»eugotégas?

15. te] addidi, om. Εἰ, uulgo. In fine “ργιμηδους περι ελι-
xov F.

— — — ———

DE LINEIS SPIRALIBUS. 139

erii etiam [Eucl. V, 22]
A:II—04»5« AH--3HA4*:H A2« A0 -- 4 H A*.
sed erit )
0604»«HA--2HA4:04»5« HA--AHA£
— 04--3H4:04-- 4H A.
adparet igitur, esse etiam
S:IlL—04--3HA:04-L- 14.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS.

LIBHRI II.

᾿Επιπέδων ἰσορροπιῶν ἢ κέντρα βαρῶν
ἐπιπέδων α΄.

α΄. Αἰτούμεϑα τὰ ἴσα βάρεα ἀπὸ ἴσων μακέων (cog-
ροπεῖν, τὰ δὲ ἴσα βάρεα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων μὴ
ἰσορροπεῖν, ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος τὸ ἀπὸ τοῦ μεί-
fovog μάκεος.

β΄. εἴ κα βαρέων ἰδορροπεόντων ἀπό τινων μα-
κέων ποτὶ τὸ ἕτερον τῶν βαρέων ποτιτεϑῇ, μὴ ἰδσορ-
ροπεῖν, ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος ἐκεῖνο, ᾧ ποτετέϑη.

γ΄. ὁμοίως δὲ καί, εἴ κα ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν βα-
ρέων ἀφαιρεϑῇ τι, μὴ ἰσορροπεῖν, ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ
βάρος, ἀφ’ οὗ οὐκ ἀφῃρέϑη.

0 . τῶν ἴσων καὶ ομοίων ὄχημάτων ἐπιπέδων ἐφαρ-
μοξομένων ἐπ’ ἄλλαλα καὶ τὰ κέντρα τῶν βαρέων
ἐφαρμόξει ἐπ᾽ ἄλλαλα.

&. τῶν δὲ ἀνίσων, ὁμοίων δὲ τὰ κέντρα τῶν βα-
ρέων ὁμοίως ἐσσείται κείμενα. ὁμοίως δὲ λέγομες
σαμεῖα κεέσϑαι ποτὶ τὰ ὁμοῖα σχήματα, ἀφ᾽ ὧν ἐπὶ
τὰς ἴσας γωνίας ἀγομέναι εὐϑείαι ποιέοντι γωνίας ἴσας
ποτὶ τὰς ὁμολόγους πλευράς. ᾿

8. ἰσορροπ cum comp. ἣν uel ἐν F, ut lin. ὅ bis. — 5. ἐσσο-
ροπειν F, ut lin. 7. 8. τι, μή Torellius. 9. ἐκείνω F;
corr. Riualtus. 12. ἀφ᾽ corr. in ep, manu 1 F. 14. oi-
Amie Ἐς corr. Torellius, ut lin. 16. — 15. ἐφαρμόξειν Torellius.

17. ἐσσείται] scripsi; sore, per comp. Εἰ, uulgo; εἶμεν Torel-
lius. 17. λέγομεν F, uulgo. 19. ποιωντι F, uulgo.

De planorum aequilibriis siue de centris grauitatis
planorum I.

I. Supponimus!), aequalia pondera ex aequalibus
longitudinibus suspensa aequilibritatem seruare, aequa-
lia uero pondera ex inaequalibus longitudinibus sus-
pensa aequilibritatem non seruare, sed ad pondus e
maiore longitudine suspensum uergere.

II. Si, ponderibus e quibusdam longitudinibus sus-
pensis aequilibritatem seruantibus, alteri adiiciatur
aliquid, aequilibritatem ea non seruare,' sed ad pondus,
eui adiectum sit aliquid, uergere.

III. Eodem modo si ab altero pondere auferatur
aliquid, ea aequilibritatem non seruare, sed ad pondus,
a quo nihil ablatum sit, uergere.

IV. Figuris planis et aequalibus et similibus con-
gruentibus, etiam grauitatis centra inter se congruunt.

V. Figurarum uero inaequalium, sed similium
centra grauitatis similiter posita erunt. puncta autem
in figuris similibus similiter posita esse dicimus, a
quibus quae ad aequales angulos ducantur lineae, cum
lateribus inter se respondentibus aequales angulos
efficiant.

1) Ὁ ᾿Δρχιμήδης τῶν ἀνισορροπιῶν ἀρχόμενος" αἰτούμεϑα,
φησί, τὰ ἴσα |f en ἀπὸ τῶν ἴσων μηκῶν ἰσορροπεῖν᾽ καίτοι
τοῦτο μᾶλλον ἀξίωμα ἄν τις προσείποι. Proclus iu Eucl. p. 181, 18.

144 ἘΠΙΠΕΔΩΝ IXOPP. H KENTPA BAPSN EIIILIL Α΄.

ς΄. el χα μεγέϑεα ἀπό τινῶν μακέων ἰσορροπέωντι,
καὶ τὰ ἴσα αὐτοῖς ἀπὸ τῶν αὐτῶν μακέων ἰσορρο-
πήσει.
, , τ e , M
ξ΄. παντὸς σχήματος, ov κα ἃ περίμετρος ἐπὶ τὰ
3 Aj , 3 A. , ΄- , À] . -
αὐτὰ κοίλα ἡ, τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐντὸς εἶμεν δεῖ
τοῦ σχήματος. --- τούτων δὲ ὑποκειμένων

α΄.
Τὰ ἀπὸ ἴσων μακέων ἰσορροπέοντα βάρεα lao ἐντί.
, 4 » , 3 , 9 4 “-
εἴπερ γὰρ ἄνισα ἐσδείται, ἀφαιρεϑείδας ἀπὸ τοῦ
μείξονος τᾶς ὑπεροχᾶς τὰ λοιπὰ οὐκ ἰσορροπησοῦντι,
ἐπειδὴ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἀφῃρήται. ὥστε
τὰ ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων. βάρεα ἰσορροπέοντα ἴσα ἐντί.

β'
Τὰ ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων ἄνισα βάρεα οὐκ ἰσορ-
ροπηδοῦντι, ἀλλὰ ῥέψει ἐπὶ τὸ μεῖξον.
ἀφαιρεϑείσας γὰρ τᾶς ὑπεροχᾶς ἰσορροπησοῦντι.,
ἐπειδὴ τὰ ἴσα ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων ἰσορροπέοντι.
ποτιτεϑέντος οὖν τοῦ ἀφαιρεϑέντος ῥέψει ἐπὶ τὸ μεῖ-
ξον, ἐπεὶ ἰσορροπεόντων τῷ ἑτέρῳ ποτετέϑη.

2. ἰσορροπήσειν Torellius. 5. ewat per comp. Εἰ; corr.
Torellius. δεῖν Torellius. 7. α om. F; corr. Torellius.
11. τι. ὥστε Torellius. 18, β΄] om. F; corr. Torellius. 14.
ἰσορροπησοῦντι) scripsi; ἐσορροπουντι F, uulgo. 19. τῶι ετερωι

li ποτετέϑη) scripsi; ποτιτεθηι Εἰ, uulgo; ποτιτεθὴ τι To-
rellius.

DE PLANORUM AEQUILIBHIIS etc. 145

VI. Si magnitudines e quibusdam longitudinibus
suspensae aequilibritatem seruant, eliam magnitudines
lis aequales ex iisdem longitudinibus suspensae aequi-
libritatem seruabunt.

VII. Cuiuslibet figurae, cuius perimetrus in eandem
partem eaua est!), centrum grauitatis intra figuram
esse necesse est. — His autem suppositis

Pondera, quae ex aequalibus longitudinibus sus-
pensa aequilibritatem seruant, aequalia sunt.

nam 81 inaequalia erunt, excessu a maiore ab-
lato, quae relinquuntur, aequilibritatem non serua-
bunt, quoniam aequilibritatem seruantibus ab altero
aliquid ablatum est [postul. 3]. quare?) quae ex aequa-
libus longitudinibus suspensa aequilibritatem seruant,
aequalia sunt.

Ponder& inaequalia e longitudinibus aequalibus
suspensa aequilibritatem non seruabunt, sed ad maius
uergent.

nam ablato excessu aequilibritatem seruabunt, quo-
niam aequalia ex aequalibus longitudinibus suspensa
aequilibritatem seruant [postul. 1]. adiecto igitur,
quod ablatum est, ad maius uergent, quoniam aequi-
libritatem seruantibus 'alteri aliquid adiectum est

[post. 2].

1) Cfr. de sph. et cyl. I def. 2.
2) Nam ilud absurdum est ex postul, 1.
Archimedes, ed. Heiberg. II. 10

146 EIIHEASQ$N IZOPP. H KENTPA BAPSN EIIIIIL. Α΄.

γ΄.
Τὰ ἄνισα βάρεα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων ἰσορρο-
πησοῦντι, καὶ τὸ μεῖξον ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος.
ἔστω ἄνισα βάρεα τὰ 4, B, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ 4,
δ καὶ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τῶν AI, ΓΒ μακέων. δεικτέον,
ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν & 4Γ τᾶς ΓΒ.
μὴ γὰρ ἔστω ἐλάσσων. ἀφαιρεϑείσας δὴ τᾶς ὑπερ-
oy&g, ᾧ ὑπερέχει τὸ .4 τοῦ B, ἐπειδὴ ἰσορροπεόντων
ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἀφῃρήται, ῥέψει ἐπὶ τὸ B. οὐ ῥέψει
10 δέ. εἴτε γὰρ ἴσα ἐστὴν & ΓΑ͂ τᾷ ΓΒ, ἰσορροπησοῦντι"
τὰ γὰρ ἴσα ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων ἰδορροπέοντι᾽ εἴτε
μείξων & DI'4 τᾶς ΓΒ, ῥέπει ἐπὶ τὸ 4: τὰ γὰρ ἴσα

ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων οὐκ ἰσορροπέοντι, ἀλλὰ ῥέπει
ἐπὶ τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος μάκεος. διὰ δὴ ταῦτα ἐλάσ-

15 cov ἐστὶν ἃ 4Γ' τᾶς ΓΒ. --- φανερὸν δέ, ὅτι καὶ τὰ
ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων ἰδορροπέοντα ἄνισά ἐντι, καὶ
μεῖξόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ ἐλάσδονος.

δ΄.
Εἴ κα δύο ἴσα μεγέϑεα μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τοῦ
30 βάρεος ἔχωντι, τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μεγεϑέων συγ-

1. γ α΄ et s' F. 8. usifov] per comp. F, ut lin. 4.
ἐλάσσονος] per comp. (in rasura), F, ut lin. 6, 7. 1. γάρ)

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS οἷο. 147

III.

Pondera inaequalia ex imaequalibus longitudinibus
suspensa aequilibritatem seruabunt!) et maius e minore
longitudine suspensum erit.

sint 4, B pondera inaequalia, et maius sit 4, οὐ
e longitudinibus ΑΓ, ΓΒ suspensa aequilibritatem
seruent. - demonstrandum ATI'-I'B. '

nam minor ne sil. ablato igitur excessu, quo ex-
cedit 44 magnitudinem B, uergent ad B, quoniam
aequilibritatem seruantibus ab altero aliquid ablatum
est [postul. 8]. sed non uergent. nam siue I'4 -α
ΓΒ, aequilibritatem seruabunt; aequalia enim ex ae-
qualibus longitudinibus suspensa aequilibritatem ser-
uant [postul 1]. siue ΓΑ͂» ΓΒ, ad 4 uergent;
nam aequalia ex inaequalibus longitudinibus suspensa
aequilibritatem non seruant, sed ad pondus ex maiore
longitudine suspensum uergunt [postul 1] quare
ernt A4I'«I'B. — et adparet, etiam pondera, quae ex
inaequalibus longitudinibus suspensa aequilibritatem
seruent, inaequalia esse, οὗ pondus e minore longitu-
dine suspensum maius.?)

IV.

Si duae magnitudines aequales idem centrum graui-
tatis non habent, magnitudinis ex utraque magnitu-

1) H. e. si ponder& inaequalia aequilibritatem seruant,
longitudines inaequales sunt.
2) Conuersio est propositionis 3.

per comp. F. — 65] scripsi; δὲ F, uulgo. 11. ἰσσοροπέοντι]
om. Εἰ; corr. Torellius. 14. ἐπί ] om. F; corr. Torellius.
τό] om. Εἰ; corr. Torellius. 16. ἐσσορροπεοντα F. 18. β΄ F.
20. ἔχοντι Ἐ, uulgo.

10*

148 EIIIIEAQSN IZOPP. H KENTPA BAP9N EIIIII. A'.

κειμένου μεγέϑεος κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ
μέσον τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιξευγνυούσας τῶν μεγεϑέων
τὰ κέντρα τοῦ βάρεος.
ἔστω τοῦ μὲν 4 κέντρον τοῦ βάρεος τὸ 4, τοῦ
5 0à B τὸ B. καὶ ἐπιξευχϑεῖσα ἃ 48 τετμάσϑω δέχα
κατὰ τὸ Γ. λέγω, ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μεγε-
ϑέων συγκειμένου μεγέϑεος κέντρον ἐστὶ τὸ I.
εὖ γὰρ μή, ἔστω τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν A, B με-
γεϑέων κέντρον τοῦ βά-
10 θεος τὸ Zl, εἰ δυνατόν.
4 4 Tr B ὅτι γάρ ἐστιν ἐπὶ τᾶς
A B, προδεδείκται. ἐπεὶ
οὖν τὸ 4 σαμεῖον κέν-
τρον ἐστὶν τοῦ βάρεος
15 τοῦ ἐκ τῶν 4, B συγκειμένου μεγέϑεος, κατεχομένου
τοῦ 4 ἰσορροπήδσει. τὰ ἄρα Α, B μεγέϑεα ἐδσορρο-
πησοῦντι ἀπὸ τῶν 44, 48 μακέων" ὅπερ ἀδύνατον "
τὰ γὰρ ἴσα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων οὐκ ἰδορροπέοντι.
δῆλον οὖν, ὅτι τὸ Γ' κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ἐκ
20 τῶν 4, B συγκειμένου μεγέϑεος.

ε΄.

Εἴ κα τριῶν μεγεϑέων τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἐπ᾽
εὐθείας ἔωντι κείμενα, καὶ τὰ μεγέϑεα ἴσον βάρος
ἔχωντι, καὶ αἵ μεταξὺ τῶν κέντρων εὐϑείαι ἴσαι ἔωντι.

95 τοῦ ἐκ πάντων τῶν μεγεϑέων συγκειμένου μεγέϑεος
κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ δαμεῖον, ὃ καὶ τοῦ
μέσου τὸ αὐτὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος.

1. μεγεϑους F, uulgo, ut lin. 7. ἐσσείται] scripsi; ovy
per comp. F; ἔσται uulgo. 92. μεγεϑ' cum comp. ὧν Εἰ; corr.

orellius, ut Jin. 6, 8. 5. τετμησθὼ F; corr. Torellius. 7.
ἐστὶ τοῦ βάρφεος Torellius. 8. μεγεϑέων συγκειμένου μεγέϑους

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 149

dine compositae centrum grauitatis punctum medium
erit lineae centra grauitatis magnitudinum iungentis.

Sil ΑΔ centrum grauitalis magnitudinis 44, B autem
magnitudinis B, οὐ ducatur linea 4B et in puncto
I'in duas partes gequales secetur. dico, I' punctum:
centrum [grauitatis] esse magnitudinis ex utraque
magnitudine compositae.

nam si non est, sib punctum 7f centrum grauitatis
magnitudinis ex utraque magnitudine compositae, si
fieri potest. nam [centrum grauitatis] in linea 4B
positum esse, antea demonstratum est." quoniam
igitur punctum 7/ centrum grauitatis est magnitudinis
ex 4, B compositae, aequilibritalem seruabit puncto
44 sustento. itaque magnitudines 4, B ex longitu-
dinibus 47, 41 B suspensae aequilibritatem seruabunt;
quod fieri non potest. nam pondera aequalia ex longi- :
tudinibus inaequalibus suspensa aequilibritatem non
seruant [postul. 1] adparet igitur, punctum Γ᾽ cen-
irum grauitatis esse magnitudinis ex 4, B compositae.

V.
Si trium magnitudinum centra grauitalis in eadem :
linea recta posita sunt, eí magnitudines eiusdem sunt
ponderis, et lineae inter centra [grauitatis] positae
aequales sunt, magnitudinis ex omnibus magnitudini-
bus compositae centrum grauitalis erit punctum, quod
idem mediae magnitudinis centrum grauitatis est.
1) Sine dubio in libro περὶ ξυγῶν; Quaest. Arch. p. 32.
ed. Basil, Torellius (non ABCD*). 11. τῆς Εἰ; corr. Torellius.

19. δέδεικται Eutocius. 16. τοῦ] vo supra scripto τοῦ
manu 1 F. 18. ἐσορροπεῶντι F; corr. Toreliius. 241. y F.

150 EIIIIEAS9N IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩΝ EIIIII, Α΄.

ἔστω τρία μεγέθϑεα τὰ 4, B, I', κέντρα δὲ αὐτῶν

τοῦ βάρεος τὰ 4, B, Γ σαμεῖα ἐπ᾽ εὐϑείας κείμενα.
ἔστω δὲ τά τε 4, B, Γ' ἴσα, καὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ ἴσαε
εὐϑείαι. λέγω, ὅτι τοῦ ἐκ πάντων τῶν μεγεϑέων συγ-
5 κειμένου μεγέϑεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Γ σαμεῖον.
ἐπεὶ γὰρ τὰ 4, B μεγέθεα ἴσον βάρος ἔχει, xév-

τρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ Γ σαμεῖον, ἐπειδὴ ἴσαι
ἐντὶ αἱ AI, ΓΒ. ἔστιν δὲ καὶ vov Γ κέντρον τοῦ
βάρεος τὸ Γ σαμεῖον. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ τοῦ ἐκ
10 πάντων συγκειμένον μεγέϑεος κέντρον ἐσσείται τοῦ
βάρεος τὸ σαμεῖον, ὃ καὶ τοῦ μέσου κέντρον ἐστὶ τοῦ

βάρεος.
IIOPIZMA A.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ὁπόσων κα τῷ πλήϑει
16 περισσῶν μεγεϑέων τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἐπ᾽ εὐθείας
ἔωντι κείμενα, εἴ κα τά τε ἴσον ἀπέχοντα ἀπὸ τοῦ
μέσου μεγέϑεα ἴσον βάρος ἔχωντι, καὶ αἵ εὐϑείαι cl
μεταξὺ τῶν κέντρων αὐτῶν ἴσαι ξωντι, τοῦ ἐκ πάν-
τῶν τῶν μεγεϑέων συγκειμένου μεγέϑεος κέντρον ἐσ-
20 σείται τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον, ὃ καὶ τοῦ μέσου αὐτῶν
κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος.
2. σημεια F (qui in hoc libro fere σαμεῖον seruavit); corr.
Torellius. 9. ov»] addidi; om. F, uulgo. 13. [5] mg. F.
18. τῶν κέντρων») Torellius; rov κέντρου Εἰ, uulgo.

DE PLANORUM AEQUILIBHIIS ete. 151

sint ires magnitudines 4, B, I', et centra graui-
iatis earum 4, B, I' puncta in eadem linea recta
posita. et magnitudines 4, B, I' aequales sint, et
lineae 41, ΓΒ aequales. dico, magnitudinis ex omni-
bus magnitudinibus compositae centrum grauitatis esse
punctum I.

nam quoniam magnitudines 4, B aequale pondus
habent, centrum grauitatis erit punctum Γ᾽, quoniam
“4Γ — I'B [prop 4]. sed Γ᾽ etiam magnitudinis Γ΄
cenirum grauitatis esl. adparet igitur, eliam magni-
tudinis ex omnibus compositae centrum grauitatis
fore punctum, quod idem mediae magnitudinis cen-
irum grauitatis est.

COROLLARIUM I.

Hine manifestum est, quotcunque magnitudinum
imparium numero cenira grauitatis in eadem linea
recia posita sint, si ei magnitudines aequali spatio
a media distantes aequale pondus habeant, et lineae
inter centra earum positae aequales sint, magnitu-
dinis ex omnibus magnitudinibus compositae centrum
grauitatis fore punctum, quod idem mediae earum
cenirum grauitatis sit.

1529 EIIIIEASN IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩΝ EIIIII. Α΄.

IIOPIZMA B'.
Εἴ κα καὶ ἄρτια ἔωντι τῷ πλήϑει τὰ μεγέϑεα,
καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐτῶν ἐπ᾽ εὐθείας ξωντι.

I-II -THdM3

κείμενα, καὶ τὰ μέσα αὐτῶν καὶ τὰ ἴσα ἀπέχοντα ἀπ
αὐτῶν ἴσον βάρος ἔχωντι, καὶ ai μεταξὺ τῶν κέντρων

-“δὐθείαι ἴσαι ἔωντι, τοῦ ἐκ πάντων τῶν μεγεϑέων

συγκειμένου μεγέϑεος κέντρον ἐσδείται τοῦ βάρεος τὸ
μέσον τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιξευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ
βάρεος τῶν μεγεϑέων, ὡς ὑπογεγράπται.

Τὰ σύμμετρα μεγέθεα ἰσορροπέοντι ἀπὸ μακέων
ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντῶν τοῖς βά-
seu.

ἔστω σύμμετρα μεγέϑεα τὰ 4d, B, ὧν κέντρα τὰ
4, Β' καὶ μᾶκος ἔστω τι τὸ E, καὶ ὡς τὸ 4 ποτὶ
τὸ B, οὕτως τὸ ΖΓ uüxog ποτὶ τὸ ΓΕ μᾶκος᾽ δεικ-
véov, ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν 4, B συγκειμένου
μεγέϑεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ I.

ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ Α ποτὶ τὸ B, οὕτως
τὸ 24Γ ποτὶ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ 4 τῷ B σύμμετρον.
καὶ τὸ I4 ἄρα τῷ ΓΕ σύμμετρον, τουτέστιν εὐϑεῖα

4. καὶ τὰ ἴσα ἀπέχοντα ἀπ᾽ αὐτῶν] addidi; om. F, uulgo;
καὶ ἐφ᾽ ἑκάτερα τῶν μέσων Barrowius; πάντα τὰ μέσα Nizzius.
5. ἔχωντι) scripsi; Ἔχοντι F, uulgo. 10. 8^ F. 11. ἐσορρο--

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 6 153

COROLLARIUM II.

Etiam si magnitudines pares sunt numero, et
cenira earum grauitatis in eadem linea recta posita
sunt, et mediae magnitudines, quaeque ab iis aequali
spatio distant, aequale pondus habent, et lineae inter
cenira [grauitatis] positae aequales sunt, magnitudinis
ex omnibus magnitudinibus compositae centrum graui-
iatis erii medium punctum lineae centra grauitatis
magnitudinum iungentis, sicut infra descriptum est.!)

VI.

Magnitudines commensurabiles aequilibritatem ser-
uant suspensae ex longitudinibus, quae in contraria
proportione sunt ae pondera.

commensurabiles magnitudines sint 44, B, quarum
centra [grauitatis] sini puncta 44, B. οὐ longitudo
Sit aliqua E, et sib 4: B — 4Γ: ΓΕ. demonstran-
dum, purietum I' centrum grauitalis esse magnitudinis
ex utraque simul 4, B compositae.

nam quoniam est 4: B - ΙΓ. ΓΕ, et 4, B
commensurabiles sunt, etiam longitudines, h. e. lineae
rectae, ΓΖ, ΓΕ commensurabiles sunt [Eucl. X, 11];

1) Cfr. uol. I p. 13 not. 1. hic semel moneo, sermonem et
disputandi rationem, quae in his duobus libris occurrat, ab ea,
qua in ceteris lbris usus sib Archimedes, aliquantum discre-
pare. hoc utrum recensioni posteriori debeatur, an ideo fac-
fum sit, quod adolescens hos libros ediderit, longioris disputa-
tionis est.

πεῶντι EF; corr. Riualtus. 19. αντιπεπονϑοτων F («v- supra
Scripsit manus 1); corr. Torellius. 15. προς per comp. F;
corr. Torellius, ut lin. 16. 16. οὕτως] per comp. F, ut infra

saepius.

154 EIIIEASN IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩΝ EIIII. Α΄

τᾷ εὐθείᾳ, ὥστε τῶν EI, Γ4 ἐστι κοινὸν μέτρον.
ἔστω δὴ τὸ N, καὶ κείσϑω τᾷ μὲν EI' ἴσα ἑκατέρα
τᾶν ΔΗ, 4Κ, τῷ δὲ AT ἴσα & EA. καὶ ἐπεὶ ἴσα & AH

4 Β
Ζ
E Dr H 4 K
- | μ-----..ἢἉ | I
N

μ-ι

τᾷ ΓΕ, ἴσα καὶ ἃ 4Γ τᾷ ΕΗ. ὥστε καὶ ἃ AE ἴσα
ὅ τᾷ ΕΗ. διπλασία ἄρα ἃ μὲν AH τᾶς AI, ἁ δὲ HK
“τᾶς ΓΕ. ὥστε τὸ Ν καὶ ἑκατέραν τῶν AH, HK
μετρεῖ, ἐπειδήπερ καὶ τὰ ἡμίσεα αὐτᾶν. καὶ ἐπεί ἐστιν,
ὡς τὸ 4 ποτὶ τὸ B, οὕτως & 4Γ ποτὶ ΓΕ, ὡς δὲ &
ΖΓ ποτὶ ΓΕ, οὕτως & AH ποτὶ ΗΚ' διπλασία γὰρ
10 ἑκατέρα ἑκατέρας" καὶ ὡς ἄρα τὸ 44 ποτὶ τὸ B, οὕτως
& AH ποτὶ ΗΚ. ὁσαπλασίων δέ ἐστιν ἃ AH τᾶς Ν,
τοσαυταπλασίων ἔστω τὸ 4 τοῦ Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ἁ
AH ποτὶ Ν, οὕτως τὸ 4 ποτὶ Z. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἁ
KH ποτὶ ΛΗ͂, οὕτως τὸ B ποτὶ 4. 0v ἴσου ἄρα
15 ἐστὶν ὡς & KH ποτὶ N, οὕτως τὸ B ποτὶ Z. ἰσάκις
ἄρα πολλαπλασίων ἐστὶν ἃ ΚΗ τᾶς Ν καὶ τὸ B τοῦ
Ζ. ἐδείχϑη δὲ τοῦ Ζ καὶ τὸ 4 πολλαπλάσιον ἐόν.
ὥστε τὸ Ζ τῶν 4, B κοινόν ἐστι μέτρον. διαιρεϑ εί-
σας οὖν τᾶς μὲν AH εἰς τὰς τᾷ Ν ἴσας, τοῦ ὃὲ Α
20 εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα, τὰ ἐν τᾷ AH τμάματα ἰδομεγέϑεα
τᾷ Ν ἴσα ἐσσείται τῷ πλήϑει τοῖς ἐν τῷ 4 τμαμά-

A
|

8. τὰν] Torellius; τῶν per comp. F, ut lin. 6. 6. exe«szeg

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 155

quare longitudinum EI', I1 communis esi mensura.
sib igitur N, οὐ ponatur ZH — 44K — ΕΓ οἱ EA —
ΖΓ. eti quoniam est ZH « ΓΕ, erit etiam ZI'«—
EH; quare etiam 4E — EH. itaque 4H x» 2 4Γ. οἱ
HK —2IE. quare N etiam utramque lineam 4H,
HK melitur, quia dimidias metitur [Eucl. X, 12].
ei quoniam est 4:B «s /I:IE, sed ZI': I'E e
AH: HK (nam utraque [linearum 4H, HK] duplo
maior est utraque [linearum ΖΓ, I'E]), erit etiam
-44:B—A4H:HK. quoties autem linea N in linea
ΔΗ͂ continetur, toties contineatur Z in 4. est igitur
[Eucl. V def. 5] A4H:N π- 4:Z. sed etiam KH:
AH -— Β: [Eucl. V, 1 πόρισμα]. quare ex aequali
[Eucl V, 22] KH:N — B:Z. itaque quoties N in
KH continetur, toties etiam Z in B continetur. sed
demonstratum est, Z etiam A4 magnitudinem metiri;
quare Z communis mensura esi magnitudinum .4, B.
diuisa igitur linea 4H in partes lineae N aequales,
ei magnitudine 4 in paries magnitudini Z aequales,
partes lineae 4H aequales lineae N numero aequales
eruni parlibus magnitudinis 4 magnitudini Z aequa-

cum comp. o» Εἰ; corr. Torellius. 7. ἡμισὴ F, uulgo.

8. προς per comp. Εἰ; corr. Torellius, ut semper in hace pa-
ina. 12. τοῦ] vo F. 17. πολλαπλασι cum comp. ov Εἰ;

corr. Torellius. ον F, uulgo. 19. τὰ] om. Εἰ; corr. BC.

20. ἰισομεγεθὴ F, uulgo. 21. ἴσα] (cov P; corr. BC. ἐσσεί-

vai] scripsi; ὃδσται per comp. Εἰ; ἐστε uulgo. τμαμασιν F,

uulgo.

7156 EIIIIEASN IZOPP. H KENTPA BAPSN EIIIII. Δ΄.

τεόσιν ἴσοις ἐοῦσιν và Z. ὥστε ἂν ἐφ᾽ ἕκαστον τῶν

τμαμάτων τῶν ἐν τᾷ AH ἐπιτεϑῇ μέγεϑος ἴδον τῷ Ζ
τὸ κέντρον. τοῦ βάρεος ἔχον ἐπὶ μέσου τοῦ τμάματος,
τά ts πάντα μεγέϑεα ἴσα ἐντὶ τῷ A4, καὶ τοῦ ἐκ πάν-
τῶν συγκειμένου κέντρον ἐσσδείται τοῦ βάρεος τὸ E.
ἄρτιά τε γάρ ἐστι τὰ πάντα τῷ πλήϑει, καὶ τὰ ἐφ᾽
ἑκάτερα τοῦ E ἴσα τῷ πλήϑει διὰ τὸ ἴσαν εἶμεν τὰν

AE τῷ HE. ὁμοίως δὲ δειχϑησέται, ὅτι καὶ εἴ κα

ἐφ᾽ ἕκαστον τῶν ἐν τᾷ KH τμαμάτων ἐπιτεϑῇ μέγε-
ὃος ἴσον τῷ Z κέντρον τοῦ βάρεος ἔχον ἐπὶ τοῦ μέ-
Gov τοῦ τμάματος., τά τε πάντα μεγέϑεα ἴσα ἐσσείται

'τῷ B, καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου. κέντρον τοῦ

βάρεος ἐσσείται τὸ 4. ἐσσείται οὖν τὸ μὲν 4 ἐπι-
κείμενον χατὰ στὸ E, τὸ δὲ B κατὰ τὸ 4. ἐσσεέται
δὴ μεγέϑεα ἴσα ἀλλάλοις ἐπ’ εὐθείας κείμενα, ὧν τὰ
κέντρα τοῦ βάρεος ἴσα ἀπ᾿ ἀλλάλων διέστακεν, συγ-
κείμενα ἄρτια τῷ πλήϑει. δῆλον οὖν, ὅτι τοῦ ἐκ
πάντων συγκειμένου μεγέϑεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βά-
ρδος ἃ διχοτομία τᾶς εὐθείας τᾶς ἐχούσας τὰ κέντρα

80 τῶν μέσων μεγεϑέων. ἐπεὶ δ᾽ ἴσαι ἐντὶ ἃ μὲν AE

τᾷ ΓΖ, ἁ δὲ ΕΓ v& 4Κ, καὶ ὅλα ἄρα & ΑΓ ἴσα τᾷ
ΓΚ. ὥστε τοῦ ἐκ πάντων μεγέϑεος κέντρον τοῦ βά-

1. ουσιν F', uulgo; ἐόντεσσιν 2. τῷ] supra scripto o
manu 1 F. 8. ego cum comp. ov F. 6. xol τὰ ἐφ᾽ ἕκά-
τερα τοῦ E ἴσα τῷ πλήϑει) addidi; om. F, uulgo. 7. ewe
per comp. Εἰ; corr. Torellius. 8. καί] scripsi; »«» F, uulgo.
13. ἐσσείται] (alt.) scripsi; Ἔσται per comp. F, ut lin. 14. 16.
αλληλοις F; corr. Torellius, ut lin. 16. 20. μεγεϑὼν F'; corr.

Torellius. ἐντί] scripsi; εἰσιν per comp. Εἰ, uulgo.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 151

libus. itaque si in singulis partibus lineae 4 H magni-
tudo ponitur magnitudini Z aequalis cenirum graui-
latis in medio partis habens, omnes simul magnitudines
magnitudini 4 aequales sunt, et magnitudinis ex
omnibus compositae centrum grauitatis erit punctum
E. nam οὗ omnes simul pares sunt numero, et quae
in uiraque parte puncti E positae sunt, numero aequa-
les, quia 4E z- HE [tum ἃ. prop. 5 coroll. 2].!)
similiter demonstrabimus, etiam si in singulis partibus
lineae K H [lineae N aequalibus| magnitudo aequalis.
magnitudini Z ponatur cenirum grauitatis in medio
partis habens, omnes simul magnitudines magnitudini
B aequales erunt, et centrum grauitatis magnitudinis
ex omnibus compositae erit punctum 44.5) itaque
magnitudo .4 in E puncto posita erit, magnitudo
aulem B in zf. ei magnitudines quaedam inter se aequa-
les in eadem linea recta positae erunt, quarum cenira
grauitatis aequali spatio inter se distent, omnes simul
sumpiae?) numero pares. adparet igitur, cenirum
grauitalis magnitudinis ex omnibus composiiae me-
dium fore punctum lineae eius, in qua cenira magni-
iudinum mediarum*) posita sint. et quoniam AE -—
ΓΖ, ei ΕΓ — 4Κ, erit igitur etiam 4Γ — ΓΚ.
quare magnitudinis ex omnibus compositae centrum

1) Nam οὖ omnes magnitudini Z aequales sunt, et spatia,
quibus centra in eadem linea posita distant, lineae NN aequalia.

2) Nam Z metitur magnitudinem B; tum τι. prop. 5 co-
roll. 2 et not. 1.

3) Uereor, ne in uerbo συγκεέμενα lin. 16 mendum lateat.

4) Ex prop. 5 coroll 92; nam punctum medium totius li-
neae cenira iungentis idem medium est lineae centra mediarum
iungentis. .

158 EIIIIEAQN IZOPP. H KENTPA BAPON EIIIII, Δ΄.

ρεος τὸ Γ σαμεῖον. toU μὲν ἄρα Α΄ κειμένου κατὰ τὸ
E, τοῦ δὲ B κατὰ τὸ 44 ἰσορροπησοῦντι κατὰ τὸ I.
- "
Kol τοίνυν εἴ κα ἀσύμμετρα ἔωντι τὰ μεγέϑεα,
δ ὁμοίως ἰσορροπησοῦντι ἀπὸ μακέων ἀντιπεπονθότως
τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς μεγέϑεσιν.
ἔστω ἀσύμμετρα μεγέϑεα τὰ 48, Γ, μάκεα δὲ τὰ
4E, ΕΖ. ἐχέτω δὲ τὸ AB ποτὶ τὸ Γ τὸν αὐτὸν
λόγον. ὃν καὶ τὸ Ez ποτὶ τὸ ΕΖ μᾶκος. λέγω. ὅτι
10 τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν AB, Γ' κέντρον τοῦ βάρεός
“ἐστι τὸ E.
εἰ γὰρ μὴ ἰσορροπήσει τὸ 4B τεϑὲν ἐπὶ τῷ Ζ τῷ
I' τεϑέντι ἐπὶ τῷ 4. ἤτοι μεῖξόν ἐστι τὸ AB τοῦ D

4 E Z
------------ -----:---------.---ς-ς-

ἢ ὥστε ἰσορροπεῖν τῷ Γ, ἢ οὔ. ἔστω μεῖζον. καὶ
15 ἀφῃρήσϑω ἀπὸ τοῦ 4B ἔλασδον τᾶς ὑπεροχᾶς. ἃ
μεῖζόν ἐστι τὸ 4B τοῦ I' ἢ ὥστε ἰσορροπεῖν, ὥστε
[τὸ] λοιπὸν τὸ A4 σύμμετρον εἶμεν τῷ I. ἐπεὶ οὖν σύμ-
μετρά ἐστι τὰ 4, I' μεγέϑεα, καὶ ἐλάσδονα λόγον ἔχει
τὸ 4 ποτὶ τὸ D, ἢ & ΖΕ ποτὶ EZ, οὐκ ἰσορροπη-
20 σοῦντι τὰ 4, Γ ἀπὸ τῶν 4E, ΕΖ μακέων, τεϑέντος

8. &' F. 6. ἀντιπεπονϑοτ cum comp. ὧν F; corr. ed.
Baail. 13. τῷ 4) Scripsi; ro 4 F, uulgo. 14. ἢ] addidi
cum B; om. F, uulgo. I, ἢ] TH F. τῷ D' om. Eu-

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 159

grauitatis esb punctum I: itaque magnitudine 4 in
puncto E posita, B autem in 4f, ex puncto I' sus-
pensae aequilibritatem seruabunt.

VII.

Iam etiam si incommensurabiles sunt magnitudines,
eodem modo aequilibritatem seruabunt ex longitudini-
bus suspensae, quae in contraria proportione sunt ae
magnitudines.

magnitudines incommensurabiles sint. 4 B, Γ, lon-
gitudines autem aliquae ΖΕ, EZ, et sit 4B: I' —
ΕΖ: ΕΖ. dico, centrum grauitatis magnitudinis ex
utraque 418, Γ compositae esse punctum E.)

nam si.aequilibritatem non seruabunt 4B magni-
tudo in puncto Z posita, I' uero in puncto 7/, aut
maior erit 4 B magnitudine I, quam ut aequilibritatem
seruet, aut non maior. sit maior, et a magnitudine
AB auferatur magnitudo minor excessu, quo 48
magnitudine I' maior est, quam ut aequilibritatem
seruei, ibà αὖ, quae relinquitur magnitudo 4, commen-
surabilis sit magnitudini I' [u. Eutocius] quoniam:
igitur 4, I' magnitudines commensurabiles sunt, et
es& 4: Il' 4 E: EZ, magnitudines 4, I' ex longitu- .
dinibus ZE, EZ suspensae, ita ut 4 in puncto Z
ponatur, I' autem in puncto 71, aequilibritatem non

1) Sc. magnitudine 4B in Z posita, Γ' autem in 4.

—

tocius. 16. μεῖζον] cum Eutocio; peo» F, uulgo. ἢ] ad-
didi; om. F, uulgo. 17. τό] deleo cum Eutocio. esie: per
comp. F; corr, Torellius. τῷ} vo F; corr. Torellius. 19.

ἹΤ, ἢ DH F. προς per comp. Εἰ; corr. Torellius. σορο-

“«ησοῦυντι E.

160 EIIIIEAQN IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩΝ EIIIII. Α΄.

τοῦ μὲν 4 ἐπὶ và Z, τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τῷ 4. διὰ ταὐτὰ

δ᾽ οὐδ᾽ εἰ τὸ Γ μεῖξόν ἐστιν ἢ ὥστε ἰσορροπεῖν τῷ .4 B.
η΄.

Εἰ κα ἀπό τινος μεγέϑεος ἀφαιρεθῇ τι μέγεϑος

ὅ μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχον τῷ ὅλῳ, τοῦ λοιποῦ μεγέϑεος
κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος, ἐχβληϑείδας τᾶς εὐϑείας τᾶς
ἐπιξευγννούσας τὰ κέντρα τῶν βαρέων τοῦ vs ὅλου
μεγέϑεος καὶ τοῦ ἀφῃρημένου ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐφ᾽ ἃ τὸ
κέντρον τοῦ ὅλου μεγέϑεος, καὶ ἀπολαφϑείσας τινὸς

10 ἀπὸ [τᾶς] ἐκβληϑείσας τᾶς énifevyvvovoag τὰ εἰρημένα
κέντρα, ὥστε τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον ποτὶ τὰν μεταξὶ
τῶν κέντρων, ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ ἀφῃρημένου μεγέ-
ϑεος ποτὶ τὸ τοῦ λοιποῦ βάρος, τὸ πέρας τᾶς ἀπο-
λαφϑείδας.

15 ἔστω μεγέϑεός τινος ToU 4B κέντρον τοῦ βάρεος
τό I. καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ 48 τὸ 44, οὗ κέν-
τρον τοῦ βάρεος ἔστω τὸ E. ἐπιξευχϑείσας δὲ τᾶς
EI καὶ ἐκβληϑείσας ἀπολελάφϑω & ΓΖ ποτὶ τὰν ΓΕ
λόγον ἔχουσα τὸν αὐτόν, ὃν ἔχει τὸ 414] μέγεϑος ποτὶ

20 τὸ ΔΗ. δεικτέον, ὅτι τοῦ ZH μεγέϑθεος κέντρον τοῦ
βάρεός ἐστι τὸ Ζ σαμεῖον.

μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ σαμεῖον. ἐπεὶ
οὖν τοῦ μὲν 44 μεγέϑεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι
τὸ E, τοῦ | δὲ 4H τὸ O σαμεῖον, τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων

25 τῶν 44. AH μεγεϑέων κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται

1. τῷ] scripsi eum B; vo F, uulgo (bis). 3. τῷ 4B] Το-
rellius; ro 4 F, uulgo. 3. s' F. 8. ἐφ᾽ ἃ] scripsi; eg ὁ
F, uulgo; ἐπί "TTorellius. 10. τᾶς] deleo. 11. προς τὴν
(compp.) F; corr. Torellius. 12. ro» ἀφηρήμενων μεγεϑων EF;
corr. ed. Basil. — 13. προς per comp. Εἰ; corr. Torellius. 24.
αμφοτερου F, uulgo. 26. βαρεως F.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS ete, 161

seruabunt [prop. 6].. et eadem de causa hoc ne tum
quidem fiet, si Γ magnitudo maior est, quam ui cum
AB aequilibritatem seruet,!) |

VIII.

Si & magnitudine aliqua magnitudo aufertur, cui
idem centrum non est, quod íoti, reliquae magmitu-
dinis centrum grauitatis est: producta linea cenira
οὐ totius et ablatae magnitudinis jungenti in eandem
parlem, in qua est centrum totius magnitudinis, et
ablata linea a producta linea centra illa jungenti, ita
αὖ eandem habeat rationem ad lineam inter cenira
positam, quam pondus magnitudinis ablatae ad pon-
dus reliquae, terminus ablatae.

magnitudinis cuiusdam 4B cenirum grauitatis sit
I. et ab 48 auferatur 4421, cuius cenirum graui-
latis sib E. ducta autem linea EI'et producta [uersus
I'] abseindatur ΓΖ, ità ut 5:ὺ ΓΖ: 'E— 44: AH.
demonstrandum, centrum grauitatis magnitudinis 4H
esse punctum Z.

nam ne sit, uerum, si fieri potest, sib punctum 6.
quoniam igitur magnitudinis 4421 cenirum grauitalis
est E, magnitudinis autem 4H punctum 60, magni-
tudinis ex utraque magnitudine 471, 4H compositae

1) Demonstratio imperfecta et paullo obscurior ita sup-
plenda est: cum 4: I'« 4E: EZ, ad punctum 4f uergent,
quod fieri non potest, cum minus excessu ablatum git ab AB.

. eodem modo ratiocinandum, si I' maior est. quare cum AB

neque maior sib neque minor, demonstratum est, quod propo-
suimus.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 11

169 EIIIIEASN IZOPP. H KENTPA BAPS9N EIIII. Α΄.

ἐπὶ τᾶς EO τμαϑείσας ὥστε và τμάματα αὐτᾶς ἀἄντι-
πεπονϑέμεν κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον τοῖς μεγέϑεσιν.
ὥστε οὐκ ἐσσείται τὸ I' σαμεῖον κατὰ τὰν ἀνάλογον

4 H

----.

4 B

τομὰν τῷ εἰρημένᾳ. οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ Γ κέντρον τοῦ

5 ἐκ τῶν 42, AH συγκειμένου μεγέϑεος, τουτέστι τοῦ
4B. ἔστι δέ: ὑπέκειτο γάρ. οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ O xév-
τρον βάρεος τοῦ ΖΗ μεγέϑεος.

8".
Παντὸς παραλληλογράμμου τὸ κέντρον vov βαρεός
10 ἐστιν ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιξευγνυούσας τὰς διχο-
τομέίας τᾶν κατ᾽ ἐναντίον τοῦ παραλληλογράμμου
πλευρᾶν.
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ Α4ΒΓΩ,, ἐπὶ δὲ τὰν
διχοτομίαν τῶν 4B, ΓΖ ἁ ΕΖ. φαμὶ δή, ὅτι τοῦ
15 ΑΒΓΔ παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος
ἐσσείται ἐπὶ τᾶς ΕΖ.
μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ O, καὶ ἄχϑω
παρὰ τὰν 4B ἁ ΘΙ]. τᾶς δὲ δὴ EB διχοτομουμένας
αἰεὶ ἐσσείται ποκὰ ἃ καταλειπομένα ἐλάσσων τᾶς IO.
20 καὶ διῃρήσϑω ἑκατέρα τῶν 4Ε, EB εἰς τὰς τᾷ ΕΚ

——

1. ἀντιπεποϑενμεν F. 8. ἐσσεέται) scripsi; ἔσται per
comp. F, uulgo. 4. κέντρον τοῦ βάρεος Torellius. 1. βα-
ρους .. μεγεϑους F, uulgo. - 8. ξ F. 11. rag . . πλευρας
F; corr. Torellius. 14. τὰν] τῶν per comp. Εἰ; corr. Torel- .

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 163

centrum grauitatis positum erit in linea EO ita diuisa,
ui paries eius in coniraria ratione sint ac magnitu-
dines [prop. 6 — 7]. [sed punctum Γ᾽ positum est
in linea EZ ita diuisa, ut partes eius in contraria
ratione sint ac magnitudines]!) quare punctum I'in
sectione ei, quam commemorauimus, respondenti posi-
ium non erit. quare punctum [Γ΄ magnitudinis ex
A4, 4H compositae, h. e. magnitudinis 4B, centrum
non est. uerum esi; hoc enim suppositum esi. ita-
que punctum Θ᾽ magnitudinis ΖΗ cenirum grauitatis
non est.

IX.

Cuiusuis parallelogrammi centrum grauitatis in ea
linea positum est, quae media puncta laterum sibi
oppositorum parallelogrammi iungit.

pareallelogrammum sit 4 BI'4, et ad medium punc-
ium laterum 4B, ΓΖ [ducta sii] EZ. dico igitur,
centrum grauitatis parallelogrammi 44BI'7 in linea
EZ fore.

nam ne sit, uerum, si fleri potest, sit Θ, et duca-
tur ΘΙ lineae 4B parallela. itaque linea EB semper
deinceps in duas partes aequales diuisa, quae relin-
quitur, aliquando minor erit linea IO. οὐ utraque
linea 4E, EB in partes lineae EK aequales diuidatur,

1) Ex hypothesi; neque fieri potest, ut sit ΓΖ : I'E aequa-
lis rationi partium lineae ΓΘ. ceterum adparet, ante ὥστε
lin. 8 lacunam esse, quam hunc in modum expleo: τὸ δὲ Γ'
ἐπὶ τᾶς EZ ἐστι τμαϑείσας, ὥστε và τμάματα ἀντιπεπονθέμεν
τοῖς μεγέϑεσιν.

lius, ut lin. 20. 16. εσται per comp. F, uulgo. 19. ποκα]
Torellius; ποία Εἰ, uulgo. ἃ] addidi; om. F, uulgo.
11*

164. EIHIIEA2N IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩΝ EIIIII. Δ΄.

ἴσας, καὶ ἀπὸ τῶν κατὰ τὰς διαιρεσίας σαμείων ἄχϑω-
σαν παρὰ τὰν ΕΖ. διαιρεϑησέται δὴ τὸ ὅλον παρ-
αλληλόγραμμον εἰς παραλληλόγραμμα τινα ἴσα καὶ

A E K B

ὁμοῖα τῷ KZ. τῶν oov παραλληλογφάμμων τῶν ἴσων
καὶ ὁμοίων τῷ ΚΖ ἐφαρμοξομένων ἐπ’ ἄλλαλα καὶ
τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐτῶν ἐπ᾽ ἄλλαλα πεσούνται.
ἐσσούνται δὴ μεγέϑεά τινα, παραλληλόγραμμα ἴσα τῷ
ΚΖ, ἄρτια τῷ πλήϑει, καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὖ-
τῶν ἐπ᾽ εὐϑείας κείμενα, καὶ τὰ μέσα ἴσα, καὶ πάντα
τὰ ἐφ᾽ ἑκάτερα τῶν μέσων αὐτά vs ἴσα ἐντί, καὶ αἱ
μεταξὺ τῶν κέντρων εὐϑείαι ἴσαι. τοῦ ἐκ πάντων
αὐτῶν ἄρα συγκειμένου μεγέϑεος τὸ κέντρον ἐσδείται"
τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐϑείας τᾶς ἐπιξευγνυούσας τὰ
κέντρα τοῦ βάρεος τῶν μέσων χωρίων. οὐκ ἔστι δέ"
τὸ γὰρ Θ ἐκτός ἐστι τῶν μέσων παραλληλογράμμων.
φανερὸν οὖν, ὅτι ἐπὶ vüg ΕΖ εὐϑείας τὸ κέντρον
ἐστὶ vov βάρεος τοῦ ABI παραλληλογράμμου.

V.
Παντὸς παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός
ἐστι τὸ σαμεῖον, xa9' ὃ αἵ διαμέτροι συμπίπτοντι.
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ABI, καὶ ἐν αὐτῷ
& ΕΖ δίχα τέμνουσα τὰς AB, I'4, ἁ δὲ ΚΑ τὰς AT,

1. διαιφεσ cum comp. ης Εἰ; διαιρέσειρ uulgo. 8. τινα]

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 165

eb ἃ punctis diuisionum [lineae] ducantur lineae' EZ
parallelae. itaque totum parallelogrammum in paral-
lelogramma quaedam diuidetur parallelogrammo K Z
aequalia et similia. parallelogrammis igitur aequa-
libus et similibus parallelogrammo KZ inter se con-
gruentibus, etiam centra grauitatis eorum congruent
[postul. 4]. erunt igitur magnitudines quaedam, paral-
lelogramma aequalia parallelogrammo ΚΖ, numero
pares, et centra grauitatis earum in eadem linea
recta posita, el mediae magnitudines aequales, et
omnes in utraque parte mediarum positae et ipsae ae-
quales, et lineae inter centra posiiae aequales. itaque
centrum grauitatis magnitudinis ex omnibus illis com-
positae in ea linea positum erit, quae centra graui-
tatis spatiorum mediorum iungit [prop. 5 coroll. 2].
sed non est; nam punctum 6 exira parallelogramma
media positum est. adparet igitur, centrum graui-
tatis parallelogrammi 4 ΒΙΓΩ͂ in linea EZ esse.

X.
Cuiusuis parallelogrammi centrum grauitatis id
punetum est, in quo diametri inter se concurrunt.
parallelogrammum sit 4BI', et in eo linea EZ
lineas 4B, ΓΖ in duas partes aequales diuidens, K 4

4) Nam EK « I8 ex hypothesi.

scripsi; τὰ F, uulgo. 5. εφαρμοξομενον (ov εν F; corr.
Torellius. ἀλληλα F; corr. Torellius, ut lin. 6. θ. αὖτ cum
comp. ov Εἰ; corr. B mg. 12. εσται per comp. F, uulgo. 14.
βαρφους F; corr. V. 18. H' F.

166 EIIIIEASN IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩ͂Ν EIIIII. A'.

BA. ἔστιν δὴ τοῦ ABI'A παραλληλογράμμου τὸ xév-
τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς EZ: δεδείκται γὰρ τοῦτο.
διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἐπὶ τᾶς ΚΑ. τὸ Θ ἄρα σαμεῖον

Α E B
1 1 1
I Z 4
κέντρον τοῦ βάρεος. κατὰ δὲ τὸ O αἵ διαμέτροι τοῦ

5 παραλληλογράμμου «πίπτοντι. ὥστε δεδείκται τὸ προ-
τεϑέν.

AAA.

ἔστιν δὲ καὶ ἄλλως τὸ αὐτὸ δείξαι.
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ABI, διάμετρος δὲ
10 αὐτοῦ ἔστω à 4B. τὰ ἄρα ABA, BAT τρίγωνα
ἴσα ἐντὶ καὶ ὁμοῖα ἀλλάλοις, ὥστε ἐφαρμοξζομένων ἐπ᾽
ἄλλαλα τῶν τριγώνων καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος «v-
τῶν ἐπ᾽ ἄλλαλα πεσούνται. ἔστω δὴ τοῦ ABA τρι-
γώνου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ E σαμεῖον, καὶ ἐπεξεύχϑω
16 & ΕΘ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἀπολελάφϑω & ZO ica
τᾷ ΘΕ. ἐφαρμοξομένον δὴ τοῦ 484 τριγώνου ἐπὶ
τὸ ΒΖΓ τρίγωνον καὶ τιϑεμένας τᾶς μὲν AB πλευ-
ρᾶς ἐπὶ τὰν AI, τῶς δὲ 4.4 ἐπὶ τὰν BI' ἐφαρμόξει
καὶ ἃ G6 E εὐϑεῖα ἐπὶ τὰν ZO, καὶ τὸ E σαμεῖον ἐπὶ
20 τὸ Ζ πεσείται' ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος

7. ἄλλως] om. F, uulgo. 10. 4B] AB F. 11. αλλη-
λοις F; corr. Torellius, ut lin. 12, 18. εφαρμοΐξομενον EF.
Post σαμεῖον lin. 14 addunt ed. Baeil. et Torellus: καὶ ce-
τμήσϑω (τετμάσϑω) δίχα ἃ 4B κατὰ τὸ O. 15. ἀπειληφϑω

DE PLANORUM AEQUILIBBIIS etc. 1617

autem lineas AI, Bzf eodem modo diuidens. itaque
cenirum grauitatis parallelogrammi 4BI^4 in linea
EZ positum est; hoc enim demonstratum est [prop. 9].
sed eadem de causa etiam in linea K.4 esl. itaque
punctum € centrum grauitatis est. in € autem puncto
diametri parallelogrammi concurrunt.) quare demon-
stratum est, quod proposuimus.

| — ALITER.
Sed etiam aliter idem demonstrari potest.
parallelogrammum sit 4 BIA, et diametrus eius sit
4B. itaque trianguli 4B, ΒΩ Γ' aequales et simi-
les sunt [Eucl. 1, 34]. quare iriangulis inter se con-
gruentibus etiam centra grauitatis eorum congruent

[postul. 4]. sit igitur punctum E centrum grauitatis
trianguli 484, et ducatur linea ΕΘ et producatur,
οὐ absecindatur ΖΘ aequalis lineae 6 E. itaque trian-
gulo 4BZ cum triangulo ΒΖΓ congruente et posito
latere 4B in ΖΓ οὐ 44 in BI, etiam linea 8 E cum
ZO congruet, et punctum E in Z cadet. uerum etiam
in centrum grauitatis trianguli B 4T cadet [postul. 4.
itaque punctum Z centrum grauitatis est trianguli

1) Fortasse scribendum συμπίπτοντι lin. b. ceterum cír.
Zeitschr. für Math., hist. Abth. XXIV p. 180 nr. 10.

F, uulgo. 16. 4Bd] 4ΒΓΔ FV. 11. Bd] 44Γ FV.
18. εφαρμοζει F, uulgo; ἐφαρμόσει Torellius.

168 ἘΠΙΠΈΔΩΝ IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩΝ EIIIII. A'.

τοῦ BAI τριγώνου. ἐπεὶ ovv vov μὲν 484 τρι-
γώνου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ E δαμεῖον, τοῦ δὲ 4ΒΓ
τὸ Z, δῆλον, ὡς τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων
συγκειμένου μεγέϑεος κέντρον τοῦ βάρεύς ἐστι τὸ μέ.
σον τᾶς ΕΖ εὐϑείας, ὅπερ ἐστὶ τὸ OG σαμεῖον.

ια΄.

Ἐὰν δύο τρίγωνα ὁμοῖα ἀλλάλοις ἡ καὶ ἐν αὐτοῖς
δαμεῖα ὁμοίως κείμενα ποτὶ τὰ τρίγωνα, καὶ τὸ ἕν
σαμεῖον τοῦ, ἐν ᾧ ἐστι, τριγώνου κέντρον 1j τοῦ βά-
θεος, καὶ τὸ λοιπὸν σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος
τοῦ, ἐν ᾧ ἐστι, τριγώνου. ὁμοίως δὲ λέγομες σαμεῖα
κεέσϑαι ποτὶ τὰ ὁμοῖα σχήματα, ἀφ᾽ ὧν αἱ ἐπὶ τὰς
ἴσας γωνίας ἀγομέναι εὐϑείαι ἴσας ποιέοντι γωνίας
ποτὶ ταῖς ὁμολόγοις πλευραῖς.

ἔστω δύο τρίγωνα và ABI, AEZ, καὶ ἔστω ὡς
ἃ 4Γ ποτὶ 4Z, οὕτως & τε 4 ποτὶ 4Ε, καὶ ἁ ΒΓ

4 Z

LN,
| E Z

ποτὶ EZ, xal ἐν τοῖς εἰρημένοις τριγώνοις σαμεῖα
ὁμοίως κείμενα ἔστω τὰ O, N ποτὶ τὰ ABI, AEZ

τρίγωνα, καὶ ἔστω τὸ Θ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ 4ΒΓ'

1. Β4ΓῚ 4“Γ F; corr. B. 2. τὸ] rov per comp. F.
6. 8' F. 7. αλληλοις F; corr. Torellius. 8. προς per comp.
F; corr. Torellius. 11. ὁμοίως δέ &d πλευραῖς delenda cen-

DE PLANORUM AEQUILIBHRIIS etc. 169

BAI] iam quoniam trianguli 4B. cenirum graui-
iatis est, punctum E, trianguli autem Z/BI' punctum Z,
adparet, magnitudinis ex utroque triangulo compositae
[h. e. parallelogrammi 4BI'Z| centrum grauitatis. edse
punctum medium lineae EZ, quod est punctum 6.!)

XI.

S1 dati sunt duo trianguli inter se similes et in
iis puncta similiter posita, et alterum punctum eius
irianguli, in quo est, centrum grauilalis est, etiam
reliquum punctum eius trianguli, in quo est, centrum
est grauitatis. puncta autem in figuris similibus simi-
liter posita esse dicimus, a quibus quae ad aequales
angulos ducantur lineae, cum lateribus inter se respon-
dentibus aequales angulos efficiant.")

.Sint duo irianguli ABI, 4 EZ, ei sit
4Γ:42- 48:42 ἘΕ -- ΒΓ: ΕΖ,
οὐ in triangulis illis similiter posita sint puncta Θ, Ν,
el Θ᾽ punctum centrum grauitatis sib trianguli 4 ΒΓ.

1) Nam ex hypothesi est ΕΘ -» ΘΖ. audiendum est,
punctum 6 id esse punctum, in quo diametri concurrant.

2) Mihi quoque haec uerba ex postul. 5 inutiliter repetita
suspecta sunt, sed satius duxi, nunc saltem ea relinquere, cum
postulata illa eodem modo saepiesime per totum hunc librum .
repetantur, qui loci aut omnes subditiui sunt aut omnes ge-
nuini; utrum ueri similius sit, tum diiudicari poterit, si quando
de integritate huius libri quaesitum erit.

8) H. e. sit ABI' c 4 EZ (Eucl. VI, 4).

sent Barrowius, censor lenensis, Nizzius. Aeyopev F, uulgo.
18. ποιουσιν F, uulgo; ποιῶντι Torellus. 14. πρὸς per comp.
F; corr. Torellius, ut lin. 16 bis, 17, 18, p. 170, 9.

110 ἘΠΙΠΈΔΩΝ IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩΝ EIIIII. Α΄.

τριγώνου. λέγω, ὅτι καὶ τὸ Ν κέντρον βάρεός ἐστι
τοῦ 4ΕΖ τριγώνου.

μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Η κέντρον βά-
ρεος τοῦ 4 ΕΖ τριγώνου. καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἴ ΘΑ,
ΘΒ, ΘΙ, 4Ν, ΕΝ, ΖΝ, AH, EH, ΖΗ. ἐπεὶ οὖν
ὁμοῖόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ 4ΕΖ τριγώνῳ,
καὶ κέντρα τῶν βαρέων ἐστὶ τὰ O, H σαμεῖα, τῶν δὲ
ὁμοίων σχημάτων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως ἐντὶ
κείμενα, ὥστε ἴσας ποιησοῦντι γωνίας ποτὶ ταῖς ὁμο-
λόγοις πλευραῖς ἕκαστον ἕκάσταις, ἴσα ἄρα & ὑπὸ ΗΔῈ
γωνία τᾷ ὑπὸ ΘΑ. ἀλλὰ ἁ ὑπὸ Θ48 γωνία ἴσα
ἐστὶ τᾷ ὑπὸ EAN διὰ τὸ ὁμοίως κείσϑαι τὰ ΘΙ N
σαμεῖα. καὶ & ὑπὸ ΕΩ͂Ν γωνία ἄρα ἴσα ἐστὶ và ὑπὸ
EAH, à μείξων τᾷ ἐλάσσονι" ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ
ἄρα οὔκ ἐστι κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ 4 ΕΖ τριγώνου
τὸ Ν δαμεῖον. ἔστιν ἄρα.

ιβ.

Εἴ κα δύο τρίγωνα ὁμοῖα ἔωντι, τοῦ δὲ ἑνὸς τρι-
γώνου κέντρον ἡ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας, ἃ ἐντι
ἀπό τινος γωνίας ἐπὶ uécav τὰν βάσιν ἀγομένα. καὶ
τοῦ λοιποῦ τριγώνου τὸ κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος
ἐπὶ τᾶς ὁμοίως ἀγομένας γραμμᾶς.

ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ABI, 4ΕΖ, καὶ ἔστω ὡς
& 4Γ ποτὶ 42, οὕτως & τε 48 ποτὶ 4Ε, καὶ & ΒΓ
ποτὶ ΖΕ. καὶ τμαϑείσας τᾶς AI δίχα κατὰ τὸ H
ἐπεξεύχϑω ἁ BH, καὶ ἔστω τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ

10. ἕκαστον ἑκάσταις] Quaest. Arch. p. I ἑκάσταν ἑκάστᾳ
Torellius. i05 F; corr. Torellius. . EAH F. 18.
E4AH et EAN F, uulgo; peruanutaui propter sequens ἃ μεέξζων

τῷ ἐλάσσον. — 1T. 4 24. προς per comp. F (bis); corr.
''orellius, ut lin. 26. -

DE PLANORUM AEQUILIBHIIS etc. 171

dieo, etiam .N punctum centrum grauitatis esse trian-
σὰ A4EZ.

nam ne sit, sed si fieri potest, punctum H centrum
grauitatis sit trianguli 44 EZ. et ducantur lineae ΘΩ͂,
ΘΒ, GT, 4N, EN, ΖΝ, 4H, EH, ZH. iam quoniam
similes sunt irianguli 4BI, A4 EZ, ei centra graui-
tatis sunt puncta 699 H, et similium figurarum centra
grauitatis similiter posita sunt [postul. 4], ita ut sin-
gula cum singulis lateribus inter se respondentibus
aequales angulos efficiant [postul. 5], erit igitur

LHAE —L04B.

sed [4B —[ EZN, quia puncta O, NN similiter
posita sunt [postul. 5] quare etiam angulus EZAN
aequalis est angulo EzZ/ H, maior minori; quod fieri
non potest. quare fieri non potest, ut N punctum
centrum grauitatis trianguli 4 EZ non sit. est igitur.

XII.

Si dati sunt duo trianguli similes, alterius autem
irianguli cenirum grauitatis in ea linea positum est,

quae ab angulo aliquo ad mediam basim!) ducta est,

eliam reliqui irianguli centrum grauitatis in linea
similiter ducta positum erit.
duo trianguli sint 4BI, A4 EZ, εἰ sit

AD:4Z22AB:A4E- BI:ZE
[cfr. p. 169 not. 3]. et linea A4I'in puncto H in
duas partes aequales diuisa ducatur linea BH, et

1) H. e. latus angulo oppositum.

179 ἘΠΙΠΕΔΩΝ IXOPP. H KENTPA BAPSN ἘΠΙΠ. Α΄.

ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τᾶς BH τὸ 0. λέγω, ὅτι xol τοῦ
EAZ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς
ὁμοίως ἀγομένας εὐϑείας.

τευμάσϑω ἁ 4Z δίχα κατὰ τὸ M, καὶ ἐπεξεύχϑω

ὅ ἃ EM, καὶ πεποιήσϑω, ὡς & BH ποτὶ ΒΘ, οὕτως &
ΜΕ ποτὶ EN. καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 40, ΘΙ, AN,
ΝΖ. ἐπεί ἐστι τᾶς μὲν ΓΑ͂ ἡμίσεια ἃ AH, τᾶς δὲ
4Z ἡμίσεια & 4M, ἔστιν ἄρα καί, ὡς & B.4 ποτὶ
Ε4, οὕτως & AH ποτὶ 4 Μ' καὶ περὶ ἴσας γωνίας

10 αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν ἐντι. ἴσα τε ἄρα ἐστὶν & ὑπὸ
AHB γωνία τᾷ ὑπὸ 4 ΜΕ, καί ἐστιν ὡς ἃ AH ποτὶ
4M, οὕτως & BH ποτὶ ΕΜ. ἔστιν δὲ καί, ὡς & BH
ποτὶ B6, οὕτως ἃ ME ποτὶ ΕΝ. καὶ Óv ἴσου ἄρα
ἐστίν, ὡς ἃ 48 ποτὶ 4E, οὕτως & ΒΘ ποτὶ ΕΝ"

15 καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἷ πλευραὶ ἀνάλογόν ἐντι. εἰ δὲ
τοῦτο, ἴσα ἐστὶν & ὑπὸ Β4Θ γωνία τᾷ ὑπὸ ΕΩ͂Ν. ὥστε
καὶ λοιπὰ ἃ ὑπὸ Θ4Γ γωνία ἴσα ἐστὶ τῷ ὑπὸ NAZ γωνίᾳ.
διὰ τὰ αὐτὰ δὲ & μὲν ὑπὸ ΒΓΘ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ
EZN, à δὲ ὑπὸ ΘΓΗ τᾷ ὑπὸ ΝΖΜ ἴσα. ἐδείχϑη

8. ὁμοίως supra -ῶς in F manu 2 scriptum est c. 5.
πεποιήσθω) γεγονέτω ed. Basil, Torellius. ποτί] προς per
comp. Εἰ; corr. Torellius, ut lin. 6, 8, 9, 11, 12, 13 bis, 14 bis.
e. 40| BO FV. AN] AH F, ut uidetur; V. etiam in

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 118

cenirum grauitatis irianguli 4BI'in linea B H posi-
ium sit, uelut OG. dico, etiam trianguli 4 EZ centrum
grauitatis in linea similiter ducia positum esse.

secetur linea 4722 in puncto M in duas partes
aequales, et ducatur linea EM, et fiat!)

BH: B0 — ME: EN.
et ducantur lineae 409, ΘΙ, 4N, ΝΖ. iam quoniam
esb 4H — 1Γ4 et 4M — $42, erit. etiam
BA: E4 — AH: AM?;

ei latera aequales angulos?) comprehendentia propor-
lionalia sunt. quare erit ( 4H B — 4/ME [Eucl. VI, 6]
οἱ 4H: 4M-— BH: EM [Eucl. VI, 4]. est autem
eliam BH: B0 — ME:EN [ex hypothesi]. quare
eliam ex aequali erit 4B: Z4E — ΒΘ: EN*); et la-
tera aequales angulos?) comprehendentia proportionalia
sunt. hoe si est, erit ( B.40 — EN [πε]. VI, 6].
quare etiam qui relinquitur?) angulus 9 4T' — N ZZ.
οὐ iisdem de causis erit

LBI'9-EZN et LOI'H — NZM.

1) πεποιήσθω lin. 5 pro γεγονέτω uestigium recensionis
posterioris est; ἃ. Quaest. Árch. p.

2) Nam ex hypothesi est ΒΑ: ΕΔ -- AT: 4Z.
3) Nam BAH — EAM, quia ΑΒΓ c» A EZ.
4) Nam ἐναλλάξ erib 4H: BH — 4M: EM; tum u. Eucl.
V, 22 . !
5) Nam 4B - 4EN ex Eucl. VI, 6; u. lin. 8 sq.

6) Sc. ablato / B40 ab BAH et EAN ab E 4 M, aequa-
libus ab aequalibus (Eucl. I «oi. évv. 3).

H pro N praebet F. Y. ΝΖ) HZ FV. ἐπεὶ οὖν
ἐστιῦ 9. 4Η] ΑΝ Ἐς corr. manus 1. 10. ἐντὶ] scripsi;
εἶσι per comp. F, ut lin, 15. 17. ἃ] addidi; om. F, uulgo.

174 ἘΠΙΠΈΔΩΝ IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩ͂Ν EIIIII. Α΄.

0b xol ἃ ὑπὸ ABO τᾷ ὑπὸ A4EM ἴσα. ὥστε καὶ
λοιπὰ ἃ ὑπὸ ΘΒΓ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΝΕΖ. διὰ
ταῦτα δὴ πάντα ὁμοίως κείται τὰ Θ, N σαμεῖα [ποτὶ
1 e H 1 , φ

τὰς OMoAOyovg πλευρὰς ἴσας γωνίας ποιεῖ]. ἐπεὶ ovv

5 ὁμοίως κείται τὰ 0, N σαμεῖα, καί ἐστι τὸ Θ κέντρον
τοῦ βάρεος τοῦ 4ΒΓ τριγώνου, καὶ τὸ N ἄρα κέν-
τρον βάρεος τοῦ 4 ΕΖ.

ιγ΄.
Παντὸς τριγώνου τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ
10 τᾶς εὐθείας, & ἐστιν ἔκ τινος γωνίας ἐπὶ μέσαν ἀγο-
μένα τὰν βάσιν.
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ & 4.4 ἐπὶ
μέσαν τὰν ΒΓ βάσιν. δεικτέον, ὅτι ἐπὶ τᾶς 44 τὸ
κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ABI.
16 μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ, καὶ διὰ τού-

2. 9 4 μ yp 7
vov παρὰ τὰν ΒΓ ἄχϑω & OI. ἀεὶ δὴ δίχα τεμνο-
μένας τᾶς Ζ4Γ' ἐσσείται ποχὰ & καταλειπομένα ἐλάσ-

8. ταῦτα] Torellius; τὰ αὐτὰ F, uulgo. 4. καὶ ἴσας To-

DE PLANORUM AEQUILIBRHIIS eto. 175

sed demonstratum est [| 4 BO — 4EM.') quare etiam
qui relinquitur?) angulus 9BI'— NEZ. itaque prop-
ier haec omnia puncta Θ, NN simihter posita sunt
[nam cum laieribus respondentibus aequales angulos
faciunt]2) iam quoniam puncta 6, N similiter posita
sunt, et € centrum grauitatis trianguli 4 BI'est, etiam
N centrum grauitatis erit trianguli 4 EZ [prop. 11].

XIII.

Cuiusuis trianguli centrum grauitatis in ea linea
positum est, quae ab angulo aliquo ad mediam basim*)
ducitur.

írangulus sit 4BI', et in eo linea 4471 ad me-
diam basim BI' [ducta]. demonstrandum, centrum
grauitatis irianguli 4BI' in linea 471 positum esse.

nam ne sii, uerum, si fieri potest, sit punctum 6,
et per id ducatur ΘΙ lineae BI' parallela. linea igitur
ΖΔΓ semper deinceps in duas partes aequales diuisa,

1) Se. p. 172, 8 8q.; u. not. 5.

2) 8c. ablatis [| 4B0 -- BI'€ -- 6TH -- HA0 -- Θ48Β
& summa angulorum trianguli 4BI', et

AEN --EZN-HNZM--MAN-d-NAE
& summa angulorum trianguli 4 EZ, aequalibus ab aequalibus.

8) Uerba ποτὶ τὰς ὁμολόγους πλευράς lin. 8 necessario ad
sequentia: ἴσας yovíxg ποιεῖ itrahenda sunt, et omnia haec
uerba interpolatori tribuo.

4) U. p. 171 not. 1.

rellius; ἴσας γάρ Nizzius. 8. ια΄ F., 10. τινος] scripsi;
τας F, uulgo. μεσα F. αναγομενὰ F; corr. Torellius et
Riualtus. 15. διὰ τούτου] scripsi; διὰ του F, uulgo; διὰ

τοῦ 6 B; δι᾽ αὐτοῦ ed. Basil, Torellius. 17. ἐσσείται] scripsi;
ἔσται per comp. F, uulgo. αποκα F; corr. Torellius.

176 ἘΠΙΠΕΔΩΝ IZOPFP. H KENTPA ΒΑΡΩΝ EIIIII. Δ΄.

cov τᾶς OI' xal διῃρήσθω ἑκατέρα τᾶν BA, Ζ4Γ ἐς
τὰς ἴσας, καὶ διὰ τᾶν τομᾶν παρὰ τὰν 4.2] ἄχϑωσαν,
καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΕΖ, HK, AM. ἐσσούνται δὴ
αὐταὶ παρὰ τὰν ΒΓ. τοῦ δὴ παραλληλογράμμου τοῦ
μὲν ΜΝ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς TZ,
τοῦ δὲ ΚΑΙ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς TT, τοῦ
0$ ZO ἐπὶ τᾶς ΤΖ. τοῦ ἄρα ἐκ πάντων συγκειμένου
μεγέϑεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς Z4
εὐθείας. ἔστω δὴ τὸ P, καὶ ἐπεξεύχϑω ἁ PO καὶ ἐκ-
βεβλήσϑω, καὶ ἄχϑω παρὰ τὰν 44 à ΓΦ. τὸ δὴ
AAT τρίγωνον ποτὶ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν
AM, ΜΚ, ΚΖ, ZI' ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τῷ 44Γ
τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει & ΓΑ͂ ποτὶ AM, διὰ
τὸ ἴσας εἶμεν τὰξὲ 4M, MK, ZI, ΚΖ. ἐπεὶ δὲ καὶ
τὸ 4418 τρίγωνον ποτὶ πάντα τὰ ἀπὸ τῶν 44, AH,
HE, EB ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τρίγωνα τὸν αὐτὸν
ἔχει λόγον, ὃν & ΒΑ ποτὶ 44, τὸ ἄρα ABI" τρίγω-
νον ποτὶ πάντα τὰ εἰρημένα τρίγωνα τοῦτον ἔχει τὸν
λόγον, ὃν ἔχει ἃ I'4 ποτὶ AM. ἀλλὰ & I4 ποτὶ
AM μείξονα λόγον ἔχει, ἥπερ ἃ DP ποτὶ PO. ὃ γὰρ
τᾶς l'4 ποτὶ ΑΜ Aóyog ὁ αὐτός ἐστι τῷ [ὅλας] τᾶς
ΦΡ ποτὶ PII διὰ τὸ ὁμοῖα εἶμεν τὰ τρίγωνα. καὶ
τὸ A4BI' ἄρα τρίγωνον ποτὶ τὰ εἰρημένα μείξονα λόγον

1. GT] ΘΙῈΕ FV. τὰν] τῶν per comp. F; corr. Torel-
lius, ut lin. 11, 16. 2. τῶν τομῶν F, uulgo. ἃ. εσοῦυνται Εἰ:
corr. Torellius. 7. ZO] Z6 F V. 9. ἔστω] εσται per comp.
F; corr. Torellius. 18. προς per comp. F; corr. Torellius,
ut lin. 17, 19 bis, 20, 21, 22, 28. 14. εἰναι per P BE da FE;
corr. Torellius. Mk] MZ F; cor B*. XZ, Z' B
Basil, Torellius. 19. ἀλλὰ ἁ ΓΑ ποτὶ AM in mg. F. 2
lag] deleo cum Eutocio. 29. evo per comp. F; corr. To-
rellius.

DE PLANORUM AEQUILIBBRIIS etc. 171

aliquando, quae relinquitur, minor erit linea ΘΙ, ei
utraque linea B4, ZLT'in paries [ili] aequales diui-
datur, et per puncía sectionum [lineae] parallelae
lineae 471 ducantur, et ducantur lineae EZ, HK, 4 M.
eae igitur lineae BI' parallelae erunt [u. Eutocius].
itaque parallelogrammi ΜΙ͂Ν centrum grauitatis in
linea TZ positum erit, parallelogrammi autem Καὶ ἐξ

. in TT, parallelogrammi autem ZO in T4 [prop. 9].

itaque magnitudinis ex omnibus compositae centrum
grauitatis in linea 2/7/ positum eri [prop. 4]. sit
igitur P, ei ducatur P6 et producatur, et lineae 4.4
parallela ducatur ΓΦ. triangulus igitur 4.41Γ ad
omnes tiriangulos íriangulo .441I' similes, qui in
lineis 4M, MK, KZ, ΖΓ constructi sunt, eam ratio-
nem habet, quam I'4: 4M, quia lineae 4M, MK,
ZI, KZ aequales sunt!) [u. Eutocius]. et quoniam
eliam triangulus 477B ad omnes iriangulos similes
in lines 44, ΔΗ͂, H E, EB constructos eandem ra-
tionem habet, quam B.4 : 4 4, triangulus igitur ABI
ad omnes illos triangulos eam rationem habet, quam
habet I'4:44M.*?) sed D'4: 4M 7 OP : P9;» nam
DIA4:4M — OP: PII, quia trianguli similes sunt?)
[u. Eutocius] quare etiam triangulus A4BI' ad eos,
1) Eutocius praebet εἶμεν τὰς εὐθείας lin. 14; quare
puto, litteras lin. 14 ab interpolatore pro genuino substitutas
esse (prauo ordine).
2) Sint enim summae triangulorum 8 et s,.. erit
AdD:s- IA: AM, AdB:s ΞΕ BA: 44.
sed ΓΑ: 4M — ΒΑ: 44, quia 4M & ΒΓ (Eucl. VI, 2). ita
que 44D: 44B τι 8:5,; unde συνθέντι:
ABD:AA4B—5$--8,:8;
h. e. ABI": 8 -ἰ 8, — 428: 8. ΞΞΒΑ: AA z DA: AM.

3) Uerba διὰ τὸ ὁμοῖα εἶμεν τὰ τρίγωνα lin. 22 non ha-
buit Eutocius.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 12

178 EIIHIIEA92N IZOPP. H KENTPA BAPSN EIIIII. Α΄.

ἔχει, ἥπερ ἃ OP ποτὶ PO. ὥστε καὶ διελόντι τὰ MN,
ΚΙ, ZO παραλληλόγραμμα ποτὶ τὰ καταλειπόμενα
τρίγωνα μείξονα λόγον ἔχει, ἧπερ ἃ ΦΘ ποτὶ ΘΡ.
γεγονέτω οὖν ἐν τῷ τῶν παραλληλογράμμων ποτὶ τὰ

5 τρίγωνα λόγῳ & XO ποτὶ OP. ἐπεὶ οὖν ἐστί τι μέ-
γεϑος τὸ ABI, οὗ τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Θ,
καὶ ἀφῃρήται ἀπ᾽ αὐτοῦ μέγεϑος τὸ συγκείμενον ἐκ
τῶν MN, ΚΑΊ, ZO παραλληλογράμμων, καί ἐστιν τοῦ
ἀφῃρημένου μεγέϑεος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ P σα-

10 μεῖον, τοῦ ἄρα λοιποῦ μεγέϑεος τοῦ συγκειμένου ἐκ
τῶν περιλειπομένων τριγώνων κέντρον τοῦ βάρεόδς
ἐστιν ἐπὶ τᾶς PO εὐϑείας ἐκβληϑείσας εὐθείας ἀπο--
λαφϑείσας ποτὶ τὰν ΘΡ τοῦτον ἐχούσας τὸν λόγον,
ὃν ἔχει τὸ ἀφαιρεϑὲν μέγεϑος ποτὶ τὸ λοιπόν. τὸ ἄρα

15 X σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ συγκειμένου
μεγέϑεος ἐκ τῶν περιλειπομένων" ὅπερ ἀδύνατον. τᾶς
γὰρ διὰ τοῦ X εὐϑείας παρὰ τὰν 44 ἀγομένας ἐν
τῷ ἐπιπέδῳ ἐπὶ ταὐτὰ πάντα ἐντί, τουτέστιν ἐπὶ 8d-
τερον μέρος. δῆλον οὖν τὸ προτεϑέν.

20 AAAQ9Z TO ΑΥ̓ΤΟ.

ἔστω τρίγωνον τὸ 48ΒΓ, καὶ ἄχϑω ἃ 44 ἐπὶ μέ-

σαν τὰν ΒΓ. λέγω, ὅτι ἐπὶ τᾶς 44 τὸ κέντρον ἐστὶ
τοῦ βάρεος τοῦ 48ΒΓ τριγώνου.

μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ, καὶ ἐπεξεύχ-.

95 ϑωδσαν αἵ τε 40, ΘΒ, ΘΓ καὶ αἱ EA, ΖΕ ἐπὶ μέ-

1. ἔχει] om. F. προς per comp. F; corr. Torellius, vut
lin. 2, 3, 4, 5. 8. KZ, &O F. 12. P6] ΕΘ FV. εὐ-
ϑείας] (alt.) SCripsi; καὶ F, , uulgo. 18. ποτί} Torellius; ἐπε.

, uulgo. 17. τάν] compendio singulari F. 18. πάντα
ivs(] ἐσσείται πάντα τὰ κέντρα (τρίγωνα) Eutocius.

DE PLANORUM AEQUILIBHRIIS etc. 119

quos commemorauimus, maiorem rationem habet, quam
P:PO0. quare etiam dirimendo parallelogramma
MN, ΚΞ, ZO ad iriangulos reliquos maiorem ratio-
nem habent, quam 00: 09 P!) fiat igitur rationi par-
allelogrammorum et triangulorum aequalis ratio
X0 : 0 P?)

iam quoniam est magnitudo quaedam BI cuius
cenirum grauitatis est 6, οὖ ab ea magnitudo ablata
est, quae composita est ex parallelogrammis MN, Καὶ 5,
ZO, et magnitudinis ablatae centrum grauitatis est
punctum P, reliquae igitur magnitudinis, quae ex
iriangulis relictis composita est, centrum grauitatis in
producta linea PO positum est, linea ab ea abscisa,
quae ad ΘΡ eam rationem habet, quam magnitudo
ablata ad reliquam [prop. 8]. itaque punctum X cen-
irum grauitatis est magnitudinis ex [triangulis] re-
lietis compositae; quod fieri non potest. nam omnes
[trianguli] in eadem parte sunt lineae per X in plano
ductae lineae 241421 parallelae, h. e. in altera parte.
itaque constat propositum.)

IDEM ALITER.

Sib triangulus 4BI, et ducatur 471 ad mediam
BI. dico, centrum grauitatis trianguli 4BI' in linea
4441 positum esse.

nam ne sit, uerum, si fieri potest, sib €, et ducan-
tur lineae 460, ΘΒ, ΘΙ, et lineae EZ, ΖΕ ad me-

1) Cfr. Pappus VII, 45 p. 684 et supra uol. I p. 235 not. 1.

2) Adparet enim, X € maiorem esse quam d 6 (Eucl. V, 8).

3) Res ipsa satis adparet ex postul. 7, sed uerba Archi-
medis obscuriora sunt, nec ea Eutocius intellexisse uidetur.

12*

180 ἘΠΙΠΈΔΩΝ IZOPP. H KENTPA BAPON EIIIII. Α΄.

δας τὰς ΒΑ, AT, καὶ παρὰ͵ τὰν 40 ἄχϑωσαν αἵ EK,
ZA, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ K A, 44, AK, 40, MN.
ἐπεὶ ὁμοῖόν ἐστι τὸ
ABI' τρίγωνον τῷ
42Γ τριγώνῳ διὰ τὸ
παράλληλον εἶμεν τὰν
BA τᾷ Z4, καί ἐστι
τοῦ A4BI' τριγώνου
κέντρον τοῦ βάρεος
τὸ Θ caustov, καὶ τοῦ
Ζ4Γ ἄρα τριγώνου
κέντρον τοῦ βάρεός
ἐστι τὸ ΛΜ σαμεῖον.
ὁμοίως γάρ ἐντι κεί-
15 μενα τὰ Θ, 4 σαμεῖα ἐν ἑκατέρῳ τῶν τριγώνων, ἐπει-
δήπερ ποτὶ τὰς ὁμολόγους πλευρὰς ἴσας ποιέοντι γωνίας"
φανερὸν γὰρ τοῦτο. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῦ EB 4 xév-
τρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ K σαμεῖον. ὥστε τοῦ ἐξ ἀμφο-
τέρων τῶν EBZ, ZAI' τριγώνων συγκειμένου μεγέ-
40 ϑὲὸος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ μέσας τᾶς Κα
εὐθείας, ἐπειδήπερ ἴσα ἐντὶ τὰ ΕΒ 4, 24 τρίγωνα.
καί ἐστιν τᾶς Κα μέσον τὸ N, ἐπεί ἐστιν, ὡς & ΒΕ
ποτὶ ΕΑ, οὕτως ἃ BK ποτὶ OK, ὡς δὲ ἁ ΓΖ ποτὶ
ZA, οὕτως & ΓΖ ποτὶ 40. εἰ δὲ τοῦτο, ἔστιν ἃ ΒΙ'
25 τῷ K.4 παράλληλος. καὶ ἐπεξεύκται & ΖΘ. ἔστιν ἄρα,
ὡς & Β4 ποτὶ 4Γ, οὕτως à ΚΝ ποτὶ τὰν N 4.
ὥστε τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν εἰρημένων τριγώνων συγ-

8. ἐπεὶ οὖν} 6. δίναιν per comp. F; corr. Torellius.
ταν] vo» F; corr. Torellius. 14. αντικειμξνα F; corr. Torel-
lius. 16. προς per comp. F; corr. Torellius, ut semper hac
in pagina. σσοιῶντι F, uulgo. 26. 4I'] B F.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 181

dias lineas B4, AI, et lineae 46 parallelae ducan-
tur EK, ZA, ei ducantur K 4, 424, AK, 40, MN.
iam quoniam 4BI'co Z4ZI, quia BA t Z4), et tri-
anguli 4B Γ cenirum grauitatis est punctum Θ, etiam
irianguli ZA4I' centrum grauitatis est punctum .4
[prop. 11]. nam puncta 6, 4 similiter posita sunt in
uiroque triangulo, quoniam eum lateribus inter se re-
spondentibus aequales angulos faciunt; hoe enim mani-
festum est.) eadem igitur de eausa eliam trianguli
EB. centrum grauitatis est K. quare magnitudinis
ex utroque triangulo ΚΕ ΒΖ, Z4TI' compositae centrum
grauitalis in media linea K 4 positum est, quoniam
EB4-ZZlI")[prop. 4]. et medium punctum li-
neae ΚΔ est N, quoniam est BE: E4— BK:0K
[Eucl. VI, 2; nam EK t 40] et l'Z: Z4 — D4:.40
[nam Z.4* 40]. hoc si est, ert BI'*t KA*) et
ducta est 24/10. quare ent ΒΖ: 42Γ -- ὀ ΚΝ: Ν..)
quare magnitudinis ex utroque triangulo compositae

1) Nam AD: 2Γ τὰ BT: 4T' — ἃ; tum ἃ. Eucl. VI, 2b.

2) Nam cum 408 13 ZA et [ ΒΑΓ z» 4ZT, erit
64Z — AZT et ΒΑΘ — 224;
praeterea ZI'4, AI'4 communes sunt, eb quoniam est
ZI: ΑΓ τὰ ΑΓ: ΘΙ 1:929 — ΖΓ: ΒΓ,
erii 244 4 B6, et (411 — 6B4; quare etiam reliquus
Z44-AB0. ceterum cfr. Eutocius, ex cuius lemmate: ὁμοέως
γάρ ἐντι κείμενα τὰ 0, K, A ἐν τοῖς τριγώνοις concludi posse
uidetur, ei aliam huius loci formam sub oculis fuisse.
3) Eucl I, 88; nam B4 — 4I'et EZ t BI*' quare alti-
tudines aequales.
4) Nam BE: EA -» ΓΖ: Z4; quare etiam
DA: A8 — BK: OK;
ium u. Eucl. V], 2.
δ) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 3.

189 ἘΠΙΠΈΔΩΝ IZOPP. H KENTPA BAPON EIIIII. Α΄.

κειμένου μεγέϑεος κέντρον ἐστὶ vo N. ἔστιν δὲ καὶ
τοῦ AEAZ παραλληλογράμμου κέντρον τοῦ βάρεος
τὸ M δαμεῖον. ὥστε τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου με-
γέϑεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΜΝ εὐ-

b ϑείας. ἔστιν δὲ καὶ τοῦ ABI' κέντρον τοῦ βάρεος τὸ
O σαμεῖον. & MN ἄρα ἐκβαλλομένα πορευέται διὰ
τοῦ (9 σαμείου" ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ κέντρον
τοῦ βάρεος τοῦ A4BI' τριγώνου οὔκ ἐστιν ἐπὶ τᾶς
A4 εὐϑείας. ἔστιν ἄρα ix αὐτᾶς.

10 εδ΄.

Παντὸς τριγώνου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ σα-
μεῖον, καϑ'’ ὃ συμπίπτοντι τοῦ τριγώνου αἵ éx τᾶν

γωνιᾶν ἐπὶ μέσας τὰς πλευρὰς ἀγομέναι εὐϑείαι.
ἔστω τρίγωνον τὸ
ABD, καὶ ἄχϑω & μὲν
A4 ἐπὶ μέσαν τὰν BI,
& δὲ ΒΕ ἐπὶ μέσαν τὰν
ΑΓ. ἐσσείται δὴ τοῦ
48ΒΓ τριγώνου τὸ κέν-
τρον τοῦ βάρεος ἐφ᾽
ἑκατέρας τᾶν 4271, BE:
δεδείκται γὰρ τοῦτο.
ὥστε τὸ Θ σαμεῖον κέν-
τρον τοῦ βάρεός ἐστιν.

25 LE.
Παντὸς τραπεξίου τὰς δύο πλευρὰς ἔχοντος παρ-
αλλήλους ἀλλάλαις τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ
τᾶς εὐϑείας vüg ἐπιξευγνυούσας τὰς διχοτομίας τᾶν

1. ἐστὶ τοῦ βάρεος Torellius, 6. διά] δὲ δια F. 10. εβ΄ F.

DE PLANORUM AEQUILIBHIIS etc. 183

€enirum grauitatis est .N. sed etiam parallelogrammi
EA cenirum grauitalis est M [prop. 10]. itaque
magnitudinis ex omnibus compositae centrum graui-
iatis in linea MN positum est [p. 149 not. 1]. sed
eliam centrum grauitatis trianguli 4BI' punctum 6
est. itaque linea MN producta per punctum Θ᾽ ibit;
quod fieri non potest. quare fieri non potest, ut
centrum grauitatis trianguli 4BI' in linea 4271 posi-
íum non sit. itaque in ea est.

XIV.

Cuiusuis trianguli centrum grauitatis est punctum,
in quo lineae ab angulis ad media latera ductae con-
currunt.

triangulus sit 4BI, et ducatur 471 ad mediam
BI, BE auiem ad mediam 4I: erit igitur trianguli
-ABI' centrum grauitatis in uiraque linea 471, BE;
hoc enim demonstratum est [prop. 13]. quare punc-
ium Θ᾽ centrum grauitatis est.

XV.

Cuiusuis trapezii duo latera inter se parallela ha-
bentis centrum grauitatis in ea linea positum est,
quae media puncta parallelarum iungit, ita diuisa, ut

1) Nam EM — MZ, ΚΝ — N 4; quare MN $ ZA& 48.

19. των γωνιῶν F, uulgo. 18. ἐσσεέίται) scripsi; e& F, uulgo;
£er, B, Torellhius. 19. τό] addidi; om. F, uulgo. 21. rov
per comp. Εἰ; corr. Torelhus. 26. εγ΄ F. 27. αλληλαις F;
. corr. Torellius. 2328. τῶν] ro» F, uulgo.

184 EIIIIEAS9N IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩΝ EIIIII. Α΄.

παραλλήλων διαιρεϑείσας, ὥστε τὸ τμᾶμα αὐτᾶς τὸ
πέρας ἔχον τὰν διχοτομίαν τᾶς ἐλάσδονος τᾶν παραλ-
λήλων ποτὶ τὸ λοιπὸν τμᾶμα τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον,
ὃν ἔχει συναμφότερος & ἴσα τᾷ διπλασίᾳ τᾶς μείξονος
5 μετὰ τᾶς ἐλάσσονος ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς ἐλάσσονος
μετὰ τᾶς μείξονος τῶν παραλλήλων.
ἔστω τραπέξιον τὸ ABI παραλλήλους ἔχον τὰς
A4, BI, ἁ δὲ ΕΖ ἐπιξευγνυέτω τὰς διχοτομέας τῶν
A4, ΒΓ. ὅτι οὖν ἐπὶ τᾶς EZ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ

10 τραπεξίου, φανερόν. ἐὰν γὰρ ἐκβαλῇς τὰς 4H, ZEH,
BAH, δῆλον, ὅτι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σαμεῖον ἐρχόνται. ἐσ-
σείται οὖν τοῦ ΗΒΓ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος
ἐπὶ τᾶς ΗΖ, καὶ ὁμοίως τοῦ 4H 4 τριγώνου τὸ κέν-
τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς EH. καὶ λοιποῦ ἄρα τοῦ

15 4BI'A τραπεξίου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται ἐπὶ
τᾶς ΕΖ. ἐπιξευχϑεῖσα Óà & B4 διῃρήσϑω εἰς τρία
ἴσα κατὰ τὰ K, Θ σαμεῖα, καὶ δι’ αὐτῶν παρὰ τὰν

1. avc cum comp. ἧς F. 2. ταν των F; corr. Riualtus.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 185

pars eius terminum habens punctum medium minoris
parallelarum ad reliquam partem eam habeat ratio-
nem, quam habet linea duplici maiori aequalis simul
cum minore ad duplicem minorem simul cum maiore
parallelarum.

irapezum sit 4BI'4 latera 471, BI' parallela
habens, et linea EZ media puncta linearum 471, BI'
iungat, iam centrum [grauitatis] trapezii In linea EZ
esse, manifestum est. nam si produxeris lineas ΓΖ H,
LZEH, BAH, adparet, eas in idem punctum incidere
ἴα. Eutoeius] itaque trianguli ΗΒΓ centrum graui-
tatis in linea HZ positum erit [prop. 13], et eodem
modo trianguli 4H 71 centrum grauitatis in linea EH
positum erit [prop. 13]. itaque quod relinquitur, tra-
pezi 4BI' centrum grauitatis in linea EZ positum
erii [prop. 8]. ducta autem linea B7! in tres partes
aequales diuidatur in punctis K, Θ, et per ea lineae

τὰν] τῶν per comp. F, uulgo, ut lin. 6. 4. reg διπλασιας E;
eorr. B. 6. πρὸς per comp. Εἰ: corr. Torellius. 7. τρα-
πεζειον F. — 10. ἐκβαλη F. 11. ἐσσείται οὖν] scripsi; ἔσται
(comp.) τὸ F, uulgo. 18. τό] addidi; om. F, uulgo. 16. τρα-
πεζειου ἘΠ; corr. Torellius. τό] addidi; δὲ deletum manu 1
F; om. uulgo. ἔσται per comp. F, uulgo, ut p. 186 lin. 2.

186 EIIIIEA9N IZOPP. H KENTPA ΒΑΡΩΝ EIIIII. Α΄.

ΒΓ ἄχϑωσαν αἱ 40M, NKT, xol ἐπεξεύχϑωσαν αἴ
4Z, BE, ON. ἐσσείται δὴ τοῦ μὲν 4ΒΓ τριγώνου
κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς 0 M, ἐπειδήπερ τρίτον
μέρος ἃ ΘΒ τᾶς Β4,, καὶ διὰ τοῦ Θ᾽ σαμείου παρ-
5 ἄλληλος τᾷ βάσει ἄκται ἃ ΜΘ. ἔστιν δὲ τὸ κέντρον
τοῦ ᾿ βάρεος τοῦ 41ΒΓ τριγώνου καὶ ἐπὶ τᾶς 412. ὥστε
τὸ A Ξ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ εἰρημένου τριγώνου. διὰ
ταὐτὰ δὲ καὶ τὸ Ο σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος
τοῦ 4B. τριγώνου. τοῦ ἄρα ἐξ ἀμφοτέρων τῶν
10 4BZ, ΒΖΓ τριγώνων συγκειμένου μεγέϑεος, ὅπερ
ἐστὶ τὸ τραπέξιον, τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς OR
εὐθείας. ἔστιν δὲ τοῦ εἰρημένου τραπεξίον τὸ κέν-
τρον τοῦ βάρεος καὶ ἐπὶ τᾶς EZ. ὥστε τοῦ 4ΒΓΖ
τραπεξίου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ II σαμεῖον. ἔχοι
16 δ᾽ dv τὸ Β4Γ τρίγωνον ποτὶ τὸ 484 λόγον, ὃν ἃ
ΟΠ ποτὶ IIR. ἀλλ᾽ ὡς τὸ Β4Γ τρίγωνον ποτὶ τὸ
ABA τρίγωνον, οὕτως ἐντὶ & ΒΓ ποτὶ 424, ὡς 0X
& OII ποτὶ I1R, οὕτως & PII ποτὶ ΠΣ. καὶ ὡς ἄρα
& ΒΓ ποτὶ 44, οὕτως ἃ PII ποτὶ ΠΣ. ὥστε καὶ
. 20 ὡς δύο αἱ ΒΓ μετὰ τᾶς 44] ποτὶ δύο τὰς 44 μετὰ
τᾶς ΒΓ, οὕτως δύο αἱ PII μετὰ τᾶς ΠΣ ποτὶ δύο
τὰς ΠΣ μετὰ τᾶς IIP. ἀλλὰ δύο μὲν a( PII μετὰ
τᾶς ΠΣ συναμφότερός ἐστιν & EZ PII, τουτέδτιν ἃ II E*
δύο δὲ αἱ ΠΣ μετὰ τᾶς ΠΡ συναμφότερός ἐστιν ἃ
25 ΡΣΠ, τουτέστιν & ΠΖ. δεδείκται ἄρα τὰ προτεϑέντα.

11. τὸ τραπέξιον] cum B; τραπεξειου F; τραπεξεῖον uulgo;
τραπεζιον V, Torellius. τό] addidi; om. F, uulgo. — 12. es-
ϑείας ἐστίν τραπεζειου TF; corr. "v. τό] addidi; om. F,
uulgo. 14. τραπεξειου ἘΠ; corr. Torellius. 15. προς per
comp. F; corr. Torellius, nt semper hac in pagina. 28. τοῦτ-
ἐστιν} per comp. Εἰ, ut lin, 26. 29. PZII) scripsi; PIIZ F,
uulgo.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 187

BI' parallelae ducantur 40 M, NKT, et ducantur
22, BE, O&. eri igitur trianguli ZBI' centrum
grauitatis in linea 69 M positum, quoniam ΘΒ — 1 B
[u. Eutocius et prop. 14], et per punctum 6 basi par-
allela ducta est linea ΜΘ. sed centrum grauitatis
inanguli 4BI' etiam in linea ZZ positum erit [prop.
13]. itaque punctum XA centrum grauitatis est illius
irianguli. et eadem de causa etiam punctum O.cen-
irum grauitatis est trianguli 4B 7. magnitudinis igi-
iur ex utroque iriangulo 484], ΒΩ Γ᾽ compositae,
h. e. írapezii, centrum grauitatis in linea OX positum
erit. sed centrum grauitatis huius trapezii etiam in
EZ positum est. quare trapezii 48 ΓΖ centrum gra-
uitatis est punctum JJ. erit autem

BAD: 484 -—OII: ΠΗ [prop. 6 et 1].
sed BAI': 4B — ΒΓ: 44 [Eucl. VI, 1], et

ΟΠ: ΠΕ — ΡΠ: I1 Z7)
quare ΒΓ: 44 — ΡΠ: ΠΣ. quare etiam
2BTI--44:244-- BI'—2PII-- I12:211Z 4- ΠΡ
sed 2PII -|- ΠΣ —— ZiP -- PII — IL E5); et
2I Z -4- HP-PZ- ZII — Iz»)

ilaque demonstrata sunt, quae proposita erant.

1) Haec uerba: xal διὰ τοῦ € lin. 4 — ἄκται ἃ MO lin. 6
Eutocius habuisse non uidetur.
2) Nam OPII c» ZIIS; tum u. Eucl. VI, 4.
8) Cfr. Quaest. Arch. p. 48.
4) Nam EP — PZ -— ZZ, quà ΑΝ --NA-— BA et
N AM j$ ΒΓ.
5) Ent igitur 2BI' - 44:244 Ῥ BD — ΠΕ: ΠΖ.

᾿Επιπέδων ἰσορροπιὼν β΄.

α΄.
Εἴ κα δύο χωρία περιεχόμενα ὑπό τε εὐϑείας καὶ
ὀρϑογωνίου κώνου tou&g, ἃ δυνάμεθα παρὰ τὰν δο-
5 ϑεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν, μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τοῦ
βάρεος ἔχωντι, τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων αὐτῶν συγκειμένου
μεγέϑεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται ἐπὶ τᾶς εὐ-
ϑείας τᾶς ἐπιξευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ βάρεὸς αὐτῶν
διαιρέον οὕτως τὰν εἰρημέναν εὐθεῖαν, ὥστε τὰ τμά-
10 ματα αὐτᾶς ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν λόγον ἔχειν
τοῖς χωρίοις.
ἔστω δύο χωρία τὰ 48, I'41, οἷα εἰρήται" κέν-
τρα δὲ αὐτῶν τοῦ βάρεος ἔστω τὰ E, Z σαμεῖα, καὶ
ὃν ἔχει λόγον τὸ 48 ποτὶ τὸ ΓΖ, τοῦτον ἐχέτω &

15 ZO ποτὶ ΘΕ. δεικτέον, ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν

1. εἰσοροπικων B F. 2. αἼ om. F. — 5. παραβαῖ cum
comp. ἢ» uel ἐν F. 6. ἔχωντι) scripsi; ego»za F, uulgo;

De planorum aequilibriis liber II.

I. '

Si duo spatia comprehensa linea recta et sectione
toni reetanguli, quae datae lineae adplicare possu-
mus!) idem centrum grauitatis non habent, magnitu-
dinis ex utroque compositae centrum grauitatis in
lmea centra grauitatis eorum iungenti ita positum
ert, ut lineam illam ita diuidat, ut partes contrariam
habeant proportionem ac spatia.?)

duo spatia, qualia diximus, sint A B, I'4, et centra
grauitatis eorum sint puncta E, Z, et sit

AB :I4-—0:0E.

1) Hoc demonstratum est in libro de quadratura para-
bolae scripto; u. Eutocius.

2) Haec proporlio nihil continet nisi peculiarem quendam
casum libri 1 propp. 6—7, quas Archimedes propria demon-
8Stratione adiecta ad segmenta parabolarum, de quibus hoc libro
agitur, transferri uoluit; quod certe necessarium non erat.

ἔχοντι Riualtus. 9. διαιρεὼν F; corr. Torellius. 10. αντι-
ztzovyÜüor cum comp. o» Εἰ; corr. Torellius. 16. προς per
comp. F; corr. Torellius.

190 EIIHIEA9N IZOPPOIIISN Β΄.

AB, Γ4 χωρίων συγκειμένου μεγέϑεος κέντρον τοῦ
βάφεδς ἐστι τὸ € σαμεῖον.

ἔστω δὴ τᾷ μὲν ΕΘ ἕκατέρα ἴσα τἂν ZH, ZK,
τᾷ δὲ ΖΘ, τουτέστι τᾷ ΗΕ, ἴσα & ΕΖ. ἐσσείται ἄρα
καὶ ἃ 4 τᾷ ΚΘ ἴσα, καὶ ἔτι, ὡς & AH ποτὶ ΗΚ,
οὕτως τὸ AB ποτὶ ΓΖΩ͂' διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας.
παραβεβλήσϑω δὴ παρὰ τὰν 4H τὸ χωρίον τοῦ AB ἐφ᾽
ἑκάτερα τᾶς ΛΜΗ͂, ὥστε εἶμεν τὸ ΜΝ ἴσον τῷ AB.
ἐσσείται δὴ τοῦ ΜΝ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ E σα-
μεῖον. συμπεπληρώσϑω δὴ τὸ NE. ἔξει δὴ τὸ ΜΝ
ποτὶ τὸ NA λόγον, ὃν ἃ AH ποτὶ ΗΚ. ἔχει δὲ καὶ
τὸ 48 ποτὶ τὸ ΓΖΩ͂ τὸν τᾶς ΜΗ ποτὶ ΗΚ λόγον.
καὶ ὡς ἄρα τὸ 488 ποτὶ ΓΖ, οὕτως τὸ ΜΝ ποτὶ NS.
καὶ ἐναλλάξ. ἴσον δὲ τὸ 4Β τῷ ΜΝ. ἴδον ἄρα καὶ
τὸ ΓΖΩ͂ τῷ NE. καὶ κέντρον ἐστὶν αὐτοῦ τοῦ βάρεος
τὸ Ζ σαμεῖον. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶν ἃ 4Θ và OK, καὶ
0Ac & ΑΚ τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς δίχα τέμνει. [τοῦ]
ὅλου τοῦ ΠΜ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ O σαμεῖον.
ἀλλὰ τὸ ΜΠ ἴσον τῷ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΜΝ, ΝΕ.
ὥστε καὶ τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν AB, I4 κέντρον
ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ € δαμεῖον

8. δή] scripsi; D F, uulgo. τὰν] to» per comp. F;
corr. Torellius. H E) HO F; corr. manus 2. — sero: per
comp. F, uulgo, ut ΓΗ 9. b. προς per comp. F; corr. To-
rellius, ut semper hac i in pagina. 7. xoxo») σαμείον F; corr.
Torellius. τοῦ] τό Torellius. 10. δή] δὲ F; corr. To-

rellius. 17. τοῦ deleo.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 101

. demonstrandum, magnitudinis ex utroque spatio 48,

I4 compositae centrum grauitatis esse punctum 6.
sit igitur ZH —ZK — E9 et E4— Z6 — ΗΕ."
erib igitur etiam
40 — K0?) et 4H: HK — AB:I'4;
utraque enim [4H, HK] duplo maior est utraque
[ΖΘ, € E].?) adplicetur igitur lineae 4H spatium 4B

. in utramque partem lineae ΔΗ͂, ita ut sit. MN — 48.
. Meque spatii M.N centrum grauitátis erit. punctum E

[L 10].5) expleatur igitur spatium NA. erit igitur

| MN:N&X — AH: HK [Eucl. VI, 1]. sed etiam

438: [ΓΖ -οω ΜΉ : ΗΚ.
quare
4Β: ΓάΞε ΜΝ: ΝΗ.

οὐ uiciesim [48: MN — I'4: NX; Eucl. V, 16]; et

AB — MN. itaque etiam ΓΖ -Ξ-. ΝΞ. et centrum
grauitatis [spatii N,3] punctum Z erit [I, 10; u. not 4].

. ei quoniam 460 — ΘΚ, et 4K tota latera sibi oppo-

sila in duas partes aequales diuidit?), totius spatii

IIM centrum grauitatis est & [I, 10; u. not. 4]. sed

MII — MN--NX. quare etiam magnitudinis ex 4B,

ΓΔ 5) compositae centrum grauitatis est punctum 6.

1) Nam ΕΘ — HZ; auferatur igitur linea H6 communis.

2) Addendo ΕΘ αι ΖΑ οὗ EA — ΘΖ.

.3) Est, enim 4B : I'd — Z6: ΘΕ — 220 :26E; sed

AH — EA--EH -—2Z0 et HK — HZ - ZK τα 2E8.

4) Nam punctum E id est, in quo diametri concurrunt; u.
Zeitschr. f. Math., hist, Abth. XXIV, p. 180 nr. 10.

6) Auditur, spatium MN ita positum esse, ut linea 4H in
duas aequales partes diuidatur; hic enim sensus est uerborum
ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰς AH lin. 7.

6) Sc. in punctis E, Z suspensis; ideo enim demonsira-
tum est, haec puncta centra grauitatis esse spatiorum MN, NA.

192 ἘΠΙΠΈΔΩΝ IXZOPPOIIISN Β΄.

β΄.

Εἴ κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐϑείας καὶ
ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς τρίγωνον ἐγγραφῇ τὰν «v-
τὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον, καὶ πάλιν
εἰς τὰ καταλειπόμενα τμάματα τρίγωνα ἐγγοαφέωντι
τὰς αὐτὰς βασίας ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος
ἴσον, καὶ ἀεὶ εἰς τὰ καταλειπόμενα τμάματα τρίγωνα
ἐγγραφέωντι τὸν αὐτὸν τρόπον, τὸ γενόμενον σχῆμα
ἐν τῷ τμάματι γνωρίμως ἐγγφαφέσϑαι λεγέσϑω. φανε-
ρὸν δέ, ὅτι τοῦ οὕτως ἐγγραφέντος σχήματος αἷ τὰς
γωνίας ἐπιξευγνυούσαι τάς τε ἔγγιστα ἀπὸ τᾶς κορυ-
φᾶς τοῦ τμάματος καὶ τὰς ἑξῆς παρὰ τὰν βάσιν ἐσ-
σούνται τοῦ τμάματος, καὶ δίχα τμαϑησόνται ὑπὸ τᾶς
τοῦ τμάματος διαμέτρου, καὶ τὰν διάμετρον τεμοῦντι
εἰς τοὺς τῶν ἑξῆς περισσῶν ἀριϑμῶν λόγους, évóg
λεγομένου ποτὶ τᾷ κορυφᾷ τοῦ τμάματος. ταῦτα δὲ

— δεικτέον ἐν ταῖς τάξεσιν.

Εἰ δέ κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐϑείας τε
καὶ ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς εὐθύγραμμον γνωρίμως
ἐγγραφῇ, τὸ τοῦ ἐγγραφέντος κέντρον τοῦ βάρεος
ἐσσείται ἐπὶ τᾶς τοῦ τμᾶματος διαμέτρου.

ἔστω τμᾶμα τὸ ABD, οἷον εἰρήται, καὶ ἐγγεγράφϑω
εἰς αὐτὸ εὐθύγραμμον γνωρίμως τὸ 4EZHBOGIKT.
δεικτέον, ὅτι τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ εὐθυγράμμου
ἐστὶν ἐπὶ τᾶς B4.

4. τῷ] το F. 5. ἐεγγραφενωντι F. 6. βασ cum comp.
"c F; βάσεις uulgo. τμαματεσιν F; corr. Torellius. — 7. Post
ἴσον repetit F: καὶ εἰς τὰ καταλειπόμενα. . . ἴσον; corr. ed.
Baeil 9. γνωρισμ cum comp. og FA. 414. διάμετρον] δια-
μετρω. F; διαμέτρων uulgo; corr. Torellius. τεμοῦντι) οὔτι
F; corr. Torellius. 16. rovg] rov F. — 16. ταῦτα] cum Eu-
tocio; rovro F, uulgo. 18. κα] scripsi; καὶ F, uulgo. — 920.

DE PLANORUM AEQUILIBRHIIS II. 193

II. .

Si segmento comprehenso linea recta et sectione
eoni rectanguli triangulus inscribitur eandem basim
habens, quam segmentum, et altitudinem aequalem, et
rursus segmentis reliquis trianguli inscribuntur easdem
bases habentes, quas segmenta, et altitudinem aequalem,
ei semper deinceps segmentis reliquis eodem modo trian-
guli inscribuntur, figura inde orta proprie segmento
inscribi dicatur. adparet autem, in figura ita inscripta
lneas angulos iungentes et uertici segmenti proximos
el ceteros basi parallelas fore, et diametro segmenti
in partes aequales diuisum iri, et diametrum in pro-
portionibus numerorum imparium ordine sequentium
diuisuras esse, unario numero ad uerticem segmenti
numerato. haec autem suis locis demonstranda sunt.!)

Sin segmento comprehenso linea recta et sectione
coni rectanguli figura rectilinea proprie inscribitur,
[figurae] inscriptae centrum grauitatis in diametro
segmenti positum erit.

sit 4BI' segmentum, quale diximus, et ei inscri-
batur proprie figura rectihinea 4EZHBOIKI. de-
monstrandum, centrum. grauitatis figurae rectilineae in
linea B4 positum esse.?)

1) U. Eutocius, ex cuius nota adparet, haec omnia in F
recte cum prop. 2, non cum prop. 1 coniungi.

2) Auditur igitur, lineam B.41 diametrum esse.

τό] addidi; om. F, uulgo. 21. εσειται F. 28. 4] 4 F.
24. Ante δεικτέον id ed. Basil. (et apud Torellium) additur:
διάμετρος δὲ τοῦ τμάματος ἔστω ἃ ΒΖ.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 13

194 ἘΠΙΠΈΔΩΝ IXZOPPOIIISN Β΄.

ἐπεὶ γὰρ τοῦ μὲν AEKI τραπεξίου τὸ κέντρον
τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς 44 ἐστι, τοῦ δὲ EZIK τρα-
πεξίου τὸ κέντρον ἐπὶ τᾶς ΜΑ͂, τοῦ δὲ ZHOI τρα-

πεξίου τὸ κέντρον ἐπὶ vag ΜΝ, ἔτι δὲ καὶ τοῦ ΗΒΘ

5 τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΒΝ, δῆλον,
ὅτι καὶ τοῦ ὅλου εὐθυγράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος
ἐπὶ τᾶς Β4 ἐστιν.

γ΄.
ΕἸ κα δύο τμαμάτων ὁμοίων περιεχομένων ὑπὸ

10 εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς εἰς ἑκάτερον
εὐθύγραμμον ἐγγραφῇ γνωρίμως, ἔχωντι δὲ τὰ ἐγγρα-
φέντα εὐθύγραμμα τὰς πλευρὰς ἴσας τῷ πλήϑει ἀλλά-
λαις, τῶν εὐθυγράμμων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως
τέμνοντι τὰς διαμέτρους τῶν τμαμάτων.

16 ἔστω δύο τμάματα τὰ ABT, ΞΟΠ, xai ἐγγεγράφϑω
εἰς αὐτὰ εὐθύγραμμα γνωρίμως, καὶ τᾶν πασᾶν πλευ-
ρᾶν τὸν ἀριϑμὸν ἐχόντων ἀλλάλοις ἴσον. διαμέτροι
0$ ἔστωσαν τῶν τμαμάτων αἱ Bal, OP, καὶ ἐπεξεύχ-
ϑωσαν αἱ EK, ZI, ΗΘ καὶ ΣΤ, ὙΦ, XT. ἐπεὶ

1. ΛΕΚΓῚ EZ IK FV. τραπεξειου F, uulgo, ut lin. 2, 8.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 195

nam quoniam trapezi A4EKI' centrum grauitatis
in linea 471 positum est [I, 15], trapezi EZIK
in» linea M4, irapezi ZHOI in linea MN, porro
inanguli HB in linea ΒΝ [I, 13; u. not. 1], adparet,
eliam totius figurae reclilineae centrum grauitaüis in
lnea Bzf positum esse [cfr. I, 4 not. 1].

III.

Datis duobus segmentis aequalibus?) comprehensis
linea recta et sectione coni rectanguli, si utrique figura
rectilinea proprie inscribitur, et figurae inscriptae la-
lera numero inter se aequalia habent, centra graui-
tatum figurarum similiter diametros segmentorum se-
cant.

duo segmenta sint 4BI', ΞΟΠ, et iis inscriban-
tur proprie figurae rectilineae, e£ numerum omnium
simul laterum inter se aequalem habeant?) οὐ dia-
metri segmentorum sint B4, OP, et ducantur lineae
EK, ZI, ΗΘ οἱ ΣΤ, TÓ, XP. iam quoniam et

1) Nam 9Ν — ΝΗ, IM — MZ, KA — AE, l'A4— 44;
U p. 192, 18 sq.

2) U. Eutocius; cfr. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV
P. 46 nr. 3; Apollon. VI def. 7.

8) ἐχόντων lin. 17 imperatiuus est.

12. αλληλαις F V. 14. τεμνωντι F. 16. xol τὰν] scripsi;
κατα F, uulgo. πᾶσας πλευράς Torellius. 17. ἔχοντα To-
rellius, αλληλοις F; corr. Torellius. 19. ZI] ZD FV.

13*

196 EIIIIEAQSN IXOPPOIIISN Β΄.

ovv ἅ τε B4 διαιρείται ὑπὸ τᾶν παραλλήλων εἰς τοὺς
τῶν ἑξῆς ἀριϑμῶν περισσῶν λόγους, καὶ ἃ ΡΟ, καὶ
τῷ πλήϑει τὰ τμάματα αὐτᾶν ἴσα ἐντί, δῆλον, ὡς τά

τε τμάματα τᾶν διαμέτρων ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις ἐσ-
6 σείται, καὶ αἱ παραλλήλοι τοὺς αὐτοὺς λόγους ἑξοῦντι.
καὶ τῶν τραπεξζίων τοῦ vs ΑΕΚΓ καὶ τοῦ ΣΤΠ
τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐσσείται ἐπὶ τᾶν 4.4, ΦΡ
εὐϑειᾶν ὁμοίως κείμενα, ἐπεὶ τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον
αἱ AI, EK ταῖς RII, ΣΤ. πάλιν δὲ καὶ τῶν EZIK,
10 ΣΥΦΤ' τραπεξίων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐσσούνται
ὁμοίως διαιρέοντα τὰς ΜΜ, ΩΦ, καὶ τῶν ΖΗΘ,
TXU À τραπεξίων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐσδούνται

1. των F, uulgo. τούς] rov F. 2. ἃ PO] scripsi;

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 197

Β4 et PO in proportionibus numerorum imparium
ordine sequentium lineis parallelis secantur, et partes
earum numero aequales sunt, adparet, et partes dia-
metrorum in iisdem proportionibus fore, et parallelas
easdem rationes habituras esse.) et trapeziorum AEKT'
et EZ TII centra grauitatum in lineis 4.2, £P simi-
liter posita erunt, quoniam est 4Γ: EK — XII: ΣΤ.)
rursus aulem etiam irapeziorum EZIK, ΣΥΦΤ cen-
ira grauitatum lineas 44M, £0» similiter diuident?),
οὐ irapezioum ZHOI, TXUd centra grauitatum

1) Nam BN: NM: MA: 44—1:8:5: (p. 192, 14)
— 00:09: 99:9P;
ide BN:BM:BA:B41221:4:9:16 κα Oq: O94:09:0P.
est &utem (quadr. parab. 8)
HN?:ZM?: EA? : Ad! —"^ BN: BM: BA: B4
- 0q: 094 :0828:0P-— Xq* : TQ? : ZQ! ; gP?
íi: HO: ZI: EK: AU XV: TO: ZT : SII (p. 192, 13).
2) Nam situs centrorum ex ratione laterum ΑΓ, EK, ΞΠ,

- Z T pendet (I, 15).

ΠΡΟ F, uulgo; PO ὁμοίως ed. Basil., Torellius. 8. αὐτῶν
F, uulgo. 4. vo» F, uulgo, ut p. 198 lin. 8. ἐν] om. F;
corr. Torellius. 6. τραπεζξειων F, uulgo, ut lin. 10, p. 198
lin 4. 7. των -- ευϑειῶν F, uulgo. 8. £ze/] Torellius; ἐπὶ
F, uulgo. 9. δέ] scripsi; δὴ F, uulgo. 11. τὰς AM, 9
ad ὁμοίως διαιρέοντα p. 198 lin. 1 om. F; suppleuit ed. Basil,
nisi quod ἐν τοῖς ZO, T9 τραπεξείοις lin. 11—12 praebet,
quod ex usu Archimedis correxi.

198 EIIIIEASN IZOPPOIIIOSN Β΄.

ὁμοίως διαιρέοντα τὰς MN, 24. ἐσσείται δὲ καὶ τῶν
ΗΒΘ, XO τριγώνων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐπὶ
τῶν BN, Οα ὁμοίως κείμενα. ἔχοντι δὴ τὸν αὐτὸν
λόγον τὰ τραπέξια καὶ τὰ τρίγωνα. δῆλον οὖν, ὅτε
5 τοῦ ὅλου εὐθυγράμμουν τοῦ ἐν τῷ ABT τμάματι ἐγγε-
γραμμένου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ὁμοίως διαιρεῖ τὰν
BA, καὶ τοῦ ἐν τῷ XSOII τμάματι ἐγγεγραμμένου τὸ
κέντρον τοῦ βάρεος τὰν OP. ὅπερ ἔδει δείξαι.

δ΄.

10 — llevvóg τμάματος περιεχομένου ὑπὸ εὐϑείας vs καὶ
ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν
ἐπὶ τᾶς τοῦ τμάματος διαμέτρου. ἢ

ἔστω τμᾶμα, ὡς εἰρήται, τὸ ABI, οὗ διάμετρος
ἔστω & B. δεικτέον, ὅτι τοῦ εἰρημένου τμάματος

16 τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς B 4.

εἰ γὰρ μή, ἔστω τὸ E, καὶ δι’ αὐτοῦ ἄχϑω παρὰ
τὰν ΒΩ & EZ. καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς" τὸ τμᾶμα τρί-
yovov τὸ 4ΒΓ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον καὶ ὕψος ἴσον"
καὶ ὃν ἔχει λόγον ἃ ΓΖ ποτὶ 412, τοῦτον ἐχέτω τὸ

20 ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ K χωρίον. ἐγγεγράφϑω δὲ
καὶ εὐθύγραμμον εἰς τὸ τμᾶμα γνωρίμως, ὥστε τὰ
περιλειπόμενα τμάματα ἐλάσσονα εἶμεν τοῦ K. τοῦ
δὴ ἐγγραφομένου εὐθυγράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός
ἐστιν ἐπὶ τᾶς B. ἔστω τὸ Θ, καὶ ἐπεζξεύχϑω ἃ ΘΕ

1. Ὁ 4] scripsi (quas litteras etiam in figura cum Εἰ re-
gtitui) CT F, uulgo; sq Torellius. ἔσται per comp. F, uulgo.
8. εχωντι FE; corr. "''orellius. δή] scripsi; de F, uulgo. 6.
vo O E; cor AB. — 8. ez, τὰν F; corr. Nizzius. 16. τό] ad-
didi; om. F, uulgo, ut lin. 17. 19. πρὸς per comp. F'; corr.
Torellius, ut lin. 20. 22. διναν per comp. PF oorr. Torellius.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 199

lineas MN, 234 similiter diuident.) et etiam trian-
gulorum H ΒΘ, ΧΟΨ centra grauitatum in lineis ΒΝ,
O« similiter posita erunt." itaque trapezia et irian-
guli eandem rationem habent.) adparet igitur), etiam
tolius figurae rectilineae segmento 4BI' inscriptae
centrum grauitals lineam B. similiter diuidere ac
figurae segmento A&OII inscriplae centrum grauitatis
lineam OP; quod erat demonstrandum.*)

IV.

Cuiusuis segmenti comprehensi linea recta et sec-
tione coni rectanguli centrum grauitatis in diametro
segmenli positum est.

sit 4 BI' segmentum, quale diximus, cuius diame-
irus sit Bf. demonstrandum, segmenti illius centrum
grauitatis in linea B4 positum esse.

nam si non est, sit E, et per id lineae B par-
a2llela ducatur linea EZ. οὐ segmento insceribatur
iriangulus 4BI' eandem basim habens et altitudinem
aequalem. et sit ΓΖ: 4Z — ABI: K. praeterea figura
rectilinea segmento proprie inscribatur, ita ut seg-
menta reliqua spatio K minora sint [u. Eutocius]
itaque figurae rectilineae inscriptae centrum grauitatis
in linea ΒΒ 4] positum est [prop. 2]. sit punctum 6,
el ducatur linea 6 E et producatur, et lineae B 7f par-

1) Cfr. p. 197 not. 3.

2) Ex I, 14 et Eutocio ad I, 16.

8) Nam cum trapezia respondentia et triangula similia
sint, eas rationes habent, quas latera quadrata (Eucl. VI, 20)
2: AI? : ἘΠῚ EK? : ΣΤ" cett., quae aequales sunt.

4) Ex I, 6—7. omnino u. Nizzius.

δ) Hanc propositionem etiam de segmentis non similibus
ueram esse, ostendit Nizzius p. 30 9. )

200 EIIIIEA$9N IZOPPOIIISN Β΄.

καὶ ἐχβεβλήσϑω, καὶ παρὰ τὰν Β4 ἄχϑω ἁ ΓΑ. 05-
λον δέ, ὅτι μείξονα λόγον ἔχει τὸ ἐγγεγραμμένον εὐ-
ϑύγραμμον ἐν và τμάματι ποτὶ τὰ λειπόμενα τμάματα,

A 4Z FA
ἢ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ Κα. ἀλλ᾽ ἔστι, ὡς τὸ
5 ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ K, οὕτως & ΓΖ ποτὶ Z4.
καὶ τὸ ἐγγεγραμμένον ἄρα εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περι-
λειπόμενα τμάματα μείζονα λόγον ἔχει, ἢ & ΓΖ ποτὲ
Z4, τουτέστιν ἃ AE ποτὶ ΕΘ. ἐχέτω οὖν à ME
ποτὶ ΕΘ τὸν αὐτὸν λόγον τὸν τοῦ εὐθυγράμμου ποτὲ
10 τὰ τμάματα. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν E κέντρον τοῦ ὅλον
τμάματος, τοῦ δὲ ἐγγεγοαμμένου ἐν αὐτῷ εὐϑυγράμ-
μου τὸ Θ, δῆλον, ὅτι λοιποῦ τοῦ συγκειμένου μεγέ-
ϑεος ἐκ τῶν περιλειπομένων τμαμάτων τὸ κέντρον τοῦ
βάρεός ἐστιν ἐκβληϑείδας τᾶς ΘΕ καὶ ἀπολαφϑείσας
16 τινὸς εὐθείας, ἢ λόγον ἔχει ποτὶ τὰν ΘΕ, ὃν τὸ ἐγγε-
γραμμένον εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμά-
ματα. ὥστε εἴη κα τοῦ συγκειμένου μεγέϑεος ἐκ τῶν
περιλειπομένων τμαμάτων κέντρον τοῦ βάρεος τὸ M
σαμεῖον᾽ ὅπερ ἄτοπον. τᾶς γὰρ διὰ τοῦ M παρὰ τὰν
20 Β4 ἀγομένας ἐπὶ ταὐτὰ ἐσσούνται πάντα τὰ περι-

4. ἀλλ᾽ ἔστι ad τὸ K lin. 6 om. F; corr. ed. Basil. — 5. προς

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 201

allela ducatur linea I'4. adparet autem, figuram in-
scriplam segmento ad spatia reliqua maiorem r&aio-
nem habere, quam triangulum 44BI' ad Κα.) est autem
IZ:Z24-4BI:K. quare figura inscripta ad seg-
menta reliqua maiorem habet rationem quam ΓΖ: Z 4,
h. e. quam 4E: EG) habeat igitur ME: ΕΘ ipsam
ralionem, quam habet figura rectilinea ad segmenta?)
iam quoniam punctum E cenirum grauitatis est totius
segmenti, punctum € autem figurae ei inscriptae, ad-
paret) reliquae magnitudinis ex segmentis reliquis
compositae centrum grauitatis inueniri producta linea
ΘΕ et linea quadam &b ea abscisa, quae ad lineam
ΘΕ eam rationem habeat, quam figura inscripta ad
segmenia reliqua. quare punctum M centrum graui-
tatis est magnitudinis ex segmentis reliquis com-
positae; quod absurdum est. nam omnia segmenta
reliqua in eadem parte lineae per M lineae B Z par-

1) Nam figura inscripta maior est triangulo A4BI', seg-
menta uero minora spatio K.

2) U. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 2.

8) Itaque, cum ratio maior esse debeat, quam AE: ΕΘ,
punctum JM extra punctum 4 cadere necesse est.

4) Ex I, 8.

per comp. F; corr. Torellius, ut lin. 6, 7, 8, 9 bis, 16. 8.
Z4] Z om. F. 10. E] B F. 12. lowx cum comp. ov Εἰ;
corr. À. 17. κα scripsi; κατὰ F, uulgo; καί Torellius; ἂν
κατά B. 18. κευντρωὼν F. — 19. τὰς] Torellius; τὰ F, uulgo.
MM εὐϑείας Torellius. 20. εἐσσουντι F, uulgo.

202: EIIIIEAQN IZOPPOIIIQN Β΄.

λειπόμενα τμάματα. δῆλον ovv, ὅτι ἐπὶ τὰς B4 τὸ
κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος.

ε΄.
Ei κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐϑείας vs καὶ
ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς εὐθύγραμμον ἐγγραφῇ γνω-
φέμως, τοῦ ὅλου τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐγ-
γύτερόν ἐστι τᾶς κορυφᾶς τοῦ τμάματος ἢ τὸ τοῦ
ἐγγφαφέντος εὐθυγράμμου κέντρον.
ἔστω τὸ 4ΒΓ τμᾶμα, οἷον εἰρήται, διάμετρος δὲ
αὐτοῦ᾽ & 48. καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς αὐτὸ τρίγωνον
πρῶτον γνωρίμως τὸ 48ΒΓ, καὶ τετμάσϑω ἁ B4 κατὰ

τὸ E, ὥστε εἶμεν διπλασίαν τὰν ΒΕ vig Ez. ἔστιν
οὖν τοῦ ABI' τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ E
σαμεῖον. τετμάσϑω δὴ δίχα ἑκατέρα τᾶν AB, ΒΓ'
κατὰ τὰ Ζ, H, καὶ διὰ τῶν Ζ, Η παρὰ τὰν B
ἄχϑωσαν αἱ ΖΚ, AH. ἐσσείται ἄρα τοῦ μὲν AKB
τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΖΚ, vov ὃΣ
ΒΓΔ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς H A.

8. ευϑυγραμμ cum comp. o» Εἰ; corr. B. 11. τετμησϑω

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 203

alelae ductae posita erunt.' adparet igitur, centrum
grauitatis [segmenti totius] in linea B 4] positum esse.

Si segmento comprehenso linea recta et sectione
coni rectanguli figura rectiline& proprie inscribitur,
iotius segmenti centrum grauilatis uertici segmenti
propius est quam centrum figurae inscriptae.

sit .4 BI' segmentum, quale diximus, et diametrus
eius 4.8. et primum ei triangulus proprie inscribatur
ΑΒΓ, et linea ΒΩ in puncto E ita secetur, αὖ sit
BE-—2E.Z4. itaque punctum E centrum grauitatis
est trianguli 4BI' [I, 14; Eutocius ad I, 15 p. 186, 3].
utraque igitur linea 4B, BI'in duas partes aequales
secelur in Z, H punctis, et per Z, H lineae ΒΖ par-
alllae ducantur lineae ΖΚ, ΜΗ. itaque segmenti
AKB centrum grauitatis in linea ZK positum erit
[prop. 4]?), segmenti autem Β ΓΖ centrum grauitatis

1) I postul. 7; cfr. I, 13 p. 179 not. 8.

2) Nam Z K diametrus est segmenti 4 KB, quia 42 — ZB
et ZK 3 B4. u. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 51
nr. 14.

F; corr. Torellius. 14. τὰν] Torellius; ro» per comp. Εἰ,
uulgo. 16. τῶν] scripsi; τα F, uulgo. 16. ἐσται per comp.
F, uulgo. 17. τό] addidi; om. F, uulgo. — In figura in F
om. E et pro IN scribitur T.

204 ἘΠΙΠΕΔΩΝ IZOPPOIIION Β΄.

ἔστω δὲ τὰ O, 1, καὶ ἐπεξεύχϑω & ΘΙ. καὶ ἐπεὶ παρ-
αλληλόγραμμόν ἐστι τὸ OZ HI, καὶ ἴσα ἐστὶ τῇ ΖΝ
& NH, ἔστιν ἄρα καὶ ἃ XO ἴσα và XI. ὥστε τοῦ
ἐξ ἀμφοτέρων τῶν 4ΚΒ, ΒΖΓ τμαμάτων συγκειμέ-
vov μεγέϑεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ μέσας
τᾶς ΘΙ, ἐπειδήπερ ἴσα ἐντὶ τὰ τμάματα, τουτέστιν τὸ
X σαμεῖον. ἐπεὶ δὲ τοῦ uiv ABI' τριγώνου κέντρον
τοῦ βάρεός ἐστι τὸ E σαμεῖον, τοῦ δὲ συγκειμένου ἐξ
ἀμφοτέρων τῶν AKB, BAD τὸ X, δῆλον οὖν. ὅτι
10 ὅλου τοῦ τμάματος τοῦ ΑΒΓ τὸ κέντρον τοῦ βάρεόδς
ἐστιν ἐπὶ τᾶς X E, τουτέστι μεταξὺ τῶν X, E δαμείων.
ὥστ᾽ εἴη κα ἐγγύτερον τᾶς τοῦ τμάματος κορυφᾶς τὸ
κέντρον τοῦ ὅλου τμάματος ἢ τὸ τοῦ ἐγγραφομένου
τριγώνου γνωρέμως.

σι

186 ἐγγεγράφϑω πάλιν εἰς τὸ τμᾶμα πεντάγωνον εὐϑύ-
γραμμον γνωρίμως τὸ 4Κ BAI. καὶ ἔστω τοῦ μὲν ὅλου
τμάματος διάμετρος ἃ B, ἑκατέρου δὲ τῶν τμαμάτων
ἑχατέρα τἂν ΚΖ, AH διάμετρος. καὶ ἐπεὶ ἐν vo 4Κα
τμάματι ἐγγεγράπται εὐθύγραμμον γνωρίμως, τοῦ ὅλου

50 τμάματος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐγγύτερον τᾶς
κορυφᾶς ἢ τὸ τοῦ εὐθυγράμμου. ἔστω οὖν τοῦ μὲν
τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ O, τοῦ δὲ τρι-

2. OZH FVCr. ZN]ZHF. 8.NH]HHF. δ.
t0] addidi; om. F, uulgo. 6. ταῇ addidi; om. F, uulgo.
8. E] om. F; corr. AB. 9. BAT'| AT F. 10. τό] ad-
didi; om. F, uulgo. 18. ἢ τό] scripsi; ἡ Εἰ, uulgo. 15.
εἰξοςμαμα F; εἰς τὸ ABI' τμᾶμα Nizzius. 17. δέ] δὲ vov δὲ
F, expuncto δὲ τοῦ manu 2. τῶν AKB, BAI' τμαμάτων
Nizzius. 18. τἂν] των per comp. Εἰ; corr. Torellius. à1a-
peroog] Nizzius; διαμέτρων F, uulgo. 19. εὐθύγραμμον) vec
yovov Nizzius. 040v] om. B; delet Nizzius. 21. εὐθυγράμ-
μου] τριγώνου Nizzius. 22. 4ΚΒ τμάματος ed. Basil., To-
rellius.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 205

in linea H Δ.) sint Θ, I puncta, et ducatur linea ΘΙ.
ei quoniam parallelogrammum est 9ZHI*), et
NH —ZN,

erit etiam ΧΘ — XI. quare magnitudinis ex segmen-
ts AKB, BAT' compositae centrum grauitatis in
media linea ΘΙ positum est, quia segmenta aequalia:
sunt^) h. e. punctum X.) et quoniam trianguli 4BI'
centrum grauitalis est E, magnitudinis autem ex [seg-
mentis] 4KB, B.AT' compositae punctum X, adparet,
iotius segmenti 4/BI' centrum grauitatis in linea XE
positum esse), h. e. inter puncta X, E. quare cen-
irum grauitatis totius segmenti propius uerlici seg-
menti est quam centrum trianguli proprie inscripti.

rursus segmento proprie inscribatur figura recti-
linea quinque laterum 4K B.AI', et totius segmenti
diametrus sit B 4f, οὐ segmentorum [4 K B, B AI'] dia-
meiri sint KZ, AH. et quoniam segmento A4KB
figura rectilinea"^) proprie inscripta est, totius?) seg-
menti cenirum grauitatis uerlici propius estí quam
figurae") centrum [p. 202, 10 sq.]. sit igitur segmenti

1) Cfr. p. 208 not. 2.

2) U. Eutocius. inde colligitur etiam KZ - ΛΗ.

8) Nam cum BZ:ZA-- ΒΗ : ΗΓ, ert ZH 4 AT; ita-
que (Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 3)

ZN:NH-Ad:A4D-m1.

4) Nam AKZ — KZB, quia AZ —ZB, et BAH- AHT
el praeterea KZB -» BH A, quia bases KZ, 4H aequales sunt
(not. 2), et altitudo eadem (nam KZ 4 B4 4 4H). itaque
A AKB 5» BAT; tum u. quadr. parab. 17.

5) Debuit sic dici: quare cum segmenta aequalia sint, cen-
irum grauitatis magnitudinis compositae erit punctum X.

6) Cfr. I, 4 not. 1.

7) Debebat esse: triangulus et infra: trianguli.

8) Abesse debebat.

206 EHIIIEAS9N IZOPPOIIISN Β΄.

ydvov tO 1. πάλιν δὲ ἔστω τοῦ uiv Β4Γ τμάματος
τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Μ, τοῦ δὲ τριγώνου τὸ Ν

[καὶ ἐπεξεύχϑω τὰ Θ, M, I, N. ἴσα ἄρα ἐστὶν ἃ OX
τᾷ XM, & δὲ IT τᾷ TN. ἀλλὰ καὶ τριγώνῳ τῷ
δ ΑΚΒ ἴσον ἐστὶ τὸ BAI, τμᾶμα δὲ τὸ AK B τμάματι
cQ BAI. δεδείκται. γὰρ ἐν ἄλλοις, τὰ τμάματα ἐπί-
τριτα εἶμεν τῶν τριγώνων]. ἐσσείται δὴ τοῦ μὲν ἐξ
ἀμφοτέρων τῶν 4ΚΒ. ΒΑΓ τμαμάτων συγκειμένου
μεγέϑεος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ X, vov δὲ ἐξ ἀμ-
10 φοτέρων τῶν 4ΚΒ, BAI' τριγώνων τὸ T. πάλιν
οὖν ἐπεὶ τοῦ 4ΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι
τὸ E, τοῦ δὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν AKB, Β4Γ τμα-
μάτων τὸ X, δῆλον, ὡς [rot] ὅλου τοῦ 4ΒΓ τμάματος
τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΧΕ τμαϑείσας
15 οὕτως, ὥστε, ὃν ἔχει λόγον τὸ ABI τρίγωνον ποτὶ
τὰ συναμφότερα τὰ AKB, Β4Γ τμάματα, τὸν αὐτὸν
λόγον ἔχειν τὸ τμᾶμα αὐτᾶς τὸ πέρας ἔχον τὸ X ποτὶ
τὸ ἔλασσον τμᾶμα. τοῦ δὲ 4ΚΒΓ πενταγώνου κέν-
τρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ET εὐθείας τμαϑείσας
80 οὕτως, ὥστε, ὃν ἔχει λόγον τὸ ABI τρίγωνον ποτὶ
τὰ AKB, Β4Γ τρίγωνα, τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον τὸ

8. καὶ ἐπεξεύχϑω ad τῶν τριγώνων lin. 1 om. FVABCD Cr;

-o-—— Rr" ar Moo 8m coo 7

DE PLANORUM AEQUILIBBIIS 1I. 201

[4Κ B] centrum grauitatis Θ, trianguli autem 1. rur-
sus segmenti B.4I' centrum grauitatis sit M, irianguli
autem [B.4I'] N. magnitudinis igitur ex segmentis
AKB, BAI'compositae centrum grauitatis est X,
magnitudinis autem ex irianguls 4KB, ΒΖΓ com-
positae T.) rursus igitur quoniam trianguli 4BI'
centrum grauitatis est E, magnitudinis autem ex seg-
mentis 4K B, 4 Γ' compositae X, adparet, totius seg-
menti 4BI'cenirum grauitatis in linea XE positum
esse ita diuisa, uti, quam rationem habeat iriangulus
ABI' ad utrumque simul segmentum A4KB, BAI,
eam habeat pars lineae XE, cuius terminus sit X, ad
partem minorem?) [I, 8]. figurae autem quinque 18-
ilerum AK BAT' centrum grauitatis in linea ET po-
situm est ita diuisa, ut, quam rationem habeat irian-
gulus 4BI'ad triangulo 4K B, ΒΑΓ, eam habeat

1) U. Eutocius; et cfr. p. 205 nol. 4 et p. 204 lin. 3—7.

2) Nam triangulus 4B I' maior est segmentis 4KB -]- BAT"
(quad. parab. 21 et 17); tum cfr. I, 6—7.

3) Sit enim centrum segmenti 4BI' punctum y inter X, E
positum; erit magnitudinis relictae, segmentorum 4KXB, BAI
centrum grauitatis (X) in linea Ey producta ita positum, ut
sit yX: Ey — A^ ABI: segm. AKB -]- BAI. poterai idem
eliam ex I, 6—7 concludi (cfr. not. 2). eodem modo infra lin.
18 sq. ratiocinandum est.

habent Tartalea, ed. Basil. Torellius; sed manifesto recentissimo
tempore interpolata sunt; ex adnotatione Eutocii adparet, eum
baec uerba non habuisse, et ips& forma Archimedea non est
(ἐπεζεύχθω de punctis, τμᾶμα τὸ 4KB). 7. ἐσσείται δή]
scripsi; Ἔσται (comp.) δὲ F, uulgo, nisi quod ov» ed. Basil.,
Torellius, 11. κενερου F. 18. τοῦ] deleo. 14. ἐστιν ἐπί
Torellius; ἐστὸν om. F, uulgo. 17. egow F.

208 EIHTIEA€N IZOPPOIIISN Β΄.

τμᾶμα αὐτᾶς τὸ πέρας ἔχον τὸ T ποτὶ τὸ λοιπόν.
ἐπεὶ οὖν μείξονα λόγον ἔχει τὸ 4ΒΓ' τρίγωνον ποτὶ
τὰ ΚΑΒ, 4ΒΓ τρίγωνα ἢ ποτὶ τὰ τμάματα, δῆλον
οὖν, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος
ἐγγύτερόν ἐστι τᾶς B κορυφᾶς ἢ τὸ τοῦ ἐγγραφομένου
εὐθυγράμμου. καὶ ἐπὶ πάντων εὐθυγράμμων τῶν
ἐγγραφομένων ἐς τὰ τμάματα γνωρίμως ὃ αὐτὸς λόγος.

, e

Ἰμάματος δοϑέντος περιεχομένου ὑπὸ εὐϑείας xal
ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς δυνατόν ἐστιν ἐς τὸ τμᾶμα
εὐθύγραμμον γνωρίμως ἐγγράψαι, ὥστε τὰν μεταξὺ
εὐθεῖαν τῶν κέντρων τοῦ βάρεος τοῦ τμάματος καὶ
τοῦ ἐγγραφέντος εὐθυγράμμου ἐλάσσονα εἶμεν πάσας
τὰς προτεϑείσας εὐϑείας.

δεδόσϑω τμῶᾶῶμα τὸ ΑΒΓ, οἷον εἰρήται, ov κέν-
τρον ἔστω τοῦ βάρεος τὸ Θ, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς αὐτὸ
τρίγωνον γνωρίμως τὸ 4BI. καὶ ἔστω ἃ προτεϑεῖσα
εὐθεῖα ἃ Z, καὶ ὃν λόγον ἔχει & ΒΘ ποτὶ Ζ, τοῦτον
τὸν λόγον ἐχέτω τὸ ABI τρίγωνον ποτὶ τὸ K χωρίον.

20 ἐγγεγράφϑω δὴ εἰς τὸ 4ΒΓ τμᾶμα εὐθύγραμμον

γνωρίμως τὸ 4ΚΒ4Γ, ὥστε τὰ περιλειπόμενα vud-
ματα ἐλάσσονα εἶμεν τοῦ K. καὶ ἔστω τοῦ ἐγγρα-
φέντος εὐθυγράμμου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ E. φαμὶ
δὴ τὰν ΘΕ ἐλάσσονα εἶμεν τᾶς Z.

εἰ γὰρ μή, ἥτοι ἴσα ἐστὶν ἢ μείξων. ἐπεὶ ὃ τὸ
AKBAI' εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμά-
ματα μείξονα λόγον ἔχει, ἢ τὸ ABI τρίγωνον ποτὶ

2. πρὸς per comp. F; corr. Torellius, ut lin. 18, 19, 26, 27.
8. τά (alt.)] supra scriptum manu 1 F. 6. της 'B κορυφῆς
(comp.) F; corr. Torellius. 6. καί] supra scriptum manu 1

DE PLANORUM AEQUILIBRHIIS II. 209

pars lineae ET, cuius terminus sit T, ad reliquam
[L 8]J) iam quoniam triangulus 4BI' maiorem ra-
lionem habet ad triangulos Κα 4 B, 4BI' quam ad seg-
menta [Eucl V, 8], adparet segmenti 4BI' centrum
grauitatis propius esse uertici B quam centrum figu-
rae inscriptae.) et in ommibus figuris rectilineis seg-
mentis proprie inscriptis eadem ratio ualet.

VI.

Dato segmento comprehenso linea recta et sectione
eoni recianguli fieri potest, ut figura rectilinea seg-
mento proprie inscribatur, ita ut linea inter cenira
grauitalis segmenti et figurae inscriptae posita minor
sib quauis linea data.

datum 510 segmentum, quale diximus, 4 BI) cuius
centrum grauitalis sib 6, et ei inscribatur proprie
irnangulus 4BI* οὐ data linea sit Z, et sit
| A ABI': K — BO :Z.
iam segmento .4BI' proprie inscribatur figura recti-
linea 4 K BAI, iia ut spatia reliqua minora sint spa-
iio Κ᾽ οὐ figurae inscriptae centrum grauitatis sib E.
dico, lineam 6 E minorem esse linea Z.

. nam si non est, aui aequalis est aut maior. quo-
niam autem figura rectilinea 44K B AI' ad segmenta
reliqua maiorem rationem habet, quam triangulus

1) Cfr. p. 207 not. 3.
2) U. Eutocius.
3) U. Eutocius.ad prop. 4 p. 198, 20.

F. ευϑυγραμμ cum comp. ov F. 10. ἔστιν] addidi; om. F,
uulgo. 18.Ζ (prius) 42 FV. Z(alt)] EZFV. 22.
τοῦ] τὸ cum comp. ov F.

Archimedes ed. Heiberg. II. 14

210 EIIIIEAOQN IZOPPOIIISN Β΄.

K, τουτέστιν & ΘΒ ποτὶ Z, ἔχει δὲ καὶ ἃ ΒΘ ποτὶ Z
οὐκ ἐλάσσονα λόγον, ἢ ὃν ἔχει ποτὶ ΘΕ, διὰ τὸ μὴ
ἐλάσσονα εἶμεν τὰν & E
τᾶς Ζ, πολλῷ ἄρα τὸ

d E : AKBAT' εὐθύγραμμον

2 ποτὶ τὰ περιλειπόμενα

NN τμάώματα μείξονα λόγον
| Ζ

ἔχει, ἢ ἃ ΒΘ ποτὶ ΘΕ.
P

ὥστε ἐὰν ποιέωμες, ὡς
τὸ 4ΚΒ4Γ' εὐθϑύγραμ-
μον ποτὶ và περιλειπό-
μενα τμάματα, οὕτως
ip ἄλλαν τινὰ ποτὶ ΘΕ,
ἐπειδὴ τοῦ ABI' τμά-
15 ματὸς τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ O, ἐκβληϑεί-
645 τὰς EO καὶ ἀπολαφϑείσας τινὸς εὐϑείας ἐχού-
σας Aóyov ποτὶ τὰν EO, ὃν τὸ AKBAT' εὐϑύγραμ-
μον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμάματα, ἐσσείται μείξων
τᾶς ΘΒ. ἐχέτω οὖν ἃ ΗΘ ποτὶ ΘΕ. τὸ H ἄρα xév-
20 roov τοῦ βάρεξος τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν περιλειπομέ-
νῶν τμαμάτων᾽ ὅπερ ἀδύνατον. τᾶς γὰρ διὰ τοῦ H
ἀχϑείσας παρὰ τὰν 4Γ ἐπὶ τὰ αὐτά ἐστιν τὰ τμάματα.
δῆλον οὖν, ὅτι ἃ ΘΕ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς Z. ἔδει δὲ
τοῦτο δείξαι.

P. i

25 ζ΄.
Ζύο τμαμάτων ὁμοίων περιεχομένων ὑπό τε εὖ-
ϑείας καὶ ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς τὰ κέντρα τῶν
βαρέων εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τέμνοντι τὰς διαμέτρους.

1. « 95) ἡ ΘΒ Ἐς corr. Torellius. — zog (bis) per comp.
F; corr. Torellius, ut lin. 2, 6, 8, 11, 13, 17, 18, 19. 9. ποι-

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 211

ABI' ad K!), h. e. quam 6B:Z, et ΘΒ ad Z non
minorem ralionem habet, quam 6B: OE, quia GE
minor non est linea Z [πο]. V, 8], figura igitur
AKBAI' ad segmenta reliqua multo maiorem ratio-
nem habet, quam ΒΘ : 6 E. si igitur fecerimus rationi,
quam habet figura A4KB.1I' ad segmenta reliqua,
aequalem rationem, quam habet alia linea ad 6 E,
producta linea E6, quoniam segmenti 4BI' centrum
grauitaiis est 6, el abscisa linea ad EO eam habenti
rationem quam figura 4 K B AI' ad segmenta reliqua?)
maior erii [linea illaà] quam ΘΒ [Eucl V, 8] sit
igitur H8: 6E[— 4KB.AI*: segmenta reliqua]. ita-
que punctum H cenirum grauitatis erit magnitudinis
ex segmentis reliquis compositae?); quod fieri non
potesi. nam segmenta [omnia] in eadem parte lineae
per H lineae A4I' parallelae ductae posita erunt. ad-
parei igitur, esse 6 E — Z, quod erat demonstrandum.

VII.

Duorum segmentorum similium comprehensorum
lmea recta et sectione coni rectanguli centra graui-
latum diametros eadem ratione diuidunt.

— —

1) nam G4 8B4T 7 ABI' ei segmenia « K.
2) Cfr. I, 8.

8) I, 8; B p. 207 not. 3

4) I postul. 7; u. p. i79 not. 8.

ope» F, uulgo. Mirum est, litteram K bis usurpatam esse
in figura. 18. éco; per comp. F, uulgo. — 22. ἐστιν] scripsi;
ἥστην F, uulgo; ἐστι τήν ed. Baail. , ἐσσοῦντι Torellius. τὰ
τμάματα] Nizzius; τῷ τμηματι F, uulgo. 28. ovv] om. F,;
corr. Torellius. τὰς] bis F (eemel per coinp.). ZE ϑει
F. 48. Baqo» F. τεμνωντι F

14*

219 EIIIIEASN IZOPPOIIION Β΄.

ἔστω δύο τμάματα, οἷα εἰρήται, τὰ ABI, ΕΖΗ,

ὧν διαμέτροι αἱ B1, ΖΘ. καὶ ἔστω τοῦ uiv ABT

τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ K σαμεῖον, τοῦ δὲ

ΕΖΗ τὸ 4. δεικτέον, ὅτι εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τέμ-
ψοντι τὰς διαμέτρους τὰ K, Δ.

εἰ γὰρ μή, ἔστω ὡς ἃ ΚΒ ποτὶ ΚΩ͂, οὕτως ἁ

ΖΜ ποτὶ ΘΜ, καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς τὸ ΕΖΗ τμᾶμα

εὐθύγραμμον γνωρίμως, ὥστε τὰν μεταξὺ τοῦ κέντρου

Z τοῦ τμάματος καὶ TOU

Z SRM éyygegouévov εὐϑυ-

! yotuuov ἐλάσσονα si-

uev τᾶς AM. καὶ ἔστω

τοῦ ἐγγραφέντος εὐϑυ-

γράμμου κέντρον τοῦ

Z 9 4 βάρεος τὸ Καὶ σαμεῖον.

ἐγγεγράφϑω δὲ εἰς τὸ

ΑΒΓ τμᾶμα τῷ ἐν τῷ

EZH ἐγγεγφραμμένῳ

A ». Ap εὐθυγράμμῳ ὁμοῖον

δεὐϑυγραμμον, τουτ-

ἕστιν ὁμοίως γνωρίμως, οὗ κέντρον τοῦ βάρεος τᾶς κορυ-

φᾶς ἐγγύτερον ἥπερ τὸ τοῦ τμάματος᾽ ὅπερ ἀδύνα-

τον. δῆλον οὖν, ὅτι rov αὐτὸν λόγον ἔχει & Β Καὶ ποτὶ

KZ, ὃν & ZA ποτὶ 40.

η΄.
Παντὸς τμάματος περιεχομένου ὑπὸ εὐϑείας τε καὶ
ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς τὸ κέντρον τοῦ βάρεος διαι-

4. 4] 4 F. τέμνοντι] scripsi; τεμνωντι F, uulgo. 6.
προς per comp. F; corr. Torellias ut lin. 7, 23, 94. 8. την
per comp. F; corr. Torellius. 18. ἐγγεγραμμένῳ εὐθυγράμμῳ]

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 213

duo segmenta, qualia diximus, sin& 48, ΕΖΗ,
quorum diametri sint B 7f, ΖΘ, et segmenti 4BI' cen-
irum grauitatis sil K, segmenti autem EZH punctum
44. demonstrandum, puncta K, 4 diametros eadem ra-
tione diuidere.

nam si minus, sit ΚΒ: K 41 — ZM: ΘΜ, ei seg-
mento ΕΖΗ inseribatur proprie figura rectilinea, ita
ui linea inter centra [grauitatis] segmenti οὐ figurae
inscriplae minor sib quam linea 44M [prop. 6]. et
figurae inscriptae centrum grauitatis sit 5 punctum.)
inscribatur autem segmento A4BI' figura rectilineà
figurae segmento EZH inscriptae similis, h. e. simi-
liter proprie [u. Eutocius], cuius centrum grauitatis
uertici propius erii quam centrum segmenti*); quod
fieri non potest [prop. 5] adparet igitur, esse

BK:K4-—ZA4: 489.

VIII.

Cuiusuis segmenti comprehensi linea recta ei sec-
lione coni rectanguli cenirum grauitatis diametrum

1) Cadet hoc punctum infra punctum 44 (prop. 5), sed Supra
M, quia 4E « AM (ex hypothesi).

2) Debuit sic dici: itaque centrum eius uertici | propius erit
ceti, et fortasse lin. 21 pro οὗ scribendum: τὸ οὖν. ceterum
hoe uerum esse, sic intellegitur: centrum figurae segmento
AB D^ inscriptae sit y erit igitur (prop. 8)

By:yd-— Z8: ΞΘ,
sed ZE : ΞΘ «C ZM: ΜΘ: itaque By: y4-« KB: B4, et y
supra K cadet.

τμάματι Eutocius. — 21. οὗ τό Nizzius. 22. τό] addidi; om.
, uulgo.

914 ἘΠΙΠΈΔΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΩΝ Β΄.

Qst τὰν τοῦ τμάματος διάμετρον, ὥστε εἶμεν ἁμιόλιον
τὸ μέρος αὐτᾶς τὸ ποτὶ τᾷ κορυφᾷ τοῦ τμάματος τοῦ
toti τᾷ βάσει.

ἔστω τὸ ΑΒΓ τμᾶμα, οἷον εἰρήται, διάμετρος δὲ

5 αὐτοῦ ἔστω ἁ. ΒΖ, κέντρον δὲ τοῦ βάρδος τὸ € σα-
μεῖον. δεικτέον, ὅτι ἁμιολία ἐστὶν ἃ ΒΘ τᾶς O4.

ἐγγεγράφϑω ἐς τὸ ABI' τμᾶμα γνωρίμως τρίγωνον

τὸ ABI, οὗ κέντρον τοῦ βάρεος ἔστω τὸ E. καὶ τε-

τμάσϑω δίχα ἑκατέρα τᾶν Β4, ΒΓ, καὶ ἄχϑων αἱ ΚΖ,

10 H4 παρὰ Mid BA. διαμέτροι ἄρα ἐντὶ τῶν AKB,

BALD τμαμάτων. ἔστω οὖν τοῦ μὲν AKB τμάματος
κέντῳον τοῦ βάρεος τὸ M, τοῦ δὲ BAT τὸ Ν, καὶ
ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ZH, ΜΝ, KA. τοῦ ἄφα ἐξ ἀμ-
φοτέρων τῶν τμαμάτων συγκειμένου μεγέϑεος κέντρον
16 τοῦ βάρεδς ἐστι τὸ X. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς & ΒΘ ποτὶ
G4, οὕτως & ΚΜ ποτὶ ΜΖ, καὶ συνϑέντι καὶ ἐναλ-
λάξ, ὡς & ΒΖ4 ποτὶ KZ, οὕτως & 4Θ ποτὶ ΜΖ, τε-
τραπλασία δὲ ἃ ΒΩ τᾶς KZ: τοῦτο γὰρ ἐπὶ τέλει
δεικνύται, οὗ σαμεῖον (^ τετραπλασίων ἄρα καὶ ἃ
20 210 τᾶς ΜΖ. ὥστε καὶ λοιπὰ ἁ ΒΘ λοιπᾶς τᾶς ΚΜ,

1. εἰμιολιον F, ἡμιόλιον. 8. τῷ βάσει] scripsi; ταν βασιν

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 215

segmenti ita diuidit, ut pars eius ad uerticem seg-
meni posita dimidio maior sit parte ad basim posita.

sit .4BI' segmentum, quale diximus, et diametrus
eius sib B/, ei centrum grauitatis punctum 6. , de
monstrandum, esse ΒΘ — ΘΖ.

segmento 4 BI' proprie inscribatur triangulus ABI,
cuius centrum grauitatis sit E. et lineae B.4, ΒΓ in
duas paries aequales [in punctis Z, ΗΠ] diuidantur, et
lineae B1 parallelae ducantur lineae KZ, ΗΖ. ita-
que diameiri sunt segmentorum A4KB, Β4Γ [p. 208
not. 2]. sit igitur segmenti 4K B centrum grauitatis
M, segmenti autem B.4I' punctum Ν [ofr. prop. 4],
et ducantur lineae ZH, MN, Καὶ 4. magnitudinis igitur
ex uiroque segmento compositae centrum grauitatis
est X [p. 205 not. 6 et not. 4]. et quoniam est

KM: MZ — ΒΘ: ΘΖ [cfr. prop. 7 et Eutocius],

et componendo [ΚΖ : ΖΜ — B:641; Eucl. V, 18]
ei uicissim [Eucl V, 16] B4: KZ — 40: MZ, sed
B4 — 4KZ (hoc enim in fine demonstratur, ubi est
signum d )!), erii 440 — 4 MZ. quare etiam quae

1) U. Eutocius.

F, uulgo. p οἷον] Torellius; ouotov » (comp) ως F, uulgo; οἷον
eg ed. Basil, C. 7. 4BA4 FV. - 8. ov τό Nizzius. 9. τᾶν] To-
rellius; τὰ FV; τῶν ulgo. BDI'] 4I' F; corr. ed, Basil. Post
BI'ed.Basil, Torellius addunt κατὰ τὰ Z H et ; post ἄχϑων: παρὰ
τὰν BA, quae uerba post H4 lin. 10 inserui. 10. HA] H F.
19. κέντρον») scripsi; ro xs»tQo» F, uulg.. N] HFV. 14.
TO κδντρον , uulgo. 16. πρὸς per comp. FE; corr. Torellius,
ut lin. 16, 17. 17. rug (per comp.) KZ F, uulgo; τὰν KZ
ed. Basil, Torellius; malui τὰς delere. οὕτως ἁ 40 ad KZ
lin. 18 om. F, uulgo; , suppleui ex Eutocio; minus recte Torel-
lius cum ed. Basil.: οὕτως & 6 4 ποτὶ (πρός ed. Basil.) τὰν MZ:
& δὲ ΒΖ τετραπλασίων τᾶς KZ. 19.9] 0 ηῖιος F, uulgo; τὸ Θ
Torellius; ὁ € ed. Basil; ego hic quoque Eutocium secutus sum,

216 EIHIIIEASN IZOPPOIIISN Β΄.

τουτέστι τὰς Z[X τετραπλασίων. καὶ λοιπὰ ἄρα συν-
ἀαμφοτέρα ἃ ΒΣ, XO τριπλασίων τᾶς XX. ἔστω τρυ-
πλασία & ΒΣ τᾶς ΣΙΞ. καὶ ἃ ΧΘ ἄρα τᾶς EX ἐστι
τριπλασία. καὶ ἐπεὶ τετραπλασίων ἁ Β4 τᾶς ΒΣ' καὶ
5 γὰρ τοῦτο δεικνύται᾽ ἃ δὲ ΒΣ τᾶς Σ᾿ τριπλασίων,
ἃ &B ἄρα τᾶς Β4 τρίτον μέρος [ἐστίν]. ἔστιν δὲ καὶ
& ΕΖ τᾶς 48 τρίτον μέρος, ἐπειδήπερ κέντρον τοῦ
βάρεος τοῦ 4ΒΓ' τριγώνου ἐστὶ τὸ E. καὶ λοιπὰ ἄρα
& ΞΕ τρίτον. μέρος τᾶς ΒΖ. καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ὅλου
10 τμάματος κέντρον τοῦ βαάρεός ἐστι τὸ V σαμεῖον, τοῦ
ὃὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν AKB, Β4Γ τμαμάτων συγκει-
μένου μεγέϑεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Χ, τοῦ δὲ
ABI τριγώνου τὸ E, ἐσσείται, ὡς τὸ 4 ΒΓ τρίγωνον
ποτὶ τὰ καταλειπόμενα τμάματα, οὕτως ἃ XO ποτὶ
15 ΘΕ. τριπλάσιον δὲ τὸ 4ΒΓ' τρίγωνον τῶν τμαμάτων
[ἐπειδήπερ τὸ ὅλον τμᾶμα ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ 4ΒΓ
τριγώνου]. τριπλασία ἄρα καὶ ἃ XO τᾶς ΘΕ. ἐδεέχϑη
δὲ & XO τριπλασία καὶ τᾶς XE. πενταπλασία ἄρα
ἐστὶν ἃ ΞΕ τᾶς EO, τουτέστιν ἃ 4E τᾶς ΕΘ. ἴσα
20 γάρ ἐστιν αὐτῷ. ὥστε ἑξαπλασία ἐστὶν ἃ 40 τᾶς ΘΕ.
καί ἐντι τᾶς ΖΕ τριπλασία ἁ B. ἁμιολία ἄρα ἐντὶ
& ΒΘ τᾶς ΘΩ͂' ὅπερ ἔδει δείξαι.

9.
Ei κα τέσσαρες γραμμαὶ ἀνάλογον ἔωντι ἐν τᾷ
25 συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, καὶ ὃν ἔχει λόγον & ἐλαχίστα ποτὶ
τὰν ὑπεροχάν, ἃ ὑπερέχει ἃ μεγίστα τᾶς ἐλαχέστας,
1. λοιπα] scripsi; ἦοιπ cum comp. ον F, uulgo; λοιπῶν
Torellius; λοιπόν fortasse retineri potest; u. 'Hultschii index
Pappi p. 68. 2. τριπλασία] cum C et Nizzio; τριπλα (in fine

lineae) F, uulgo. 8. ZEN] EXE FV. ἐσεὶν & Eutocius.
6. ἐστέ» om. Eutocius, 12. βαρους F', uulgo. 18. ecce

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 211

relinquitur BO — 4K M — 4Z X.) quare etiam quae
relinquitur ΒΣ - X0— 8 ΣΧ. si ΒΣ «-- 3 Σ ΚΞ.
erii igitur etiam ΧΘ — 3,* X. οὖ quoniam est

B4 -—A4ABZ
(nam hoc quoque demonstratur [u. Eutocius]), et

BZX-32HA,
ert igitur ΚΒ τῷ 1 ΒΖ [u. Eutocius] sed etiam
ΕΖ -τῷ 528, quoniam trianguli 4BI' centrum gra-
uitatis est E [I, 14 coll. Eutoeio ad I, 15] quare
etiam quae relinquitur E E τὸ 1 ΒΖ. et quoniam to-
lius segmenti centrum grauitatis est punctum 6, magni-
iudinis autem ex utroque segmento 4K B, B AI' com-
positae centrum grauitatis X, et trianguli 4BI' punc-
tum E, erit ut triangulus A4BI' ad segmenta reliqua,
iia X6: ΘΕ [1,8]. sed triangulus A4BI' triplo maior
est segmentis?) quare etiam X6 — 86 E. sed etiam
demonstratum est esse X60 —3 X5. itaque 5 E — 5 EG,
h. e. 4E — b EO; nam A4 E — AE. quare 448 — 66 E.
el est B1 — 34 E. quare est ΒΘ — $ 671 [u. Eu-
iocius]; quod erat demonstrandum.

IX.

Si quattuor lineae in continua proportione propor-
lionales sunt, et quam habet rationem minima ad
differentiam maximae et minimae, eam linea aliqua

1) Nam. parallelogrammum est K MXZ.

2) Subtracto ΣΦ communi ab ΒΘ -ὦ 4ZX.

8) U. Eutocius, qui sequentia uerba lin. 16—17 non ha-
buisse uidetur.

per comp. F, uulgo. 14. προς (bis) per comp. Εἰ; corr. Torellius.
15. τριπλάσιον] scripsi; tQ«x4 cum comp. oe» F, uulgo, Eutocius.
99. ὅπερ ἔδει δείξαι)] οἱ FV A; om. nulgo; habet Eutocius.

918 ἘΠΙΠΕΔΩ͂Ν IZOPPOIIISN Β΄.

τοῦτον ἔχουσά τις λαφϑῇ ποτὶ τὰ τρία πεμπταμόρια
τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾧ ὑπερέχει & μεγίστα τᾶν ἀνάλογον τᾶς
τρίτας, ὃν δὲ ἔχει λόγον & ἴσα τῷ vs διπλασίᾳ τᾶς
μεγίστας τᾶν ἀνάλογον καὶ τᾷ τετραπλασίᾳ τᾶς δευ-
τέρας καὶ τᾷ ἑξαπλασίᾳ τᾶς τρίτας καὶ τᾷ τριπλασίᾳ
τᾶς τετάρτας ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ τε πενταπλασίᾳ τᾶς
μεγίστας καὶ τᾷ δεκαπλασίᾳ τᾶς δευτέρας καὶ τᾷ δεκα-
πλασίᾳ τᾶς τρίτας καὶ τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς τετάρτας,
τοῦτον ἔχουσά τις λαφϑῇ ποτὶ τὰν ὑπεροχάν, & ὑπερ-
ἔχει ἃ μεγίστα τᾶν ἀνάλογον τᾶς τρίτας, συναμφοτέραι
αἱ λαφϑείσαι ἐσσούνται δύο πεμπταμόρια τᾶς μεγίστας.
4 ἔστωσαν τέσσαρες γραμμαὶ ἀνάλογον ei
AB, BI, BZ, BE, καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον
& BE ποτὶ ΕΑ, τοῦτον ἐχέτω ἃ ΖΗ ποτὶ
τ τὰ τρία πέμπτα τᾶς 444, ὃν δὲ λόγον ἔχει
ἃ ἴσα τᾷ διπλασίᾳ τᾶς AB καὶ τετραπλασέᾳ
τᾶς ΒΓ καὶ ἑξξαπλασίᾳ τᾶς BA καὶ τριπλασίᾳ
H- τῶς BE ποτὶ τὰν ἴσαν τῷ πενταπλασίᾳ τᾶς
AB καὶ δεκαπλασίᾳ τὰς ΓΒ καὶ δεκαπλασίᾳ
τᾶς ΒΖ καὶ πενταπλασίᾳ τᾶς ΒΕ, τοῦτον ἐχέτω
τὸν λόγον & ΗΘ ποτὶ τὰν 42. δεικτέον,
ὅτι & ZO δύο πεμπταμόριά ἐντι v&g 48.
ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν ἐντι αἱ 48, ΒΓ,
Β4, BE, καὶ αἵ AI, UA, AE ἐν τῷ αὐτῷ
λόγῳ ἐντίί, καὶ συναμφότερος ἃ AB, ΒΓ
ποτὶ τὰν B, τουτέστιν ἁ διπλασία συν-
αμφοτέρου τᾶς 48, BI' ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς

1. πεμπτημορια F; corr. Torellius. 2. ἃ] ἃς F; corr. B.
τὰν) v F; ' addidit manus 2; τὰς 4, ed. Basil. 8. διπλασέᾳ)
B F, ui saepissime in hac propositione; corr. fere ed. Baail.;
ego:semper totum uerbum posui suadente Niszio. 4. ἀνά-
Aoyov| αναλογιαν F; corr. ed. Baail. 5. καὶ τῷ τριπλασίᾳ)

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 219

adsumpta habet ad ὃ differentiae maximae et tertiae
lmearum proportionalium, et quam habet rationem
linea aequalis duplici maximae proportionalium et
quadruplici secundae et tertiae sexies sumptae et iri-
pliei quartae ad lineam aequalem maximae quinquiea
sumplae et secundae decies sumptiae ei terliae decies
sumpiae ei quartae quinquies.sumptae, eam habet li-
nea aliqua adsumpta ad differentiam maximae et ter-
liae proportionalium, utraque simu] linea adsumpta $
erib maximae.!)

quattuor lineae 4B, BI, Bl, BE proportionales
sint?) et sii BE: EA — ΖΗ: ἢ 44, et

24B - 4B 4- 6B4 -3BE

:54B 4- 10I'B 4- 1084 -ἰ BB — ΗΘ: 44.
demonstrandum, esse ΖΘ -—— 2 4B.

nam quoniam 48, BI, B4, BE yproporüionales
sunt, eliam 4I', ΓΖ, 4E in eadem ralione sunt?)

οὐ erit 4B - BI: B 4, h. e.

1) Huius propositionis paraphrasim dedit Eutocius; demon-
siratio magis conspicua τι. Quaest. Árch. p. 48—850; breuiorem
demonstrationem ex ratione recentioris arithmetices dederunt
Sturmius p. 273, Nizzius p. 38.

2) H. e. sit 4B: ΒΓ -- BD:B4 B4: BE.

8) Nam cum sit 4B: ΒΓ — ΒΓ : BA, erit διελόντι:

AD:BI2rDI4:BA,
eti ἐναλλάξ: AT : ΓΔ — ΒΤ' : Ba. eodem modo, cum
BD:Ba4d-—B4A4:BB, erit ΓΔ: Bd -— 4E: BE
et D4:4É-—BA4:BE;
h. e. 4Γ Γά --Ἡ T T4:4E — AB: BD -— BDP:BdsB4A4:BE.

om. F. 8. πενταπλησια EF. 10. τᾶν] τας Εἰ; corr. Torellius.
11. πεμπτημορια F; corr. Torellius. 18. B4] om. F. 14.
προς (prius) per comp. Εἰ; corr. Torellius, ut hn. 26. 2422. ἁ
Z8] τα 470 F; cor. A. . 84. BE] 4E F. — 926. τὰν B .
ad ΒΓ' ποτί lin. ?7 suppleui; om. Εἰ, uulgo; διπλασίαν τὰς lin.
91 om. ed. Basil, Torellius.

: 10

220 EIIIIEASN IZOPPOIIISN Β΄.

B4 ἔχει τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἃ 441 ποτὶ τὰν AE,
καὶ συναμφότερος & 48, ΒΓ ποτὶ τὰν ΕΒ, καὶ
πάντα ποτὶ πάντα. τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει ἃ
A4 ποτὶ τὰν 4E, ὃν & ἴσα τᾷ τε διπλασία τᾶς AB"
καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς ΓΒ καὶ τᾷ 48 ποτὶ τὰν ἴσαν

t& ve διπλασίᾳ τᾶς Β4 καὶ τᾷ ΒΕ. ὃν δὲ λόγον

ἔχει ἃ ἴσα τᾷ ve διπλασίᾳ τᾶς AB καὶ và τετραπλασίᾳ
τὰς ΒΓ καὶ τᾷ τετραπλασίᾳ τᾶς Β4 καὶ τᾷ διπλασίᾳ
τᾶς BE ποτὶ τὰν ἴσαν và vs διπλασίᾳ τᾶς 48 καὶ
τῷ EB, τοῦτον ἕξει ἁ 4.44 ποτὶ ἐλάσσονα τᾶς 4Ε.
ἐχέτω οὖν ποτὶ 400. καὶ ἀμφοτέραι δὲ ποτὶ τὰς πρώ-
τας τὸν αὐτὸν ξξοῦντι λόγον. ἕξει οὖν ἃ Ο 4 ποτὶ
4724 τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν & ἴσα τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς
AB καὶ τετραπλασίᾳ τᾶς ΓΒ καὶ ἑξαπλασίᾳ τᾶς B4
καὶ τριπλασίᾳ τᾶς ΒΕ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς
διπλασίας συναμφοτέρας τᾶς 48, EB xol τετραπλα-
σίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ. Bzfl. ἔχει δὲ καὶ ἃ 44
ποτὶ ΗΘ τὸν αὐτὸν λόγον, Ov & πενταπλασία συν-
ἀμφοτέρου τᾶς 4B, ΒΕ μετὰ τᾶς δεκαπλασίας συν-
ἀμφοτέρου τᾶς ΓΒ, B ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε
τᾶς διπλασίας vüg AB καὶ τᾶς τετραπλασίας τᾶς ΓΒ
καὶ τὰς τριπλασίας τᾶς EB καὶ ἑξαπλασίας τᾶς B.
ἀνομοίως δὲ τῶν λόγων τεταγμένων, τουτέστιν ἐν τε-
ταραγμένᾳ ἀναλογίᾳ, δι’ ἴσου τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον
& O4 ποτὶ ΗΘ, ὃν ἃ πενταπλασία συναμφοτέρου τᾶς
AB, ΒΕ μετὰ τὰς δεκαπλασίας τᾶν ΓΒ, B ποτὶ
τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου
τᾶς 4B, BE καὶ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς
ΓΒ, B4. ἀλλ᾽ ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς πενταπλασίας

8. προς per comp. F; corr. Torellius, ut lin. 10, 11 (prius),
12, 18, 20, 26. — 5. καὶ τᾷ] scripsi; καὶ « F, uulgo. 6. τᾷ BE]

DE PLANORUM AEQUILIBBHIIS II. 221

2(4B - BD):2B4 — 44: 4Εῦ,
et 4B - BI: EB?), ei omnia ad omnia?) erit igitur
A44: 4E —24AB -- TB 4- 4B:2B4 4- BE.
ilaque quam rationem habet
24B -- 4BI'-- 4B4 -2BE:248B -|- EB,
eam habebit 7.4 ad lineam minorem linea ZfE [Eucl.
V, 8]. habeat ad lineam 7/O. et etiam utraeque si-
mul sumpiae ad primas eandem rationem habebunt.
quare erit
04:44 —24AB-4-4DTB--6BA4--3BE
: 2(AB -]- EB) 4- A(IL B -- B z)*)
sed etiam [ex hypothesi] erat
A4: H0 — 5(AB -]- BE) - 10(DB -- Bz)
:24B --- AT'B --35EB 4- 6B A.
proportionibus autem inaequaliter ordinatis, siue in
perturbata ratione, ex aequali erit [Eucl. V, 23]
O4: H0 —b5(AB -]- BE) 4- 10(L7B 4- Bz)
:2(A4B -ἰ BE) - A(I'B - B.
1) Erat (P. 219 not. 3) 4B: BI'—— AT': ΓΖ,
h. e. 4B-- BT: BU-— A4: ΓΖ. sed ΒΓ: Bd — ΓΔ: AE;
quare e ἴσου AB -- BD: ΒΩ -- Ad: AE.
2) BI': Bd — ADT: ΓΖ (p. 219 not. 3); unde
ΒΓ-Β4:.84 -ὰ 44: ΓΖ;
sed BA: BE — ΓΖΔ: 4E (p. 219 not. 8 quare
BD--B4:BE- ΑΔ: ΔΈ.
3) Erat 2(48- ΒΓ: ΒΔ τα ΒΤ Β4:ΒΕ-- A4: AE;
ium ἃ. Eucl. V, 12, unde intellegitur, πάντα ποτὶ πάντα esse:

πάντα τὰ ἡγούμενα πρὸς πάντα τὰ ἑπόμενα.
4) H. e. ἀνάπαλιν et συνϑέντι.

scripsi; ταν BE F, uulgo. 7. AB| B F; corr. AB. 10.
τῷ] scripsi; ταν PF, "uulgo. 11. 40] 496 T; corr. Torellius.
19. O4| 6.4 F; corr. ed. Basil. 14. xol τετραπλασίᾳ τᾶς ΓΒ]
om. F'; corr. ed. Basil, 88. O4] A F; corr. ed. Basil. πεν-

ταπλασία] 4E Ἐς corr. ed. Basil. 26. τῶν] scripsi; veg F,
uulgo.

222 ἘΠΙΠΈΔΩΝ ΙΣΟΡΡΟΙΠΩΝ Β΄.

συναμφοτέρου τᾶς 48. ΒΕ μετὰ τᾶς δεκαπλασίας συν-
ἀμφοτέρου τᾶς ΓΒ, Β4 ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε
τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς 48, BE καὶ τετρα-
πλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, Β4 λόγον ἔχει. ὃν
πέντε ποτὶ δύο. καὶ ἃ 40 ἄρα ποτὶ ΗΘ λόγον ἔχει,
ὃν πέντε ποτὶ δύο. πάλιν ἐπεὶ ἃ Of ποτὶ 4.4 τὸν
αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν & EB μετὰ τᾶς διπλασίας τᾶς
B4 ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ συγκειμένᾳ ἔκ τε τᾶς διπλασίας
συναμφοτέρου τᾶς 4B, BE μετὰ τᾶς τετραπλασίας
συναμφοτέρου τᾶς. ΓΒ, B, ἔστιν δὲ καί, ὡς & 4 δΐ
ποτὶ 4E, οὕτως ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς διπλασίας
τὰς AB καὶ τριπλασίας τᾶς ΓΒ καὶ τᾶς B4 ποτὶ τὰν
ἴσαν τᾷ τε EB καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶς Β4,, ἀνομοίως
οὖν τῶν λόγων τεταγμένων. τουτέστιν τεταραγμένας
ἐούσας vüg ἀναλογίας. δι᾽ ἴσου ἐστίν, ὡς & O1 ποτὶ
ΖΕ, οὕτως ἁ διπλασία vXg AB μετὰ τᾶς τριπλασέας
τᾶς ΒΓ καὶ & BA ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἐκ τᾶς δι-
πλασίας συναμφοτέρου τᾶς 48, BE καὶ τᾶς τετρα-
πλασίας τᾶν ΓΒ, ΒΖ. ὥστε καὶ ὡς & OE ποτὶ ἘΩ͂

20 ἐστιν, οὕτως & ΓΒ μετὰ τᾶς τριπλασίας τᾶς Β4 καὶ

διπλασίας τᾶς ΕΒ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου
vig 4.8, ΒΕ καὶ τετραπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ,
BA. ἔστιν δὲ καί, ὡς ἃ 4Ε ποτὶ ΕΒ, οὕτως & τε
ΑΓ ποτὶ IB: ἐπεὶ καὶ κατὰ σύνϑεσιν᾽ καὶ ἃ τρι-

25 πλασία τᾶς ΓΖ ποτὶ τὰν τριπλασίαν τᾶς 48, καὶ ἃ

διπλασία τὰς 4Ε ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς EB. ὥστε
καὶ ἃ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς 4Γ καὶ τριπλασίας τᾶς
ΓΖ καὶ διπλασίας τᾶς ΖΕ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ
τε τᾶς ΓΒ καὶ τριπλασίας τᾶς 4B καὶ διπλασίας τᾶς

2. προς per comp. F; corr. Torellius, ut lin. ὅ bis, 6 bis,
8, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 95, 26, 28. 6. O4] G4 F5

DE PLANORUM AEQUILIBRHIIS II. 229

sed 5 (AB -ἰ BE) -- 10(L B 4- B)

:2(A4B - BE) H- A(U'B 4- B4) —5:2.)
quare etiam 40 : ΗΘ — 5:2. rursus quoniam est
04d: 4A —— EB 4-2B4:2(AB-- BE)--A(LB-]- B 4)
[Eucl. V, 7 coroll], et etiam

A4: AE—2AB--8TB--BA4: EB4-2B4A,
inaequaliter ordinatis rationibus siue proportione per-
iurbata, ex aequali erit [Eucl. V, 23]

04:4E —24B--3BI 4- B4
:2(4B ]- BE) 4- 4(I'B 4- B 4).
quare etiam
OE: Ed — I'B-4-3BA-- ? EB
:2(A4B -]- BE) 4- A(LB 4- Β δ)
[ἀνάπαλιν Eucl. V, 7 coroll et ἀναστρέψαντι V, 19
eoroll et ἀνάπαλιν] sed etiam ΖΕ: EB — 4Γ: ΓΒ
(quoniam eiiam componendo
[est 4B: ΒΓ -τῥ 4B: EB])?) ——314:84B
- 224}: 2 ΕΒ.

quare eiiam
ADI 4-3I4-4-24E

:DB-4-34B-4-2EB[— AE: EB]2)

1) Cfr. Quaest. Arch.
2) Hinc enim διολόντο, (Eucl. V, 17) AD:BD-—4E:EB;
efr. Quaest. Árch. p. 147.
3) Nam AT: ΓΒ -—24E:2EB — ΓΔ : 48 (p.219 not, 3)
— 91'4: 8.41 B; unde ex Eucl. V, 12:
AT 4-24E -- 8T4: DB--2EB--34B —24E:2EB.

corr. B. ὃ. ταν συγκειμεναν F; corr. B. 10. 44d] 4B FE;
eorr. A. 18. B4] ΗΒ4 F; corr. À. 14. τεταγμένων] cs-
τμήμενων PV. τεταραγμένος F. 16. ουσας F, uulgo.

ἐστίν} om. F V. O4] 64 F; corr. ed. Basil. 19. τᾶν
scripsi; τὰς F, uulgo; συναμφοτέρου τὰς Torellius. QE
Scripsi; ΘΕ F, uulgo; EO ed. Basil., Torellius. 20. οὕτως
ως EF. 21. τριπλασίας] I" F, uulgo; & y ed. Basil, Torellius.

224 EIIIIEAS2N IZOPPOIIISN Β΄.

EB. ἀνομοίως οὖν πάλιν τῶν λόγων τεταγμένων,
τουτέστιν ἐν τεταραγμένα ἀναλογίᾳ, δι’ ἴσου τὸν «v-
τὸν ἕξει λόγον & ΕΟ ποτὶ EB, ὃν & 4Γ μετὰ τᾶς
τριπλασίας τᾶς l4 καὶ διπλασίας τᾶς 4Ε ποτὶ τὰν
διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς 4B, BE μετὰ τᾶς τε-
τραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, Β4. ὅλα ovv à
OB ποτὶ ΒΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν & ἴσα và τε
τριπλασίᾳ τᾶς 48 μετὰ τᾶς ἑξαπλασίας τᾶς ΓΒ καὶ
τῷ τριπλασίᾳ τᾶς ΒΩ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου
τᾶς 4B, BE μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου
τᾶς ΓΒ, Β4. καὶ ἐπεὶ αἵ ve EA, AT, IA ἐν τῷ
αὐτῷ λόγῳ ἐντὶ καὶ συναμφότερος ἑκάστα τᾶν EB,
B4, 4B, ΒΓ, ΓΒ, BA, ἐσσείται καί, ὡς & ΕΖ ποτὶ
44, οὕτως συναμφότερος & EB, Β4 ποτὶ συναμφό-
τερον τὰν 48, ΒΓ μετὰ τᾶς συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ,
BA. καὶ συνϑέντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἃ AE ποτὶ 44,
οὕτως συναμφότερος & EB, B μετὰ συναμφοτέρου
τᾶς 48, ΒΓ καὶ συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, Β4,, o ἐστι
συναμφότερος & EB , BA μετὰ τᾶς διπλασίας συν-
ἀαμφοτέρου τὰς 418, ΒΓ ποτὶ συναμφότερον τὰν BA,
BA μετὰ τᾶς διπλασίας τᾶς BI. ὥστε καὶ & διπλασία
ποτὶ τὰν διπλασίαν τὸν αὐτὸν ξξει λόγον, τουτέστιν

| ὡς ἃ ΕΑ ποτὶ 44, οὕτως & διπλασία συναμφοτέρου

vüg EB, B.4 μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου
τᾶς ΓΒ, B4 ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς
48, Β4 μετὰ τᾶς τετραπλασίας τᾶς ΓΒ. ὥστε καὶ

8. EO! ΕΘ Ἐς corr. ed. Basil. πρὸς per comp. F;
corr. Torellius, ut semper in hac pagina. ^4. τριπλασίας τᾶς]

om. Εἰ; corr. À. τα» addidi; om. F, uulgo. 7. OB] ΕΒ.

F; corr. ed. Basil. . 18. ἐσταν per comp. F, íulgo. 16. ὡς]
om. F; corr. À. & AE] & addidi; om. F, uulgo. 18.
ΓΒΔ FE; corr. Torellius. 19. EB A T, uulgo, ui lin. 24.

DE PLANORUM AEQUILIBRHIIS II. 220

rursus igitur rationibus inaequaliter ordinatis siue pro-
portione perturbata, ex aequali erit:
EO: EB — AT -3T4-4-24E
:2(4B -ἰ BE) H- 4(DB -4- Bz)
[Eucl. V, 28]. itaque [συνϑέντι Eucl. V, 18]:
OB: BE—83834A4B--6IB--3Bz4!
:2(A4B -ἰ BE) - 4(ΓΒ 4- Bzn.
ei quoniam lineae EZ, ZI, I'A et
EB 4- B4, 4B 4- ΒΓ ΓΒ BA
in eadem ratione sunt?) erit etiam
E4:44-—EB-- B4: 428 -Ἐ BU --I'B-4- BA?)
quare etiam componendo [Eucl. V, 18] erit
AE: 44 — EB--BZ-- 4Β ΒΓ ἜΓΒ- BZ
:B4 -- B4 -2BI' — EB-- BA Ὁ 2(4B 4- BI)
:Ba-4- ΒΑ -ἘΖΒΓ — Z2(EB-- BA) 4- (4B 4- BI)
: 2(B4 - B4) 4- 4 BI-.

——— ---

1) Nam AT 4-84 -4-24E-4-24B--2BE--4DB-4-4B4

CHÁB-K(AT-. DB) 8(14: B4) -E2(4E T ΒΕ) F8DBA- BA
—34B--3DTB--2B4-4-8DB-- B
4) H. e. Ed: d — AT: γα" EB E ΒΑ. 4B-- ΒΓ
τὸ 4B--BDI:IB--BA4

quod facile ex p. 919 not. 3 et Eucl. V, 19. concluditur.

3) Est enim

Ed:4D: IA-EB--Bd:4B-- BP: DB-4- BA,
quare
EA: AT -- DA — EB -- Bat (4B 4- BD) - (ΓΒ - B4);
cfr. Quaest. Arch. p. 48.

-- --- —— ——————————————————

20. 4BI'F, uulgo, ut lin. 25, p. 226, 8: ΓΒΔ; lin. 26: 4B 4;
p. 226 lin. 2 ABE; ibid. lin. 5: 484. 21. B4] 44A F. 94.
μετὰ τᾶς τετραπλασίας διὰ τᾶς AB, B lin. 26 repetita in Εἰ;
corr B. 26. ΓΒ] ΓῈ F; corr. Basil.

Archimedes ed. Heiberg. II. ᾿ 1ὅ

οι

σι

Ἣ

226 ἘΠΙΠΕΔΩ͂Ν ΙΣΟΡΡΟΙΠΠΙΩ͂Ν Β΄.

ὡς & E.4 ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς 414, οὕτως ἁ συγ-
κειμένα ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς 48,
B E καὶ τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, B ποτὶ
τὰ τρία πέμπτα τὰς συγκειμένας ἔκ vs τᾶς διπλασίας
συναμφοτέρου τᾶς 48, Β 4 καὶ τετραπλασίας τᾶς ΓΒ.
ἀλλ᾽ ὡς & ΕΑ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς 414. οὕτως
ἐστὶν ἃ EB ποτὶ ZH. καὶ ὡς ἄρα ἃ ΕΒ ποτὶ ΖΗ,
οὕτως ἃ διπλασία συναμφοτέρου τᾶς 4B, ΒΕ μετὰ
τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ZB, ΒΓ ποτὶ τὰ
τρία πέμπτα τᾶς συγκειμένας ἔκ ve τᾶς διπλασίας συν-
«ugorégov τᾶς 4B, Β4 μετὰ τᾶς τετραπλασίας τᾶς
ΓΒ. ἐδείχϑη δὲ καί, ὡς ἃ OB ποτὶ EB, οὕτως ἃ
τριπλασία συναμφοτέρου τᾶς 48, Bi μετὰ τᾶς ἕξα-
πλασίας τᾶς ΓΒ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου
τᾶς 48, ΒΕ καὶ τετραπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ,

B. καὶ δι’ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἃ OB ποτὶ ΖΗ, οὔ-

τῶς ἃ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς τριπλασίας συναμφοτέρου
τῆς 4B, B καὶ ἕξαπλασίας τᾶς ΓΒ ποτὶ τὰ τρία
πέμπτα τᾶς συγκειμένας ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφο-
τέρου τᾶς 48, B xal τετραπλασίας τᾶς ΓΒ. ἀλλὰ
ἃ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς τριπλασίας συναμφοτέρου τᾶς
AB, BA καὶ ἕξαπλασίας τᾶς ΓΒ ποτὶ μὲν τὰν συγ-
κειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς 48,
B 4 καὶ τετραπλασίας τᾶς ΓΒ λόγον ἔχει, ὃν τρία ποτὶ
δύο, ποτὶ δὲ τὰ τρία πέμπτα τᾶς αὐτᾶς λόγον ἔχει, ὃν

2. ve] v supra scripto e F. 8. προς per comp. F;
corr. Torellius, ut semper in hac pagina. 12. OB] AB F;
corr. ed. Basil. 16. OB] EB F; corr. ed. Basil. 22.
ἑξαπλασίας] sxvov ΕΥ͂Α; ς΄ uulgo. 28. AB.4 F, uulgo, ut
lin. 11, 18, 18, 20, 92; sic etiam lin. 8: ABE; lin. 9: 4BI*

lin. 15: ABE; ibidem: ΓΕΖ. 24. ποτί] mo F; corr. To-
rellius.

-——. |.

DE PLANORUM AEQUILIBRBIIS II. 29'l

quare etiam
AE:$44-2(EB-- Β4) --4(4B -4- BI)
: $(2(BA - BA) -ἰ 4 BI).

AE:$ 44 — EB:ZH.)

sed

quare etiam
EB:ZH —2(AB -ἰ BE) -- 4(4B 4- BI)
: (2 (48 -ἰ Bz) --AT'B).
sed demonstratum est, esse
OB: EB ——3(AB -- Bz) - 6I'B
:2(A4B -]- BE) 4- 4(ΓΒ - Bz).
itaque eiiam ex aequali [Eucl. V, 22] erit
OB:ZH —8(AB -- B4) -- 6I'B
:$ (2(4B 4- Β4)- 4ΓΒ). .
sed
3(A4B--B4)--6DB:2(AB-]- Bz--4I'B-—83:2?),
et
9 (AB -- B4) -- 61B:$ (2(4B -- Bzf) --AD'B)—

1) Quia ex hypothesi est EB: 4E — ϑ ΖΗ: ὃ 44; tum
ἐναλλάξ.
2) Eucl. VI, 16; nam
2 » (3(4B -ἰ B4) J- 6B) — 6(4B 4- Ba) - 12 ΓΒ
2» 9 »« (2(AB - B 4) -ἰ 4B).
quare

3(4B - Β4) - 6DB:4(2(4B -d- Bz) -]- 4D B)
m 8 : 2 »« ἢ 65:2.

» -
M xw.
2?» ὩΣ τ) *?.
“ὁ
»5,* * 5 id
. -

228 ἘΠΙΠΈΔΩΝ IZOPPOIIISN Β΄.

πέντε ποτὶ δύο. ἐδείχϑη δὲ καὶ ἃ 40 ποτὶ ΗΘ λόγον
ἔχουσα, ὃν πέντε ποτὶ δύο. καὶ ὅλα ἄρα & ΒΑ ποτὶ
ὅλαν τὰν ΖΘ λόγον ἔχει, ὃν πέντε ποτὶ δύο. εἰ δὲ

΄« , , , 4 e ^v e
τοῦτο. δύο πεμπταμοριὰ ἔντι & ZO τᾶς AB. οπερ
ἔδει δείξαι.

ι΄.

Παντὸς τόμου ἀπὸ ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς ἀφ-
αιρουμένου τὸ χέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐϑεέας
ἐστίν, ἃ διάμετρός ἐστι τοῦ τόμου, τόνδε τὸν τρόπον
κείμενον᾽ διαιρεϑείσας τᾶς εὐθείας εἰς ἴσα πέντε ἐπὶ
μέσου πεμπταμορίου, ὥστε τὸ τμᾶμα αὐτοῦ τὸ ἐγγύ-
τερον τᾶς ἐλάσσονος βάσιος τοῦ τόμου ποτὶ τὸ λοιπὸν
τμᾶμα τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν ἔχει τὸ στερεὸν τὸ
βάσιν μὲν ἔχον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μείξονος
τῶν βασίων τοῦ τόμου, ὕψος δὲ τὰν ἴσαν συναμφοτέρᾳ
τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ἐλάσσονος τᾶν βασίων καὶ τῷ μεί-
fov. ποτὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ τετρά-
yQvov τὸ ἀπὸ τᾶς ἐλάσσονος τῶν βασίων τοῦ τόμου,
ὕψος δὲ τὰν ἴσαν ἀμφοτέρᾳ τᾷ vs διπλασίᾳ τᾶς μεί-
ξονος καὶ τᾷ ἐλάσσονι αὐτᾶν.

ἔστωσαν ἐν ὀρθογωνίου κώνου τομᾷ δύο εὐϑείαι
αἱ AI, AE. διάμετρος δὲ ἔστω τοῦ ΑΒΓ τμάματος
ἃ ΒΖ. φανερὸν δή, ὅτι καὶ τοῦ 44 EI' τόμου διά-

1. ποτί (bis)] per comp. F; corr. Torellius, ut lin. 2 bis, 8.
A40] A F; corr. B. 23. BA] BO F; corr. AB. 4. πεμπτη-
μορια F; corr. Torellus. 448] 4B F; corr. AB. ὄὅπερ ἔδει
δείξαι] oc FV; ὅπερ ἔδει uulgo; corr. Torellius. 9. &] om.
F. τόν] addidi; om. F, uulgo. 14. ἡμίσους τᾶς usítovog
et lin. 18: ἡμίσους τᾶς ἐλάσσονος ed. Basil, Torellius. 15.
τῶν per comp. Εἰ; corr. Torellius, ut lin. 16. βασεων F, uulgo,
ut lin. 16; 18. 16. τὰ (alt.) vo F, uulgo; zo BD; corr. To-
rellius. 19. ἀμφοτέρᾳ] Scripsi; αμφοτερας F, uulgo; ἀμ-

.
^ ΦφΦωυ - - ἫΝ
.
ν

€
DE PLANORUM AEQUILIBRHIIS II. 229

sed demonstratum est etiam 40: ΗΘ — 5:2 [p. 222,5]
[itaque OB: ZH — 40: ΗΘ —55:2]. quare etiam
BA4:Z0-5:2 [Eucl. V, 12). itaque

ΖΘ —1£ AB;
quod erat demonstrandum.

Cuiusuis frusti') a sectione coni rectanguli ablati
centrum grauitatis in ea linea, quae diametrus est
frusti?), ita positum est: linea in quinque partes aequa-
les diuisa in media quinta parte ita positum, ut pars
eius minori basi propior ad reliquam partem eandem
rationem habeat, quam magnitudo solida basim ha-
bens quadratum maioris basis frusti, altitudinem autem
aequalem simul duplici basi minori et maiori basi ad
magnitudinem solidam basim habentem quadratum
basis minoris frusti, altitudinem autem lineam aequa-
lem simul duplici basi maiori et minori earum.

in seclione coni rectanguli duae lineae [parallelae]
sint 4ΓΓ, 4E; ei segmenti A4BI' diametrus sit. BZ.
adparet igitur, etiam frusti 444 EI' diametrum esse
ZH, quia lineae ΑΓ, 4E parallelae sunt lineae in

1) Intellegitar pars parabolae duabus lineis parallelis abs-
cis&, quasi ezium quoddam, uius duo latera parallela,
duo "partea para olae sunt; cfr. I,

2) H. e. linea, quae puncta media laterum parallelorum
coniungit; u. Eutocius.

— ————— —

φοτέραις Torellius. 21. ἐν] om. F; corr. Torellius. ^ Tope.
F; corr. Torellius. 28. δή] Torellius cum Eutocio; ds F,
uulgo. A4EI' ad ἁ ZH p. 280 lin. 1 om. F, uulgo; ex Eu-
tocio suppl. ed. Basil. (om. τόμου) et Torellius (Η Ζ . pro Z H).

e
2230 EIIIIITEA9N IZOPPOIIISN Β΄.

μετρός ἐστιν & ΖΗ, ἐπεὶ αἱ AT, 4 E παραλλήλοι ἐντὶ
τᾷ κατὰ τὸ B ἐραπτομένᾳ τᾶς τομᾶς. καὶ τᾶς ΗΖ
εὐθείας διαιρεϑείσας εἰς πέντε ἴσα μέσον ἔστω πεμπτα-
μόριον & ΘΚ. ἁ δὲ OI ποτὶ τὰν I K τὸν αὖτον ἐχέτω
λόγον, ὃν ἔχει τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ
τᾶς 412 τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν ἴσαν ἀμφοτέραις và
τε διπλασίᾳ τᾶς 4Η καὶ τᾷ AZ ποτὶ τὸ στερεὸν τὸ
βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ τᾶς 4H τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν
ἴσαν ἀμφοτέραις τᾷ διπλασίᾳ τᾶς AZ καὶ và AH.
δεικτέον, ὅτι τοῦ 44 EI' τόμου κέντρον ἐστὶ vov βά-
ρεος τὸ I δαμεῖον.

ἔστω δὴ τᾷ μὲν ΖΒ ἴσα ἃ ΜΝ, τᾷ δὲ ΗΒ ἴσα
& NO, καὶ λελάφϑω τᾶν μὲν ΜΝ, ΝΟ μέσα ἀνά-
Aoyov ἃ NA, τετάρτα δὲ ἀνάλογον & TN. καὶ ὡς ἃ
TM ποτὶ TN, οὕτως ἁ ΖΘ ποτί τινα ἀπὸ τοῦ I,
ὕπου ἂν ἐρχήται τὸ ἕτερον δαμεῖον᾽ οὐδὲν γὰρ δια-
φέρει, εἴτε καὶ μεταξὺ τῶν Ζ, Η εἴτε καὶ μεταξὺ τῶν
H, B: τὰν IP. καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίου κώνου τομᾷ
διάμετρός ἐστι τοῦ τμάματος & ZB, & ΒΖ ἤτοι ἀρχικά
ἐστι vüg τομᾶς ἢ παρὰ τὰν διάμετρον ἄκται, αἱ δὲ
AZ, 4H εἰς αὐτὰν τεταγμένως ἐντὶ καταγμέναι, ἐπειδὴ
παραλλήλοι ἐντὶ τᾷ ἐπὶ τοῦ B τᾶς τομᾶς ἐφαπτομένα.

1. ἐπεὶ oí] scripsi; om. F, uulgo; ed. Basil. et Torellius:
καὶ αἴ μέν. 2. ΗΖ] EZ FV. 4. προς per comp. F'; corr.
Torellius. 6. τᾶς] της F; corr. V(?). |. AZ] AZ EF; corr. B.
τετραγώνων (comp.) Εἰ; corr. Torellius. 7. 4H] ZH F; corr.
AB. 10. A44 FV. 12. ZB] ZE FV. 18. ἁ ΝΟ] α ΝΘ
F V. seing 9o F, uulgo. MN, NO] Torellius; MN6 F;
MNO uulgo. 14. MX F. τεταρτὴ F; corr. Torellius.

ἁ ΤΜ]) ἡ TM F, uulgo. 15. ποτέ] προς per comp. Εἰ; corr.

Torellius, ut semper posthac in hac prop. 16. «»] sa» F;
corr. B. ἕτερον] στερεὸν F; corr. B. 18, την Εἰ; corr. To-
rellius, ut lin. 20. 19. ἀρχγηκὴ F; ἀρχικὴ uulgo; ἀρχή ed.

Basil; ἀρχά Torellius. 20. τῆς τομῆς (comp.) F; corr. To-

ev
e

DE PLANORUM AEQUILIBBIIS II. 251

puncto B segmentum contingenti!) et linea HZ in
quinque partes aequales diuisa, media pars quinta sit
ΘΚ. et smi

OI:IK -α 425 »« (24H - AZ)

: AH? »« (342 -- AH)3)
demonstrandum, frusti 4.2 EI' centrum grauitatis esse
punctum J.

sib igitur MN — ZB, NO — HB, et fiat
ΜΝΊΝΞ Ξ ΝΞ : ΝΟ

et MN: NO— ΝΞ: TN et TM: TN — ΖΘ:ΙΡ,
sumpta a puncto I linea aliqua, quocunque alterum
punctum cadit; nam nihil interest, uirum inter Z, H
an inter H, B cadat. et quoniam in sectione coni rect-
anguli diametrus segmenti est Z B, aut axis est sectio-
nis aut diametro parallela?); et lineae 4Z, 41H ordi-
nate^) ad eam ductae sunt, quoniam lineae in B sec-
tionem contingenti parallelae sunt. quare erit

1) Ex Eutocio adparet, Archimedem diserte addidisse, esse
ΔΗ -— HE et AZ — ZI; tum ἃ. quadr. parab. 1, b. ceterum
uerba ἐπεὶ αἴ lin. 1 ad τᾶς τομᾶς lin. 9 uix genuina sunt, nec
ea habuisse uidetur Eutocius.

2) In ipsa propositione hane proportionem significat:

AI?» (24E-- AD): dE! »« (24T' -- AE),
sed cum 4Γ — 24Z, 4E —24H, erit
AT x (2A4E-- AD): AE* »« (24T -4- 4E)
-- A4AZ! »« (A4 H -- 242) : 44H? »« (44Z - 94H)
e 2 »« (24H - 42): 4H? 2« (242 -]- 4H).

3) U. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 51 nr. 14.
ἀρχικά est axis siue, ut apud Archimedem uocatur, διαμετρὸς
τᾶς τομᾶς; idem per διάμετρον lin. 30 significatur.

4) Cfr. Apollon. con. I def. 17.

rellius. ηκται F; corr. Torellius. 91. «vr cum comp. qv
F; corr. Torellius. εἰσι per comp. F, uulgo. κατηγμεναι
F, uulgo. 22. εἰσιν F, uulgo. ini] scripsi; απὸ F, uulgo.
εφαπτομεναι F V.

232 EIIIIEAS9N IXZOPPOIIISN Β΄.

εἰ δὲ τοῦτο, ἔστιν ὡς & 42 ποτὶ 4 H δυνάμει, οὕτως
& ZB ποτὶ BH μάκει, τουτέστιν ἁ ΜΝ ποτὶ ΝΑ͂
δυνάμει. καὶ ὡς ἄρα & AZ ποτὶ 4H δυνάμει, οὕτως
& ΜΝ ποτὶ ΝΕ δυνάμει. ὥστε καὶ μάκει ἐν τῷ αὐτῷ
λόγῳ. καὶ ὡς ἄρα ὁ ἀπὸ AZ κύβος ποτὶ τὸν ἀπὸ
ΔῊ κύβον, οὕτως ὁ ἀπὸ ΜΝ κύβος ποτὶ τὸν ἀπὸ
NA κύβον. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ὁ ἀπὸ AZ κύβος ποτὶ τὸν
ἀπὸ ΔΗ κύβον, οὕτως τὸ Β4Γ τμᾶμα ποτὶ τὸ 48ΒΕ
τμᾶμα, ὡς δὲ ὁ ἀπὸ ΜΝ κύβος ποτὶ τὸν ἀπὸ NÀ
κύβον, οὕτως ἃ ΜΝ ποτὶ NT. ὥστε καὶ διελόντι
ἐστὶν ὡς ὁ 44ΓὙΓΕ τόμος ποτὶ τὸ 48ΒΕ τμᾶμα, οὔ-
vog ἃ MT ποτὶ NT, τουτέστι τὰ τρία πέμπτα τᾶς
ΗΖ ποτὶ IP. καὶ ἐπεὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον
τὸ ἀπὸ AZ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν συγκειμέναν ἔκ
τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΖΗ καὶ τᾶς AZ ποτὶ τὸν ἀπὸ
AZ κύβον λόγον ἔχει, ὃν ἁ διπλασία τᾶς ΔΗ μετὰ

τᾶς AZ ποτὶ Ζ4, ὥστε καί, ὃν ἃ διπλασία τᾶς NA

μετὰ τὰᾶς ΝΜ ποτὶ ΝΜ, ἔστι δὲ καί, ὡς ὁ ἀπὸ AZ
κύβος ποτὶ τὸν ἀπὸ ΔΉ κύβον. οὕτως & MN ποτὶ
NT, ὡς δὲ ὃ ἀπὸ 4H κύβος ποτὶ τὸ στερεὸν vo βά-
σιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ A4H τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν
συγκειμέναν ἔκ τὸ τᾶς διπλασίας vüg 42 μετὰ τᾶς
ΔΗ, οὕτως & ΔΗ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἐκ vs τᾶς
διπλασίας τᾶς 42 καὶ τᾶς 44H, ὥστε καὶ ἁ TN ποτὶ

1. € 42] ἡ AZ F; corr. Torellius. 4. Post MN addunt
ed. Basil. οὔ Torellius: ' ποτὶ NO. ὡς δὲ a MN ποτὶ NO ua-
κει, οὕτως ἃ ΜΝ (πρός ed. Basil). 11. τόμος] scripsi; το-
μευς F, nulgo. 4B F V. 18. IP] NT F; corr. Torellius.
14. τῆς AZ Eutocius. 17. 0v] om. EF; corr. "Torellius. 19.
4H] AN F. 21. τὴν συγκειμένην (comp. zv») F; corr. To-
rellius, ut lin. 28; εὐθεῖαν addit Eutocius. 992. τᾶς διπλασίας
τᾶς] τῆς της FC; τῆς uulgo; διπλασίας add. ed. Basil., Cr; τεῆς
corr. Torellius. μετά] καί Eutocius. 24. διπλασίας] om. F;
corr. ed. DBasil.,

*evntv

e
.
δ ." **

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 2398

42": AH — ZB: BH),
h.e. MN? : N3??) itaque 4Z? : 4H? — MN?: ΝΕ".
quare eliam 42 : 4H — MN: NA. itaque etiam
425: 4H* — MN?: NA. sed |
AZ* : AH? — BAT: ABE [u. Eutocius],
el MN?*: NA? — MN:N T?) quare etiam dirimendo
[Eucl. V, 11]
AAT'E: ABE-— MT:NT-—&£HZ:IP^4
ei quoniam
AZ? »« (2 AH - AZ) : 42 —-2 AH -- AZ: AZ
—9NE-- NM:NM?),
v. 4 A5 97 AN

Za Ζ Z'
et 425: 4H? — MN:NT [lin. 5 sq. et 9],
e 4H?: AH? »« (2 AZ-- AH) — AH:2AZ-- AH
— TN:20N-F- TN,

᾿ς 1) Quadr. parab. 3; Apollon. con. I, 20. Zeitschr. f. Math,

hist. Abth. XXV p. 50 nr. 12.
2) Nam MN: NER — NA5:NO; unde

. MN: NO—- MN?: NA? (Eucl. V def. 10) —— ZB: BH.
3) Qua MN:NO—MN?:NAE?*-—-NAEA:TN;

t MN:NAE-—MN:NÀA;

tum multiplicando.
4) Nam MT:NT-—Z9O:IP (ex hypothesi) et ZO —3 HZ.
5) Nam 4Z: dH-— MN:N; tum u. Quaest. Arch. p. 48.
9 Nam 4Z:4H— MN:NAE-NO:TN (ex hypothesi,

ἐναλλάξ), tum u. Quaest, Arch. p. 48.

234 EIIIIEAS9N IZOPPOIIISN Β΄.

τὰν συγκειμέναν ἔκ ve τᾶς διπλασίας τᾶς ΟΝ καὶ τᾶς
TN, γέγονεν οὖν τέσσαρα μεγέϑεα, τὸ στερεὸν τὸ βά-
σιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ. AZ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν
συγκειμέναν ἔκ ve τᾶς διπλασίας τᾶς 4 H καὶ τᾶς AZ,
καὶ ὃ ἀπὸ 42 κύβος, καὶ ὁ ἀπὸ ΔΗ κύβος. καὶ τὸ
στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ 4Η τετράγωνον,
ὕψος δὲ τὰν συγκειμέναν ἔχ τε τᾶς διπλασίας τᾶς AZ
καὶ τᾶς 4H, τέτταρσι μεγέϑεσιν ἀνάλογον σὺν δύο
λαμβανομένοις τῷ τε συγκειμένᾳ ἔκ τε τᾶς διπλασίας
τᾶς NE καὶ τᾶς ΝΜ καὶ ἑτέρῳ μεγέϑει và MN
καὶ ἄλλῳ ἑξῆς τᾷ N T καὶ τελευταῖον τῷ συγκειμένᾳ
ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΝΟ καὶ τᾶς NT. δι’ ἴσου
ἄρα γενησέται, ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ
ἀπὸ AZ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε
τᾶς διπλασίας τᾶς 41H καὶ τᾶς AZ ποτὶ τὸ στερεὸν
τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ 4H τετράγωνον, ὕψος δὲ
τὰν συγκχειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς 42 xal τᾶς
ΖΗ, οὕτως ἃ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς NÀ
καὶ τᾶς ΜΝ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλα-
σίας τᾶς NO καὶ τᾶς NT. ἀλλ᾽ ὡς τὸ εἰρημένον
στερεὸν ποτὶ τὸ εἰρημένον στερεόν, οὕτως ἃ ΘΙ ποτὶ
IK. καὶ ὡς ἄρα & ΘΙ ποτὶ IK, οὕτως ἁ συγκειμένα
ποτὶ τὰν συγκειμέναν. ὥστε καὶ συνθέντι καὶ τῶν
ἁγουμένων τὰ πενταπλάσια' ἔστιν ἄρα ὡς & ZH ποτὶ
IK, οὕτως & πενταπλασία συναμφοτέρου τᾶς MN, NT
καὶ δεκαπλασία συναμφοτέρου τᾶς NE, ΝΟ ποτὶ τὰν
διπλασίαν τᾶς ΟΝ καὶ τὰν NT. καὶ ὡς & ZH ποτὶ
ZK ἐοῦσαν αὐτᾶς δύο πέμπτα, οὕτως à πενταπλασία

ο΄ 1. τὴν συγκειμένην (nv per comp.) Εἰ; corr. Torellius, ut
lin. 7, 14, 17. 2. μεγεθϑὴ F, uulgo. 4. διπλασ F in fine
lineage, uulgo. 6. καὶ o ἀπὸ AZ] om. FE; corr. ed. Basil.

DE PLANORUM AEQUILIBRHIIS II. 235

ergo quattuor!) magnitudines sunt, magnitudo solida
basim habens 42^, altitudinem autem 2 4H -ἰ- AZ,
425, 4 H?, magnitudo solida basim habens Z/ H*, alti-
tudinem autem 2 4Z - 4H, proportionales cum quat-
tuor magnitudinibus binis simul sumptis, 2 ΝΞ -- N.M,
MN, NT, 2NO-- NT?) itaque ex aequali [Eucl.
V, 22] erit

AZ? »«(24H -- 42): AH? 5« (2 AZ -- AH)

1 — 2NAÀ--MN:2NO-FNT.

A42? x (24H -- 42): AH? »« (2 AZ -- AH)

-- OI:IK.
quate eliam 2NX-- MN:2NO--NT-—OI:IK.
quare eliam' componendo [Eucl. V, 18] et anteceden-
- tibus quinquies sumptis:
ZH:IK —5(MN-- NT)4-10(NAÀ-4-NO):20N-IH-NT^)
1) Hinc paraphrasim dedit Eutocius, Árchimedis uerbis sua

admiscens; quare ex eo iam nihil ad Archimedis uerba emen-
danda petendum est.

Ae AH 42):AZ! AH* AH* c (34Z -- AH)

—9NZÀ5E--NM:MN:NT:2NO--NT.
8) Nam ZH — 56 K.

7. τῆς F; corr. Torellius, ut hinc semper in hac propósitione.
τὰς AZ] και της AZ FF. 9. τὴ τε συγκειμενὴ Εἰ; corr.
Torellius. 10. NM xat] NM και vov FA. ετερου με-
γεϑεος F'; corr. Torellius. τὰ] scripsi; τῆς F, uulgo; τάς
Torellius. 11. ἄλλῳ] scripsi; αλλ:ο F, uulgo. v&] (bis) ἡ
F; corr. Torellius. NT'F. συγκειμενὴ FE; corr. Torellius.
12. διπλασίας] β΄ Η F. 17. τὰς AZ &d τὰς διπλασίας lin. 18
om. Εἰ; corr. ed. Basil, nisi quod ἡ pro « praebet, quod corr.
Torellius. 19. την συγκειμένην F; corr. Torellius; et omnino
hinc nusquam in hac proportione « Doricum in codd. serua-
lum est, sed ubique ἡ irrepsit. 25. πενταπλασία] scripsi;
om. F, uulgo; πενταπλή ed. Basil, Torellius. 27. τάν] om.
F; corr. AB. 28. ουσαν F, uulgo.

236 ἘΠΙΠΈΔΩΝ IZOPPOIIISON Β΄.

συναμφοτέρου τᾶς ΜΝ, ΝΤ καὶ δεκαπλασία συναμ-
φοτέρου τᾶς NE, NO ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφο-
τέρου τᾶς ΜΝ, ΝΤ' καὶ τετραπλασίαν συναμφοτέρου
τᾶς NAE, ΝΟ. ἐσσείται οὖν, ὡς ΖΗ ποτὶ ZI, οὕτως
ἃ πενταπλασία συναμφοτέρου τᾶς MN, NT καὶ δεκα-
πλασία συναμφοτέρου τᾶς ΞΝ, ΝΟ ποτὶ τὰν συγᾶει-
μέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τὰς ΜΝ καὶ τετραπλασίας
τᾶς NA καὶ ἑξαπλασίας τᾶς ΟΝ καὶ τριπλασίας τᾶς
NT. ἐπεὶ οὖν τέσσαρες εὐϑείαι ἑξῆς ἀνάλογον αἵ
MN, ΝΞ, ON, NT, καί ἐστιν ὡς μὲν & NT ποτὶ
TM, οὕτως λελαμμένα τις ἃ PI ποτὶ τὰ τρία πέμπτα
τᾶς ZH, τουτέστι τᾶς MO, ὡς δὲ & συγκειμένα ἔκ τε
τᾶς διπλασίας τᾶς NM καὶ τετραπλασίας τᾶς INA καὶ
ἑξαπλασίας τᾶς ΝΟ καὶ τριπλασίας τᾶς NT ποτὶ τὰν
συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς πενταπλασίας συναμφοτέρου τᾶς
MN, NT καὶ δεκαπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΚΕΝ,
ΝΟ, οὕτως ἕτέρα τις λελαμμένα ἃ IZ ποτὶ τὰν ZH,
τουτέστιν ποτὶ τὰν MO, ἐσσείται διὰ τὸ πρότερον ἃ

ΡΖ δύο πέμπτα τᾶς MN, τουτέστι τᾶς ZB. ὥστε

κέντρον βάρεδς ἐστι τοῦ 4ΒΓ τμάματος τὸ P δαμεῖον.
ἔστω δὴ καὶ τοῦ 4BE τμάματος κέντρον βάρεος τὶ
X σαμεῖον. τοῦ ἄρα AZ EID τόμου ἐσδείται τὸ κέν-
τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ἐπ᾽ εὐθείας τᾷ ΧΡ τὸν αὖὐ-
τὸν ποτὶ αὐτὰν λόγον ἐχούσας, ὃν ἔχει ὁ τόμος ποτὶ
τὸ λοιπὸν τμᾶμα. ἔστιν δὲ τὸ 1 σαμεῖον. ἐπεὶ γὰρ
τᾶς μὲν ΖΒ τρία πέμπτα ἐστὶν ἃ ΒΡ, τᾶς δὲ HB

1. δεκαπλασία] τ FV; δεκαπλῆ uulgo. 2. Ν᾿ΞΙ, NO] scripsi;
ΝΞΟ Ἐς αὐἱρο; 4 NO Torellius; eadem omnialin. 4 3. MNT

F, uulgo, ut lin. 1, 5, p. 284, 25. 4. εσται per comp. F,
uulgo. ὡς αὖ 6. EN, NO] scripsi; SNO F; SNO uulgo.
9. εἰσιν «f Torellius cum Eutocio. 10. MN5S, ONT F,

uulgo. 11. ειἰλημμενη F, uulgo, ut lin. 17. 14. NO] N 6]

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 231

e£ ZH: ZK —5(MN -F NT) - 10(NA 4- NO)
: 2(MN 4- NT) 4- 4(NÀE -- NO),
quia ΖΚ — $ZH.') quare etiam [ἀνάπαλιν, addendo,
ἀνάπαλιν] erit
ZH:ZI —5(MN -- NT) 4- 10(8N 4- NO)

:2MN 4- 4ANX3 4-60N --3NT.
iam quoniam quattuor lineage in continua proportione
sunt, MN, ΝΞ, ON, .NT [ex hypothesi], et

NT:TM — PI:$ZH — PI:$ MO?)
et
ΝΜ 4- 4NAR -- 6NO-- NT:5(MN 4- NT)
--10(8€ N - NO) — IZ:ZH — IZ: MO,
erit propter praecedens [prop. 9]
ΡΖ —£$MN-£ZB.

quare punctum P centrum grauitalis est segmenti
ABI'[prop. 8]. sit autem segmenti Z/B E centrum
grauitatis punctum X. quare frusti 424 ET' centrum
grauitatis in linea XP producta positum erit, linea
abseisa eandem rationem habenti ad X P, quam habet
frustum ad reliquum segmentum [I, 8]. eiusmodi
autem est punctum 1. nam quoniam BP -—£€ZB et

1) Et
5(MN--NT) --10(N E--NO):2(MN--NT) --4(N E--NO)
— 5:2 (Eucl VI, 16).
9) Nan MO — MN-- NO—ZB--HB-—ZH.

FY. 16. MNT F, uulgo. ANO F, uulgo. 18. ecc
cum comp. αὐ Εἰ uulgo. v0] F; τά uulgo. 20. βαρους

F, uulgo, ut lin. 21, 93. 21. τμάματος sic F, uulgo. 2.
ἄρα] om. Εἰ; corr. Torellius. εσται per comp. k, ΝῊ
τὰ) scripsi; τας F, uulgo. 24. τόμος] scripsi; ropsvg uulgo.

238 ἘΠΙΠΈΔΩΝ IZOPPOIIISN Β΄.

τρία πέμπτα ἐστὴν ἃ BX, καὶ λοιπᾶς ἄρα τᾶς ΗΖ
τρία πέμπτα ἐστὶν & XP. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς μὲν ὁ

AAETD τόμος ποτὶ τὸ 4BE τμᾶμα, οὕτως & MT |,

ποτὶ NT, ὡς δὲ ἃ MT ποτὶ τὰν TN, οὕτως τὰ
τρία πέμπτα vig ΗΖ, ἅτις ἐστὶν ἃ XP, ποτὶ PI, ἐσ-
σείται ἄρα καὶ ὡς ὁ AAET τόμος ποτὶ τὸ ABE
τμᾶμα, οὕτως & XP ποτὶ PI. καί ἐστι τοῦ μὲν ὅλου
τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ P δαμεῖον, τοῦ δὲ
ABE κέντρον βάρεος τὸ X. φανερὸν οὖν, ὅτι καὶ
τοῦ 44ΕΓ τόμου κέντρον τοῦ βάρφεος τὸ I σαμεῖον.

8. τόμος] scripsi; τομεὺς Εἰ, uulgo. 6. HZ] ΝΖ FY.
εσται per comp. Εἰ, uulgo. 6. τόμος] seripsi; τομεὺς Εἰ, uulgo.
7. PI. καί ad κέντρον lin. 8 om. F; suppl. ed. Basil., Torellius,
njsi quod μὲν τοῦ praebent. 8. βαρους Ε΄, uulgo, ut lin. 9,
10. 10. ABET' FV. cóuov] scripsi; τομεως F, uulgo.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 239

DX— δ ΗΒ, erit igitur etiam XP — ὃ HZ [Eucl. I
xwv. évv. 3]. iam quoniam est
AAEDU: ABE-— MT:NT [p. 232, 11],

& MT: TN -ἰ HZ: PI —XP:PI, erit igitur etiam
AAED:ABE-IXP:PI. et totius segmenti cen-
irum grauitatis est P, segmenti autem ΖΒ E centrum
grauitatis punctum X. adparet igitur, frusti 44 ΕΓ
centrum grauitatis esse punctum 1.5)

1)l, 6—7 (Eutocius); poterat etiam ex I, 8 concludi; u.
p. 207 not. 3.

ARENABIUS.

Archimedes, ed. Heiberg. II.

Ψαμμέτης.

1 I Οἰόνται τινές, βασιλεῦ Γέλων, τοῦ ψάμμου τὸν
ἀριϑμὸν ἄπειρον εἶμεν τῷ πλήϑει" λέγω δὲ οὐ μόνον
τοῦ περὶ Συρακούδας τε καὶ τὰν ἄλλαν Σὶικελέαν

δ ὑπάρχοντος, ἀλλὰ καὶ τοῦ κατὰ πᾶσαν χώραν τάν τε
οἰκημέναν καὶ τὰν ἀοίκητον. ἐντί τινες δέ, οἱ αὐτὸν
ἄπειρον μὲν εἷμεν οὐχ ὑπολαμβάνοντι, μηδένα μέντοι
ταλικοῦτον κατωνομασμένον ὑπάρχειν, ὅστις ὑπερβάλ-

2 λει τὸ πλῆϑος αὐτοῦ. oí δὲ οὕτως δοξαζξόντες δῆλον

10 ὡς εἰ νοήσαιεν ἐκ τοῦ ψάμμου ταλικοῦτον ὄγκον συγ-
κείμενον τὰ μὲν ἄλλα, ἁλίκος ὃ τᾶς γᾶς ὄγκος, ἀνα-
πεπληρωμένων δὲ ἐν αὐτῷ τῶν τε πελαγέων πάντων
καὶ τῶν κοιλωμάτων τᾶς γᾶς εἰς ἴσον ὕψος τοῖς ὑψη-
λοτάτοις τῶν ὀρέων, πολλαπλασίως μὴ γνωσόνται μη-

15 δένα κα ῥηϑήμεν ἀριϑμὸν ὑπερβάλλοντα τὸ πλῆϑος αὐ-

8 τοῦ. ἐγὼ δὲ πειρασούμαι τοι δεικνύειν δι’ ἀποδειξίων
γεωμετρικᾶν, αἷς παρακολουϑήσεις, ὅτι τῶν ὑφ᾽ ἁμῶν
κατωνομασμένων ἀριϑμῶν καὶ ἐνδεδομένων ἐν τοῖς
ποτὶ Ζεύξιππον γεγραμμένοις ὑπερβάλλοντί τινες οὐ

2. οἱοντε Ἐ. 8. ἀριϑμόν] om. F; corr. manus 8, Wallis.
4. τοῦ] tov per comp. Εἰ; corr. ed. Basil. e. ἐντί ἐν F;
corr. Hiualtus; om. B; εἰ Wallis. — of] om. F; corr. Riualtus.
7. μὲν εἶμεν} qeviuev T; corr. Torellius. υπολαμβανῶωντι FC,
ed. Baal. 9. οὕτως] per comp. F. 10. νοεισαιεν F. 11.
τὰ μὲν ἄλλα] Gertzius; repe» Εἰ, uulgo; εἶμεν Wallis. αλι-

xav F, M» scripto ; uel comp. o» manu 1; corr. Wallis.
τὰς] meg corr. Wallis. γὰρ] γαρ F; corr. Wallis. 12.

Arenarius.

I. Sunt, qui existiment, rex Gelo, numerum arenae
infinitum esse magnitudine)); dico autem, non solum
eius, quae circa Syracusas οὐ reliquam Siciliam est,
sed etiam quae in qualibet regione siue culta siue in-
culta. ali autem infinitum eum esse non arbitrantur,
nullum uero tantum nominatum esse, ut multitudinem
eius superet. quod qui putent adparet, si globum ex
arena collectum esse fingant, cetera quantus globus
terrae sil, expletis autem et maribus omnibus et cauis
ierrae locis ad altitudinem aequantem montes altissi-
mos, multo minus eos intellecturos esse, nominari
posse numerum multitudinem eius superantem. ego
uero tibi demonstrare conabor demonstrationibus geo-
meiricis, quas cogitatione adsequi poteris, numerorum
a nobis nominatorum ei in libro, quem ad Zeuxippum
misimus, propositorum quosdam superare non modo

1) Hoc tritum prouerbium erat Graecis; Pindarus Ol. II,
98; Paroemiogr. Gr. p. 11, 167, 250 ed. Gaisford.

δὲ] Gerizius; om. F, uulgo. 18. e/g] addidi; om. F, uulgo.
πυψφηλωτατοις F V. 14. egeo» FC. μὴ γνωσόνται] scripsi;
μηγούυσιντε (ιν per comp.) F, uulgo. μηδένα κα ῥηϑήμεν
cq Opo»] scripsi; μηδὲν ἀκαρὴη ἔμμεναι F, uulgo. 16. τοι]
rov (comp.) F; corr. Hultschius, Gertzius. αποδειξεων Y,
uulgo. 18. x«rovouccusvo» F; corr V AB. ενδεδομὲν cum
comp. o» FC; ἐκδεδομένων Wallis. 19. υπερβαλλωντι F.

16*

244 ':TAMMITHZ.,

μόνον τὸν ἀριϑμὸν τοῦ ψάμμου τοῦ μέγεϑος ἔχοντος
ἴσον τᾷ γᾷ πεπληρωμένᾳ, καϑάπερ εἴπαμες, ἀλλὰ καὶ
τὸν τοῦ μέγεϑος ἴσον ἔχοντος τῷ κόσμῳ. κατέχεις δέ,
διότι καλείται κόσμος ὑπὸ μὲν τῶν πλείστων ἀστρο-
λόγων ἃ σφαῖρα, ὡς ἐστι κέντρον μὲν τὸ τᾶς γᾶς
κέντρον, ἃ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσα và εὐθείᾳ τῷ μεταξὺ
τοῦ κέντρου τοῦ ἁλίου καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς.

᾿φαῦτα γάρ ἐντι τὰ γραφόμενα, ὡς παρὰ τῶν ἀστρο-

λόγων διάκουσας. ᾿Δρίσταρχος δὲ ὁ Σάμιος ὑποϑεσίων
τινῶν ἐξέδωκεν γραφάς. ἐν αἷς ἐκ τῶν ὑποκειμένων
συμβαίνει τὸν κόσμον πολλαπλάσιον εἶμεν τοῦ νῦν
εἰρημένου. ὑποτιϑέται γὰρ τὰ μὲν ἀπλανέα τῶν ἄστρων

. καὶ τὸν ἅλιον μένειν ἀκίνητον, τὰν Ób γᾶν περι-

φερέσϑαι περὶ τὸν ἅλιον κατὰ κύκλου περιφέρειαν,
e Dd , , 4 κι
ὃς ἐστιν ἐν μέσῳ τῷ δρόμῳ κείμενος, τὰν δὲ τῶν
9 » j| 3. , “-
ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ
e 7 bd s .3 ev |
ἁλίῳ κειμέναν τῷ μεγέϑει ταλικαῦταν ἐΐμεν, ὥστε τὸν
L4 ? t M - € [4
κύκλον, καϑ ὧν ταν γᾶν ὑποτιϑέται περιφερέσϑαι,

'“τοιχύταν ἔχειν ἀναλογίαν ποτὶ τὰν τῶν ἀπλανέων

ἀποστασίαν, οἵαν ἔχει τὸ κέντρον τᾶς σφαίρας ποτὶ
τὰν ἐπιφάνειαν. τοῦτο γ᾽ εὔδηλον ὡς ἀδύνατόν ἐστιν.
ἐπεὶ γὰρ τὸ τᾶς σφαίρας κέντρον οὐδὲν ἔχει μέγεϑος,
οὐδὲ λόγον ἔχειν οὐδένα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τᾶς
σφαίρας ὑπολαπτέον αὐτό. ἐκδεκτέον δὲ τὸν ᾿᾽Δ4ρί-
σταρχον διανοείσϑαι τόδε᾽ ἐπειδὴ τὰν γᾶν ὑπολαμ-
βάνομες ὥσπερ εἶμεν τὸ κέντρον τοῦ κόσμου, ὃν ἔχει
λόγον & γᾶ ποτὶ τὸν ὑφ᾽ ἁμῶν εἰρημένον κόσμον,

9. εἰπαμὲν F, uulgo. 8. μεγεϑους F; corr. B. 6. «]
ῃ Ἐς corr. V. ἐκὶ om. Εἰ; corr. Wallis. ἴσα] om. F,
lacuna relicta; corr. Wallis. αι ευϑειαι F; corr. Riualtus.
8. ἔντι τὰ γραφόμενα, og] Scripsi; ev toic γραφομεναις F,

ARENARIUS. . 245

numerum arenae magnitudinem habentis aequalem ter-
rae ita expletae, uti diximus, sed etiam numerum arenae
magnitudinem habentis mundo aequalem. nouisti autem,
mundum a plerisque asirologis uocari sphaeram, cuius
centrum sit centrum terrae, radius autem aequalis lineae
inter cenira solis et terrae positae. haec enim uulgo
seribuntur, ut ex astrologis cognouisti. Aristarchus uero
Samius libros quosdam edidit, qui hypotheses inseri-
buntur, in quibus ex iis, quae supponuntur, adparet,
mundum mulüplicem esse, quam supra diximus. sup-
ponit enim, stellas fixas solemque immobilia manere,
lerram uero circum solem in medio cursu positum
secundum circuli ambitum circumuolui, sphaeram au-
iem stellarum fixarum circum idem centrum positam,
cireum quod &ol positus sit, tantam esse, ut circulus,
secundum quem terram circumuolui supponit, eam
rationem habeat ad distantiam stellarum fixarum, quam
habeat centrum sphaerae ad superficiem. hoc certe
fieri non posse manifestum esi. n&m quoniam cen-
irum sphaerae nullam magnitudinem habet, ne ratio-
nem quidem ullam ad superficiem sphaerae habere
putandum est. sed credendum est, Aristarchum hoc
sentire: quoniam supponimus, terram quasi centrum
mundi esse, sphaeram, in qua est circulus, secundum

uulgo. 9. διάκουσας]} scripsi; διακροῦσαρ F, uulgo. 04]

addidi; om. F, uulgo. 10. yoegag] scripsi; γραψας F, uulgo.
18. pe» cum comp. s» uel εν F. ακιτον ΕΒ. 16. ἀπλανῶν F,
uulgo, ui lin. 12: ἀπλανεξα. — 17. ὥστε] ecro ἘΠ; corr. éd. Ba-
8il.; ὡς Gertzius. 18. ὃ» «v F; corr. ed. Basi 90. tnc
F; corr. Wallis. 21. γ᾽ δ᾽ ed. Basil, Wallis, Torellius.
22. τό] τα F; corr. B. 28. ez cum comp. ἣν uel ἐν F. 34.
αὖτ cum comp. ov P; corr. B. 95. ὑπολαμβανομεν F, uulgo.
26. ὥσπερ εἶμεν] scripsi; ὡς περι μὲν F, uulgo.

246 'AMMITHZ.

τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον τὰν σφαῖραν, ἐν & ἐστιν ὁ
κύκλος, καϑ᾿ ὃν τὰν γᾶν ὑποτιϑέται περιφερέσθαι,
" ποτὶ τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν. τὰς γὰρ
ἀποδειξίας τῶν φαινομένων οὕτως ὑποκειμένῳ ἐναρ-
5 μόξει, καὶ μάλιστα φαινέται τὸ μέγεϑος τᾶς σφαίραξ,
ἐν & ποιείται τὰν γᾶν κινουμέναν., ἴσον ὑποτιϑέσϑαι
τῷ v9 ἁμῶν εἰρημένῳ κόσμῳ. φαμὲς δή, καὶ εἰ yé-
vovto ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεϑος,
ἁλίκαν ᾿Δρίσταρχος ὑποτιϑέται τὰν τῶν ἀπλανέων
10 ἄστρων σφαῖραν εἶμεν, καὶ οὕτως τινὰς δειχϑήσειν
τῶν ἐν ᾿Δρχαῖς τὰν κατονομαξίαν ἐχόντων ὑπερβαλ-
λόντας τῷ πλήϑει τὸν ἀριϑμὸν τὸν τοῦ ψάμμου τοῦ
μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ εἰρημένᾳ σφαίρᾳ, ὑποκειμέ-
8 νῶν τῶνδε᾽ πρῶτον μὲν τὰν περίμετρον τᾶς γᾶς εἶμεν
15 ὡς τ΄ μυριάδων σταδίων καὶ μὴ μείζονα, καίπερ τι-
νῶν πεπειραμένων ἀποδεικνύειν, καϑὼς καὶ τὺ παρ-
ακολουϑεῖς, ἐοῦσαν αὐτὰν ὡς À' μυριάδων σταδίων.
᾿ἐγὼ δ᾽ ὑπερβαλλόμενος καὶ ϑεὶς τὸ μέγεϑος τᾶς γᾶς
ὡς δεκαπλάσιον τοῦ ὑπὸ τῶν προτέρων δεδοξασμένου
80 τὰν περίμετρον αὐτᾶς ὑποτιϑέμαι εἶμεν ὡς τ΄ μυριά-
δων σταδίων καὶ μὴ μείζονα. μετὰ δὲ τοῦτο τὰν διά-

1. ἃ] ἡ F; corr. Wallis. 9. ὅν) ov ἘΠ; corr. ed. Basil.

3. «xÀc» cum comp. ov» Εἰ; corr. Wallis. y&Q] cum C et
Torellio; om. F, uulgo. 4, ὑποκειμένῳ] Gerizius; vxoxsiusv
cum comp. o» F, uulgo; ὑποκειμένων BD, Wallis, Torellius;
tum scribendum erat ὡς τούτων pro οὕτως. 5. μεγαϑος F.

6. υποτυϑεται F; corr. Riualtus. 1. φαμεν F, uulgo. 10.
φαεραν F. δειχϑήσει») Ahrens; δειχϑεισ cum comp. ἣν uel
w F, uulgo; δειχϑήσεσθαι Torellus. — 11. τὰν κατονομαξέαν)
scripsi; τῶν κατονομαξιων F, uulgo; τῶν κατονομασίαν Wallis,
Torellius. 19. ἀριθμόν] comp. EF. 18. μεγεϑους F; corr. B.
ayovto ΕΟ. τῆ εἰρηνενὴ F; corr. Wallis. 15. μοεριαδων F'; corr.
BC, ut lin. 17. μή] om. F; corr. Wallis. ueífovo] scripsi;
μειξζων F, uulgo; uei£o V, alii, ut lin. 21. καὶ περι Εἰ; corr.

Ep 070070707

ARENARIUS. 241

quem terram circumuolui supponit, ad sphaeram stel-
larum fixarum eam habere rationem, quam habeat
ierrà ad mundum, qui uulgo uocatur!) nam demon-
sirationes phaenomenorum eiusmodi suppositioni ad-
commodat, οὐ maxime magnitudinem sphaerae, in qua
terram moueri fingit, aequalem mundo, qui uulgo uoca-
iur, supponere uidetur. dicimus igitur, etiamsi ex arena
tanta sphaera colligatur, quantam Aristarchus sphaeram
stellarum fixarum esse supponat, sic quoque demon-
Sirari posse, quosdam eorum numerorum, qui in Prin-
cipiis nominati sint, magnitudine superare numerum
arenae magnitudinem habentis tali sphaerae aequalem,
his suppositis:

1. primum perimetrum terrae 3000000 stadia longam
esse nec maiorem; quamquam quidam?) , ut tu quoque
nouisti, demonstrare conati sunt, eam 300000 stadia
longam esse. ego uero [hunc numerum] excedens et
magnitudinem terrae magnitudini a prioribus propo-
sitae decies fere sumptae aequalem esse supponens
perimetrum eius 3000000 fere stadia longam nec ma-
lorem esse suppono.

—

1) Potius sententia Aristarchi haec fuisse uidetur, distan-
liam stellarum tantam esse, ut circulus, in quo terra moueatur,
cum 68 comparatus puncti locum obtineat; cfr. Arist. de di-
sant. 2; Ptolemaeus συντ. II, 5 p. 74. Cfr. Quaest. Arch.
p. 202; Nizze p. 210—11.

2) Significatur Eratosthenes; Bernhardy Eratosth. p. 57;
Quaest. Archim. p. 202.

Wallis. τινῶν] scripsi; tov F, uulgo. 16. t$] Riualtus;
τοι F, uulgo. 18. καὶ θείς] scripsi; καϑεῖς F, uulgo. 19.
δεκαπλασι cum comp. o» F; corr. Wallis. δεδοξασμένων Y;

corr. ed. Basil. 20. μυριάδων» M F; corr. Wallis.

(í

248 '3:TAMMITHZ.

μετρον τᾶς γᾶς μείζονα εἶμεν τᾶς διαμέτρου τᾶς
σελήνας, καὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου μείξονα εἶμεν

' τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς, ὁμοίως τὰ αὐτὰ λαμβάνων τοῖς
9 πλείστοις τῶν προτέρων ἀστρολόγων. μετὰ δὲ ταῦτα
5 τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας
ὡς τριακονταπλασίαν εἶμεν καὶ μὴ μείζονα, καίπερ
τῶν προτέρων ἀστρολόγων Εὐδόξου μὲν ὡς ἐννεα-
πλασίονα ἀποφαινομένον, Φειδία δὲ τοῦ ᾿ἀχούπατρος
ὡς [δή] δωδεκαπλααίαν, ᾿ριστάρχου δὲ πεπειραμένου
10 δεικνύειν, ὅτι ἐστὶν & διάμετρος τοῦ ἁλίου τᾶς δια-
μέτρου τᾶς δελήνας μείζων μὲν ἢ ὀχτωκαιδεκαπλασίων,
ἐλάττων δὲ ἢ εἰκοσαπλασίων᾽ ἐγὼ δὲ ὑπερβαλλόμενος
καὶ τοῦτον, ὅπως τὸ προκείμενον ἀναμφιλόγως ἡ δε-
δειγμένον, ὑποτιϑέμαι τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου τᾶς
16 διαμέτρου τᾶς σελήνας ὡς τριακονταπλασίαν εἶμεν καὶ
10 μὴ μείξονα. ποτὶ δὲ τούτοις τὰν διώμετρον τοῦ ἁλίου
μείζονα εἶμεν τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν
μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου τῶν ἐν τῷ κόσμῳ.
τοῦτο δὲ ὑποτιϑέμαι ᾿Δριστάρχου μὲν εὑρηκότος τοῦ
20 κύκλου τῶν ζῳδίων τὸν ἅλιον φαινόμενον ὡς τὸ εἰκο-
στὸν καὶ ἑπτακοσιοστόν, αὐτὸς δὲ ἐπισκεψάμενος τόνδε
τὸν τρόπον ἐπειράϑην ὀργανικῶς λαβεῖν τὰν γωνίαν,
εἰς ἂν ὁ ἅλιος ἐναρμόξει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ
11 τᾷ ὄψει. τὸ μὲν οὖν ἀκριβὲς λαβεῖν οὐκ εὐχερές ἔστι
96 διὰ τὸ μήτε τὰν ὄψιν μήτε τὰς χείρας μήτε τὰ ὄργανα,

1. exeun F; corr. B. 2. σελάνας B. 6. Ενδοξος,
Φειδιας καὶ περι F, corr. Wallis. 7. ἐννεαπλασιον
F; corr. Wis 8. ᾿ἀκούπατρορ] οἰδίοῦ nomen patriam Phi-
diae significans" Maduigius. 9. δή] delet Wallis. 10. τοῦ]
addidi; om. F, uulgo. 18. προκεέμενον»} Gertzius; ὑπογειμε-
vov F, uulgo. ἀναμφιλόγως] scripsi; αναμφιλογον F, uulgo.
14. τοῦ ἁλίου τᾶς διαμέτρου) om. F; corr. Wallis. 15. ce-

ARENARIUS. 249

2. deinde diametrum terrae maiorem esse diametro
lunae, et diametrum solis maiorem diameiro terrae,
rutsus eadem sumens, quae plerique asirologorum
priorum.

3. deinde diametrum solis aequalem esse diametro 9
lunae tricies sumptae nec maiorem; quamquam ex
astrologis prioribus Eudoxus eam diameiro lunae no-
uies sumptae aequalem esse declarat, Phidias autem -
duodecies sumptae, Aristarchus autem demonstrare
conatus est, diametrum solis maiorem esse diametro
lunge duodeuicies sumpta, minorem uero eadem uicies
sumpta [Aristarchus de distant. prop. 9]. ego uero
eum quoque excedens, ut propositum pro certo sit
demonstratum, suppono, diametrum solis aequalem
esse lunae diametro tricies fere sumpiae nec ma-
jorem.

4. praeterea autem diametrum solis maiorem esse 10
latere figurae mille laterum cireulo maximo mundi
inscriptae. hoc uero suppono, cum Aristarchus in-
uenerit, solem partem septingentesimam fere circuli
zodiaci esse adparere, ipse autem hoc modo scrutatus
per instrumenta eum angulum deprehendere conatus
sum, cui sol aptatur uerlicem in oculo habenti.
uerum quidem ipsum deprehendere difficile est, quia 11
neque uisus neque manus neque instrumenta, quibus

λάνας B. 16. μειζον F; corr. B. 19. εὑρηκότος] scripsi;
εἰρήκοτος F, uulgo. 20. τόν] τῶν per comp. F; corr. B.
23. εἰς ἂν] scripsi cum Wallisio (ἐς. àv); eg «v F, uulgo.
εχουσα Ἐς corr. BC. — 24. οὖν] scripsi; ouo. cum comp. ον Εἰ.
ἀκριβέρ! scripsi; exeifies F, uulgo. Aeg cum comp. s» uel
ιν F, ut p. 250 lin. 1, 8, 5, 7.

250 'UAMMITHE.

δι᾽ ὧν δεῖ λαβεῖν, ἀξιόπιστα εἶμεν τὸ ἀκριβὲς ἀπο-
11 φαινέσϑαι. περὶ δὲ τούτων ἐπὶ τοῦ παρόντος ovx
εὔκαιρον μακύνειν ἄλλως τε καὶ πλεονάκις τοιούτων
ἐμπεφανισμένων. ἀποχρὴ δέ μοι ἐς τὰν ἀπόδειξιν τοῦ
5 προκειμένου γωνέαν λαβεῖν, ἅτις ἐστὶν οὐ μείζων τᾶς
γωνίας, εἰς ἂν ὃ ἅλιος ἐναρμόξει τὰν κορυφὰν ἔχου-
ὅαν ποτὶ τῷ ὄψει, καὶ πάλιν ἄλλαν γωνίαν λαβεῖν,
ἅτις ἐστὶν οὐχ ἐλάττων τᾶς γωνίας, εἰς ἂν ὃ ἅλιος
12 ἐναρμόξει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει. τε-
10 ϑέντος οὖν μακροῦ κανόνος ἐπὶ πόδα ὀρϑὸν ἐν τόπῳ
κείμενον, ὅϑεν ἤμελλεν ἀνατέλλειν ὁ ἅλιος ood 69a,
καὶ κυλίνδρου μικροῦ τορνευϑέντος καὶ τεϑέντος ἐπὶ
τὸν κανόνα ὀρϑοῦ εὐθέως μετὰ τὰν ἀνατολὰν τοῦ
ἁλίου, ἔπειτ᾽ ἐόντος αὐτοῦ ποτὶ τῷ ὁρίέξοντι καὶ δυ-
16 ναμένου [τοῦ] ἀντιβλεπέσϑαι ἐπεστράφη ὁ κανὼν εἰς
τὸν ἅλιον, καὶ & ὄψις κατεστάϑη ἐπὶ τὸ ἄκρον τοῦ
κανόνος. ὁ δὲ κύλινδρος ἐν μέσῳ κείμενος τοῦ τε
ἁλίου καὶ τᾶς ὄψιος ἐπεσκότει τῷ ἁλίῳ. ἀποχωριξό-
μένος οὖν [τοῦ κυλίνδρου] ἀπὸ τᾶς ὄψιος, ἐν ᾧ ἄρξατο
80 παραφαινέσθϑαι τοῦ ἁλίου μικρὸν ἐφ᾽ ἑχάτερα τοῦ
18 κυλίνδρου, κατεστάθη ὃ κύλινδρος. εἰ μὲν οὖν συν-
ἔβαινεν τὰν ὄψεν ἀφ᾽ ἑνὸς σαμείου βλέπειν, εὐθειᾶν
ἀχϑεισᾶν ἀπ᾽’ ἄκρου τοῦ κανόνος, ἐν ᾧ τόπῳ ἁ ὄψις
κατεστάϑη, ἐπιψαυουσᾶν τοῦ κυλίνδρον & περιδχο-
25 μένα γωνία ὑπὸ τᾶν ἀχϑεισᾶν ἐλάσσων κα ἧς τᾶς
γωνίας, εἰς ἂν ὃ ἅλιος ἐναρμόξει τὰν κορυφὰν ἔχου-

δεῖ) scripsi; διὰ F, uulgo; om. ed. Basil, Riualtus,
Walliz, "Torel lius. ábiémoca] scripsi, monente "Hultechio;
αξιοπιστας F, uulgo. 6. ἐστὶν οὐ] scripsi; ect, F, uulgo;
ἔστι μή Wallis, Torellius. 6. εἰς] αἐς Ε΄, uulgo; ἐς Β, Ri-
ualtus, Wallis, Torellius 7. và] om. F; corr. Wallis. 8.
εἰς] ἃς F; corr. B (ἐρ). 9. εναρμοζη F; corr. B, ut lin. 6.

ARENARIUS. 951

ulendum est, satis οοχίβδ sunt ad uerum inuenien-
dum. de his uero rebus hoc tempore nihil adtinet 11
pluribus disputare, praesertim cum talia saepius illu-
strata sint. sed mihi ad demonstrationem propositi
salis est angulum deprehendere non maiorem angulo,
eui sol aptatur uerticem in oculo habenti, et rursus
alium angulum deprehendere non minorem angulo,
cui sol aptatur uerlicem in oculo habenti. itaque 12
longa regula in pede perpendiculari posita, qui in eius-
modi loco collocatus erat, unde sol oriens conspici pos-
set, el. cylindro paruo tornato et in regula posito per-
pendiculari statim post ortum solis, cum sol prope hori-
zontem esset, eb oculi ex aduerso eum intueri possent,
regula aduershs solem conuersa est, et oculus in extrema
regula positus est; cylindrus autem in medio solis et oculi
positus soli officiebat. cylindrus igitur, qui ab oculo sen-
sim remouebatur, ubi paululum solis in utraque parte
cylindri adparere coepit, inhibitus est. iam si oculus 13
re uera ab uno punoeto prospectaret, lineis ab extrema
regula, quo loco oculus positus erat, cylindrum eon-
tingentibus ductis angulus lineis ita duetis comprehensus
minor essei angulo, cui sol aptatur uerticem in oculo

τᾷ] τηα EF; corr. C. 10. πόδα] Gerizius; xs0o» F, uulgo.
11. eversià cum comp. o» Ε΄. 14. «ovrog Εἰ; corr. Wallis.
δυναμὲν cum comp. ov Εἰ; corr. B. 15. τοῦ] om. Wallis;
αὐτοῦ B. 16. & ὄψις] αψις F; corr. Riualtus. 18. απο-
χωριξομεν cum comp. og Εἰ; ἀποχωριξομένου B, editores. ego
malui τοῦ κυλίνδρου delere. 19. o9v] addidi; om. F, uulgo.

& ἐνάρξατο Gertzius; ἐν 9? 30. μικρ cum comp. ov F;
corr. Wallis. 21. οὖν] scripsi; ouo cum comp. ὡς P, uulgo.

24. επιψαυουσα F; corr. Riualtus. 26. ἧς] scripsi; εἰσ
F, uulgo; εἴη Wallis. 26. εἰς] eic F; corr. B (ig). εναρ-
μοζη F; corr. BC. τά» τα F; eorr. BC. εχούσας F; corr.
ed. "Basil.

252 '"PAMMITHZ.

σαν ποτὶ τῷ ὄψει, διὰ τὸ περιβλεπέσϑαι τι τοῦ ἁλίου
ἐφ᾽ ἑκάτερα τοῦ κυλίνδρου. ἐπεὶ δ᾽ αἱ ὀψίες οὐκ ἀφ᾽
ἑνὸς δσαμείου βλέποντι, ἀλλὰ ἀπό τινος μεγέθεος,
ἐλάφϑη τι μέγεϑος στρογγύλον οὐκ ἔλαττον ὄψιος,

ὅ καὶ τεϑέντος τοῦ μεγέϑεος ἐπὶ τὸ ἄκρον τοῦ κανόνος,
ἐν ᾧ τόπῳ ἁ ὄψις κατεστάϑη, ἀχϑεισᾶν εὐθειῶν ἐπι-
ψαυουσᾶν τοῦ τε μεγέϑεος καὶ τοῦ κυλένδρον & οὖν
περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν ἀχϑεισᾶν ἐλάττων ἧς τᾶς
γωνίας, εἰς ἂν ὃ ἅλιος ἐναρμόξει τὰν κορυφὰν ἔχου-
10 σαν ποτὶ τᾷ ὄψει. τὸ δὲ μέγεϑος τὸ οὐκ ἔλαττον τᾶς
ὄψιος τόνδε τὸν τρόπον εὑρισκέται' δύο κυλίνδρια
λαμβανέται λεπτὰ ἰσοπαχέα ἀλλάλοις, τὸ μὲν λευχόν, ᾿
τὸ δὲ οὔ, καὶ προτιϑένται πρὸ τὰς ὄψιος, τὸ μὲν λευ-
κὸν ἀφεστακὸς ἀπ᾽ αὐτᾶς, τὸ δὲ οὐ λεῦκὸν ὡς ἔστιν
16 ἐγγυτάτω τᾶς ὄψιος, ὥστε καὶ ϑιγγάνειν τοῦ προσ-
ὥπου. εἰ μὲν οὖν κα τὰ λαφϑέντα κυλίνδρια λεπτό-
τερα ἔωντι τᾶς ὄψιος, περιλαμβανέται ὑπὸ τᾶς ὄψιος
τὸ ἐγγὺς κυλένδριον, καὶ ὁρήται ὑπὸ αὐτᾶς τὸ λευκόν,

εἰ μέν κα παρὰ πολὺ λεπτότερα ἔωντι, πῶν, εἰ δέ xa
40 μὴ παρὰ πολύ, μέρεά τινα τοῦ λευκοῦ ὁρώνται ἐφ᾽
16 ἑκάτερα τοῦ ἐγγὺς τᾶς ὄψιος. λαφϑέντων δὲ τῶνδε
τῶν κυλινδρίων ἐπιταδείων πῶς τῷ πάχει ἐπισκοτεῖ
τὸ ἕτερον αὐτῶν τῷ ἑτέρῳ καὶ οὐ πλείονι τόπῳ. τὸ
δὴ ταλικοῦτον μέγεϑος, ἁλίκον ἐστὶ τὸ πάχος τῶν
25 κυλινδρίων τῶν τοῦτο ποιούντων μάλιστά πώς ἐστιν
οὐκ ἔλαττον τᾶς ὄψιος. ἁ δὲ γωνία & οὐκ ἐλάττων
τᾶς γωνίας, εἰς ἂν ὁ ἅλιος ἐναρμόξει τὰν κορυφὰν

1. παραβλεπέσϑαι Gertzius. 92. , age σημειον F; corr. Wallis.

4. ὄψιος] οψις Ἐς corr. Wallis; ἢ ὄψις Α, Riualtus; ἢ ῃ ἃ ὄψις
Gertzius. ὅ. τούτου τοῦ Gerizius. 6. αχϑειεια ευϑειὰα F' ; corr.

Wallis. επιψανουσα F;corr. Wallis. 9. εἰς] eic F; corr. B (&).
εναρμοξζη F ; corr. BD. eyovoag F; corr. izzius, 19. τὸ

ARENARIUS. | 208

habenti, quia ex utraque parte cylindri pars solis con-
spiejebatur. sed quoniam oculi &b uno puncto non
prospectant, sed ἃ magnitudine quadam, magnitudinem
quandam rotundam oculo non minorem sumpsi, et
magnitudine in exirema regula posita, quo loco ocu-
lus positus erat, lineis el. magnitudinem et cylindrum
contingentibus ductis, angulus lineis ita ductis com-
prehensus minor erat angulo, cui sol aptatur uerbicem
in oculo habenti. magnitudo autem oculo non minor 14
hoc modo inuenitur. sumuntur duo cylindri tenues
eadem crassitudine, alter albus, alter uero non, et
ante oculum ponuntur, ita ut albus ab eo aliquantum
absit, qui autem albus non est, oculo quam proximus
Sii ita ut etiam contingat faciem. si igitur cylindri,
quos sumpsimus, oculo tenuiores sunt, cylindrus pro-
pior ab oculo comprehenditur, et albus ab eo eonspi-
citur, si multo tenuiores sunt, totus, si minus, partes
quaedam albi ex utraque parte cylindri oculo propioris
conspiciuntur. his autem cylindris crassitudine aptis 15
sumptis alter alteri officit, nec maiori spatio. eius-
modi igitur magnitudo, qualis est crassitudo cylindro-
rum sie se habentium, haud dubie oeulo minor non
est. angulus uero non minor angulo, cui sol aptatur

μέν] τα pev F; corr. BC. 18. es] προς per comp. Εἰ; corr.
B. 14. à] og F; corr. C; ὅσον Nizzius. .1ὅ. ϑιγγὰν cum
comp. sg» uel ἐν Ε 160. xo] addidi; om. F, uulgo. — Aezro-
vaso ἘΠ: corr. Wallis. 19. μέν] xo Εἰ; corr. Wallis. — Aszro-
τεραν F; corr. Wallis. εοντι F; corr. Wallis. 21. τοῦ
ἐγγύς] τας (comp.) εγγυς F; corr. B. 22. κυλινδρῶν F; corr.
Wallie, ut lin. 25. επειταδιῶν ἘΠ; corr. Wallis. ἐπισκοτεῖ]
F; reünui cum Gertzio mutata interpunctione; ἐπισκοτεῖν C,
Wallis, Torellius. 26. ἃ οὐκ] scripsi; ἃ om. F, uulgo. 27.
εἰς] ew F5; corr. B (ἐρ).

254 13:TAMMITHZ.

ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει, οὕτως ἐλάφϑη. ἀποσταϑέντος
ἐπὶ τοῦ κανονίου τοῦ κυλίνδρου ἀπὸ τᾶς ὄψιος οὕτως
ὡς ἐπισκοτεῖν τὸν κύλινδρον ὅλῳ τῷ ἁλίῳ καὶ ἀχϑει-
σᾶν εὐθδειᾶν dm ἄχρου τοῦ κανόνος, ἐν à τόπῳ ἃ

5 ὄψις κατεσυάϑη, ἐπιψαυουσᾶν τοῦ κυλίνδρου, & περι-
ἐχομένα γωνία ὑπὸ vüv ἀχϑεισᾶν εὐθειᾶν οὐκ ἐλάτ-
τῶν γινέται τᾶς γωνίας, εἰς ἂν ὁ ἅλιος ἐναρμόξεε
16τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει. ταῖς δὴ γωνέαις
ταῖς οὕτως λαφϑείσαις καταμετρηϑείσας ὀρθᾶς γωνίας
10 ἐγένετο & ἐν τῷ στίέγῳ διαιρεϑείσας τᾶς ὀρϑᾶς εἰς ρξδ'
ἐλάττων ἢ ὃν μέρος τούτων, & ὃὲ ἐλάττων διαιρεϑ εί-
σας τᾶς ὀρϑᾶς εἰς σ΄ μείξων ἢ ἕν μέρος τούτων. δῆ-
λον οὖν, ὅτι καὶ ἁ γωνία, εἰς ἂν ὁ ἅλιος ἐναρμόξεε
τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει, ἐλάττων μέν ἐστιν
15 ἢ διαιρεϑείσας τᾶς ὀρϑᾶς εἰς ρξδ' τούτων ὃν μέρος,
μείξων δὲ ἢ διαιρεϑείσας τᾶς ὀρϑᾶς εἰς σ΄ τούτων
11 ἕν μέρος. πεπιστευμένων δὲ τούτων δειχϑησέται καὶ
& διάμετρος τοῦ ἁλίου μείξων ἐοῦσα τᾶς τοῦ χιλια-
γώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγρφα-
20 φομένου τῶν ἐν τῷ κόσμῳ. νοείσϑω γὰρ ἐπίπεδον
ἐκβεβλημένον διά vs τοῦ κέντρου τοῦ ἁλίου καὶ τοῦ
κέντρου τᾶς γᾶς καὶ διὰ τᾶς ὄψιος, μικρὸν ὑπὲρ τὸν
ὁρέξοντα ἐόντος τοῦ ἁλίου. τεμνέτω δὲ τὸ ἐκβληϑὲν
ἐπίπεδον τὸν μὲν κόσμον κατὰ τὸν 4ΒΓ κύκλον, τὰν
86 δὲ γᾶν κατὰ τὸν 4 ΕΖ, τὸν δὲ ἅλιον κατὰ τὸν ZH
2. ἐπί] «xo F; corr. ἢ. 3. ὡς] ὥστ᾽ Wallis, Torellius.
ἐπικρώτειῖν F; corr. ed. Basil. b. ἐεπιψαυουσ cum comp. o»
F; corr. Wallis. 7. eig] eic Εἰ; corr. B (ég). εναρμοξη F;
corr. B. 10. τῷ] addidi; om. F, uulgo; ἃ μὲν μείξων Wallis,
Nizzius. 11. διαιρεϑεισα vox oofoy (ων per comp. bis) F;
corr. ed. Basil. 18. eg] ας F; corr. B (&). ηλιος E;

corr. C. εναρμοζὴη F; corr. AB. 15. τὰς ὀρθᾶς] om. F;
corr. AB. εἰς) ες F; corr. ABC. ν μέρος] om. Εἰ; corr.

ARENABIUS. 255

uerlicem in oculo habenti, hoc modo sumptus est. cy-
lindro in regula it& ab oculo remoto, ut soli toti of-
ficiat, ei lineis ab exirema regula, quo loco oculus
positus erat, cylindrum conüngentibus ductis, angulus
lineis ita ductis comprehensus non minor est angulo,
cui. sol &ptatur uerticem in oculo habenti. itaque 10
eum angulis ita deprehensis angulum rectum metirer,
angulus ad punctum positus!) minor erat una parte,
reeto angulo in partes 164 diuiso, minor uero angulus
maior una parie, reclo angulo in partes 200 diuiso.
adparet igitur, etiam angulum, cui sol aptatur uer-
licem in oculo habenti, minorem esse una parte, an-
gulo recto in partes 164 diuiso, maiorem uero una
parte, recto angulo in partes 200 diuiso. his autem 17
confirmatis demonstrabimus, diametrum solis maiorem
esse latere figurae mille laterum circulo maximo mundi
inseriptae. fingatur enim planum per centra solis et
ierrae ei per oculum positum, cum sol paullo supra
horizontem est. et planum ita positum mundum in
circulo 4BI' secei, terram autem in circulo Z/ EZ,
solem autem in circulo ZH. et terrae centrum sit 6),

1) H. e. angulus, cuius uertex esí punctum illud in ex-
trema regula positum (lin..4), cum uertex anguli minoris (lin. 11)

exira regulum cadat propter cylindros: illos, in eo inueniendo
usurpatos. Quaest. Árch. p. 204.

ed. Basil. Deinde in F VCD repetuntur uerba: ἃ δὲ ἐλάττων
lin. 11 — ἕν μέρος lin. 15, ita ut plerique errores corrigantur
(hab. τᾶς ὀρθὰς lin. 15; ὃν μέρος lin. 15; ἅλιος lin. 18; pro
εἷς ἄν lin. 13: « 10a»; pro eg lin. 15: eig). 1T. δειχϑησέται)
BOripsi; δι’ co» F, uulgo; δεέκνυται Wallis, Torellius. 18.
χιλιαγωψιου F; corr. B. 20. τῶν] z«c F; corr. Wallis. 21.
τοῦ αλέου καὶ τοῦ κέντρου] addidi; om. F, uulgo; posi γᾶς
lin. 22 in B additur: καὶ τοῦ ἁλέου, et sic Wallis et Torellius..
28. ixfAnOév] scripsi cum Wallieio; ἐκβεβληθὲν F, uulgo.

256 '"PAMMITHZ.
κύκλον. κέντρον δὲ ἔστω τᾶς μὲν γᾶς τὸ 0, τοῦ δὲ
ἁλίου τὸ K, ὄψις δὲ ἔστω τὸ 4. καὶ ἄχϑωσαν εὐϑθείαι |
ἐπιψαυούσαι τοῦ ΣῊ κύκλου, ἀπὸ μὲν τοῦ 4 αἱ 4 4,
45Ξἶ: ἐπιψαυόντων δὲ κατὰ τὸ Ν καὶ τὸ Τ' ἀπὸ δὲ

5 τοῦ Θ αἴ ΘΜ, ΘΟ’ ἐπιψαυόντων δὲ κατὰ τὸ X καὶ
τὸ P. τὸν δὲ ABI κύκλον τεμνόντων α ΘΜ, 60

18 κατὰ τὸ 4 καὶ τὸ B. ἔστι δὴ μείξων & ΘΚ τᾶς AK,
ἐπεὶ ὑποκείται ὁ ἅλιος ὑπὲρ τὸν ὁρίξοντα εἶμεν: ὥστε

& γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν 4.4, 4 μείξων ἐστὶ |

10 τᾶς γωνίας τᾶς περιεχομένας ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ. ἁ δὲ
περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν 4 4, ΖΞ μείξων μέν ἐστιν
ἢ διακοσιοστὸν μέρος ὀρϑᾶς, ἐλάττων δὲ ἢ τᾶς ὀρθᾶς

8. 4] om. F; corr. AB. 4. ἐπιψανωντῶν F, αὐ lin. 5.

ARENARIUS. 251

Psolis autem K, oculus autem sit Zf. et ducantur li-
Pene circulum ZH contingentes, a puncto 241 lineae
M 4, 21,5, quae in punctis N, T contingant, a € autem
unctio 9 M, ΘΟ, quàe in punctis X, P contingant.
; lineae 9 M, ΘΟ circulum ABI' in punctis 4, B

im super horizontem esse. quare angulus lineis
B4, 241,5 comprehensus maior est angulo lineis 9 M,

P ; 4A maior esí quam pars ducentesima anguli

bti, minor autem una parie angulo recto in partes
1) Itaque (ΘΩ͂ K obtusus es& (si enim sol in horizonte

set, rectus esset, quia horizon inuenitur linea in puncto 4 ad

J € perpendiculari erecta).

: 2)H.e.[A4458 — ΜΘΟ ex Euclid. opt. 24.

6. X et P permutat Torellus. 6. 09M] 6H F; corr. ed. Ba-
sil ^7. OK] OK F; corr. ed. Basil. 9. v&»] vov per comp.
F; corr. Wallis. 10. τῶν per comp. Εἰ; cor BC. 6eN EF,
corr. ed. Basil. 11. rov per comp. F; corr. Wallis. Figu-
ram om. F lacuna relicta.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 17

peent. iam est ΘΚ» ΖΚ, quia suppositum est, so- 18

258 ΨΑΜΜΙΤΗΣ.

διαιρεθείσας εἰς ρἕδ΄ τούτων ἕν μέρος. ἴσα γάρ ἐστι
τᾷ γωνίᾳ, εἰς ἂν ὁ ἅλιος ἐναρμόξει τὰν κορυφὰν
ἔχουσαν ποτὶ τῷ ὄψει. ὥστε ἁ γωνία & περιεχομένα
ὑπὸ τῶν ΘΜ, ΘΟ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τᾶς ὀρϑᾶς διαιρε-

b ϑείσας εἰς ρξδ΄ τούτων ἕν μέρος, ἁ δὲ AB εὐϑεῖα
ἐλάττων ἐστὶ τᾶς ὑποτεινούσας 9v τμᾶμα διαιρεϑείσας
Ἰθτᾶς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας ἐς χνε΄. ἁ δὲ τοῦ
εἰρημένου πολυγωνίου περέμετρος ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ
κέντρου τοῦ A4BI' κύκλου ἐλάττονα λόγον ἔχει, ἢ τὰ
10 μδ΄ ποτὶ τὰ ζ΄, διὰ τὸ παντὸς πολυγωνίου ἐγγεγραμ-
μένου ἐν κύκλῳ τὰν περίμετρον ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέν-
τρου ἐλάττονα λόγον ἔχειν, ἢ τὰ uÓ' ποτὶ τὰ ζ΄. ἐπι-
στάσαι γὰρ δεδειγμένον ὑφ᾽ ἁμῶν, ὅτι παντὸς κύκλου

& περιφέρεια μείξων ἐστὶν ἢ τριπλασίων τᾶς διαμέτρου

16 ἐλάσσονι ἢ ἑβδόμῳ μέρει. ταύτας δὲ ἐλάττων ἐστὶν
ἁ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πολυγωνίου. ἐλάττονα
οὖν λόγον ἔχει & B4 ποτὶ τὰν ΘΚ, ἢ τὰ ια΄ ποτὶ
τὰ αρμη΄. ὥστε ἐλάττων ἐστὶν ἁ ΒΑ τᾶς 6 K ἢ ἕκα-
ΖΟτοστὸν μέρος. τᾷ δὲ ΒΑ ἴσα ἐστὶν ἃ διάμετρος τοῦ
20 ΣῊ κύκλου, διότι καὶ & ἡμίσεια αὐτᾶς & 4 ἴσα
ἐστὶ và KP. ἰσᾶν γὰρ ἐουσᾶν τᾶν ΘΚ, 0.4 ἀπὸ τῶν
περάτων καϑέτοι ἐπεξευγμέναι ἐντὶ ὑπὸ τὰν αὐτὰν
γωνίαν. δῆλον οὖν, ὅτι & διάμετρος τοῦ ΣῊ κύκλου
ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἑκατοστὸν μέρος τᾶς ΘΚ. καὶ à
205 EG T διάμετρος ἐλάττων ἐστὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ZH
κύκλου, ἐπεὶ ἐλάττων ἐστὶν ὁ 4 ΕΖ κύκλος τοῦ EH
κύκλου. ἑἐλαττόνες ἄρα ἐντὶ ἀμφοτέραι αἱ OT, ΚΣ

1. ἴσα γάρ] ισον (comp.) γωνίαι F; corr. Wallis. 2. εἰς]

cie F; corr. B (£g). 7. ABN F3 cor AC. — 9. τοῦ ABI'
κύχλου ad ἐκ τοῦ κέντρου lin. 11 repetuntur in F; τοῦ ΑΒΓ

κύκλου expunxit manus 1, ut uidetur. 19. eye F; corr. B.
15. ταύτας] scripsi; τας F, "uulgo; om. Riualtus, Torellius; ὥστε

ARENARIUS. 2069

164 diuiso. nam aequalis est angulo, cui sol aptatur
uerticem in oculo habenti. quare angulus lineis 9 M,
ΘΟ comprehensus minor est una parte recto angulo
in partes 164 diuiso, et linea 4B minor est linea sub
unam partem subtendenti, ambitu circuli 4B" in par-
les 656 diuiso. sed perimetrus polygoni illius ad ra- 19
dium circuli 4BI' minorem rationem habet, quam
44:7, quia perimetrus euiusuis polygoni circulo inscripti
ad radium minorem rationem habet, quam 44 : 7. no-
uisti enim ἃ nobis demonstratum esse, cuiusuis circuli
ambitum maiorem esse quam triplo maiorem dia-
meiro spatio minore, quam est septima pars [diametri]
[xvxA. u£vg. 3]. eo autem minor est perimeirus poly-
goni inscripti [περὶ 6g. καὶ xv. I p. 10, 23]. quare
BA:0K—11:1148. itaque ΒΑ, «414 9 K. sed lineae 20
B.4 aequalis est, diametrus cireuli Z H, quia
Ó4.—43BA-—KP
mam cum οϑὺ ΘΚ — 6 4, ab terminis earum perpen-
diculares ductae sunt [lineae ὦ 4, K P], ita ut sub eun-
dem angulum subtendant. adparet igitur, diametrum
eireuli ZH minorem esse quam τίν 9.K. et diametrus
E67 minor est diameiro circuli ZH, quoniam circu-
lus ZEZ minor est circulo ZH [hypoth. 2]. itaque -

1) H. e. A649 τὸ OG KP; Euel. I, 26.

Wallis. ἐλάττων ἐστίν ad molvyovíov lin. 16 addidi; om. F,
uulgo. 16. ελαττω relicta lacuna quinque litterarum F; corr.
Riualtus. 17. ἃ) ἡ α F; corr. B. 20. 2H] EH F; corr.
ed. Basil 21. 6 4] scripsi; τα ΘΑ F, uulgo. 22. περάτων
K A Gertzius. ἐπέξευγμέναι ἐντί] scripsi; ἐπιξευγνυμεναι F,
uulgo. 28. ZH] ABT' F; corr. B manu 2. 25. διάμε:
τρος] γωνιὰ ἘΠ; corr. Riualtus, B mg. ZH] ABH Ἐς corr.
B manu?2. 96. ZH] EH F; eorr. B.
17*

960 ΨΑΜΜΙΤΗΣ.

ἢ ἑκατοστὸν μέρος τᾶς ΘΚ. ὥστε ἁ OK ποτὶ τὰν
TZ ἐλάττονα λόγον ἔχει. ἢ τὰ ρ΄ ποτὶ τὰ αϑ΄. καὶ
ἐπεὶ & μὲν ΘΚ μείξων ἐστὶ τᾶς OP, ἁ δὲ ZT ἐλάτ-
τῶν τᾶς 4T, ἐλάττω ἄρα καὶ λόγον ἔχει ἁ ΘΡ ποτὶ
2 τὰν 4A T, ἢ τὰ ρ΄ ποτὶ τὰ QO'. ἐπεὶ δὲ τῶν OKP,
A4KT ὀρϑογωνίων ἐόντων αἱ μὲν KP, KT πλευραὶ
ἴσαι ἐντὶ, αἱ δὲ ΘΡ, AT ἀνίσοι, καὶ μείξων & ΘΡ,
& γωνία ἃ περιεχομένα ὑπὸ τῶν 4T, ΖΚ ποτὶ τὰν
γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν OP, OK μείξονα
10 μὲν ἔχει λόγον, ἢ & ΘΚ ποτὶ τὰν 4 K, ἐλάττω δέ, ἢ
& GP ποτὶ τὰν 4T. εἰ γάρ κα δυῶν τριγώνων ὀρϑο-
γωνίων αἱ μὲν ἁτέραι πλευραὶ αἵ περὶ τὰν ὀρϑὰν γω-
νίαν ἴσαι ἔωντι, αἴ δὲ ἁτέραι ἀνίσοι, & μείξων γωνία
τῶν ποτὶ ταῖς ἀνίσοις πλευραῖς ποτὶ τὰν ἐλάττονα
16 μείξονα μὲν ἔχει λόγον, ἢ & μείξων γφαμμὰ τᾶν ὑπὸ
τὰν ὀρϑὰν γωνίαν ὑποτεινουσᾶν ποτὶ τὰν ἐλάττονα,
ἐλάττονα δέ, ἢ & μείξων γραμμὰ τᾶν περὶ τὰν ὀρθὰν
22 γωνίαν ποτὶ τὰν ἐλάττονα. ὥστε ἃ γωνία & περιξχο-
μένα ὑπὸ τᾶν 4.4, 453 ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περι-
20 ἐχομέναν ὑπὸ τᾶν 60, 6M ἐλάττω λόγον ἔχει, ἢ ἁ
GP ποτὶ τὰν 4T, ἅτις ἐλάττω λόγον ἔχει, ἢ τὰ ρ΄
ποτὶ τὰ α4Ἅϑ΄. ὥστε καὶ ἃ γωνία à περιεχομένα ὑπὸ
τᾶν 44, 48 ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ
τῶν ΘΜ, ΘΟ ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ τὰ ρ΄ ποτὶ τὰ αϑ'.
26 καὶ ἐπεί ἐστιν & γωνία & περιεχομένα ὑπὸ τᾶν 444,
4A μείξων ἢ διακοσιοστὸν μέρος ὀρϑᾶς, εἴη κα ἃ

1. τᾶς] του per comp. F; corr. Riualtus (τῆρ). 8. eK
μείξων) scripsi; 6 KV ελαττων F, uulgo; 60K οὐκ ἐλάττων
Wallis, Torellius (ox iam A). 4. εχοι FB. 5. τάν] τα
F; corr. BC. ἐπεί) ἐπι F'; corr. Wallis. δέ] addidi; om.
F, uulgo. 6. 4K T τριγώνων ed. Basil, cett.; probat Gertzius.
7. ΘΡ, ἃ] OPA F; corr. Wallis. 8. γωνία ἃ] & addidi; om.

ARENARIUS. 961

0T --KZ-—141,9K.
quare 9K : P2 «100 : 99. et quoniam 6 K — 6P et
ΣῪ « 4T! erit igitur eliam ΘΡ: 4T « 100 : 99. et21
quoniam in iriangulis rectangulis ΘΚΡ 4K T latera
KP, KT aequalia sunt, latera autem O0 P, 4T in-
aequalia, et 6 P — 4175), angulus lineis Z/ T, 4 K com-
prehensus ad angulum lineis 9 P, 9 K comprehensum
maiorem rationem habet, quam ΘΙ: 4K, minorem
autem, quam 9 P: 4T. nam si in duobus triangulis
rectangulis duo laterum rectum angulum vcomprehen-
dentium aequalia.sunt, duo inaequalia, maior àngu-
lorum ad latera inaequalia" positorum ad minorem
maiorem rationem habet, quam maior linea earum,
quae sub angulum rectum subiendunt, ad minorem,
minorem autem quam maior linearum angulum rectum
comprehendentium ad minorem.) quare 22
LA4245:009M «— 9P: AT; sed 6P: AT — 100: 99.
quare etiam erit / 4215: OO M « 100:99. οὐ quo-
niam est ( 42715 41, E, erit eliam
LO8 M » qii, R.

1) Quia Z/ omnium linearum duo puncta circulorum zEZ,
ZH iungentium minima est; Nizze p. 214 not. p.

2) Quia ΘΚ» 4K; nam crura anguli lineis contingenti-
bus comprehensi eo maiora sunt, quo longius uertex anguli 8
centro circuli abest.

8) Demonstrationem huius propositionis geometricam de-
dit Commandinus fol. 62 (Quaest. Árch. p. 204—865), irigono-
metricam Nizze p. 214 not. y.

F, uulgo. τᾶν] τῶν per comp. F; corr. VD. 9. τᾶν] vov
per comp. Εἰ; corr. Wallis, ut lin. 19, 20, 25, p. 262, 1. — 15.
τὰν] τὰ F;corr. B. 16. υποτεινουσα ἘΠ; corr. Wallis. ps
-om. Εἰ; corr. B... 230. ΘΟ] 6» F; corr. Wallis. 28. τὰν
τῶν per comp. F; corr. VAD, ut lin. 24. περιεχομενα F.
26. εἴη xa] ἡ εἰκὰα F; corr. B; ἐσσεῖται Wallis, Torellius. — '

282 -— AVAMMETHZ.

γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ μείξων ἢ τᾶς
ὀρϑᾶς διαιρεϑείσδας ἐς δισμύρια τούτων QO' μέρεα.
ὥστε μείξων ἐστὶν ἢ διαιροϑείσας τῶς ὀρϑᾶς εἰς &'
καὶ y' τούτων ἕν μέρος. ἃ ἄρα ΒΑ͂ μείξων ἐστὶ τὰς
ὅ ὑποτεινούδσας ἕν τμᾶμα διῃρημένας τῶς τοῦ ABI' κύ-
κλου περιφερείας εἰς ὠιβ΄. τᾷ δὲ 4B ἴσα ἐντὶ ἁ τοῦ
ἁλίου διάμετρος. δῆλον οὖν, os. μείζων ἐστὴν ἁ τοῦ
ἁλίου διάμετρος τᾶς τοῦ' χιλιαγώνου πλευρᾶς.
1 IL Τούτων δὲ ὑποκειμένων δεικνύται καὶ τάδε"
10 ὅτι & διάμετρος τοῦ κόσμου τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς
ἐλάττων ἐστὶν 9 μυφιοπλασίων, καὶ ἔτι ὅτι & διάμετρος
τοῦ κόσμου ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων μυριάκις μυριά-
δὲς ρ΄. ἐπεὶ γὰρ ὑποκείται τὰν διάμετρον τοῦ ἁλέου
μὴ μείξονα εἶμεν ἢ τριακονταπλασίονα τᾶς διαμέτρου
16 τᾶς δελήνας, τὰν δὲ διώμετρον τᾶς γᾶς μείξονα εἶμεν
τὰς διαμέτρου τὰς δελήνας, δῆλον, ὡς ἁ διάμετρος
τοῦ ἁλίου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριακονταπλασίων τᾶς δια-
μέτρου τᾶς γᾶς. πάλιν δὲ ἐπεὶ ἐδείχϑη ἃ διάμετρος
τοῦ ἁλίου μείξων ἐοῦσα τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς
80 τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου τῶν ἐν
τῷ κόσμῳ, φανερόν, ὅτι ἃ τοῦ χιλιαγώνου περίμετρος
τοῦ εἰρημένου ἐλάττων ἐστὶν ἢ χιλιοπλασίων τᾶς δεα-
μέτρου τοῦ ἁλίου. ἁ δὲ διάμετρος τοῦ ἁλίου ἐλάττων
ἐστὶν ἢ τριακονταπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς.
25 ὥστε & περίμδτρος' τοῦ χιλιαγώνον ἐλάττων ἐστὶν ἢ
2 τριδμυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς. ἐπεὶ οὖν
& περίμετρος τοῦ χιλιαγώνου τᾶς μὲν διαμέτρου τᾶς
1. ἃ] om. F. 2. μερος F; corr. Wallis. 4. ἃ ἄρα BA]
Scripsi; αρῶ « ΒΑ F, uulgo. 6. sig] αἷς F; corr. B (&s).
τῷ] ταν F; corr. BVAD. 10. ὅτι] scripsi; oto» F, uulgo.

11. δτι) addidi; om. F, uulgo. — 19. μυριακ cum comp. ἧς F.
14. μείξονα] μειξ dum comp. av FP; corr. B. τριακονταπλαδσι

ABENABIUS 263

quare / OO M — 41, RE.) quare linea B.4 maior est
linea sub unam partem subtendenti, ambitu circuli A4BI'
in parles 812 diuiso. sed lineae 4B aequalis est dia-
meirus solis.?) adparet igitur?), diametrum solis maio-
rem esse lalere figurae mille laterum.

IL. His autem suppositis haec quoque demonsirari
possunt: diametrum mundi minorem esse diametro ter-
rae decies millies sumpta, οὗ praeterea, diametrum
mundi minus quam 10000000000 stadia longam esse.
nam quoniam suppositum est, diametrum solis non
maiorem esse quam diametrum lunae iriejies sumptam

[hypoth. 3], et diametrum terrae maiorem esse dia-

meiro lunae [hypoth. 2], adparet, diametrum solis mi-
norem esse quam diametrum terrae iricies sumptam.
rursus autem quoniam demonstratum est, diametrum
solis maiorem esse latere figurae mille laterum cireulo
maximo mundi inscriptae, manifestum est, perimetrum
figurae illius mille laterum minorem esse diametro
solis millies sumpta. diametrus autem solis minor est
quam diametrus terrae tricies sumpta. quare perimeirus
figurae mille laterum minor est diametro terrae iricies
millies sumpta. iam quoniam perimeirus figurae mille
laterum minor est diametro terrae (tricies millies

1) Nam 99 — 44, »« 20000.

2) H. e. diametrus circuli ZH; u. p. 268, 19.

3) Quia latera polygonorum inscriptorum, quo plura, eo
minora sunt; itaque latus figurae 812 laterum, quod minus est
linea 4B, maius est latere figurae mille laterum.

eum comp. ov F; corr. B. — 15. σελήναρ)] ελὲν cum comp. ας
F, ed. Basil, ut lin. 16. ueí(tova| μειξ cum comp. ov Εἰ;
eorr. B.

264 '"TAMMITHZ.

γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ τρισμυριοπλασίων, τᾶς δὲ δια-
μέτρου τοῦ κόσμου μείξων ἢ τριπλασίων' δεδείκται
γάρ τοι, διότι παντὸς κύκλου & διάμετρος ἐλάττων
ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος παντὸς πολυγωνίον τᾶς περι-
5 μέτρου, ὅ κα ἡ ἰσόπλευρον καὶ πολυγωνότερον τοῦ
ἑξαγώνου ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ κύκλῳ᾽ εἴη κα ἁ διά-
μετρος τοῦ κόσμου ἐλάττων ἢ μυριοπλασίων τᾶς δια-
μέτρου τᾶς γᾶς. & μὲν οὖν διάμετρος τοῦ κόσμον
ἐλάττων ἐοῦσα ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς
“10 δεδείκται. ὅτι δὲ ἐλάττων ἐστὺν ἁ διάμετρος τοῦ
κόσμον ἢ σταδίων μυριάκις μυριάδες ρ΄, ἐκ τούτου
8 δῆλον. ἐπεὶ γὰρ ὑποκείται τὰν περίμετρον τᾶς γᾶς
μὴ μείξονα εἶμεν ἢ τριακοσίας μυριάδας σταδίων, &
δὲ περίμετρος τᾶς γᾶς μείξων ἐστὶν d τριπλασία τᾶς
16 διαμέτρου διὰ τὸ παντὸς κύκλου τὰν περιφέρειαν μεέ-
ξονα siuev ἢ τριπλασίονα τᾶς διαμέτρου, δῆλον, ὡς
& διάμετρος τᾶς γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων ρ΄ μυ-
ριάδες. ἐπεὶ οὖν & τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάττων
ἐστὶν ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς, δῆλον,
20 ὡς ἃ τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων
4 μυριάκις μυριάδες ρ΄. περὶ μὲν οὖν τῶν μεγεϑέων
καὶ τῶν ἀποστημάτων ταῦτα ὑποτιϑέμαι, περὶ δὲ τοῦ
ψάμμου víós: εἴ κα T τι συγκείμενον μέγεϑος ἐκ τοῦ
ψάμμου μὴ μεῖξον μάκωνος, τὸν ἀριϑμὸν αὐτοῦ μὴ
95 μείξονα εἶμεν μυρίων, καὶ τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος
μὴ ἐλάττονα εἶμεν ἢ τετρωκοστομόριον δαχτύλου. ὑπο-

6. ὅ κα] ὁ και F; corr. Wallis. 2 addidi; om. Εἰ, uulgo.
ἰσόπλευρον) scripsi; εἰσ o 8€ πλευρὰν (αν per comp.) so» F,
uulgo; ἰσόπλευρον ἐόν Wallis, Torellius. πολυγωνότερον)
Scripsi; πολυγώνου ot. (per comp.) F, uulgo; πολυγωνεώτερον
Wallis, Torellius. 6. εγγεγραμμενου F; corr. Wallis. ἐν
τῷ κύκλῳ) scripsi; μὲν τοῦ wvxiov F, uulgo; μὲν τῷ κύκλῳ

ARENARIUS. 265

sumpta, maior autem quam iriplo maior diametro
mundi (nam demonstratum est, cuiusuis circuli dia-
meirum minorem esse tertia parte perimeiri cuiusuis
polygoni cireulo inscripti, quod aequilaterum sit ei
plus quam sex latera habeat)"), diametrus mundi minor
erii diametro terrae decies millies sumpta. ilaque
demonsiratum est, diameirum mundi minorem esse
diametro ierrae decies millies sumpta. diametrum
aulem mundi minus quam stadia 10000000000 longam
esse, inde adpuret. nam quoniam suppositum est, peri-
metrum terrae non plus quam 3000000 stadia longam
esse [hypoth. 4], et perimetrus terrae maior esí quam
iriplo maior diametro, quia cuiusuis circuli ambitus
maior est quam triplo maior diametro [xvx4. μετρ. 3],
adparet, diametrum terrae minus quam 1000000 sta-
dia longam esse. iam quoniam diametrus mundi minor
est diametro terrae decies millies sumpta, adparet, dia-
metrum mundi minus quam 10000000000 stadia longam
esse, de magnitudinibus igitur οὐ distantiis haec sup-
pono, de arena autem haecce: si ex arena magnitudo
colligatur non maior semine papaueris, numerum are-
nae non maiorem esse quam 10000, et diametrum se-
minis papaueris non minorem esse quadragesima parte

1) Nam perimetrus hexagoni triplo maior est diametro (Eucl.

IV, 5 πόρισμ.), et quo plura sunt latera, eo maiores sunt peri-
metri.

Wallis, Torellius. 9. τῶς γᾶς ad διάμετρος lin. 10 suppleui;
om. F, uulgo. 12. τάν] τὸν per comp. FD, ed. Basil. 18.
&] ἐστιν (comp.) & Εἰ; corr. Wallis. 14. 7] om. F; corr. AB.

16. τριπλασι cum comp. oy» Εἰ; corr. B. 21. μυριακ cum
comp. yc F. μὲν οὖν τῶν] addidi; om. F, uulgo. — 94. uei-
fov] μειξ cum comp. ὧν F; corr. B. — 96. τοτρωκοστομόριο»]

Ahrens cum V manu 2; τετρωκοντομορίον F, uulgo.

266 "BAMMITHZ.

τιϑέμαι δὲ τοῦτο ἐπισκεψάμενος τόνδε τὸν τρόπον᾽
ἐτέϑεν ἐπὶ κανόνα λεῖον μαχώνες ἐπ᾽ εὐϑείας ἐπὶ μίαν
κειμέναι ἁπτομέναι ἀλλαλᾶν, καὶ ἀνελάβον αἱ κε΄ μα-
κώνες πλέονα τόπον δακτυλιαέου μάκεος. ἐλάττονα οὖν
τιϑεὶς τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος ὑποτιϑέμαι ὡς τε-
τρωκοστομόριον εἶμεν δακτύλου καὶ μὴ ἐλάττονα, βου-
λόμενος καὶ διὰ τούτων ἀναμφιλογώτατα δεικνύσϑαι
τὸ προκείμενον.

III. Ἢ μὲν οὖν ὑποτιϑέμαι, ταῦτα. χρήσιμον δὲ

10 εἶμεν ὑπολαμβάνω τὰν κατονόμαξιν τῶν ἀριϑμῶν ῥη-

2
15

ϑήμεν, ὅπως καὶ τῶν ἄλλων oí τῷ βιβλίῳ μὴ περι-
τετευχότες τῷ ποτὶ Ζεύξιππον γεγραμμένῳ μὴ πλα-
νώνται διὰ τὸ μηδὲν εἶμεν ὑπὲρ αὐτᾶς ἐν τῷδε τῷ
βιβλίῳ προειρημένον. συμβαΐένει δὴ τὰ ὀνόματα τῶν
ἀριϑμῶν ἐς τὸ μὲν τῶν μυρίων ὑπάρχειν ἁμῖν παρα-
δεδομένα, καὶ ὑπὲρ τὸ τῶν μυρίων [μὲν] ἀποχρεόντως
ἐγγιγνώσκομες μυριάδων ἀριϑμὸν λεγόντες ἔστε ποτὶ
τὰς μυρίας μυριάδας. ἔστων οὖν ἁμῖν οἵ μὲν νῦν
εἰρημένοι ἀριϑμοὶὺ ἐς τὰς μυρίας μυριάδας πρώτοι
καλουμένοι. τῶν δὲ πρώτων ἀριϑμῶν αἵ μυρίαι μυ-
ριάδες μονὰς καλείσϑω δευτέρων ἀριϑμῶν, καὶ ἀριϑὃ-
μείσϑων τῶν δευτέρων μονάδες καὶ ἐκ τᾶν μονάδων
δεκάδες καὶ ἑκατοντάδες καὶ χιλιάδες καὶ μυριάδες ἐς
τὰς μυρίας μυριάδας. πάλιν δὲ καὶ αἵ μυρίαι μυρι-

8. αλλαλων F; corr. C. — 4. δακτυλι αἴ F. οὖν] addidi;
om. F, uulgo. 7. ἀναμφιλογώτατα) scripsi; ἀναμφιλογωτατον
F; uulgo. 10. ἀαριϑὲ cum comp. oy F. 11, περιτετευχότες]
περιτευατ᾽ ἐς ἘΠ corr. Nizze. 12. τῷ] vo Εἰ; corr. Wallis.
14. προειρημένων F; corr. Riualtus. 16. τό] τὰ F; corr. Wal-
ls. μέν] corruptum? 16. τό] addidi; om. F, uulgo.
μέν] deleo. ὑπὲρ τῶν psifóvow ἀποχγρεόντως Gerizius. 17.
ἐγγιγνώσκομες} scripsi; εγιγνωσκομεν F, uulgo; γιγνώσκομες
Gertzius. ἔστε ποτί] scripsi; ες τοῖς ποτὶ F, uulgo; ἐς Wal-

ARENARIUS. 261

digit. hoc autem suppono re hoc modo examinata:
in regula laeui semina papaueris in eadem linea recta
posita sunt, ita ui inter se tangerent, et uiginti quin-
que semina spatium maius longitudine digitali ex-
pleuerunt. diametrum igitur seminis papaueris mino-
rem ponens eam quadragesimam fere partem digiti
nec minorem esse suppono, propositum etiam, quod
ad hane rem pertinet, quam certissime demonstrari
cupiens.!)

III. Haec sunt igitur, quae suppono. utile autem
esse existimo, denominationem numerorum exponi, ut
ceterorum quoque qui in librum ad Zeuxippum mis-
sum non inciderunt, ne haereant, quod nihil de ea hoc
in libro dictum sit. accidit igitur, αὖ nomina numerorum
ad 10000 nobis tradita. sint, et super 10000 satis ea
intellegimus myriades numerantes usque ad 100000000.
hi igitur numeri usque ad 100000000 primi uocentur.
sed decem milia myriadum primorum numerorum
unitas uocetur secundorum numerorum, ei numerentur
seeundorum numerorum uhitates et ex unitatibus de-
cades et hecatontades et chiliades et myriades ad de-
cem milia myriadum. rursus autem etiam decem

1) Cfr. Küstner: Gesch. d. Mathem. II p. 746.

— ——— — —M — -

lie, Torellius. 18. μυρίας] om. F; corr. Wallis. ἔστων]
Wallis; ὁστω F, uulgo. 19. τα μυρίαν μυριαδ cum comp. ov
F; corr. Wallis. 31. ἀριϑμῶν»ν} om. Εἰ; corr. Wallis.
ἀριθμείσθων] scripsi; αριϑμων F, uulgo. — 92. δευτέρων ἀριϑ-
pov Wallis, Torellius. I» τῶν] seripsi; ἕκατον F, uulgo; of
ἀπὸ τῶν B, ἀπὸ τᾶν Wallis, Torellius. — 923. ἐς τάς] Ἔσται F;
Corr us Alit. 924. μυρι (cum comp. ov») μυριάδων F; corr.
Wallis.

268 ΨΑΜΜΙΤΗΣ.

ἄδες τῶν δευτέρων ἀριϑμῶν μονὰς καλείσϑω τρίτων
ἀριϑμῶν, καὶ ἀριϑμείσϑων τῶν τρίτων ἀριϑμῶν μο-
νάδες καὶ ἀπὸ τῶν μονάδων δεκάδες καὶ ἑκατοντάδες
καὶ χιλιάδες καὶ μυριάδες ἐς τὰς μυρίας μυριάϑας.
τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ τῶν τρίτων ἀριϑμῶν μυρίαι
μυριάδες μονὰς καλείσϑω τετάρτων ἀριϑμῶν. καὶ cl
τῶν τετάρτων ἀριϑμῶν μυρίαι μυριάδες μονὰς κα-
λείσϑω πέμπτων ἀριϑμῶν, καὶ ἀεὶ οὕτως προαγόντες
οἱ ἀριϑμοὶ τὰ ὀνόματα ἐχόντων ἐς τὰς μυριακιό-
10 μυριοστῶν ἀριϑμῶν μυρίας μυριάδας. ἀποχρέοντι μὲν
οὖν καὶ ἐπὶ τοσοῦτον οἵ ἀριϑμοὶ γιγνωσκομένοι. ἔξεστι
4 δὲ καὶ ἐπὶ πλέον προάγειν. ἔστων γὰρ οἱ μὲν νῦν
εἰρημένοι ἀριϑμοὶ πρώτας περιόδου καλουμένοι, ὁ δὲ
ἔσχατος ἀριϑμὸς τᾶς πρώτας περιόδου μονὰς καλείσϑω
16 δευτέρας περιόδου πρώτων ἀριϑμῶν. πάλιν δὲ καὶ
αἱ μυρίαι μυριάδες τᾶς δευτέρας περιόδου πρώτων
ἀριϑμῶν μονὰς καλείσϑω τᾶς δευτέρας περιόδου δευ-
τέρων ἀριϑμῶν. ὁμοίως Ób καὶ τούτων ὁ ἔσχατος
μονὰς καλείσϑω δευτέρας περιόδον τρέτων ἀριϑμῶν,
40 καὶ ἀεὶ οὕτως οἵ ἀριϑμοὶ προαγόντες τὰ ὀνόματα ἐχόν-
τῶν τᾶς δευτέρας περιόδου ἐς τὰς μυριακισμυριοστῶν
ἀριϑμῶν μυρίας μυριάδας. πάλιν δὲ καὶ ὁ ἔσχατος
ἀριϑμὸς τᾶς δευτέρας περιόδου μονὰς καλείσϑω τρίτας
περιόδου πρώτων ἀριϑμῶν, καὶ ἀεὶ οὕτως προαγόντων
26 ἐς τὰς μυριακισμυριοστᾶς περιόδου μυριακισμυριοστῶν

οι O2

2. ἀριθμείσθων] scripsi; αριϑμεισϑω F, uulgo; ἀριθμείσϑοω-
σαν Wallis, Torellius. 8. και «t απὸ F, uulgo; «í deleui.
4. ἐς τας] ἔσται P; corr. Wallis. poeta» μυριαδὲς F; corr.
Wallis. 6. ἀρφιϑ àv| (e F, ut infra saepius. 9. εζοντες Εἰ:
corr. Wallis. ς MK ἔσται FP; corr. Wallis. 10. μυρφεαι
μυριαδὲς F; corr. Wallis. αποχρεωντι F; corr. VB. 11.

. ἐπὶ τοσοῦτον] Scripsi; απὸ τοσουντ cum comp. ὧν F; ἀπὸ το-

ARENARIUS. 269

milia myriadum secundorum numerorum unitas uo-
celur terliorum numerorum, eti numerentur tertiorum
numerorum unitates ei ab unitatibus decades et
hecatontades οὐ chiliades et myriades ad decem
milia myriadum. et eodem modo etiam tertiorum 3
numerorum decem millia myriadum unitas uocetur
quarlorum numerorum, et quartorum numerorum de-
cem millia myriadum unitas uocetur quintorum nu-
merorum, et semper hoc modo procedentes numeri
nominentur. usque ad decem millia myriadum nume-
rorum cenlies.milles millesimorum. οὐ satis quidem
esi, numeros hunc ad finem cognosci. sed licet etiam 4
ulir& progredi nam numeri, quos adhue commemo-
rauimus, primae periodi numeri uocentur, οὐ ultimus
numerus primae periodi unitas uocetur primorum nu-
merorum secundae periodi. rursus autem decem millia
myriadum primorum numerorum secundae periodi uni-
tas uocetur secundorum numerorum secundae periodi.
ei eodem modo etiam horum ultimus unitas uocetur
terliorum numerorum secundae periodi, et numeri
semper hoc modo procedentes periodi secundae no-
minentur usque ad decem millia myriadum numerorum
eenties milles millesimorum. rursus autem ultimus
numerus secundae periodi unitas uocetur primorum
numerorum tertiae periodi, eb semper hoc modo pro-
cedant usque ad decem millia myriadum numerorum
centies millies millesimorum periodi centies millies
σούτων uulgo. 13. πρωτὴης F; corr. Wallis. 14. πρώτας]
om. F; corr. B. 16. πρώτων ad περιόδου lin. 17 om. F; corr.
"Wallie. 91. ἐς τάς] εσται F; corr. Wallis. — 22. μυριριαε μυ-

φιαδὲς Εἰ; μυρέαε μυριάδες uulgo; corr. Wallis. 26. τάς] ται
FE; corr. Wallis,

210 'TAMMITHZ.

ἀριϑμῶν μυρίας μυριάδας. τούτων δὲ οὕτως καε-
ὠϑομασμένων, εἴ κα ἔωντι ἀριϑμοὶ ἀπὸ μονάδος ἀνά-

λογον ἑξῆς κειμένοι, ὃ δὲ παρὰ τὰν μονάδα δεκὰς T),

ὀκτὼ μὲν αὐτῶν οἵ πρώτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρό-
τῶν ἀριϑμῶν καλουμένων ἐσσούνται, οἵ δὲ μετ᾽ αὐὖὐ-

τοὺς ἄλλοι ὀκτὼ τῶν δευτέρων καλουμένων, καὶ οἵ

ἄλλοι τὸν αὐτὸν τρόπον τούτοις τῶν συνωνύμων κα-
λουμένων ἐσσούνται τᾷ ἀποστάσει τᾶς ὀκτάδος τῶν
ἀρυϑμῶν ἀπὸ τᾶς πρώτας ὀκτάδος τῶν ἀριθμῶν." τᾶς
μὲν οὖν πρώτας ὀκτάδος τῶν ἀριϑμῶν ὁ ὄγδοός ἐστιν
ἀριϑμὸς χιλίαι μυριάδες, τᾶς δὲ δευτέρας ὀκτάδος ὃ
πρῶτος, ἐπεὶ δεκαπλασίων ἐστὶν τοῦ πρὸ αὐτοῦ, μυ-
ρέαι μυριάδες ἐσσείται. οὗτος δέ ἐστι μονὰς τῶν δευ-
τέρων ἀριϑμῶν. ὁ δὲ ὄγδοος τᾶς δευτέρας ὀκτάδος
ἐστὶ χιλίαν μυριάδες τῶν δευτέρων ἀρυϑμῶν. πάλιν
δὲ καὶ τᾶς τρίτας ὀκτάδος ὁ πρῶτος, ἐπεὶ δεκαπλα-
σίων ἐστὶ τοῦ πρὸ αὐτοῦ, μυρίαι μυριάδες ἐσσείται
τῶν δευτέρων ἀριϑμῶν. οὗτος δέ ἐστιν μονὰς τῶν
ς erem ἀριϑμιῶν. φανερὸν ᾿δέ, ὅτι καὶ ὁποδαιοῦν
Ó ὀχτάδες ἕξοῦντι , ὥς εἰρήται. ἀρήσιμον δέ ἐστι καὶ
τόδε γιγνωσκόμενον. εἰ κα ἀριϑμῶν ἀπὸ τᾶς μονάδος
ἀνάλογον ἐόντων πολλαπλασιάξωντί τινες ἀλλάλους τῶν
ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, ὁ γενόμενος ὁμοίως ἐσσείται
ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἀπέχων ἀπὸ μὲν τοῦ μείξονος
τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀλλάλους, ὅσους ὁ ἐλάττων
τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἀπέχει,

1. μυριαι μυριαδὲς F; corr. Wallis. κατονομασμενων EF,
ed. Basil. 4, μέν] scripsi; eve» F, uulgo; om. Wallis, 'Torel-
lius. 6. καλούμενοι F; corr. "Wallie. 8. τὰ] addidi; om. F,
uulgo. 9. τὰς (al) ἃ F; corr. B. 19. ὅτι] ἔστι per
comp. FP; corr. ed. Basil; loci» ὅτι B. ὁποσαιοῦν] scripsi;
πολλαι F, uulgo. - 21. τῆς per comp. P; corr V. 22. εων-

millesimae.") his autem ita denominalis, si numeri 5
aliquot dati sunt ab unitate in eadem proportione, et
numerus unitati proximus decas est, octo eorum primi
eum unitate ex numeris primis, qui uocantur, erunt, octo
autem eos proxime sequentes ex secundis, ei ceteri
eodem modo ex numeris erunt eodem numero deno-
minalis, qui distantiam octadis numerorum a prima
οοἰδάθ indicat. primae igitur octadis numerorum
oetauus numerus est mille myriades, secundae autem
octadis primus, quoniam aequalis est praecedenti de-
cies sumpto, decem millia myriadum erunt. haec autem
unitas est secundorum numerorum. et octauus nu-
merus secundae octadis mille myriades sunt secun-
dorum numerorum, et porro etiam terliae octadis
primus numerus, quoniam aequalis est praecedenti
decies sumpto, decem millia myriadum erunt secun-
dorum numerorum. haec autem unitas est tertiorum
numerorum. οὖ manifestum esi, quotlibet octades ita
fore, ut dictum est. uerum hoe quoque utile est 6
eognitu. si ex numeris ab unitate in eadem propor-
lione positis, aliqui inter se multiplicantur eorum, qui
in eadem proportione sunt, eliam productum in eadem
erit proportione a maiore multiplicatorum tot numeros
distans, quot minor multiplicatorum ab unitate distat

ARENARIUS. 211

1) Conspectus horum numerorum systematis ἃ. Quaest.
Árch. p. 59; Nizze p. 218; Nesselmann: Algebra d. Griechen
P. 122 sq. ultimus est 108. 10!*,

| τῶν Ἐς corr. Riualtus. πολλασλασιάξωντι} Seripsi; πολλαπλα-
| διαξοντες F, uulgo. 98. γενόμενος) vov F; corr. Wallis, de-
leto ὁμοίως. 94. μὲν τοῦ usífovog| scripsi; μὲν cum comp.
ov» F, uulgo; μείζονος Wallis, Torellius. 26. ἀπέχη Εἰ; corr. V.

Θι

212 ΨΑΜΜΙΤΗΣ.

ἀπὸ δὲ τᾶς μονάδος ἀφέξει ἑνὶ ἐλαττόνας, ἢ ὅσος
ἐστὶν ὁ ἀριϑμὸς συναμφοτέρων, ovg ἀπέχοντι ἀπὸ μο-
νάδος οἱ πολλαπλασιαξάντες ἀλλάλους. ἔστων γὰρ
ἀριϑμοί τινες ἀνάλογον ἀπὸ μονάδος, οἱ 4, B, Γ, 4,
E, Z, H, 0, I, K, 4, μονὰς δὲ ἔστω ὁ 4. καὶ πε-
πολλαπλασιάσϑω ὁ 4 τῷ Θ, ὁ δὲ γενόμενος ἔστω ὁ X.
λελάφϑω δὴ ἐκ τᾶς ἀναλογίας ὁ 4 ἀπέχων ἀπὸ τοῦ
Θ τοσούτους, ὅσους ὁ zl ἀπὸ μονάδος ἀπέχει. δεικτέον,
ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ X τῷ 4. ἐπεὶ οὖν ἀνάλογον ἐόντων
ἀριϑμῶν ἴσους ἀπέχει ὅ τε 4 ἀπὸ τοῦ 4, καὶ ὁ Α
ἀπὸ τοῦ O, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὁ 4 ποτὶ τὸν A,
v ὁ 4 ποτὶ τὸν Θ. πολλαπλασίων δέ ἐστιν ὁ 4 τοῦ
A τῷ 4. πολλαπλασίων ἄρα ἐστὶν καὶ ὁ 4 τοῦ Θ τῷ 4.
ὥστε ἴσος ἐστὶν ὁ 4 τῷ X. δῆλον οὖν, ὅτι ὁ γενό-
μενος ἐκ τᾶς ἀναλογίας τέ ἐστιν καὶ ἀπὸ τοῦ μείξονος
τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀλλάλους ἴσους ἀπέχων, ὅσους
ὁ ἐλάττων ἀπὸ τᾶς μονάδος ἀπέχει. φανερὸν δέ, ὅτι
καὶ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει ἑνὶ ἐλαττόνας, ἢ ὅσος ἐστὶν
ὁ ἀριϑμὸς συναμφοτέρων., ovg ἀπέχοντι ἀπὸ τᾶς μο-
νάδος oí 4, Θ. oí μὲν γὰρ 4, B, I, 4, Ε, 2, Ἡ, 8
τοσούτοι ἐντί, ὅσους ὁ € ἀπὸ μονάδος ἀπέχει, οἵ δὲ
I, K, 4 ἕνὶ ἐλαττόνες, ἢ ὅσους ὁ 414 ἀπὸ μονάδος
ἀπέχει" σὺν γὰρ τῷ € τοδούτοι ἐντί.
1. ελαττωνας EF. 2. 6] addidi; om. Εἰ, uulgo. οὖς] ὡς
F; corr. Wallis. ἄἀπεχωντι F; corr. V. μονάδος] μαδος F,
ut lin. 4,8. 6. X. λελάφϑω] ἐρῖρθῖ:, ΧΑ, ειληφϑὼ F, uulgo ; j
4 om. Wallis, Torellius. T. ἐκ] scripsi; ὁ ΘΚ F, uul 0; 0
ἐκ Wallis, Torellius. τᾶς αὐτῶς Wallis, "Toreliius. 47] $4
F; corr. Wallis. 9. ἴσος] per comp. F. . 10. ἀριϑμῶν)
scri 8i; ἐσῶν per comp. Εἰ; ἴσον B, alii. 11. ταν αὐταν FV A,
ed. 8.81]. 16. τὰς αὐτὰς Wallis, Torellius. 16. ἴσους]
scripsi; tgo» per comp. F, E" 20. οἵ 44, €. of μὲν γάρ
0

scripsi; οὐδὲ μὲν yoQ ot F, u 22. ἑνί) ἐπὶ ἘΠ; corr. B
28. Hic spatium uacat in FVBCD.

ARENARIUS. 218

in proportione, ab unitate uero distabit uno pauciores,
quam quantus numerus est utrorumque, quos numeri
inter se multiplicati ab unitate distant. sint enim
numeri aliquot 4, B, I, 4, E, Z, H, 8, I, Καὶ 4 ab uni-
tate in eadem proportione positi, et unitas sit .4. et
multiplicentur 7/, 0, et productum sib X. sumatur
igitur ex proportione 4f ab 6 toi numeros distans,
quoi 4) ab unitate distat. demonstrandum, esse X - ΖΔ.
iam quoniam inter numeros inter se proportionales 7f
ab 44 tot loca abest, quot 4 ab 6, erit igitur
4d: 44:8.

sed 2 — 2 »« 4. quare 4 — 4». 0. quare 7 X.
adparet igitur, productum et ex eadem proportione esse 8
ei a maiore numerorum inter se multiplicatorum tot
loca abesse, quot minor ab unitate absit. manifestum
est autem, productum etiam ab unitate uno pauciora
loca abesse, quam quantus esí numerus utrorumque
locorum, quae ab unitate absunt 7/, €. nam 4, B,
I, 4, E, Z, H, € iot suni, quot € ab unitate abest,
οὐ I, Κα, 4 uno pauciores, quam quot 4] ab unitate
abesí; nam adsumpto 6 totidem sunt.)

1) De hac propositione cfr. Quaest. Árch. p. 68. nos sic

13 83 "
idem demonstraremus: sit series 1, a!, a3, ... . an — 1,
5-1 m--1 m--3 m-rT5-4-1
a^ ....G", qm--1, νοις, ἀπ Ἢ

itaque a^ . a 25 a--^, quod ab a/^ abest loca (n - 1), ab
unitate uero m -- » Ἔ 1 2» (m -- 1) -- (n 4 1) — 1.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 18

214 (3ITAMMITHZ.

1 IV. Τούτων δὲ τῶν μὲν ὑποκειμένων, τῶν δὲ ἀπο-
δεδειγμένων τὸ προκείμενον δειχϑησέται. ἐπεὶ γὰρ
ὑποκείται τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος μὴ ἐλάσσονα
εἶμεν ἢ τετρωκοστομόριον δακτύλου, δῆλον, ὡς ἃ
σφαῖρα ἁ δακτυλιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον οὐ μεί-
(ov ἐστὶν ἢ ὥστε χωρεῖν μακώνας ἕξακισμυρίας καὶ
τετραχισχιλίας᾽ τᾶς γὰρ σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν
διάμετρον τετρωκοστομόριον δακτύλου. πολλαπλασία
ἐστὶν τῷ εἰρημένῳ ἀρυϑμῷ. δεδείκται γάρ τοι, ὅτι αἱ
10 σφαίραι τριπλάσιον λόγον ἔχοντι ποτὲ ἀλλάλας τῶν
2 διαμέτρων. ἐπεὶ δὲ ὑποκείται καὶ τοῦ ψάμμου τὸν
ἀρυιϑμὸν τοῦ ἴσον τῷ τὰς μάχωνος μεγέθει ἔχοντος
μέγεϑος μὴ μείξονα εἶμεν μυρίων, δῆλον, ὡς, εἰ πλη-
ρωϑείη ψάμμου & σφαῖρα ἁ δακτυλιαίαν ἔχουσα τὰν
16 διάμετρον, οὐ μείζων κα εἴη ὁ ἀριϑμὸς τοῦ ψάμμου
ἢ μυριάκις τὰ ξξακισμύρια καὶ τετρακισχέλια. οὗτος
δέ ἐστίν ὁ ἀρυιϑμὸς μονάδες τε ς΄ τῶν δευτέρων ἀριϑ-
μῶν καὶ τῶν πρώτων μυριάδες τετρακισχιλίαι. ἐλάσ-
σων οὖν ἐστιν ἢ v μονάδες τῶν δευτέρων ἀριϑμῶν.
20 & δὲ τῶν ρ΄ δακτύλων ἔχουσα τὰν διάμετρον σφαῖρα
πολλαπλασία ἐστὶν τᾶς δακτυλιαίαν ἐχούσας τὰν διά-
μέτρον σφαίρας ταῖς ρ΄ μυριάδεσσιν διὰ τὸ τριπλά-
σιον λόγον ἔχειν ποτ᾽ ἀλλάλας τᾶν διαμέτρων τὰς σφαί-
ρας. εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλι-
96 καύτα τὸ μέγεϑος, ἁλίκα ἐστὶν ἃ σφαῖρα ἃ ἔχουσα τὰν
διάμετρον δακυύλων ρ΄, δῆλον, ὡς ἐλάττων ἐσσείται
ὁ τοῦ ψάμμου ἀριϑμὸς τοῦ γενομένου ἀριϑμοῦ πολλα-

6. σφαῖρα x] scripsi; ἃ om. F, uulgo. 8. τετρακοστο-
μόριον F; corr. Ahrens. 10. ἐγωντι F; corr. V. 19. τοῦ
ἴσον vo] scripsi; se vo F, uulgo. μακονος F; corr. BC.

μεγέϑει ἔχοντος) addidi; om. Εἰ, uulgo. 18. μειξ cum comp.
ον F; corr. Wallia 14. τοῦ ψάμμου Gerizius. 15. uei£

ARENARIUS. 25

IV. His autem partim suppositis, partim demon- 1
stratis, propositum demonstrabitur. nam quoniam sup-
positum est, diameirum seminis papaueris non mino-
rem esse quam partem quadragesimam digiti [II, 4],
adparet, sphaeram diametrum digitalem habentem ma-
iorem non esse, quam ut 64000 seminum papaueris
capiat. hoc enim numero multiplex est quam sphaera
diametrum habens pariem quadragesimam digij. nam
demonstratum est, sphaeras triplicem rationem habere
inier se, quam diametri habeant [Eucl. XII, 18]. quo- 2
üiam autem hoe quoque suppositum est, numerum
arenae magnitudinem habentis magnitudini seminis
papaueris aequalem maiorem non: esse quam 10000
[II, 4], adparet, si sphaera diametrum habens digi-
talem arena compleatur, numerum arenae maiorem
non fore quam 640000000. hie autem est sex uni-
tates secundorum numerorum, et quattuor millia my-
riadum primorum. quare minor est quam decem
unitates secundorum numerorum. sphaera autem dia-
meirum habens centum digitos longam centum myria-
dibus multiplex est quam sphaera diametrum digita-
lem habens, quia sphaerae inter se triplicem rationem
habent quam diametri [Eucl XII, 18] si igitur ex
arena tanta sphaera efficitur, quanta est sphaera dia-

-meirum habens centum digitos longam, adparet, nu-
merum arenae minorem fore numero multiplicatis de-

cum comp. o» F; corr. Wallis. εἴη) εν F; corr. Wallis.
19. μονάδες] μυριαδὲς Εἰ; corr. À. 21. τὰν] vov F;'corr. BC.
22. d scripsi; eg F, uulgo; ἐπί Wallis, Torellius.
μυριαδεσιν 28. διαμετρ cum comp. o» Εἰ; corr. Wallis.

24. τηλικαυτα F; corr. Wallis. * 27. πολλαπλασϑεισαν F;
corr. ABC, )

18*

916 "PAMMITHZ.

πλασιασϑεισᾶν τᾶν δέκα μονάδων τῶν δευτέρων ἀριϑ-

8 μῶν ταῖς ρ΄ μυριάδεσσιν. ἐπεὶ δ᾽ αἱ τῶν δευτέρων
ἀριϑμῶν δέκα μονάδες δέκατός ἐστιν ἀριϑμὸς ἀπὸ
μονάδος ἀνάλογον ἐν τᾷ τῶν δεκαπλασίων ὅρων ἀνα-

5 Aoyíg, αἵ δὲ ἑκατὸν μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος
^ . ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὡς ὁ γενόμενος ἀριϑ-
μὸς ἐσσείται τῶν ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἑκκαιδέ-
κατος ἀπὸ μονάδος. δεδείκται γάρ, ὅτι ἑνὶ ἐλασσόνας
ἀπέχει ἀπὸ τᾶς μονάδος, ἢ ὅσος ἐστὶν ὁ ἀριϑμὸς συν-

10 ἀμφοτέρων, ovg ἀπέχοντι ἀπὸ μονάδος oí πολλαπλα-
σιαξάντες ἀλλάλους. τῶν δὲ ἑκκαίδεκα τούτων ὀκτὼ
μὲν oí πρώτοι σὺν τῷ μονάδι τῶν πρώτων καλου-
μένων ἐντί, οἵ δὲ μετὰ τούτους ὀκτὼ τῶν δευτέρων,
καὶ ὁ ἔσχατός ἐστιν αὐτῶν χιλίαι μυριάδες δευτέρων

15 ἀριϑμῶν. φανερὸν οὖν, ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆϑος
τοῦ μέγεϑος ἔχοντος ἴσον và σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμε-
τρον ρ΄ δακτύλων ἐχούσα ἔλαττόν ἐστιν 1j χιλίαι μυ-

4 ριάδες τῶν δευτέρων ἀριϑμῶν. πάλιν δὲ καὶ ἁ σφαῖρα
& τῶν μυρίων δακτύλων ἔχουσα τὰν διάμετρον πολλα-
πλασία ἐστὶν τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον ρ΄ δακτύλων
ταῖς ρ΄ μυριάδεσσι. εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου
σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεϑος, ἁλίκα ἐστὶν ἃ ἔχουσα
σφαῖρα τὰν διάμετρον μυρίων δακτύλων, δῆλον, ὡς
ἐλάσσων ἐσσείται ὁ τοῖ ψάμμου ἀριϑμὸς τοῦ γενο-
25 μένου πολλαπλασιασϑεισᾶν τῶν χιλιᾶν μυριάδων τῶν

2. μυριαδεσιν FV BD. ἐπεί] ἐπι F; corr. Wallis. δ᾽ a£]
Gerizius; δὲ F, uulgo. 4. τᾷ] ve F; corr. Wallis. δεκα-
στλασίων]. scripsi; δεκαπλευρων F, uulgo; defendit Nizzius
(Quaest. Arch. p. 206); δεκαπλῶν Wallis, Torellius. &ve-
λογέᾳ) evoloy cum comp. ον Εἰ; corr. Wallis. 6. ἀριϑμός]
Scripsi; exrog F, uulgo; «ὅρος Wallis, Torellius. 8. ἑνί] ἐν
F; corr. Riualtus. 9. ἀπέχει] addidi; om. Εἰ, uulgo; post

cem unitatibus secundorum numerorum et centum
myrnadibus orto. et quoniam decem unitates secun-
dorum numerorum decimus ab unitate numerus est in
proportione terminorum per decem crescentium, et
centum myriades septimus est ab uxmtate in eadem
proportione, adparet, productum fore sextum decimum
&b unitate in eadem proportione. demonstratum est
enim, id uno pauciora loca ab unitate abesse, quam
. quantus est numerus uirorumque locorum, quae nu-
meri inter se mulüplieati ab unitate absint [III, 6].
horum autem sedecim primi octo cum unitate ii sunt,
qui primi uocantur, octo sequentes ii, qui secundi
uocantur, et uliümus eorum mille myriades sunt se-
eundorum numerorum. manifestum est igitur, mul-
titudinem arenae magnitudinem habentis aequalem
Sphaerag diametrum centum digitos longam habenti
minorem esse quam mille myriades secundorum nu-
merorum. rursus auiem etiam sphaera diametrum
habens decem millia digitorum longam centum my-
riadibus multiplex est quam sphaera diametrum ha-
bens centum digitos longam. si igiiur ex arena tanta
sphaera efficitur, quanta est sphaera diametrum de-
cem millia digitorum longam habens, adparet, nume-
rum arenae minorem fore numero multiplicatis mille
myriadibus secundorum numerorum et centum myria-

ARENARIUS. 971

μονάδος addidit, Wallis. ἢ ὅσος} «ccog F; corr. Wallis.

ὁ ἀριϑμός] εἐλαττων ἘΠ; corr. Wallis. συναμφο δὲ Ἐ'; corr.
Wallis. 10. ἀπέχωντι F; corr. V B. 12. τη F; corr. Wal-
lis. 14. τῶν δευτέρων Wallis, Torellius. 16. τα τε ταν

FE; corr. Wallis. 17. ἐχουσὴ ΕΠ corr. Wallis. ελαττ cum
comp. o» F; corr. Wallis. 21. μυριαδεσι F; corr. B. 24.
γενώμενου F.

ὃ

2178 '"PAMMITHZ.

δευτέρων ἀριϑμῶν ταῖς o μυριάδεσσιν. ἐπεὶ δ᾽ oí
μὲν τῶν δευτέρων ἀριϑμῶν χιλίαι μυριάδες ἑκκαιδέ-
κατός ἐστιν ἀριϑμὸς ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἷ δὲ ρ΄
μυριάδες ἔβδομος ἀπὸ μονάδος ἐν τᾷ αὐτᾷ ἀναλογίᾳ,
b δῆλον, ὡς ὁ γενόμενος ἐσσείται δυοκαιεικοστὸς τῶν
ὅ ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἀπὸ μονάδος. τῶν δὲ δύο
καὶ εἴκοσι τούτων ὀκτὼ μὲν oí πρώτοι σὺν τᾷ μονάδι
τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, ὀκτὼ δὲ oí μετὰ τού-
τους τῶν δευτέρων καλουμένων, oí δὲ λοιποὶ Tb τῶν
10 τρίτων καλουμένων. καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι δέκα
μυριάδες τῶν τρίτων ἀριϑμῶν. φανερὸν οὖν, ὅτε τὸ
τοῦ ψάμμου πλῆϑος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ
σφαίρᾳ’ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ μυρίων δακτύλων
ἔλασσόν ἐστιν ἢ v μυριάδες τρίτων ἀριϑμῶν. καὶ
16 ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν & σταδιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον
σφαῖρα τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον μυ-
ρίων δακτύλων, δῆλον, ὅτι καὶ τὸ τοῦ ψάμμου πλῆ-
$og τοῦ μέγεθος ἔχοντος (Gov τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διά-
μετρον ἐχούσᾳ σταδιαίαν ἔλασσόν ἐστιν ἢ ε΄ μυριάδες
οὐ τῶν τρίτων ἀριϑμῶν. πάλιν δὲ ἁ σφαῖρα & ἔχουσα
τὰν διάμετρον ρ΄ σταδίων πολλαπλασίων ἐστὶ τᾶς
σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον σταδιαίαν ταῖς ρ΄
μυριάδεσσιν. εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα
ταλικαύτα τὸ μέγεϑος, ἁλίκα ἐστὶν ἃ ἔχουσα τὰν διά-
26 μετρον ρ΄ σταδίων, δῆλον, ὅτι ἐλάσσων ἐσσείται ὁ τοῦ
ψάμμου ἀριϑμὸς τοῦ γενομένου ἀριϑμοῦ πολλαπλα-
σιασϑεισᾶν τᾶν δέκα μυριάδων τρίτων ἀρυϑμῶν ταῖς

.8. ἀνάλογον αἴ] αναλογιαι F; corr. Wallis. — 4. αὐτη F;
corr. B. x τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας Gertzius. 5. ὡς] ὦ F.
8. μετὰ τούτους scripsi; μετα τους F, uulgo; μετ᾽ αὐτούς Wal-
lis, Torellius. 9. τῶν] (prius) addidi; om. F, uulgo. ξ8ξ7 ex Εἰ;

ARENARIUS. 219

dibus orto. sed quoniam mille myriades secundorum
numerorum sextus decimus ab unitate numerus est in
proportione, et centum myriades septimus est ab uni-
iate in eadem proportione, adparet, productum uicesi-
mum secundum ab unitate fore in eadem proportione.
horum autem uiginti duorum primi octo cum unitate
ii sunt, qui primi uocantur, octo autem sequentes ii,
qui secundi uocantur, reliqui auiem sex ex iis, qui
terii uocantur; et ultimus eorum est centum millia
tertiorum numerorum. manifestum est igitur, mul-
titudinem arenae magnitudinem habentis aequalem
sphaerae diameirum habenti decem millia digitorum

longam minorem esse quam centum millia tertiorum -

numerorum. et quoniam sphaera diametrum habens
stadium longam minor est sphaera diametrum habenti
decem millia digitorum longam!) adparet, etiam mul-
titudinem arenae magnitüdinem habentis aequalem
sphaerae diametrum habenti stadium longam minorem
esse quam centum millia tertiorum numerorum. rursus

autem sphaera diametrum centum stadia longam ha- .
bens centum myriadibus multiplex est quam sphaera -

diametrum stadium longam habens. si igitur ex arena
tanta sphaera colligitur, quanta est sphaera diametrum
centum stadia longam habens, adparet, numerum arenae
minorem fore numero decem myriadibus tertiorum
numerorum οὗ centum myriadibus multiplicatis orto.

1) Heron. defin. 181: τὸ στάδιον ἔχει... δακτύλους 8χ΄.
corr. Wallis. 10. τρέτων] vot cum comp. o» F; corr. B.

19. μεγεϑους F; corr. B. 20. δέ] scripsi; δὴ F, "uulgo. 23.
μυρφιαδεσιν F; corr. B. — 24. ἃ] om. F; corr. Wallis.

OQ -—1

265

980 "WAMMITHE.

ρ΄ μυριάδεσσι. καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν τῶν τρίτων ἀριϑμῶν
δέκα μυριάδες δυοκαιεικοστός ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνά-
λογον, αἱ δὲ ρ΄ μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς
αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὡς Ó γενόμενος ἐσσείται
ὀκτωκαιεικοστὸς ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἀπὸ μονάδος.
τῶν δὲ ὀχτὼ καὶ εἴκοσι τούτων ὀκτὼ μὲν ol πρώτοι
σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, οἱ δὲ
μετὰ τούτους ἄλλοι ὀχτὼ τῶν δευτέρων, καὶ oí μετὰ
τούτους ὀχτὼ τῶν τρίτων, οἵ δὲ λοιποὶ τέσσαρες τῶν
τετάρτων καλουμένων, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι χι-
λίαι μονάδες τῶν τετάρτων ἀριϑμῶν. φανερὸν οὖν,
ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆϑος τοῦ μέγεϑος ἔχοντος ἴσον
τᾷ σφαίρᾳ τῷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων ρ΄ ἔλασ-
σόν ἐστιν ἢ χιλίαι μονάδες τῶν τετάρτων ἀριϑμῶν.
πάλιν δὲ ἁ σφαῖρα ἃ ἔχουσα τὰν διάμετρον μυρίων
σταδίων πολλαπλαασία ἐστὶ τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας
τὰν διάμετρον σταδίων ο΄ ταῖς ρ΄ μυριάδεσσιν. εἶ
οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέ-
γεϑος, ἁλίκα ἐστὶν ἃ σφαῖρα & ἔχουσα τὰν διάμετρον
σταδίων μυρίων, δῆλον, ὅτι ἔλασσον ἐσσείται τὸ τοῦ
ψάμμου πλῆϑος τοῦ γενομένον ἀριϑμοῦ πολλαπλασι--
ασϑεισᾶν τᾶν χιλιᾶν μονάδων τῶν τετάρτων ἀριϑμῶν
ταῖς ρ΄ μυριάδεσσιν. ἐπεὶ δ᾽ αἵ μὲν τῶν τετάρτων
ἀριϑμῶν χιλίαι μονάδες ὀκχτωκαιεικοστός ἐστιν ἀπὸ
μονάδος ἀνάλογον, αἵ δ᾽ ἑκατὸν μυριάδες ἕβδομος
ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὅτε ὃ
γενόμενος ἐσσείται ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας τέταρτος.
καὶ τριακοστὸς ἀπὸ μονάδος. τῶν δὲ τεσσάρων καὶ

15. δέ} scripsi; δὴ F, uulgo. μυρέων --- διάμετρον lin. 17
repetuntur in Εἰ; expunxit manus 1. 17. μυριαδεσιν F; corr.
B. 19. διαμεῖρ cum comp. ὧν Εἰ: corr. BC. 90. edeag

ARENARIUS. 281

el quoniam decem myriades terliorum numerorum
uicesimus secundus ab unitate numerus est in pro-
portione, eti centum myriades septimus est ab unitate
in eadem proportione, adparet, productum fore duo-
deiricesimum ab unitate in eadem proportione. horum
autem uiginti octo primi octo cum unitate ii sunt,
qui primi uocantur, octo autem sequentes ii, qui se-
cundi uocantur, et octo deinde sequentes ii, qui tertii
uocantur, reliqui autem quattuor ex iis, qui quarti uo-
cantur, et ultimus eorum mille unitates sunt quarto-
rum numerorum, manifestum est igitur, mullitudinem
arenae magnitudinem habentis aequalem : sphaerae
diametrum habenti centum stadia longam minorem
esse quam mille unitates quartorum numerorum. rur-
sus autem sphaera diametrum decem millia stadiorum
longam habens centum myriadibus multiplex est quam
Sphaera diametrum centum stadia longam habens. si
igitur ex arena tanta sphaera efficitur, quanta est
sphaera diametrum decem millia stadiorum longam
habens, adparet, numerum arenae minorem fore nu-
mero mille unitatibus quartorum numerorum eti cen-
tum myriadibus multiplieatis orto. quoniam autem
mille unitates quariorum numerorum duodeiricesimus
est ab unitate numerus in proportione, et centum my-
riades septimus ab unitate in eadem proportione, ad-
paret, productum fore tricesimum quartum ab unitale
in eadem proportione. horum autem iriginta quattuor

cum comp. ov F. 28. μυριαδεσιν F'; corr. B. 28. μαδος
F. 96 δῆλον --- ἀναλογίας mg. F, signo adposito, cui respon-
det aliud post &veAoyíag lin. 97.

282 1:PAMMITHZ.

τριάκοντα τούτων ὀκτὼ μὲν oí πρῶτοι σὺν τᾷ μονάδι
τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, οἵ δὲ μετὰ τούτους
ὀκτὼ τῶν δευτέρων, καὶ οἷ μετὰ τούτους ἄλλοι ὀκτὼ τῶν
τρίτων, καὶ oí μετὰ τούτους ὀκτὼ τῶν τετάρτων, οἵ
δὲ λοιποὶ δύο τῶν πέμπτων καλουμένων ἐσσούνται,
καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι δέκα μονάδες τῶν πέμπτων
ἀριϑμῶν. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆϑος τοῦ
μέγεϑος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τῷ τὰν διάμετρον
ἐχούσᾳ σταδίων μυρίων ἔλασσον ἐσσείται ἢ ι΄ μονάδες
τῶν πέμπτων ἀριϑμῶν. πάλιν δὲ & σφαῖρα & ἔχουσα
τὰν διάμετρον σταδίων ρ΄ μυριάδων πολλαπλασία ἐστὶ.
tüg σφαίρας τᾶς τὰν διάμετρον ἐχούσας σταδίων μυ-
ρέων ταῖς ρ΄ μυριάδεσσι. εἰ οὖν γένῳτο ἐκ τοῦ ψάμ-
μου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεϑος, ἁλέκα ἐστὶν & σφαῖρα
& ἔχουσα τὰν διάμετρον σταδίων ρ΄ μυριάδων, δῆλον,
ὡς ἐλάσσων ἐσσείται ὃ τοῦ ψάμμου ἀριϑμὸς τοῦ γε-
νομένον ἀριϑμοῦ. πολλαπλασιασϑεισᾶν τῶν δέκα μο-
νάδων τῶν πέμπτων ἀριϑμῶν ταῖς o' μυριάδεσσιν.
καὶ ἐπεὶ αἴ μὲν τῶν πέμπτων ἀριϑμῶν δέκα μονάδες
τέταρτός ἐστι καὶ τριακοστὸς ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἵ
δὲ ρ΄ μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς
ἀναλογίας, δῆλον, ὅτι. ὁ γενόμενος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀνα-
λογίας ἐσσείται τετρωκοστὸς ἀπὸ μονάδος. τῶν δὲ
τεσσαράκοντα τούτων ὀχτὼ μὲν οἵ πρώτοι σὺν τὰ μο-
νάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, οἵ δὲ μετὰ ταῦτα
ἄλλοι ὀκτὼ τῶν δευτέρων, καὶ oí μετὰ τούτους ἄλλοι
ὀκτὼ τῶν τρίτων, oí δὲ μετὰ τοὺς τρέτους ὀχτὼ τῶν
τετάρτων, οἱ δὲ μετὰ τούτους ὀκτὼ τῶν πέμπτων κα-
Aovuévov, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι χιλίαι μυριάδες

8. οἱ αλλοι F; corr. ed. Baail. 6. μοναδ cum comp. ov
F; corr. B. 8. μεγεϑους F; corr. BC. 9. ελασσ cum comp.

ARENARIUS. 283

primi octo cum unitate ii sunt, qui primi uocantur,
oeto sequentes ii, qui secundi, octo deinde sequentes
ii, qui tertii, octo deinde sequentes ii, qui quarti uo-
cantur, et reliqui duo ex iis erunt, qui quinti uocan-
tur, οὐ ultimus eorum est decem unitates quintorum
numerorum. adparet igitur, multitudinem arenae mag-
nitudinem habentis aequalem sphaerae diamétrum ha-
benti decem millia stadiorum longam minorem fore
quam decem unitates quintorum numerorum. rursus
autem sphaera diametrum centum myriades stadiorum
longam habens centum myriadibus multiplex est quam
Sphaera diametrum habens decem millia stadiorum
longam. si igitur ex arena tanta sphaera efficitur,
quanta esi sphaera diametrum centum myriades sta-
diorum longam habens, adparet, numerum arenae mi-
norem fore numero multiplicatis decem unitatibus
quintorum numerorum et centum myriadibus orto. et
quoniam decem unitates quintorum numerorum íri-
cesimus quartus est ab unitate numerus in proportione,
el centum myriades septimus ab unitate in eadem
proportione, adparet, productum fore quadragesimum
ab unitate in eadem proportione. horum autem qua-
draginta primi octo cum unitate ii sunt, qui primi
uocantur, octo sequentes ii, qui secundi, octo deinde
sequentes ii, qui terlii, oeto deinde sequentes ii, qui
quarli, postremi octo ii, qui quinti uocantur, et ulti-
mus eorum est mille myriades quintorum numerorum.
ων Ἐς corr. AB. 10. δέ] scripsi; δὴ F, uulgo. 11. uv-
ριαδας F, ut uidetur, in masura; corr. ed. Basil. 12. τᾶς τάν]
scripsi; τὰν F, uulgo. 18. μυριαδεσσιν) scripsi; μυρίασιν F,

uulgo. 24. rx] vo F; corr. manus 2. — 26. x«usvov, FC ed.
Basil; corr. F manu 9. ταῦτα] τούτους Wallis, Torellius.

284 13 TAMMITHE.

τῶν πέμπτων ἀριϑμῶν. φανερὸν οὖν, ὅτι τοῦ ψάμ-
μου τὸ πλῆϑος τοῦ μέγεϑος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ
τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων ρ΄ μυριάδων ἔλασ-
dóv ἐστιν ἢ χιλίαι μυριάδες τῶν πέμπτων ἀριϑμῶν.
& δὲ τὰν διάμετρον ἔχουσα σφαῖρα σταδίων μυριᾶν
μυριάδων πολλαπλασίων ἐστὶ τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας
τὰν διάμετρον σταδίων ρ᾽ μυριάδων ταῖς ρ΄ μυριάδεσ-
€,v. εἰ δὴ γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ
μέγεϑος, ἁλίκα ἐστὶν & σφαῖρα ἃ ἔχουσα τὰν διάμετρον
σταδίων μυριᾶν μυριάδων, φανερόν, ὅτι ἔλασσον ἐσ-
σείται τὸ τοῦ ψάμμου πλῆϑος τοῦ γενομένου ἀριϑμοῦ
πολλαπλασιασϑεισᾶν τῶν χιλιᾶν μυριάδων τῶν πέμπο
τῶν ἀριϑμῶν ταῖς ρ΄ μυριάδεσσιν. ἐπεὶ δ᾽ αἱ μὲν
τῶν πέμπτων ἀριϑμῶν χιλίαι μυριάδες τετρωκοστός
ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἷ δὲ ρ΄ μυριάδες ξβδο-
μος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὡς
ὁ γενόμενος ἐσσείται ἕκτος καὶ τετρωκοστὸς ἀπὸ μο-
νάδος. τῶν δὲ τεσσαράκοντα καὶ ἕξ τούτων ὀκτὼ μὲν
οἵ πρώτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων
ἐντί, ὀκτὼ δὲ oí μετὰ τούτους τῶν δευτέρων, καὶ οἵ
μετὰ τούτους ἄλλοι ὀχτὼ τῶν τρίτων, oí δὲ μετὰ τοὺς
τρίτους ἄλλοι ὀκτὼ τῶν τετάρτων. καὶ oí μετὰ τοὺς
τετάρτους ὀκτὼ τῶν πέμπτων, οἱ δὲ λοιποὶ ξξ τῶν
ἕκτων καλουμένων ἐντί, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι ι΄
μυριάδες τῶν ἕκτων ἀριϑμῶν. φανερὸν οὖν, ὅτι τὸ τοῦ
ψάμμου πλῆϑος τοῦ μέγεϑος ἔχοντος ἴδον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ

8. μυριαδὲς F; corr. Wallis. eAacc cum comp. o» PF;
corr. V. b. σφαιρ cum comp. eg F; corr. manus 2 et B.
μυριας F; corr. Wallis. 7. μυριαδεσιν F'; corr. B. . 8. às)
scripsi; δὲ F, uulgo; οὖν Wallis, Torellius. 10. μνυριας *;
corr. Wallis. ελασσ cum comp. o» F, ed. Basil. 12. πολλα-
πλασι cum comp. ov Εἰ; corr. B. 18. μυριάδεσσιν») &cripsi;

ARENARIUS. 285

manifestum est igitur, numerum arenae magnitudinem
habentis aequalem sphaerae diametrum habenti cen-
ium myriades stadiorum longam minorem esse quam
mile myriades quintorum numerorum. sphaera autem
diametrum habens decem milla myriadum stadio-
rum longam centum myriadibus multiplex est quam
sphaera diametrum habens centum myriades stadiorum
longam. si igitur ex arena tanta sphaera efficitur,
quanta esi sphaera diametrum habens decem millia
myriadum stadiorum longam, manifestum est, nume-
rum arenae minorem fóre numero multiplicatis mille
myriadibus quintorum numerorum et centum myria-
dibus orto. quoniam autem mille myriades quintorum
numerorum quadragesimus ab unitate numerus est in
proportione, et centum myriades septimus ab unitate
in eadem proportione, adparet, productum fore qua-
dragesimum sextum ab unitate. horum autem qua-
draginta sex primi octo cum unitate ii sunt, qui primi
uocantur, octo sequentes ii, qui secundi, octo autem
deinde sequentes ii, qui tertii, octo autem tertios se-
quentes ii, qui quarti, octo autem quartos sequentes
ii, qui quinti uocantur, sex autem reliqui ex iis sunt,
qui sexti uocantur, et uliimus eorum est decem my-
riades sextorum numerorum. manifestum est igitur,
numerum arenae magnitudinem habentis aequalem

μυριασιν F, uulgo. 14. τετρακοστὸς F, uulgo, ut lin. 17.
17. ἐσσείται ἐκ τὰς αὐτᾶς ἀναλογέας ἕκτος Gerizius. 18.
ὀκτὼ pel διμὲν F; corr. Wallis; of μὲν ὀκτώ B. 21. μετὰ
τους FE; corr. CV. 28. EE] om. F; corr. Wallis. 244. αὖτ
cum comp. og F; corr. B. 26. μοιριαδων Εἰ; μυριαδὼν uulgo;
corr. Wallis.

986 WAMMITHZ.

τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων μυριάδων μυριᾶν ἔλασ-

10 σόν ἐστιν ἢ ι΄ μυριάδες τῶν ἔκτων ἀριϑμῶν. ἁ δὲ

δι

τὰν διάμετρον ἔχουσα σφαῖρα σταδίων μυριάκις μυ-
ριάδων ρ΄ πολλαπλασία ἐστὶ τᾶς σφαίρας τὰς ἐχούσας
τὰν διάμετρον σταδίων μυριάδων μυριᾶν ταῖς ρ΄ uv-
ριάδεσσιν. εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα
ταλικαύτα τὸ μέγεϑος, ἁλίκα ἐστὺν ἃ σφαῖρα & ἔχουσα
τὰν διάμετρον σταδέων μυριάκις μυριάδων ρ΄, φανε-
ρόν, ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆϑος ἔλασσον ἐσδείται τοῦ
γενομένου ἀριϑμοῦ πολλαπλασιασϑεισᾶν τῶν ε΄ μυριά-
δων τῶν ἕἔκτων ἀριϑμῶν ταῖς ρ΄ μυριάδεσσιν. ἐπεὶ
δ᾽ αἱ μὲν τῶν ἔχτων ἀριϑμῶν δέκα μυριάδες ἕκτος
καὶ τετρωκοστός ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ
ρ΄ μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀνα-
λογέας, δῆλον, ὅτι ὁ γενόμενος ἐσσείται δυοκαιπεντα-
κοστὸς ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας. τῶν δὲ
δύο xal πεντήκοντα τούτων oí μὲν ὀχτὼ καὶ τεσσα-
ρώχοντα σὺν τᾷ μονάδι οἵ τε πρώτοι καλουμένοι ἐντὶ
καὶ οἵ δευτέροι καὶ τρέτοι καὶ τετάρτοι καὶ πέμπτοι
καὶ ἕκτοι, οἱ δὲ λοιποὶ τέσσαρες τῶν ἑβδόμων καλου-
μένων ἐντί, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι χιλίαι μονάδες
τῶν ἑβδόμων ἀριϑμῶν. φανερὸν οὖν, ὅτι τοῦ ψάμμου
τὸ πλῆϑος τοῦ μέγεϑος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ
τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων μυριάκις μυριάδων o'
ἔλασσόν ἐστιν ἢ α μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριϑμῶν.

11 ἐπεὶ οὖν ἐδείχϑη & τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάσσων

1, μυριάδων μυριὰν] scripsi; μυριακὶς μυριάδων μυρεὼν F,
uulgo; μυριάκις μυρέων Medi. Torellius. ελασσ eum. com

ων P; corr. Riualtus. 8. εχουσας F; corr. BC. — 65. Qood -
óo» μυριᾶν] , 8Cripsi; μυριαδὰς (comp. erc) μυριας (comp. «g) F,
uulgo; μυριάκις μυρίων Wallis, Torellius. μυριαδεσιν F;
corr. B. 10. πολλαπλασι cum Comp. ων EF; corr. μυρια-

ARENARIUS. 281

Sphaerae diametrum habenti decem millia myriadum
stadiorum longam minorem esse quam decem myria-
des sextorum numerorum. sphaera autem diametrum 10
habens decies centena millia myriadum stadiorum
longam centum myriadibus multiplex est quam sphaera
diametrum habens decem millia myriadum stadiorum
longam. 81 igitur ex arena ianta sphaera efficitur,
quanta esi sphaera diametrum habens decies centena
milla myriadum stadiorum longam, manifestum est,
numerum arenae minorem fore numero multiplicatis
decem myriadibus sextorum numerorum et centum
myriadibus orto. quoniam autem decem myriades
sextorum numerorum quadragesimus sextus est ab uni-
tale numerus in proportione, et centum myriades
septimus est ab unitaie in eadem proportione, adparet,
produetum fore quinquagesimum secundum ab unitate
in eadem proportione. horum autem quinquaginta
duorum primi quadraginta octo eum unitate ii sunt,
qui primi, secundi, tertii, quarti, quinti, sexti uocan-
tur, reliqui autem quattuor ex iis sunt, qui septimi
uocantur, et uliimus eorum est mille unitates septi-
morum numerorum. manifestum est igitur, numerum
arenae magnitudinem habentis aequalem sphaerae dia-
metrum habenti decies centena millia myriadum sta-
diorum longam minorem esse quam mille unitates
seplimorum numerorum. iam quoniam demonstratum 11
est, diametrum mundi minus quam decies centena

δαν Ἐπ corr. B. 11. ταν o μυριαδὲς ἘΠ; corr. Walls. 18.
τεσσαρακοστος F, uulgo. 15. δυοκαιπεντηκοστος F; corr. ed.
Basil ^ 20. καλουμένων ad ἑβδόμων lin. 22 repetuntur in Εἰ;
expunxit manus 1. 24. τάν] τῶν per comp. F; corr. VB.
25. ελασσ cum comp. ov» Εἰ; corr. V.

288 1ITAMMITHZ.

ἐοῦσα σταδίων μυριάκις μυριάδων ρ΄. δῆλον, ὅτι καὶ
τοῦ ψάμμου τὸ πλῆϑος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τῷ
κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἢ α μονάδες τῶν ἑβδόμων
ἀριϑμῶν. ὅτι μὲν οὖν τὸ τοῦ ψάμμου πλῆϑος τοῦ
5 μέγεϑος ἔχοντος ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν πλείστων ἀστρολόγων
καλουμένῳ κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἢ α μονάδες τῶν
ἑβδόμων ἀριϑμῶν, δεδείκται. ὅτι δὲ καὶ τὸ πλῆϑος
τοῦ ψάμμου τοῦ μέγεϑος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τα-
λικαύτᾳ, ἁλέκαν ᾿ἀρίσταρχος ὑποτιϑέται τὰν τῶν ἀπλα-
10 νέων ἄστρων σφαῖραν εἶμεν, ἔλασσόν ἐστιν ἢ α μυ-
12 ριάδες τῶν ὀγδόων ἀριϑμῶν, δειχϑησέται. ἐπεὶ γὰρ
ὑποκείται, τὰν γᾶν τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον ποτὶ τὸν
ὑφ᾽ ἁμῶν εἰρημένον κόσμον, ὃν ἔχει λόγον ὁ εἰρη-
μένος κόσμος ποτὶ τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖ-
16 ραν, ἂν ᾿Δἀρίσταρχος ὑποτιϑέται, καὶ αἱ διαμέτροι τᾶν
σφαιρᾶν τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ποτ᾽ ἀλλάλας, ἁ δὲ
τοῦ κόσμου διάμετρος τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς δεδείκται
ἐλάσσων ἐοῦσα ἢ μυριοπλασίων, δῆλον οὖν, ὅτι καὶ
ἃ διάμετρος τᾶς τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαίρας ἐλάσ-
20 σων ἐστὶν ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τοῦ κόσμου.
ἐπεὶ δὲ αἱ σφαίραι τριπλάσιον λόγον ἔχοντι ποτ᾽ ἀλ-
λάλας τᾶν διαμέτρων, φανερόν, ὅτι & τῶν ἀπλανέων
ἄστρων σφαῖρα, ἃν ᾿Δρίσταρχος ὑποτιϑέται, ἐλάττων
ἐστιν ἢ μυριάκις μυρίαις μυριάδεσσι πολλαπλασίων
οὐ τοῦ κόσμου. δεδείκται δέ, ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆϑος
τοῦ μέγεϑος ἔχοντος ἴσον τῷ κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἢ

1. μυριων F mg., B mg. 4. οὖν) scripsi; ομοιως post
lacunam 6 litterarum F, uulgo. 10. δλασσ cum comp. o» Εἰ:
corr. AB. 12. ποτὶ τόν} ποτι τῶν (comp.) FV; corr. V eadem
manu, BC. 16. σφαιρ cum comp. ὧν F; corr. BC. εχωντι
Εἰ; corr. BV. ποτ᾽ αλλὰας F; corr. B. 18. μυριοπλασιαν
F; corr. Wallis; μυριοπλασία B, 'V e correctione. 921. ἐπεὶ δέ]

|
ARENARIUS. 289

milla myriadum stadiorum longam esse [II, 1], ad-
paret, etiam numerum arenae magnitudinem habentis
aequalem mundo minorem esse quam mille unitates
seplimorum numerorum. itaque demonstratum est,
numerum arenae magnitudinem habentis aequalem
mundo, qualis à plerisque astrologis fingatur, minorem
esse quam mille unitates septimorum numerorum.
restat autem, ut demonstremus, etiam numerum arenae
magnitudinem habentis aequalem tali sphaerae, qua-
lem Aristarchus stellarum fixarum sphaeram esse sup-
ponat, minorem esse quam mille myriades octauorum
numerorum. nam quoniam suppositum est, terram 12
ad mundum, qualis uulgo à nobis fingatur, eam ratio-
nem habere, quam idem ille mundus habeat ad sphae-
ram stellarum fixarum, quam Aristarchus supponat
[I, 6], οὐ diameiri sphaerarum eandem inter se ratio-
nem habent [Eucl XII, 18], et demonstratum est,
diamelrum mundi minorem esse diametro terrae de-
cies millies sumpta [II, 2], adparet, etiam diametrum
sphaerae stellarum fixarum minorem esse diametro
mundi decies millies sumpta. quoniam autem sphae-
rae iriplicem inter se rationem habent, quam diametri
[Eucl XII, 18], manifestum est, sphaeram stellarum
fixarum, quam Aristarchus supponat, minorem esse
mundis 1000000000000. et demonstratum est, nume- 13
rum arenae magnitudinem habentis mundo aequalem
minorem esse quam mille unitates septimorum nume-

ἐπειδὴ EF; corr. Wallis. ἐχωντι F; corr. BV. — 24. μυρίαις]
! scripsi; om. F, uulgo; μυριάδων AC, coni. Riualtus, Wallis,
E Torellus. 26. ovi] om. Εἰ; corr. Riualtus. 26. ελασσ cum
comp. cov Εἰ; corr. B mg.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 19

290 ΨΑΜΜΙΤΗΣ.

κα μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριϑμῶν. δῆλον οὖν, ὅτι, εἰ γέ-
νοίτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεϑος, ἀλέ-
xav δ᾽ Δρίσταρχος ὑποτιϑέται τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων
σφαῖραν εἶμεν, ἐλάσσων ἐσσείται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριϑμὸς
ὅ τοῦ γενομένου ἀριϑμοῦ πολλαπλασιασϑεισᾶν τᾶν χιλιᾶν
«μονάδων ταῖς μυριάκις μυρίαις μυριάδεάσιν. καὶ ἐπεὶ
αἱ μὲν τῶν ἑβδόμων α μονάδες δυοκαιπεντακοστός
ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ μυριάκις μυρίαι
μυριάδες τρισκαιδέκατος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς
10 ἀναλογίας, δῆλον, ὅτι ὁ γενόμενος ἐσσείται τέταρτος
καὶ ἑξηκοστὸς ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογέας.
οὗτος δέ ἐστι τῶν ὀγδόων ὄγδοος, ὅς κα εἴη χιλέαι
μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριϑμῶν. φανερὸν τρίνυν, ὅτι
τοῦ ψάμμου τὸ πλῆϑος τοῦ μέγεϑος ἔχοντος ἴσον τᾷ
16 τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαίρᾳ, ἃν ᾿Δρίσταρχος ὑπο-
τιϑέται, ἔλασσόν ἐστιν ἢ α μυριάδες τῶν ὀγδόων
14 ἀριϑμῶν. ταῦτα δέ, βασιλεῦ Γέλων, τοῖς μὲν πολλοῖς
καὶ μὴ κεκοινωνηκότεσσι τῶν μαϑημάτων οὐκ εὔπιστα
φανήσειν ὑπολαμβάνω, τοῖς δὲ μεταλελαβηκότεσσιν καὶ
80 περὶ τῶν ἀποστημάτων καὶ τῶν μεγεϑέων τᾶς τε γᾶς
καὶ τοῦ ἁλίου καὶ τᾶς σελήνας καὶ τοῦ ὅλου κόσμου
πεφροντικότεσσιν πιστὰ διὰ τὰν ἀπόδειξιν ἐσσείσϑαι.
διόπερ φήϑην κα καὶ τὶν οὐκ ἀναρμοστεῖν [ἔτι] ἐπι-
ϑεωρήδσαι ταῦτα.

4. εσειται F. 5. πολλαπλασιαν F; corr. B. χιλε cum
comp. ov F; corr. B. 6. μονάδων τῶν ἑβδόμων ἀριϑμῶν B,
Wallis, Torellius, Gertzius. 7. ἑβδόμων ἀριϑμῶν B, Riual-
tus, Wallis, Torellius, Gertziue. 8. af] om. F; corr. Wallis.
19. ὅς κα εἴη] scripsi; καὶ zevra F, ed. Basil; καὶ πεντάκις

uulgo; καί Wallis, Torellius; ὃς καί ἐστιν αἵ Gertzius. 14.
ze] om. F; corr. Wallis. 28. κα καί Maduigius; καὶ F,
uulgo. τίν] τινας F, uulgo; corr. Gomperz. ἀναρμοστεῖ)

Maduigius; αναρμοστον su F, uulgo; ἀνάρμοστον εἶμεν Gom-
perz. ἔτι) delet Gomperz. In fine 4eziumóovg ψαμμιτης F.

ARENARIUS. 291

rorum 8. 11] adparet igitur, si ex arena tanta
sphaera efficiatur, quantam Aristarchus supponat sphae-
ram stellarum fixarum esse, numerum arenae mino-
rem fore numero multiplicatis mille unitatibus [septi-
morum numerorum] et 1000000000000 orto. quo-
niam auiem mille unitates septimorum [numerorum]
quinquagesimus secundus est ab unitate numerus in
proportione, et 1000000000000 tertius decimus est ab
unitate in eadem proportione, adparet, productum fore
sexagesimum quartum ab unitate in eadem proportione
numerum. is aulem octauus est numerorum ociauo-
rum, qui est mille myriades numerorum octauorum.
manifestum est igitur, numerum arenae magnitudinem
habentis aequalem sphaerae stellarum fixarum, quam
supponat Aristarchus, minorem esse quam mille my-
rides octauorum numerorum. haec autem, rex Gelo,
uulgo hominum mathematices imperito incredibilia
uisum iri puto, peritis uero, qui distantias et magni-
tudines terrae et solis et lunae et totius mundi
cognouerint, credibilia propter demonstrationem fore.
quare putaui, tibi quoque conuenire haec cognoscere.

19*

QUADRATURA PARABOLA E.

Τετραγωνισμὸς παραβολῆς.
᾿4φχιμήδης 4Δοσιϑέῳ εὖ πράττειν.

ἀκούσας Κόνωνα μὲν τετελευτηκέναι, ὃς ἦν ἔτι
βλέπων ἡμῖν ἐν φιλίᾳ, τὴν δὲ Κόνωνος γνώριμον γε-
γενήσϑαι καὶ γεωμετρίας οἰκεῖον εἶμεν τοῦ μὲν τετε-
λευτηκότος εἵνεκεν ἐλυπήϑημεξ ὡς καὶ φίλου τοῦ &v-
δρὸς γεναμένου καὶ. ἐν τοῖς μαϑημάτεσσι ϑαυμαστοῖ
τινος, ἐπροχειριξάμεϑα δὲ ἀποστείλαι τοι γραψάντες,
ὡς Κόνωνι γράφειν ἐγνωκότες ἦμες, γεωμετρικὸν ϑεώ-
ρημά τι, ὃ πρότερον μὲν οὐκ ἦν τεϑεωρημένον, νῦν
δὲ ὑφ᾽ ἡμῶν τεϑεωρήται, πρότερον μὲν διὰ μηχανι-
κῶν εὑρεϑέν, ἔπειτα δὲ καὶ διὰ τῶν γεωμετρικῶν ἐπι-
δειχϑέν. τῶν μὲν οὖν πρότερον περὶ γεωμετρίαν
πραγματευϑέντων ἐπεχείρησάν τινες γράφειν ὡς δυνα-
τὸν ἐὸν κύκλῳ τῷ δοθέντι καὶ κύκλου τμάματι τῷ
δοϑέντι χωρίον εὑρεῖν εὐθύγραμμον (gov: καὶ μετὰ
ταῦτα τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ὅλου τοῦ
κώνου τομᾶς καὶ ᾿εὐθείας τετραγωνίξειν ἐπειρῶντο
λαμβανόντες οὐκ εὐπαραχώρητα λήμματα, ὥστε αὐτοῖς

4. βλέπων scripsi; λείπων F, uulgo; λοιπός Torellius. φέ-

λοις Torellius. τίν] scripsi; τινὰ F, uulgo; τένη Torelliue.
6. ελυπηϑημὲεν F, uulgo. 7T. μαϑημασι F, uulgo. 8. τοι
om. F; corr. Torellius. 9. εἰωϑότες "Torellius. εἰμὲν EF,
uulgo; ἦμεν Torellius. γεωμετρικὸν θεώρημα τι] scripsi;

γεωμετρικων ϑεωρηματων F, uulgo. 18. οὖν] addidi; om. F,
uulgo. 16. τμηματι ἘΠ; corr. Torellius. 17. ὅλου] cor-

Quadratura parabolae.")
Archimedes Dositheo s.

Cum audiuissem, Cononem mortuum esse, qui, dum
uixit, nobis amicitia coniunctus erat, le autem Cononi
familiarem fuisse et, geometriae esse peritum, demortui
causa dolore adfecti sumus, quippe qui et amicus et in
mathematicis admirabili acumine praeditus esset, susce-
pimus autem ad te per litteras, sicuti ad Cononem mit.
iere constitueramus, geometricum theorema quoddam
mittere, quod antea perspectum non erat, nunc uero a
nobis perspectum est, prius per mechanica inuentum,
postea autem etiam per geometrica demonstratum.
eorum enim, qui antea in geometria uersati sunt, qui-
dam?) conati sunt scribere, fieri posse, ut spatium recti-
lineum inueniretur dato circulo et dato circuli segmento
aequale; et deinde spatium totiusT coni sectione et linea
recta comprehensum quadrare conabantur lemmata
minime manifesta adsumentes; quare plerique agno-

1) Archimedes sine dubio hunc librum inscripserat περὶ
τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, ut habet Eutocius ad pl.

8) De circuli quadratura egerant praeter alios Antiphon,
Bryson, Hippias, Hippocrates.

ruptum; Quaest. Arch. p. 149. 19. ὥστε] scripsi; oxeg F,
uulgo; διόπερ Torellius. αὐτοί--- εὑρισκόμενοι lorellius.

296 TETPAIT9NIZMOZ IIAPABOAHZ.

ὑπὸ τῶν πλείστων οὐκ εὑρισκόμενα ταῦτα κατεγνώσ-
ϑεν. τὸ δὲ ὑπ’ εὐθείας τε καὶ ὀρϑογωνίου κώνου
τομᾶς τμᾶμα περιεχόμενον οὐδένα τῶν προτέρων ἐγχει-
ρήσαντα τετραγωνίξειν ἐπιστάμεϑα, ὃ δὴ νῦν ὑφ᾽ ἡμῶν
εὑρήται. δεικνύται γάρ, ὅτι πᾶν τμᾶμα περιεχόμενον
ὑπὸ εὐθείας xal ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς ἐπέίτριτόν
ἐστι τοῦ τριγώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν καὶ
ὕψος ἴσον τῷ τμάματι λαμβανομένου τοῦδε τοῦ λήμ-
ματος ἐς τὰν ἀπόδειξιν αὐτοῦ" τῶν ἀνίσων χωρίων
τὰν ὑπεροχὰν, & ὑπερέχει τὸ μεῖξον τοῦ ἐλάσσονος,
δυνατὸν εἶμεν αὐτὰν ἑαυτᾷ συντιϑεμέναν παντὸς ὑπερ-
ἔχειν τοῦ προτεϑέντος πεπερασμένου χωρίου. κεχρήν-
ται δὲ καὶ oí πρότερον γεωμέτραι τῷδε τῷ λήμματι.
τούς τε γὰρ κύκλους διπλασίονα λόγον ἔχειν ποτ᾽
ἀλλάλους τᾶν διαμέτρων ἀποδεδείχασιν αὐτῷ τούτῳ
τῷ λήμματι χρωμένοι, καὶ τὰς σφαίρας ὅτι τριπλασίονα
λόγον ἔχοντι ποτ᾽ ἀλλάλας τᾶν διαμέτρων, ἔτι δὲ καὶ
ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος
τοῦ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντος τᾷ πυραμίδι καὶ ὕψος
ἴσον' καὶ διότι πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ κυ-
λίνδρου τοῦ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντος τῷ κώνῳ καὶ
ὕψος ἴσον, ὁμοῖον τῷ προειρημένῳ λῆμμα τι λαμβα-
νόντες ἐγράφον. συμβαίνει δὲ τῶν προειρημένων ϑεω-
ρημάτων ἕκαστον 'μηδὲν ἧσσον τῶν ἄνευ τούτου τοῦ
λήμματος ἀποδεδειγμένων πεπιστευχέναι. ἄρτι δὲ ἐς
τὰν ὁμοίαν πίστιν τούτοις ἀναγμένων τῶν ὑφ᾽ ἡμῶν

2. δὲ ὑπ᾽ εὐϑείας] om. F; corr. Torellius. 8. τμημα F;

corr. Torellius, ut lin. 5, 8. προτέρων] scripsi; πρώτῶν F,
uulgo. li. ἑαυτῷ] addidi; om. F, uulgo. 14. aor] σξρος
per comp. F; eorr. V (ποτῶ. 15. αλληλους FP; corr. V.

τῶν per comp. F; corr. Torellius. τούτῳ] addidi; om. F,
uulgo. 17. προς per comp. Εἰ; corr. Torellius (ποτῶ. αλ-

MEN
QUADRATURA PARABOLAE. 291

uerunt, haec ab iis inuenta non esse. segmentum
autem linea recta et seclione coni rectanguli compre-
hensum neminem ex prioribus quadrare conatum esse
seimus; id quod iam a nobis inuentum est. demon-
siramus enim, quoduis segmentum linea recta ei sec-
lione coni rectanguli comprehensum tertia parte maius
esse triangulo basim eandem habenti quam segmen-
tum et altitudinem aequalem, hoc ad demonstrationem
adsumpto lemmate!) spatiorum inaequalium excessum,
quo maius excedat minus, sibi ipsum additum quoduis
Spatium datum terminatum excedere posse. sed priores .
quoque geomeltrae hoc lemmate usi sunt; nam circulos
duplicem rationem habere inter se, quam diametri habent
[Eucl. XII, 2], hoc ipso lemmate usi demonsirauerunt,
el sphaeras triplicem inter se rationem habere, quam
habent diametri [Eucl. XII, 18]; et porro quamuis py-
ramidem tertiam esse partem prismatis eandem basim. .
habentis, quam pyramis, et altitudinem aequalem [Eucl.
XII, 7], et quemuis conum terliam esse partem cy-
lindri eandem basim habentis, quam conus, et altitu-
dinem aequalem [Eucl. XII, 10], demonstrabant lemma
ili simile adsumentes. accidit autem, ut omnia illa
theorematia non minus lis, quae sine hoc lemmate de-
monstrata sunt, confirmauerimt. et cum ea, quae nune

1) De hoc lemmate cfr. uol. I p. 11 not 1.
iles F; corr. V. 18, ὅτι] addidi; om. F, uulgo. μυραμις

20. διότι] δὴ ὅτι Torellius. 22. ὁμοῖον] Scripsi; opo.
ἊΝ comp. og PF, uulgo. 23. ἐγράφον F; εἐγγραφον uulgo.

δέ] om. F'; corr. "Torellius. 24. μηδέν] scripsi; μηδὲν cum
comp. oc F, uulgo. 26. τούτοις] scripsi; vovrov Ε΄, uulgo;
τούτων Torrellius. ἀναγμένων scripsi; eveyusvov F, uulgo;

ἀναγομένων Torellius.

298 TETPATQ9NIZMOZ IIAAPABOABZ.

ἐκδιδομένων ἀναγραψάντες οὖν αὐτοῦ τὰς ἀποδειξίας

ἀποστέλλομες πρῶτον uiv, ὡς διὰ τῶν μηχανικῶν

ἐθεωρήϑη, μετὰ ταῦτα δὲ καί, ὡς διὰ τῶν γεωμετρου-

μένων ἀποδευκψύται. προγραφέται ὃὲ καὶ στοιχεῖα
ὅ κωνικὰ χρεῖαν ἔχοντα ἐς τὰν ἀπόδειξιν. ἔρρωσο.

α΄.
Εἰ xu ἦ ὀρϑογωνίου κώνου τομά, ἐφ᾽ ἧς & ABI,
ἡ δὲ ἁ μὲν B4 παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος,
& δὲ 4Γ παρὰ τὰν κατὰ τὸ B ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ
10 κώνου τομᾶς, ἴσα ἐσσείται ἃ 44 τᾷ 4I. κἂν ἴσα
ἡ & 44 τᾷ AT, παραλλήλοι ἐσσούνται ἅ ve 4Γ' καὶ
ἃ κατὰ τὸ B ἐπιψαύουσα τὰς τοῦ

£ κώνου τομᾶς.

β΄.

15 Εἰ κα ἡ ὀρϑογωνίου κώνου
τομὰ & ABI, ἡ δὲ & μὲν BA
παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διά-
μετρος, & δὲ 4ΖΓ παρὰ τὰν κατὰ
τὸ B ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κοῤνου

20 Y τομᾶς, & δὲ ΕΓ τᾶς τοῦ κώνου

4 4 τομᾶς ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ D, ἐσ-
σούνται αἱ B4, BE ἴσαι.

1. αποδειξεις ἀποστελλομὲν F, uulgo. 8. ἃ μέν] om. F;
corr. ed. Basil. 10. secte; per comp. F, uulgo. AT] Ar

F. ισὴ F; corr. Torellius. 11. τὰ 4ΓῚ om. F; corr. B.
ewe EF; corr. B. 19. επιψανουσαι ἘΠ) corr. B.

ERN

ΜΗ 0n mEERMGMS

QUADRATUBA PARABOLAE. 299

edimus, nuper ad eandem fidem perducia sint, demon-
sirationes eorum a nobis conscriptas mittimus, prius,
quo modo per mechanica perspecta sint, deinde autem
eliam, quo modo per geometrica demonstrentur; prae-
mittuntur autem etiam conica elementa ad demonstra-
lionem utilia. uale.

Si data est sectio coni rectanguli, in qua est ABI,
et linea Bz/ diametro parallela

z est uel ipsa diametrus, AI'au-
iem lineage in B sectionem coni
contingenti parallela, erit

Ad -— AI. |
οὐ s) 424 -— ZID,linea AT'et -
2 ΖΩ͂

linea in B sectionem coni con-
tingens parallelae erunt [Apollon. I, 46].")
2

II.

Si A4BI' sectio est coni rectanguli, et linea B
diametro parallela est uel ipsa diametrus, et linea 4241 Γ΄
lineae in B sectionem coni contingenti parallela est,
et linea EI' sectionem in puncto Γ΄ contingit, erit
B4 — BE [Apollon. I, 35].?)

* 41) Cfr. Zeitschr. f. Math., bist. Abth. XXV p. 51 nr. 14.
᾿ 9) Cfr. ibid. p. ὅδ nr. 16.

300 TETPAT'S9NIZMOZ IIAPABOAHZ.

γ΄.
Εἴ κα ἡ ὀρϑογωνίου κώνου τομὰ & ABD, ἁ δὲ
2 ΒΖ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ
διάμετρος, καὶ ἀχϑέωντί τινες
αἱ 44, ΕΖ παρὰ τὰν κατὰ τὸ
Ζ' Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου
τομᾶς, ἐσσείται, ὡς & Β 4 ποτὶ
τὰν ΒΖ. δυνάμει & 44 ποτὶ
A 2 Z' τὰν EZ.

ἀποδεδείκται Ób ταῦτα ἐν volg κωνικοῖς στοιχείοις.

δ΄.

Ἔστω τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐϑείας καὶ ἐρϑο-
γωνίου κώνου τομᾶς τὸ 4ΒΓ. ἁ δὲ B4 ἀπὸ μέσας
τᾶς 4Γ παρὰ τὰν διάμετρον ἄχϑω, ἢ αὐτὰ διάμετρος
ἔστω, καὶ ἃ ΒΓ εὐϑεῖα ἐπιξευχϑεῖσα ἐχβεβλήσϑω. εἰ
δή κα ἀχϑῇ τις ἄλλα & ZO παρὰ τὰν B4 τέμνουσα
τὰν διὰ τῶν Α, Γ εὐθεῖαν, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον “ἃ
ΖΘ ποτὶ τὰν ΘΗ, ὃν & 2.4 ποτὶ τὰν ZZ.

ἄχϑω γὰρ δια τοῦ Η παρὰ τὰν 4Γ ἁ ΚΗ. ἔστιν
ἄρα, ὡς & B ποτὶ τὰν BK μάκει, οὕτως & 4Γ' ποτὶ
τὰν ΚΗ δυνάμει. ἀποδεδείκται γὰρ τοῦτο. ἐσδείται

2. ἢ) supra scriptum manu 1 F. ορϑογωνι cum comp.
ov F. & 06] η δὲ F; corr. Torellius. 8. αὐτὰ τὰ F, uulgo;
τα deleui; αὐτὰ & B, Riualtus, Torellius. 4. διαμετρω F';
corr. B. αχϑωσαν FC; ἀχϑῶσι uulgo. — 5. παρὰ τὰν καΐξὰ
τὸ B] om. F; corr. B. 7. ΒΖ μάκει A, ed. Basil, Torelfius.
8. οὕτως δυνάμει ed. Basil., Torellius, 10. δέ] scripsi; à
F, uulgo. 12. τμημα F, ut lin. 14: αὐτη, hn. 16: elim,
lin. 19: 3790; corr. Torellius. 16. κα $291) SCripSl; κατ-
αχϑειη F, uulgo. 17. ἑκατέραν τῶν ΑΤ' καὶ D'B: εὐϑεῖα

Torellius; ἑκατέραν τἂν αγβ εὐθειᾶν mg. ed. Basil. 19. H]
IFV. 21. K H] KI F; corr. ed. Basil.

. QUADRATURA PARABOLAE. 301

III.

Si ABI sectio est coni rectanguli, et linea B
diametro parallela uel ipsa diametrus, et ducuntur
lineae quaedam 471, EZ lineae in B sectionem coni
conüingenti parallelae, erit B4: ΒΖ — 4.45: ΕΖ".

Haec autem in elementis conicis demonstrata sunt.?)

IV.

Sit 4BI' segmentum linea recta et sectione coni
rectanguli comprehensum, et ἃ media linea AI' du-
catur B1 diametro parallela, uel ipsa diametrus sit,
et ducatur linea BI' et producatur?) si igitur alia
linea ZO lineae B4 parallela ducitur, ita ut lineam
per 4, Γ ductam secet, erit ΖΘ: ΘΗ — 44: 4Z.

ducatur enim per punctum 2H linea K H lineae AT'

AZ 2 ZZ. 42z P, Pu
parallela. erit igitur B4: BK — ZI": KH*. hoc

D Apollon. I, 20; Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 50
nr.

E In elementis conicis Aristaei et Euclidis; ibid. p.

8) Respicitur ad fig. 2 solam, sed cfr. Zeitschr. f. Maih.
l c. p. 68**

802 ΤΕΤΡΑΓΏΝΙΣΜΟΣ IIAPABOAHZ.

ἄρα, ὡς ἃ ΒΓ ποτὶ τὰν BI μάκει οὕτως & ΒΓ ποτὶ
τὰν ΒΘ δυνάμει. ἀνάλογον ἄρα ἐντὶ αἱ ΒΓ, ΒΘ, BI
γραμμαί' ὥστε τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον & ΒΓ ποτὶ τὰν
ΒΘ, ὃν ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν 8I. ἔστιν ἄρα, ὡς ἁ ΓΖ ποτὶ
τὰν 4Ζ, οὕτως & ΘΖ ποτὶ τὰν ΘΗ. τᾷ δὲ AT' ἴσα
ἐστὶν & 4.4. δῆλον οὖν, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον
& 4.4 ποτὶ τὰν 4Z, ὃν ἁ ZO ποτὶ τὰν ΘΗ.

ε΄.

Ἔστω τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐϑείας καὶ ὀρϑο-
γωνίου κώνου τομᾶς τὸ ABI, καὶ ἄχϑω ἀπὸ τοῦ 4
παρὰ τὰν διάμετρον & Z4, ἀπὸ δὲ τοῦ Γ ἐπιψαύουσα
τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Γ ἁ ΓΖ. εἰ δή τις
ἀχϑείη ἐν τῷ Ζ4Γ τριγώνῳ παρὰ τὰν AZ, εἰς τὸν
αὐτὸν λόγον ἁ ἀχϑεῖσα τετμησέται ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀρϑο-
γωνίου κώνου τομᾶς καὶ ἃ 4 ὑπὸ τᾶς ἀχϑείσας
[ἀνάλογον]. ὁμόλογβδν δὲ ἐσσείται τὸ τμᾶμα τᾶς 4Γ
τὸ ποτὶ τῷ 44 τῷ τμάματι τᾶς ἀχϑείσας τῷ ποτὶ τῷ A.
ἄχϑω γάρ τις & 4Ε παρὰ τὰν AZ, καὶ τεμνέτω
πρῶτον & 4E τὰν 4Γ δίχα. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὀρϑο-
yovíov κώνου rout & ABI, καὶ ἀγμένα ἁ Β4 παρὰ
τὰν διάμετρον, αἱ δὲ 421, AT' ἴσαι, ἐσσείται τᾷ AT
παράλληλος & κατὰ τὸ B ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ ὀρϑο-

1. ποτὶ τὰν ΒΘ — aí BI'lin. 2 suppleui; om. F, uulgo.
6. 4Z — ποτὶ τάν om. F lacuna post 6 H relicta; corr. ed. Ba-
sil. 8. Hine propositionum numeros om. F, sed initia per
lineolam transuersam in mg. ductam deeignat. 9. τμημα F;
corr. Torellius. 13 εἰς] addidi; om. F, uulgo. 16. ἀνά-
Aoyov] uncis inclusit ed. Basil; om. Torellius. 17. τὸ ποτὶ
tQ] scripsi; ποτι vo F, uulgo. τῷ 4| scripsi; τὰ 4 F, uulgo;
fort. τὰ ΑΓ. 18. παρα] ποτι F; corr. Α. 20. αγμενὴ F;
corr. .'"T'orellius.

QUADRATURA PARABOLAE. 303

enim demonstratum est!) [prop. 3]. erit igitur
BI':BI- ΒΓ": ΒΘ".
quare lineae BI, B6, BI proportionales sunt?); quare
erit ΒΓ: BO — ΓΘ: ΘΙ.) eri igitur
LT4:4Z —02:0H»)
sed 21.4 — 4I: adparet igitur, esse
4dAÀ:4Z--—20:0H.

Sit 4BI'segmenitum linea recta ei sectione coni
rectanguli comprehensum, et ducatur a puncto 4 dia-
meiro paralleja linea Z.4, et a I' linea ΓΖ sectionem
coni in puncto Γ᾽ contingens. iam si linea aliqua
in triangulo ZAT' lineae 4Z parallela ducitur, in ea-
dem ratione et linea ducta a sectione coni rectanguli
el 4I' & ducta linea secabitur; et pars lineae 4Γ΄ δὰ
4A sita respondebit parti ductae lineae ad 4 sitae.

ducatur enim linea aliqua 4, E lineae AZ parallela,
el primum linea ZE lineam ΑΓ in duas partes ae-
quales secet. iam quoniam 4 BI' seclio est coni rect-
anguli et Bf diametro parallela, ei 4421 —— ΖΓ, erit
linea in puncto B sectionem coni rectanguli contingens

1) Sc. à prioribus, ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις: neque enim
in prop. 8 demonstratum est. debuit esse 4425: ΚΗ", sed
Ad 4l.

2) Nam B4: BK τ- BI': BI (Eucl. VI, 2. et

AD: KH — ΔΓ : 23 ΒΓ: ΒΘ
quia ΒΖ 4 ZO (Eucl. VI, 2).

8) H. e. BI: B0 — B9: BI (Eucl. V def. 10).

4) ἐναλλάξ, συνθέντι, ἐναλλάξ ex ΒΓ : ΒΘ — ΒΘ: ΒΙ.

5) Nam BI': ΒΘ — ΓΖ: 42, Tou BA * 9Z, et

DT6:01—602:0H
quia HI τ AT' (Eucl. VI, 2).

304 TETPATQNIZMOZ IIAPABOAHZ.

γωνίου κώνου vopüg. πάλιν ἐπεὶ παρὰ τὰν διάμετρόν
ἐστιν ἁ 4 E, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ & ΓΕ ἄκται ἐπιψαύουσα
τᾶς τοῦ ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς
κατὰ τὸ I, & δὲ Ζ4Γ παράλληλος
τᾷ κατὰ τὸ B ἐπιψαυούσᾳ, ἴσα
ἐστὶν ἃ EB «à Β4. ὥστε τὸν
αὐτὸν ἔχει λόγον & 44 ποτὶ τὰν
AT, ὃν ἁ 48 ποτὶ τὰν ΒΕ. εἰ
μὲν οὖν δίχα τέμνει ἁ ἀχϑεῖσα
τὰν AT, δεδείκται" εἰ δὲ μή, ἄχϑω
τις ἄλλα & ΚΑ παρὰ τὰν AZ.
δεικτέον οὖν, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχει
λόγον & AK ποτὶ τὰν KT, ὃν ἁ
ΚΘ ποτὶ τὰν 6 4. ἐπεὶ γὰρ ἴσα
ἐστὶν & BE τᾷ B, ἴδα. ἐστὶ καὶ
& I4 τᾷ ΚΙ. τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει & Καὶ 4 ποτὶ
τὰν KI, ὃν ἃ 4Γ ποτὶ τὰν 414. ἔχει δὲ καὶ à ΚΙ ποτὶ
τὰν ΚΘ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἃ 414 ποτὶ τὰν AK.
δεδείκται γὰρ ἐν τῷ πρότερον. ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον
20 ἔχει ἃ ΚΘ ποτὶ τὰν ΘΑ. ὃν & AK ποτὶ τὰν ΚΓ.
δεδείκται οὖν τὸ προτεϑέν.

5.
Νοείσϑω δὴ τό τε [ἐστιν v0] ἐν τᾷ ϑεωρίᾳ προ-
κείμενον [ὁρώμενον] ἐπίπεδον ὀρϑὸν ποτὶ τὸν ὁρίζοντα,
26 καὶ τᾶς 418 γραμμᾶς [ἔπειτα] τὰ μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ
4 κάτω νοεέσϑω, τὰ δὲ ἐπὶ ϑάτερα ἄνω. τὸ δὲ ΒΖΓ
τρίγωνον ἔστω ὀρϑογώνιον ὀρϑὰν ἔχον τὰν ποτὶ τῷ
B γωνίαν καὶ τὰν ΒΓ πλευρὰν ἴσαν τᾷ ἡμισείᾳ τοῦ

18. τὰν KI'] vov (comp.) ΚΓ F; corr. Torellius. — 14. 1em
F; corr. Torellius, ut lin. 15. 16. € KA] om. F; corr. To-

QUADRATURA PARABOLAE. 305

lineae 4I' parallela.) rursus quoniam linea 4 E dia-
metro parallela est, et à puncto I' linea I'E ducta est
sectionem coni rectanguli in I' contingens, ei linea
4I'lineae in puncto B contingenti parallela est, erit
ΕΒ «-- ΒΖ [prop 2]. quare 424: 4I'«— A4B:BE.
si igitur ducta linea lineam ATI' in duas partes aequa-
les diuidit, demonstratum est propositum. 8i minus,
alia liuea K 4 lineae 4Z parallela ducatur. demon-
sirandum igitur, esse 4 K: KI'—— K0:0/. nam quo-
niam BE -— B, erit etiam 14 — KI?) itaque
KA: KI — AD: 244A.

uerum eliam KI: K6 — 2414:44K. hoc enim in prae-
cedenti [propositione] demonstratum est. quare erit
K0:604-— 4K:KI.*) itaque constat propositum.

VI.

Fingatur iam planum, quod sub oculis est, ad horizon-
iem perpendiculare, et quae in eadem parte lineae 4B
sunt, in qua est punctum Z1, infra esse fingantur, quae
in altera, supra. et B./lI'iriangulus sit rectangulus
angulum ad B positum rectum habens et latus BI'

1) Ὁ. prop. 1b. .

2) Zeilachr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 8.

3) Ex prop. 4 erit KI:18 — 44: K4; ium u. Eucl. V,
19 πόρισμα.

4) δι’ ἴσου (Eucl. V, 22) ΚΑ: ΚΘ — AI': AK; tum διε-
λόντι οἱ ἀνάπαλιν.

rellius. 19. Post πρότερον addit Torellius: ὡς ἄρα & ΚΘ
ποτὶ τὰν ΚΑ, οὕτως & AK ποτὶ τὰν ATI. ὥστε] ὡὧσ F; corr.
Torellius. 23. δὴ] scripsi; δὲ F, uulgo. ἐστιν τό] deleo.
τη Ἐς corr. Torellius. 44. ὁρώμενον» deleo. — 25. καῶ διά

Nizzius; καὶ διά Ien. ἔπειτα) deleo. 26. κάτω] κατα F.
21. ορϑην F' ; corr. Torellius. τῷ} scripsi; τὰ F, uulgo; co
Torellius.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 20

306 TETPADTOQNIEZMOZ IIAPABOAHX.

ξυγοῦ [δηλονότι ἴσης οὔσης τᾶς 4B τῇ BI]. κρεμάσϑω

0à τὸ τρίγωνον ἐκ τῶν B, I' σαμείων, κρεμάσϑω δὲ

καὶ ἄλλο χωρίον τὸ Ζ ἐκ τοῦ ἑτέρου μέρεος τοῦ ξυγοῦ
κατὰ τὸ 4, καὶ ἰσορροπείτω τὸ Ζ χωρίον κατὰ τὸ 4
κρεμάμενον τῷ BAT τριγώνῳ οὕτως ἔχοντι, ὡς νῦν
κείται. φαμὶ δή, τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΒΖΓ ΄ τριγώνου
μέρος τρίτον εἶμεν.
ἐπεὶ γὰρ ὑποκείται ἰσορροπέων ὃ ξυγός, εἴη κα ἃ
ΑΓ γραμμὰ παρὰ τὸν ὁρίξοντα, αἱ δὲ ποτ᾽ ὀρϑὰς
ἀγομέναι τᾷ AI' ἐν và ὀρϑῷ ἐπιπέδῳ ποτὶ τὸν ὁρί-
4 p E 7" ξοντα καϑέτοι éocovv-
ται ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα.
τετμάσϑΟοο δὴ c ΒΓ

γραμμὰ κατὰ τὸ E οὕ-
Z τως, ὥστε διπλασίονα
εἶμεν τὰν ΓΕ τᾶς ΕΒ.

“

καὶ ἄχϑω παρὰ τὰν 4B
ἃ KE, καὶ τετμάσϑω δίχα κατὰ τὸ Θ. τοῦ δὴ BAT
τριγώνου κέντρον βάρεός ἐστι τὸ O σαμεῖον. δεδείρκ-
ται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς μηχανικοῖς. εἴ κα οὖν τοῦ ΒΖΓ
τριγώνου & μὲν κατὰ τὰ B, Γ κρέμασις λυϑῇ, κατὰ δὲ
τὸ E κρεμασϑῇ., μένει τὸ τρίγωνον, ὡς νῦν ἔχει.
ἕκαστον γὰρ τῶν κρεμαμένων, ἐξ οὗ σαμείου κα κατα-
σταϑῇ, μένει, ὥστε κατὰ κάϑετον εἶμεν τό τε σαμεῖον
τοῦ κρεμαστοῦ καὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ κρεμα-
μένου. δεδείκται γὰρ καὶ τοῦτο. ἐπεὶ οὖν τὰν αὐτὰν

1. δηλονότι --- ΒΓ deleo. — 2. σημειῶν F; corr. Torellius.
8. μερους F, uulgo. ὅ. εοντι Εἰ; corr. Torellius. 7. &twot per
comp. F; corr. Torellius. 8. ἐσορροπῶν F, uulgo. δίῃ καὶ
scripsi; εηκὰ F, εκ κα uulgo; ἐσσεῖται Torellius cum B. 9.
παρὰ τὸν ὁρέξζοντα, αἴ] αὐτὸν οριξονται F; corr. Torellius.
11. καϑετοις F; corr. ed. Basil. 13. veru o9 Ἐς corr. To-

QUADRATURA PARABOLAE. 901

dimidiae librae aequale. suspendatur autem triangulus
ex punctis B, I, et in altera parte librae aliud spa-
iium Z ex puncto A4 suspendatur, et"spalium Z ex 4
suspensum cum iriangulo ΒΖΓ τα se habenti, uti
nune positus est, aequilibritatem seruet. dico igitur,
spatium Z teriiam partem esse trianguli Β ΖΓ.

nam quoniam suppositum est libram aequilibrita-
tem seruare, linea A4I' horizonti parallela erit, et lineae
ad .4I' perpendiculares in plano ad horizontem per-
pendieulari ductae, ad horizontem perpendiculares
erunt.!) secetur igitur linea BI' in puncto E ita, ut
sib ΓΕ —2EB, et ducatur linea K E lineae ΖΒ par-
alela, et in puncto 6 in duas partes aequales sece-
iur. ilaque punctum Θ᾽ trianguli BZ/I' cenirum gra-
uitatis est. hoc enim in mechanicis demonsiratum
est [ἐπιπεδ. (6009. 1, 14]. iam 81 trianguli ΒΖΓ ΄ ex
punctis B, I' suspendium soluitur, et ex E suspenditur,
iriangulus manet, αὖ nune se habet. nam omnia sus-
pensa, in quocunque puncto posita sunt, ita manent,
αὖ punctum suspendii et centrum grauitatis suspensi
in perpendiculari posita sint. nam hoc quoque de-
monstratum est.) quoniam igitur triangulus BI'4

1) Nam linea ΑΓ' ei lineae, in qua planum perpendiculare
" horizontem secat, parallela erit (Eucl. XI, 16); quare lineae
ad AI' perpendiculares etiam ad illam lineam perpendiculares
erunt (Eucl. I, 29). tum u. πο]. XI def. 4.
2) Cfr. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 179 nr. 6.
8) Sine dubio in libro περὶ fvyov; Quaest. Arch. p. 82.

rellius, ut lin. 18. 19. βαρους F, uulgo, ut lin. 25. 21. «]
o EF; corr. Torellius. Av] scripsi; λυθείη F, uulgo. 22.
τριγωνιον F; corr. Δ. 23. σημειου F; corr. Torellius. κα
κατασταϑῇ] scripsi; κατασταϑὲν F, uulgo. 26. γάρ] scripsi;
ov» F, uulgo.

20*

308 TETPADTQNIZMOZ IIAPABOAHZ.

ἕξει κατάστασιν τὸ ΒΓΖ τρίγωνον ποτὶ τὸν ξυγόν,
ἰσορροπήσει ὁμοίως τὸ Ζ χωρίον. ἐπεὶ δὲ ἐσορρο-
πέοντι τὸ μὲν Ζ κρεμάμενον κατὰ τὸ 4, τὸ δὲ BAT
κατὰ τὸ E, δῆλον, ὡς ἀντιπέπονϑε volg μάκεσιν, καί
5 ἐστιν, ὡς ἃ 48 ποτὶ τὰν ΒΕ, οὕτως τὸ BAT τρί-
γωῶνον ποτὶ τὸ Ζ χωρίον. τριπλασία δὲ & 4B τᾶς ΒΕ.
“καὶ τὸ ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον τριπλάσιόν ἐστι τοῦ Z
χωρίου.
φανερὸν δὲ [ὅτι] καί, εἴ κα τριπλάσιον ἡ τὸ BAT
10 τρίγωνον τοῦ Ζ χωρίου, ὅτι ἰσορροπήσει.

ξ΄.

Ἔστω πάλιν ξυγὸς ἃ 4Γ γραμμά, μέσον δὲ αὐτᾶς
ἔστω τὸ B, καὶ κρεμάσϑω κατὰ τὸ B [τὸ ΓΖΉ. τρί-
γωνον]. τὸ δὲ I'4H ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον βά-

16 σιν μὲν ἔχον τὰν 4H, ὕψος δὲ τὰν ἴσαν ἐοῦσαν τᾷ
ἡμισείᾳ τοῦ ξυγοῦ. καὶ χρεμάσϑω τὸ ΖΓῊΗ τρίγωνον
ἐκ τῶν B, Γ σαμείων, τὸ δὲ Z χωρίον χρεμάμενον
κατὰ τὸ 4 ἰσορροπὲς ἔστω τῷ IH τριγώνῳ οὕτως

: ἔχοντι, ὡς νῦν κείται.
ὁμοίως δὴ δειχϑησέται τὸ

Z χωρίον τρίτον μέρος

τοῦ I'4 H τριγώνου.
κρεμάσϑω γάρ τι καὶ

ἄλλο χωρίον ἐκ τοῦ 4

25 φρίτον μέρος ἐὸν τοῦ ΒΓΗ͂ τριγώνου. ἰσορροπήδει δὴ
τὸ ΒΖΓ τρίγωνον τῷ ZA. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΒΓΗ τρί-

2. ἰσορροπδώντι F; corr. Torellius. 9. ὅτι] deleo. [10.
ὅτι} per comp. F; ὁμοέως Torellius. 12. γραμμὴ F; corr. To-
rellius. αὐτῆς F; corr. Torellius. 18. τὸ ΓΖῊ τρίγωνον)
deleo. 15. eyo cum comp. o» F. τὰν BI'icav Nizzius.
17. σημείων F; corr. Torellius. 18. ἐσσορροπες F. τῷ] vo F.

QUADRATURA PARABOLAE. 309 .

eandem positionem habebit ad libram, ut antea [cum

eo] aequilibritatem seruabit spatium Z. et quoniam.

spatium Z ex .4 suspensum et triangulus ΒΖΓ ex E
suspensus aequilibritatem seruant, adparet, ea in con-
traria longitudinum proportione esse [ἐπιπ. (6009. I,
6—'], et esse ΒΖ4Γ:2 — AB: BE. sed AB —3BE.
quare eliam B4I'— 3Z.

et manifestum est etiam, si triangulus ΒΖΓ triplo
maior sit spatio Z, aequilibritatem ea seruatura esse.

VII.

Rursus linea A4I'libra sit, οὐ medium eius sit B,
et ex B suspeudatur)) I'H autem triangulus sit
obtusiangulus basim habens lineam 41H, altitudinem
uero lineam dimidiae librae aequalem. et triangulus
ΖΔΓῊ ex punctis B, Γ' suspendatur, spatium Z autem
ex 44 suspensum cum iriangulo I'4 H ita se haben,
ui nunc positus est, aequilibritatem seruet. iam eo-
dem modo demonstrabimus, spatium Z tertiam par-
tem esse trianguli ΓΖ Η.

suspendatur enim etiam aliud spatium [4] ex
puncto 44, quod iertia pars sit trianguli BI'H. ita-
que triangulus BAI'cum spatio Z - 4 aequilibrita-
tem seruabit,) iam quoniam triangulus ΒΓΗ͂ cum

1) Sc. libra; cfr. prop. 8. nam triangulus l'4H non ex B,
sed ex B ei D'suspenditur (lin. 17).

2) Nam suppositum est, Z et AH aequilibritatem seruare,
et ex prop. 6b 4et ΒΗΓ aequilibritatem seruant. hinc autem
hoc: quoque sequitur, esse ΒΖΓ τα ι8 (Z -l- 4) (prop. 6).

20. δὴ] scripsi; δὲ F, uulgo. 24. αλλω F. χωρίον τὸ A
Nizzius. 25. δή] scripsi; δὲ F, uulgo.

——-—-—ün.

9310 TETPALTS9NIZMOZ IIAPABOAHZ.

ymvo? ἰσορροπεῖ τῷ 4, τὸ δὲ ΒΓΖ τῷ Z4, καὶ τρί-
vov ἐστὶ τοῦ ΒΓΖΩ vó Z4, φανερόν, ὅτι καὶ τὸ ΓΙ Η
τρίγωνον τριπλάσιον τοῦ Ζ.

η΄.
Ἔστω ξυγὸς ὁ AI, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ B, καὶ κρε-
μάσϑω κατὰ τὸ B, τὸ δὲ ΓΖ E τρίγωνον ὀρϑογώνιον
ὀρϑὰν ἔχον τὰν ποτὶ τῷ E γωνίαν, καὶ κρεμάσϑω ἐκ
τοῦ ξυγοῦ κατὰ τὰ Γ, Ε, τὸ δὲ Ζ χωρίον κρεμάσϑω κατὰ
τὸ 4, καὶ ἰσορροπείτω τῷ ΓΖ E οὕτως ἔχοντι, ὡς νῦν
κείται. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἃ AB ποτὶ τὰν ΒΕ, τοῦτον
ἐχέτω τὸ ΓΖ Ε τρίγωνον ποτὶ τὸ Καὶ χωρίον. φαμὶ δὴ
τὸ Z χωρίον τοῦ μὲν ΓΖ Ε τριγώνου ἔλασσον εἷμεν,
τοῦ δὲ K μεῖξον. |
λελάφϑω γὰρ τοῦ 4ῈΓ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ
“4 BEI 51’ βάρεος, καὶ ἔστω τὸ Θ,
| καὶ ἃ ΘΗ ἄχϑω παρὰ
τὰν 4 Ε. ἐπεὶ οὖν ἐσορ-
ροπεῖ τὸ ΓΖ E τρίγωνον
τῷ Z χωρίῳ, τὸν αὐτὸν
| d [x.| ἔχει λόχον τὸ DAE χω-
ρίον ποτὶ τὸ Z, Ov ἃ
AB ποτὶ τὰν ΒΗ. ὥστε ἔλασσόν ἐστι τὸ Ζ τοῦ ΓΖ E.
καὶ ἐπεὶ τὸ ΓΖ E τρίγωνον ποτὶ μὲν τὸ Ζ τοῦτον
ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἃ B.A ποτὶ τὰν BH, ποτὶ δὲ τὸ K,
ὃν ἁ ΒΑ ποτὶ τὰν ΒΕ, δῆλον, ὡς μείξονα λόγον ἔχει
τὸ DAE τρίγωνον ποτὶ τὸ K ἢ ποτὶ τὸ Z. ὥστε
μεῖξόν ἐστι τὸ Ζ τοῦ K.

1. 4] 4 F; corr. Torellius. 2. 24) ZA FV. 5. AT]
AB F; corr. Riualtus. κεκρεμασϑω F. 6. δέ] addidi (ἃ.

QUADRATURA PARABOLAE. 311

spatio 4, et triangulus BI'41 cum Z -|- 4 aequilibri-
latem seruat, et tertia pars est trianguli ΒΖΓ spa-
tium Z -[- 4 [et trianguli BHI' spatium 7]'), mani-
festum est, triangulum IH iriplo maiorem esse
spatio Z.

VIII.

Libra sit 4I, et medium eius punctum B, et ex
puncto B suspendatur, ΓΖ Ε΄ autem iriangulus sit
rectangulus angulum ad E positum rectum habens,
et in libra ex punctis Γ, E suspendatur, et spatium
Z ex 4 suspendatur ei cum I'4E ita se habenti, ut
nunc positus est, aequilibritatem seruet. et sit

AB: BE -— LIAE: K.
dico igitur, spatium Z minus esse triangulo ΓΖΕ
maius autem spatio K.

sumatür enim.irianguli Z/EI' centrum grauitatis
el sit & [p. 306, 18], et ducatur 6H lineae 4 Ε par-
allela. iam quoniam triangulus ΓΖ E cum spatio Z
aequilibritatem seruat, erit

ΓΖΔΕ:2 -- ΜΒ: ΒΗ [ἐπιπ. (609g. I, 6—'].
quare Ζ « ΓΖΕ. et quoniam 'est

IA4E:Z-—BA:BH
el I'4E: K —— BA: BE [ex hypothesi], adparet, esse
DAE:K^IAE:Z. quare Z 5 K [Eucl. V, 10].

1) Fortasse lin. 2 addendum est: τοῦ δὲ BI'H τὸ A4.

p. 309 not. 1); om. F, vulgo. 7Ἷ1. τῷ] scripsi; ταν F, uulgo;
τό Torellius. 24. ἔχει] ego» ἘΠ; corr. Ien.

312 TETPATO9NIZMOZ IIAPABOAHZ.
9'.

Ἔστω πάλιν τὸ μὲν AT ξύγιον, μέσον δὲ αὐτοῦ
τὸ B, τὸ δὲ ΓΖ Καὶ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον βάσιν μὲν
ἔχον τὰν 4K, ὕψος δὲ τὰν EI. xal κρεμάσϑω ἐκ

6 4 p E 4 τοῦ ξυγοῦ κατὰ τὰ I, E.
τὸ δὲ Ζ χωρίον κρεμάσϑω
κατὰ τὸ 4 καὶ ἰσορρο-
πείτω τῷ ΖΦ4ΓΚ τριγώνῳ
οὕτως ἔχοντι, ὡς νῦν κεί-
ται. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἃ

Ζ AB ποτὶ τὰν ΒΕ, τοῦτον
"m τὸ ΓΖΚ τρίγωνον ποτὶ τὸ 4. φαμὶ δὴ τὸ Z
τοῦ μὲν ΛΑ μεῖξον εἶμεν, τοῦ 0b Ζ4ΓΚ ἔλασσον.

δειχϑησέται ὁμοίως τῷ πρότερον.

1ὅ ε΄.
Ἔστω πάλιν τὸ μὲν 4ΒΓ ξύγιον, καὶ μέσον αὐτοῦ
τὸ B, τὸ δὲ BAHK τραπέξιον τὰς μὲν ποτὶ τοῖς B,
H σαμείοις γωνίας ὀρϑὰς ἔχον, τὰν δὲ K4 πλευρὰν
ἐπὶ τὸ Γ νεύουσαν. καὶ ὃν ἔχει λόγον & ΒΑ͂ ποτὶ
80 τὰν ΒΗ, τοῦτον ἐχέτω τὸ ΒΩ ΚΗ τραπέξιον ποτὶ
τὸ 4. κρεμάσϑω δὲ τὸ BA4HK τραπέξιον ἐκ τοῦ
ξυγοῦ κατὰ τὰ B, H causta, κρεμάσϑω δὲ καὶ τὸ Ζ
χωρίον κατὰ τὸ 4 καὶ ἰσορροπείτω τῷ ΒΩ ΚΗ͂ τρα-
πεξίῳ οὕτως ἔχοντι, ὡς νῦν ὑποκείται. φαμὶ τὸ Ζ
25 χωρίον ἔλασσον εἶμεν τοῦ 4.
τετμάσϑω γὰρ & 4Γ κατὰ τὸ E οὕτως, ὥστε ὃν
ἔχει λόγον ἁ διπλασία τᾶς 48 καὶ ἃ KH ποτὶ τὰν
διπλασίαν τᾶς KH καὶ τὰν B 4, τοῦτον ἔχειν τὰν EH

— A:

4. κεκρεμασϑω Εἰ; corr. Α. 6. κεπρέμασθω F; corr. AB.

QUADRATURA PARABOLAE. 913

IX.

Rursus sit A4lI'libra, et medium eius punctum B,
et triangulus ΓΖ K obtusiangulus basim habens Z/K,
altitudinem autem EI* et in libra ex I, E suspen-
datur. Z autem spatium ex 4 suspendatur et cum
. irnangulo ZI'K ita se habenti, ut nunc positus est,
aequilibritatem seruet. et sit ΓΖΚ: 4. τῷὶ B:BE.
dico igitur, spalium Z maius esse spalio 4, minus
autem iriangulo ZI'K.

demonsirabitur eodem modo, quo praecedens pro-
positio.

Rursus sit 4BI' libra, et medium eius punctum B,
ei ΒΖ4ΗΚ irapezium angulos ad puncta B, H positos
rectos habens et latus K 71 ad I' uergens. et sit

BAKH:A— BA:BH.
el irapezium BZ/HK in libra ex punctis B, H sus-
pendatur, ei etiam spatium Z ex .4 suspendatur et
cum trapezio ΒΩ ΚΗ ita se habenti, ut nunc positum
est, aequilibritatem seruet. dico, spatium Z minus
esse spatio ΖΔ. |

secetur enim linea A4I' in puncto E ita, ut sit

2418 Ὁ KH:2KH ΒΑ — EH: BE,

8. AEK F; corr. Torellius. 17. τραπεξειον F, uulgo; et haec
forma F in hoc libro semper praebet. 18. enuswig ἘΠ; corr.
manus 2. 21. 4 yooíov Torellius. κεκρεμασϑὼ F, uulgo.
29. τὰ B, H σαμεῖα] scripsi; των B, H coepto» F, uulgo.
κεκρεμασϑὼ F, uulgo. 24. pnus ἘΠ; corr. Torellius. 26.
τετμησϑὼ ἘΠ corr. Torellius, ut p. 314 lin. 2. 217. tnc Ἐς
corr. Torellius. 28. τάν] (prius) Scripsi; τῆς Ἐς, uulgo; τὰς
Torellius. ἔχειν) ov ἔχει F (ov supra scr. manu 1); corr. ed.
Basil.

314 TETPACTSNIZMOZ IIAPABOAHZ.

ποτὶ τὰν BE, καὶ διὰ τοῦ E παρὰ τὰν Β4 ἀχϑεῖσα
& EN τετμάσϑω δίχα κατὰ τὸ O. τοῦ δὴ BAHK
τραπεξίου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ O. δεδείκται
Α͂ B E H 7 γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς μῆχα-
νικοῖς. ἣν οὖν τὸ ΒΔῊΚ
τραπέξιον κατὰ μὲν τὸ Ε
κρεμασϑῇ, ἀπὸ δὲ τῶν B,
H σαμείων λυϑῇ, μένει τὰν
αὐτὰν ἔχον κατάστασιν
διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότε-
| gov, καὶ ἰσορροπεῖ τῷ Z
χωρίῳ. . ἐπεὶ οὖν ἰσορροπεῖ τὸ B4 HK τραπέξιον κατὰ
τὸ E κρεμάμενον τῷ Z χωρίῳ κἀτὰ τὸ 44 κρεμαμένῳ,
ἐσσείται, ὡς & B4 ποτὶ τὰν ΒΕ, τὸ BAHK τραπέ-
16 ξιον ποτὶ τὸ Ζ χωρίον. μείξονα οὖν λόγον ἔχει τὸ
BAHK τραπέξιον ποτὶ τὸ Ζ ἤπερ ποτὶ τὸ 4, ἐπεὶ
καὶ ἃ 48 ποτὶ τὰν ΒΕ μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ποτὶ
τὰν ΒΗ. ὥστε ἔλασσον ἐσσείται τὸ Z τοῦ A.

ux".

20 Ἔστω πάλιν τὸ uiv AD ξύγιον, xal μέσον αὐτοῦ
4 3 AH Ζ' τὸ Β, τὸ δὲ ΚΩ͂ΤΡ τρα-
πέξιον ἔστω τὰς μὲν K 4,
ΤΡ πλευρὰς ἔχον ἐπὶ τὸ
I' νευούσας, τὰς δὲ 4Ρ,
ΚΊ καϑέτους ἐπὶ τὰν
ΒΓ, καὶ ἁ 4Ρ ἐπὶ τὸ B
P ᾿πιπτέτω. ὃν δὲ λόγον

ἔχει ἃ 48 ποτὶ τὰν BH, τοῦτον ἐχέτω τὸ AKTP

3. βαρους F, uulgo. .8. σημειῶν F; corr. Torellius. λυθῇ]
scripsi; λυϑειη F, uulgo. 9. ezovra F. 11. (cogoozei] scripsi;

QUADRATURA PARABOLAE. 315

et linea EN per E ducta lineae B Z parallela in puncto
€ in duas partés aequales secetur. itaque irapeziü
B.4H K centrum grauitatis est 60. hoc enim in mecha-
nieis demonstratum est [émuwx. ἰσορρ. I, 10]. . si igitur
irapezium ΒΖ ΗΚ ex puncto E suspenditur, ex B, H
autem punctis soluitur, manet eandem positionem ha-
bens propter eadem, quae supra), et cum spatio Z
aequilibritatem seruat. iam quoniam trapezium BZ4HK
ex E suspensum cum spatio Z ex 44 suspenso aequi-
libritatem seruat, erit B4: BE— BAHRK:Z [éum.
i6opg. I, 6—' 1]. quare B4HK:Z 7 BAHK : A, quia
eliam 4B: ΒΕ.» AB: BH." quare Z « 4 [Eucl.
V, 10].

XI.

Rursus sit A4I' libra, et medium eius punctum B,
el K ATP irapezium sit latera K 7//, TP ad punctum
I' uergentia habens, latera autem 4}, KT ad ΒΓ
perpendieularia, οὐ 4/4P in B cadat. praeterea sit

AB: BH — AKTP: A,

1) Prop. 6 p. 806, 23.
2) Nam BE « BH.

ἰισορροπειτω F, uulgo; ἐσορφροπήσει ed. Basil., Torellius. 16.
μείξονα οὖν] scripsi; μειξ (cum comp. ov) ονα F; μείζονα CD;
μείξονα ἄρα uulgo. sy cum comp. o» Εἰ; corr. AB. 16.

vouzsto» F. 18. sera: per comp. F, uulgo. 26. η F; corr.
Torellius. |

316 TETPALTS9NIZMOZ IIAPABOAHX.

τραπέξιον ποτὶ τὸ 4. τὸ δὲ A4KTP τραπέξιον κρε-

μάσϑω ἐκ τοῦ ξυγοῦ κατὰ τὰ B, H καὶ τὸ Z κατὰ

τὸ 4, xal ἰσορροπείτω τὸ Z τῷ A4KPT τρακπεξίῳ

οὕτως ἔχοντι, ὡς νῦν κείται. ὁμοίως δὴ τοῖς πρό-
5 τερον δειχϑησέται ἔλασσον τὸ Z χωρίον τοῦ A.

| ιβ΄.

Ἔστω πάλιν τὸ μὲν ΑΓ ζύγιον, uédov δὲ αὐτοῦ
τὸ B, τὸ δὲ JEK H τραπέξιον ἔστω τὰς μὲν ποτὶ τοῖς
E, H σαμείοις γωνίας ὀρθὰς ἔχον, τὰς δὲ ΚΩ, EH

10 γραμμὰς ποτὶ τὸ Γ νευούσας. καὶ ὃν μὲν λόγον ἔχει
& 418 ποτὶ τὰν BH, τοῦτον ἐχέτω τὸ 4KEH τρα-
πέξιον ποτὶ τὸ Μ, ὃν δὲ λόγον ἔχει ἃ 48 ποτὶ τὰν
BE, τοῦτον τὸν λόγον ἐχέτω τὸ 4 ΚΕΗ͂ τραπέξιον

A BEIEHLL ποτὶ τὸ Δ. κρεμάσϑω

δὲ τὸ J4K EH τρα-
πέξιον ἐκ τοῦ ξυγοῦ
6/K κατὰ τὰ E, H, τὸ
ὃὲ Ζ χωρίον κρε-

Bü μάσϑω κατὰ τὸ 4,
20 | καὶ ἰδσορροπείτω τῷ
β ^ τραπεξίῳ οὕτως Éyov-
4 τι, Og νῦν ὑποκεί-
ται. φαμὶ δὴ τὸ Ζ τοῦ μὲν 4 μεῖζον εἶμεν, τοῦ δὲ

. M ἔλασδον.

26 ἔλαβον γὰρ τοῦ 44K EH τραπεξίου τὸ κέντρον τοῦ
βάφεος, ἔστω δὲ τὸ Θ᾽ λαφϑησέται δὲ ὁμοίως τῷ πρό-
vegov* καὶ ἄγω τὰν OI παρὰ τὰν 4E. ἂν οὖν τὸ
τραπέξιον ἐκ τοῦ ξυγοῦ κρεμασϑῇ κατὰ τὸ I, ἀπὸ δὲ
τῶν E, H λυϑῇ, μενεῖ τὰν αὐτὰν ἔχον κατάστασιν

1ὅ

1. κεκρεμασϑὼ F, uulgo. 8. τὸ Ζ] τω Ζ F; corx. B. 9.

QUADRATURA PARABOLAE. ὁ 311

οὐ trapezium. Z2K TP in libra ex B, H suspendatur
οὐ Z ex 4, οὐ Z spatium cum trapezio 44K PT' ita se
habenti, ut nunc positum est, aequilibritatem seruet.
eodem igitur modo, quo in praecedentibus propositio-
nibus, demonstrabitur Z « 4.

XII.

Rursus sit 4I' libra, medium autem eius punctum
B, οἱ 4EKH irapezum sii angulos ad puncta E, H
positos rectos habens et lineas K 7/4, EH ad punctum
I'uergentes. et sit
AB: BH — AKEH:M et AB: BE — ΖΚΕΗ: A.

el trapezium Ζ Καὶ EH in libra ex punctis E, H suspen-
datur, Z autem spatium ex 4 suspendatur, et cum -
irapezio ita se habenti ut nunc positum est, aequili-
britatem seruet. dico igitur esse M ^ Z — 4.
sumpsi enim irapezii ZKEH centrum grauitatis,
el sit 0; sumetur autem eodem modo, quo supra
[p. 306, 18]; et duco ΘΙ lineae Z1E parallelam. si
igitur trapezium in libra ex puncto 1 'suspenditur et
ex punctis E, H soluitur, manebit eandem positionem

σημειοις ἘΠ; corr. Torellius. 14. κεκρεμασϑὼ F, uulgo.
κρεμάσϑα] Scripsi; ἐκκρεμασθϑω F, uulgo; κεκρεμάσθω Torel.
lius. — 26. βαρους F, uulgo. ληφϑησεται F; corr. Torellius.
28. κρεμασϑῇ] scripsi; κρεμασϑήησεται F, uulgo.

318 TETPATSNIZMOZ IIAPABOAHZ.

καὶ ἰσορροπήσει τῷ Z διὰ và αὐτὰ roig πρότερον.
ἐπεὶ δὲ ἰσορροπεῖ τὸ τραπέξιον κρεμάμενον κατὰ vo I
τῷ Z κρεμαμένῳ κατὰ τὸ 44, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον
τὸ τραπέξιον ποτὶ τὸ Ζ, ὃν & AB ποτὶ τὰν BI. δῆ-
λον οὖν, ὅτι τὸ 2 K EH ποτὶ μὲν τὸ 4 μείξονα λόγον
ἔχει ἢ ποτὶ τὸ Ζ, ποτὶ δὲ τὸ M ἐλάσσονα ἢ ποτὶ τὸ Z.
ὥστε τὸ Ζ τοῦ μὲν 4 μεῖξόν ἐστι, τοῦ δὲ M ἔλασσον.

| ιγ΄.
Ἔστω πάλιν τὸ μὲν AD ξύγιον, κατὰ μέσον δὲ
αὐτοῦ τὸ Β, τὸ δὲ ΚΩ͂ΤΡ τραπέξιον, ὥστε τὰς μὲν

K4, ΤΡ πλευρὰς νευούσας εἶμεν ἐπὶ τὸ I, τὰς δὲ

ΖΥ, KP καϑέτους ἐπὶ τὰν ΒΓ. κρεμάσϑω δὲ ἐκ τοῦ

. ξυγοῦ κατὰ τὰ E, H, τὸ δὲ Ζ χωρίον κρεμάσϑω κατὰ

1ὅ

τὸ .4 καὶ ἰσορροπείτω τῷ 4 KTP τραπεξίῳ οὕτως
ἔχοντι, ὡς νῦν κείται. χαὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἃ AB
ποτὶ τὰν ΒΕ, τοῦτον ἐχέτω τὸ AK TP τραπέξιον ποτὶ
τὸ Α χωρίον, ὃν δὲ λόγον ἔχει ἃ 4B ποτὶ τὰν BH,
τοῦτον ἐχέτω τὸ αὐτὸ τραπέξιον ποτὶ τὸ M. ὁμοίως
δὴ τῷ πρότερον δειχϑησέται τὸ Ζ τοῦ μὲν 4 usitov,
τοῦ δὲ Μ ἔλασσον.

ιδ΄.

Ἔστω τμᾶμα τὸ ΒΘΓ περιεχόμενον ὑπὸ εὐϑείας καὶ
ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς. ἔστω δὴ πρῶτον & BI' ποτ᾽
1. τῷ] τα F; corr. ΑΒ. 2. ἰσορροπεῖ] -εἰ in rasura F,
5. 4] AFV. 71. μειξο cum comp. oy F.— 9. κατα] xol τό
Torellius. 18. H| om. F. οκεκρεμασϑὼ F, uulgo. 22.

τμημὰα Ἐς corr. Torellius. 28. ποτ᾽] προς per comp. F; corr.
Torellius (zot:).

QUADRATURA PARABOLAE. 319

habens et eum Z aequilibritatem seruabit propter ea-

dem, quae supra [prop. 6 p. 306, 28]. et quoniam

irapezium ex 1 suspensum eum Z ex 4] suspenso

aequilibritatem seruat, erit A4KEH:Z-— 48: Β1.

adparet igitur, esse 2ZK EH: 47 AKEH : Z et
AKEH:M-« AKEH : Z.))

quare erit [Eucl. V, 10] M Zo» 4.

XIII.

Rursus sit 4I'libra, et in media ea positum punc-
tum B, ei K ATP irapezium eiusmodi, ut latera Καὶ 4,
TP ad I' uergant, latera autem 471, KP ad ΒΓ per-

A ps H r

pendieularia sint. suspendatur autem in libra ex punctis
E, H, et spatium Z ex 44 suspendatur et cum ira-
pezio ZK' TP ita se habenti, ut nunc positum est,
aequilibritatem seruet. et sit 4B: BE — A4KTP: 4,
et 4B: BH — AKTP: M. eodem igitur modo, quo
Supra, demonstrabitur esse M Z- ΖΔ.

XIV.

Sit BG I' segmentum linea recta et sectione coni
rectanguli comprehensum. prius igitur BI' ad diame-

1) Quia ΒΗ» ΒΙῚ BE.

820 TETPALTQNIEMOZ IIAPABOAHBX.

ὀρϑὰς τᾷ διαμέτρῳ, καὶ ἄχϑω ἀπὸ μὲν τοῦ B σαμείου
& B4 παρὰ τὰν διάμετρον, ἀπὸ δὲ τοῦ Γ ἁ D'4
ἐπιψαύουδα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Γ. ἐσσεί-
ται δὴ τὸ ΒΓΖ4 τρίγωνον ὀρϑογώνιον. διῃρήσθω δὲ

5& ΒΓ ἐς ἴσα τμάματα ὁποσαοῦν τὰ BE, ΕΖ, ZH,

HI, II, καὶ ἀπὸ τᾶν τομᾶν ἄχϑωσαν παρὰ τὰν διά-
μετρον a( EZ, ZT. HT, IS, ἀπὸ δὲ τῶν σαμείων,
καϑ᾽᾿ ἃ τέμνοντι αὐταὶ τὰν τοῦ κώνου τομάν. ἐπε-
ξεύχϑωδαν ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐχβεβλήσϑωσαν. φαμὶ δὴ τὸ

10 τρίγωνον τὸ BAI' τῶν μὲν τραπεξζίων τῶν ΚΕ, AZ,

MH, NI καὶ τοῦ RID τριγώνου ἔλασσον εἶμεν ἢ
τριπλάσιον, τῶν δὲ τραπεξζέων τῶν ΖΦ, HO, III καὶ
τοῦ ΙΟΓ τριγώνου μεῖξόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον.
διάχϑω γὰρ εὐθεῖα ἃ ABI, καὶ ἀπολελάφϑω &
AB ἴσα τᾷ ΒΓ, καὶ νοείσϑω ξύγιον τὸ 4Γ, μέσον
δὲ αὐτοῦ ἐσσείται τὸ B, καὶ κρεμάσϑω ἐκ τοῦ B. κρε-
μάσϑω δὲ καὶ τὸ ΒΖΓ ἐκ τοῦ ξυγοῦ κατὰ τὰ B, T,
ἐκ δὲ τοῦ ϑατέρου μέρεος τοῦ ξυγοῦ κρεμάδσϑω τὰ P,
X, Ψ, 9, 41] χωρία κατὰ τὸ Α. καὶ ἰσορροπείτω τὸ
μὲν P χωρίον τῷ 4E τραπεξίῳ οὕτως ἔχοντι, τὸ δὲ
X và ZZ τραπεξίῳ, τὸ δὲ Ψ τῷ TH, τὸ δὲ € τῷ
TI, τὸ δὲ 41 τῷ AID τριγώνῳ. ἰσοφροπήσει δὴ καὶ
τὸ ὅλον τῷ ὅλῳ. ὥστε τριπλάσιον ἂν εἴη τὸ BAT
τρίγωνον τοῦ ΡΧΨΩ 41 χωρίου. καὶ ἐπεί ἔστιν τμᾶμα
τὸ BI'O, ὃ περιεχέται ὑπό vs εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου

4. δέ] scripsi; δὴ F, uulgo. ὅ. ἴσα] scripsi; τὰ F, uulgo:
τὰ τμάματα ἴσα Nizzius. τμηματὰ F; corr. Torellius.
II] om. Εἰ; corr. Nizzius. τας τομὰς (ec bis per comp.) F;
corr. Torellius. 8. τεμνοῦσιν F, uulgo. τὴν . . τομὴν F;
corr. Torellius. 9. ἐπί) acripsi; κατα F, uulgo. 14. δι-
ηχϑὼ Ἐς corr. Torellius. ἡ AT'B F;a« TB Torellius; ἡ 48
Α, ed. Basil.; corr. BCD. 18. μερους F, uulgo. 19. 4]

QUADRATURA PARABOLAE. 321

irum perpendicularis sit, et ducatur a puncto B dia-
metro parallela linea B, et ἃ Γ linea ΓΖ sectionem
coni in puncto Γ contingens. erit igitur BI'Z/ irian-
gulus rectangulus.) diuidatur autem BI' in partes
aequales quotlibet B.E, EZ, ZH, HI, II, et a punctis
diuisionum diametro parallelae ducantur EZ, Z T, HT,
I5, et ἃ punctis, in quibus eae sectionem coni secant,
lineae ducantur ad I' et producantur. dico igitur, tri-
angulum B.4lI' minorem esse quam iriplo maiorem
irapezis KE, 4Z, MH, NI cum triangulo XII,
maiorem autem quam íiriplo maiorem trapeziis ΖΦ,
ΗΘ, III cum triangulo IOI.

ducatur enim linea ABI, et abscindatur 4B lineae
BI' aequalis, et fingamus, A4I' libram esse, cuius me-
dium erit punctum B, et ex B suspendatur. suspen-
datur autem etiam ΒΖΓ ἴῃ libra ex punctis B, Γ, et
in altera parte librae ex puncto 44 suspendantur spa-
tia P, X, ?U, $2, 44. et aequilibritatem seruet spatium
P cum trapezio Z/E iia se habenti, X autem cum
trapezio ZZ, *"W auiem cum irapezio TH, $) autem
cum irapezio TI, et “1 cum triangulo XII. quare
eliam totum cum toto aequilibritatem seruabit. itaque
irangulus ΒΩ Γ᾽ iriplo maior erit spatio

P-4-X---9- 4 |prop. 6].

οὗ quoniam BI'9 segmentum est linea recta ei coni

1) Quia BI' ad diametrum perpendicularem esse gupposi-
tum est; tum τι. Eucl. I, 29.

scripsi; 4 F, uulgo. 20, ἔχοντι, ὡς νῦν κεῖται Torellius.
29. 4 scripsi; 4 F, uulgo, ut lin. 24 et in figura. ZIDT'F
924. τμημα Ἐπ corr. Torellius.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 21

890 TETPAT'Q9NIZMOZ IIAPABOAHZ.

κώνου vop&c, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ B παρὰ τὰν διάμετρον

ἄχται & Β4,. ἀπὸ δὲ vov D ἁ I4 ἐπιψαύουσα τᾶς

τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ I, ἄκται δέ τις καὶ ἄλλα
4 2322 5317 Ζ

παρὰ τὰν διάμετρον ἃ ΣΙΕ, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἃ
ΒΓ ποτὶ τὰν ΒΕ, ὃν ἃ ΣῈ ποτὶ τὰν EQ. ὥστε καὶ
& B.4 ποτὶ τὰν ΒΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν τὸ 4Ε
τραπέξιον ποτὲ τὸ ΚΕ. ὁμοίως δὲ δειχϑηδσέται & AB
ποτὶ τὰν ΒΖ τὸν αὐτὸν ἔχουσα λόγον, ὃν τὸ ΣΖ
τραπέξιον ποτὶ τὸ AZ, ποτὶ δὲ τὰν BH, ὃν τὸ TH
ποτὶ τὸ ΜΗ, ποτὶ δὲ τὰν BI, ὃν τὸ TI ποτὶ τὸ NI.
ἐπεὶ οὖν ἐστι τραπέξιον τὸ 4Ε τὰς μὲν ποτὶ τοῖς B,
Ε σαμείοις γωνίας ὀρϑὰς ἔχον, τὰς δὲ πλευρὰς ἐπὶ τὸ
Γ νευούσας, ἰσορροπεῖ δέ τι χωρίον αὐτῷ τὸ P κρε-
μάμενον ἐκ τοῦ ξυγοῦ κατὰ τὸ .4 οὕτως ἔχοντος τοῦ

'τραπεζίου, ὡς νῦν κείται, καί. ἐστιν, ὡς & ΒΑ͂ ποτὶ

τὰν ΒΕ, οὕτως τὸ 4E τραπέξιον ποτὶ τὸ K E, μεῖξον

2. ηκται EF; corr. Torellius. 8. ἐχγοντι F; corr. B. 9. AZ]

QUADRATURA PARABOLAE. 323

reclanguli sectione comprehensum, et a B diametro
parallela ducia est linea Bf, à puncto I' autem linea
ΓΖΔ seclionem coni in I' contingens, ei alia quoque
linea ΣΕ diametro parallela ducta est, erit
ΒΓΊΒΕ-. ΣΕ: ΕΦ [prop. 5].
quare etiam B4: BE — 4E: Κα EJ) et eodem modo
demonstrabitur esse 4B: BZ — ZZ: 4Z et
AB:BH — TH: MH ei AB: BI —TI:NI.
iam quoniam trapezium est ΖΕ angulos ad puncta
B, E positos rectos habens, latera autem ad I' uer-
gentia, οὐ spatium aliquod P in libra ex 44 suspen-
. Sum cum eo ita se habenti, ut nune positum est,
sequilibritatem seruat, οὐ est B.4: BE — AE: KE,

1) Nam ΒΑ — ΒΓ et 4E: KE — ZE: Ed; u. Zeitschr.
f. Math., hist. Abth. XXIV p. 180 nr. 11.

AZ F. 10. BI] BH F. 19. σημξιοις F; corr. Torellius.
13. τὸ P] idi uno ductu F.

21*

824 TETPADTOQNIZMOZ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ.

ἄρα ἐστὶν τὸ KE χωρίαν τοῦ P χωρίου. δεδείκται
γὰρ τοῦτο. πάλιν δὲ καὶ τὸ ZZ) τραπέξιον τὰς μὲν
ποτὶ τοῖς Z, E γωνίας ὀρϑὰς ἔχον, τὰν δὲ ZT νεύ-
ουσαν ἐπὶ τὸ Γ, ἰσορροπεῖ δὲ αὐτῷ χωρίον τὸ Χ ἐκ
᾿δ τοῦ ξυγοῦ κρεμάμενον κατὰ τὸ 4, οὕτως ἔχοντι τῷ
τραπεξίῳ, ὡς νῦν κείται, καί ἐστιν, ὡς μὲν ἁ Β 4 ποτὶ
τὰν BE, οὕτως 10 ZZ τραπέξιον ποτὶ τὸ ΖΦ, ὡς δὲ

& AB ποτὶ τὰν ΒΖ, οὕτως v0 ZZ τραπέξιον ποτὶ τὸ
ΑΖ. εἴη οὖν κα τὸ X χωρίον τοῦ μὲν AZ τραπεξίου
10 ἔλασσον, τοῦ δὲ Z D μεῖξον. δεδείκται γὰρ καὶ τοῦτο.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ "P χωρίον τοῦ μὲν MH τρα-
πεξίου ἔλασσον, τοῦ δὲ ΘΗ͂ μεῖξον, καὶ τὸ Ὡ χωρίον
τοῦ μὲν NOIH τραπεξίου ἔλασσον, τοῦ δὲ III μεῖξον.
ὁμοέως δὲ καὶ τὸ 4) χωρίον τοῦ μὲν Ξ1Γ' τριγώνου
15 ἔλασσον, τοῦ δὲ ΓΙῸ μεῖξον. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΚΕ
τραπέξιον μεΐξόν ἐστι τοῦ P χωρίου, τὸ δὲ 4Z τοῦ X,

τὸ δὲ MH τοῦ Ψ, τὸ δὲ NI τοῦ 9, τὸ δὲ ΞΙΓ τρί-
γωνον τοῦ 41, φανερόν, ὅτι καὶ πάντα τὰ εἰρημένα
χωρία μείζονά ἐστι τοῦ ΡΧΨΩ 1 χωρίου. ἔστιν δὲ
20 τὸ PX 91/9241 τρίτον μέρος τοῦ Β ΓΖ τριγώνου. δῆλον
ἄρα, ὅτι τὸ BIA τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τριπλά-
σιον τῶν ΚΕ, AZ, MH, NI τραπεξίων καὶ τοῦ Ξ1Γ'
τριγώνου. πάλιν ἐπεὶ τὸ μὲν ΖΦ τραπέξιον ἔλασσόν
ἐστι τοῦ X χωρίου, τὸ Óà ΘΗ͂ τοῦ Ψ, τὸ δὲ III τοῦ
26 $9, τὸ δὲ IOT' τρέγωνον τοῦ “7, φανερόν, ὅτι καὶ
πάντα τὰ εἰρημένα ἐλάσσονά ἐστι τοῦ 41} 1P X χωρίου.
φανερὸν οὖν, ὅτι καὶ τὸ BAT τρίγωνον μεῖξόν ἐστιν ἢ

8. ego» F; corr. B. 9. dd scripsi; «» F, uulgo. $a]

" Seripsi; καὶ F, uulgo. 14. ὁμοίως δὲ] scripsi; ομοιως δὴ F,
uulgo. 4) scripsi; 4 F, uulgo, ut lin. 18, 19, 20, 28ῦ. 20.

QUADRATURA PARABOLAE. 325

ert KE- P. hoc enim demonstratum est [prop. 10].
rursus aulem etiam ZZ irapezium est?) angulos ad
Z, E positos rectos habens, et latus Z T ad I' uer-
gens, οὐ cum irapezio?) ita se habenti, ut nunc posi-
ilum est, spatium X in libra ex 4. suspensum aequi-
libritatem seruat, οὐ est B4: BE— ZZ : ΖΦ, et
AB: BZ — ZZ: 4Z. quare eni 42)» X ΖΦ.
nam hoc quoque demonstratum.est [prop. 12]. eadem
igitur de causa erii etiam MH I9 — 6 H, et
NOIH » 2. IIl.
el eodem modo eliam AIT »ΩΑ͂ΣΤΙ O [prop. 8].
iam quoniam esi
KEP, AZ»X, MH» Ψ, NI» ὦ, ΞΙΓΡ 4,
manifestum est, etiam omnia spatia 1118. maiora esse
spatio P -- X -- 9, - € -- 4. sed
P 4- X4 4-28 4-4 — 4 BEA [prop. 6].
adparet igitur, esse
BI'4-«3(KE-- 42- MH 4- NI 4- SII)
rursus quoniam est ZOD« X, ΘΗ « V, III -—9,
IOI « 4, manifestum est, etiam omnia illa spatia
minora esse spatio 4/-]- $-|- 3^ ]- X. manifestum
est igitur, eliam triangulum Β 4) Γ' maiorem esse quam

1) Auditur ἐστι lin. 2. |
2) Ueri simile est, scribendum esse lin. 5: ἔχοντος τοῦ
τραπεζξίου αὖ p. 922 lin. 14.

BIZ] ΑΓ4 Ἐς corr. Nizze. 26. 4 PX] sic F; 4997 X
uulgo.

396 TETPADCONIEMOEX IIAPABOAHZ.

τριπλάσιον τῶν OZ, ΘΗ, III τραπεζίων καὶ τοῦ II'O
τριγώνου, ἔλασσον δὲ ἢ τριπλάσιον τῶν προγεγραμ-
μένων.

ιε΄.

δ Ἔστω πάλιν τὸ ΒΘΓ τμᾷμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐ-
ϑείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς, & δὲ ΒΓ μὴ ἔστω
ποτ᾽ ὀρϑὰς τᾷ διαμέτρῳ. ἀναγκαῖον δὴ ἤτοι τὰν ἀπὸ
τοῦ B σαμείου παρὰ τὰν διάμετρον ἀγμέναν ἐπὶ τὰ
αὐτὰ τῷ τμάματι ἢ τὰν ἀπὸ τοῦ Γ ἀμβλεῖαν ποιεῖν

10 γωνίαν ποτὶ τὰν ΒΓ. ἔστω & τὰν ἀμβλεῖαν ποιοῦσα
ἁ ποτὶ τῷ Β. καὶ ἄχϑω παρὰ τὰν διάμετρον ἀπὸ τοῦ
B & B4, καὶ ἀπὸ vov Γ ἁ I4 ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ
κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Γ. καὶ διῃρήσϑω ἁ ΒΓ εἰς τμά-
ματα ἴσα ὁποσαοῦν τὰ BE, EZ, ZH, HI, II', ἀπὸ δὲ

15 τῶν E, Z, H, I παρὰ τὰν διάμετρον ἄχϑωσαν αἱ EZ,
ZT, HT, IS, καὶ ἀπὸ τῶν σαμείων, καϑ' ἃ τέμνοντι
αὐταὶ τὰν τοῦ κώνου τομάν,. ἐπεξεύχϑωσαν ἐπὶ τὸ D
xal ἐκβεβλήσϑωσαν. φαμὶ δὴ καὶ νῦν τὸ BAT' τρί-
yovov τῶν μὲν τραπεζίων τῶν ΒΦ, 4Z, MH, NI

40 καὶ τοῦ ΓΙ τριγώνου ἔλασσον εἷμεν ἢ τριπλάσιον,
τῶν δὲ ZO, HO, III καὶ τοῦ ΓΟΙ τριγώνου μεῖξον
ἢ τριπλάσιον.

ἐκβεβλήσϑω ἁ 4 ἐπὶ ϑάτερα. ἀγαγὼν οὖν κάϑετον
τὰν ΓΚ τᾷ ΓΚ ἴσαν ἀπέλαβον τὰν AK. νοείσϑω δὴ

25 πάλιν ξύγιον τὸ AT, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ K, καὶ κρε-
μάσϑω ἐκ τοῦ K. κρεμάσθϑω δὲ καὶ τὸ ΓΚΩ͂ τρί-

5. τμημα F; corr. Torellius, ut lin. 9, 13. 1. δὴ] scripsi;
ós F, uulgo. 8. ayutvov F. 9. αὐτὰ] om. F; corr. B.
11. προς per comp. Fi corr. V. ἀπὸ vov B Nizzius. 14. τα]
ταν F. 16. x] o F; corr. Torellius. 1T. επιξευχϑῶσαν
F; corr. Torellius. 19. τῶν μέν] zo μὲν F. MH, NI
6H, III F; corr. Torellius. 23.5 Εἰ; corr. Torellius. οὖν

QUADRATURA PARABOLAE. 321

inplo maiorem trapezis OZ, ΘΗ, III cum triangulo
ΓΟ), minorem autem quam triplo maiorem spatiis
supra nominatis.

XV.

Sit rursus BOI' segmentum linéa recta et coni
reetanguli sectione comprehensum, et BI'ad diame-
irum perpendicularis ne sit. necesse est igitur, aut
lineam a puncto B ductam in eandem partem, in qua
est segmentum, diametro parallelam, aut lineam a I'
ductam obtusum angulum cum linea BI' facere. linea
igitur obtusum angulum faciens ea sit, quae ad B est.
ei ἃ puncto B diametro parallela ducatur B, et ἃ

I'linea I'4 sectionem coni in Γ᾽ contingens. et linea

BI'in partes aequales quotlibet diuidatur BE, EZ
ZH, HI, ΙΓ, εὖ ἃ punctis E, Z, H, I diameiro par-
allelae ducantur EZ, ZT, HT, I, et ἃ punctis, in
quibus eae sectionem coni secant, ad punctum Γ' du-
cantur [lineae] et producantur. dico igitur, 516 quo-
que esse 3(BO -]- AZ 4- MH4- ΝΙ-ἘΓΙΞῸῚ;» BAT
8(Z0 -4- H0 4- I11 4- l'O1).
produeatur ΖΒ in alteram partem." ducta igitur
linea I'K perpendiculari posui ΑΚ lineae ΓΚ aequa-
lem. fingamus igitur rursus, libram esse ΖΓ, et me-
dium eius punctum K, et ex K suspendatur. suspen-
datur autem etiam triangulus ΓΑΚ 2 in dimidia libra

1) Nam BAT» 83(4 -- & -- Y -- x).
2y H. e. non in eam partem, in qua segmentum est.

addidi; om. F, uulgo. — 24. ἐσην ἘΠ; corr. Torellius. 26. κε-
πρεμασϑὼ F, uulgo.

928 TETPADSNIZMOZ IHAPABOAHX.

γωνον ἐκ τοῦ ἡμίσεος τοῦ ξυγοῦ κατὰ τὰ D, K ἔχον,
ὡς νῦν κείται, καὶ ἐκ τοῦ ϑατέρου μέρεος τοῦ ξυγοῦ
κρεμάσθωσαν κατὰ τὸ 4 τὰ P, X, Ψ, 9, 4) χωρία,
καὶ τὸ μὲν P τῷ 4Ε τραπεξίῳ ἰσορροπείτω οὕτως
ἔχοντι, ὡς νῦν κείται, τὸ δὲ X τῷ ZZ τραπεξίῳ, τὸ
ὃὲ Ψ τῷ TH, τὸ δὲ 9 τῷ TI, τὸ δὲ 4 τῷ ΓΙΞ
τριγώνῳ. ἰσορροπήσει δὴ καὶ τὸ ὅλον τῷ ὅλῳ. ὥστε
εἴη ἂν καὶ τὸ 4 ΒΓ τρίγωνον τριπλάσιον τοῦ ΡΧΨΩ 4

χωρίου. ὁμοίως δὴ τῷ πρότερον δειχϑησέται τότε ΒΦ

10 τραπέξιον τοῦ P χωρίου μεῖξον, καὶ τὸ μὲν ΘΕ τρα-
πέξιον μεῖξον ἐὸν τοῦ X χωρίου, τὸ δὲ ΖΦ ἔλαττον.
καὶ τὸ μὲν MH τραπέξιον μεῖξον ἐὸν τοῦ U^ χωρίου,
τὸ ὃδὲ HO ἔλασσον. xal ἔτι τὸ μὲν NI τραπέξιον
μεῖξον ἐὸν τοῦ 2). χωρίου, τὸ δὲ III ἔλασσον, καὶ τὸ

15 μὲν AIT' τρίγωνον μεῖξον τοῦ “1 χωρίου, τὸ δὲ ΓΙΟ
ἔλασσον. δῆλον οὖν ἐστιν, ὃ ἔδει δείξαι.

uU.
Ἔστω πάλιν τμᾶμα τὸ BOI' περιεχόμενον ὑπὸ
εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς, καὶ ἄχϑω διὰ
20 μὲν τοῦ B & Β4 παρὰ τὰν διάμετρον, ἀπὸ δὲ τοῦ Γ
& ΓΖ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ I.

1. ἡμισους F, uulgo. 2. καί | addidi; om. F, uulgo. ue-
ρους F, uulgo. 8. τά] των F 4 scripsi; Z/ F, uulgo
(ut in figura et lin, 15). 4. v0] τω F, ut lin. 5 (alt.), 6 (prius).
6. 4] Fi 4 uulgo, ut lin. 8. - 7. δή] scripsi; δὲ F, uulgo.
8. PJ OF. 10. P] PX F. 16. 0 ἔδει δεέξαι] addidi (Scrip-
tum erat 01); om. F, uulgo; τὸ προτεθέν Torellius. 18. τμημαὰ
P; corr. Torellius. 20. διαμετο (cum comp. o») o» F.

QUADRATURA PARABOLAE. 329

ex punetis I; K ita se habens, αὖ nune positus est,

ei in altera parte librae ex puncto 44 suspendautur
spatia P, X, Ψ, ὦ,
4, et spatium P
eum itrapezio ΖΕ
iia se habenti, ut
nune positum est,

aequilibritatem

seruel, et spatium
X cum irapezio

ZZ, el Y cum
TH, el ὁ cum
TI, ei 4 cum

irnangulo ΓΙ.

quare etiam totum
cum toto aequili-

britatem seruabit. itaque erit [prop. 7]

4 BD — ΡῈ ΧΟ 9 4- 2 4T 2).
eodem igitur modo, quo supra!), demonstrabimus, esse
ΒΦΣΡΘΕ;ΣΧ» ΖΦ, ΜΗΣ» Ψ ΗΘ,
NI? $»III, SIT 45} ΓΙΟ.
ilaque adparet id, quod demonstrandum erat.

XVI.

Rursus sit BOI' segmentum linea recta et sectione
coni rectanguli comprehensum, et per B ducatur ΒΖ dia-
metro parallela, et à I' puncto linea ΓΖ sectionem coni
in Γ᾽ puncto contingens. et spatium Z tertia pars sit

1) Prop. 14, sed pro propp. 10, 12, 8 usurpandae sunt
propp. 11, 13, 9.

σι

9230 TETPAT'Q2NIZMOZ IIAPABOAHZ.

ἔστω δὲ τοῦ ΒΖΓ ΄ τριγώνου τρίτον μέρος τὸ Z χω-
ρέον. φαμὶ δὴ τὸ BOT' τμᾶμα ἴδον εἶμεν τῷ Ζ χωρίῳ.

εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσον, ἤτοι μεῖξόν ἐστιν ἢ ἔλασδον.
ἔστω δὴ πρότερον, εἰ δυνατόν, μεῖξον. ἃ ἄρα ὑπεροχά,
& ὑπερέχει τὸ ΒΓΘ τμᾶμα τοῦ Z χωρίου, συντιϑεμένα
αὐτὰ ἑαυτᾷ ἐσσείται μείξων τοῦ Bl τριγώνου. δυ-
νατὸν δέ ἐστι λαβεῖν τι χωρίον ἔλασδον τᾶς ὑπεροχᾶς,
ὃ ἐσσείταν μέρος τοῦ ΒΖΓ τριγώνου. ἔστω δὴ τὸ
ΒΓΕ τρίγωνον ἔλασσόν τε τᾶς εἰρημένας ὑπεροχᾶς
καὶ μέρος τοῦ Β4Γ' τριγώνου. ἐσσείται δὲ τὸ αὐτὸ
ἁ BÉ μέρος τᾶς B. διῃρήσθω οὖν & Β4 ἐς τὰ
μέρεα, καὶ ἔστω τὰ τῶν διαιρεσίων σαμεῖα τὰ H, I, K.
καὶ ἀπὸ τῶν H, I, K σαμείων ἐπὶ τὸ D εὐθείαι ἐπ-
εξεύχϑωσαν᾽ τέμνοντι δὴ αὐταὶ τὰν τοῦ κώνου τομᾶν,
ἐπεὶ & ΓΖ ἐπιψαύουσά ἐντι αὐτᾶς κατὰ τὸ I. καὶ διὰ
τῶν σαμείων, καϑ᾽ ἃ τέμνοντι τὰν τομὰν αἱ εὐϑείαι,
ἄχϑωδαν παρὰ τὰν διάμετρον αἱ ΜΦ, ΝΡ, ΞΘ, ΠΟ.
ἐσσούνται δὲ αὐταὶ καὶ παρὰ τὰν B4. ἐπεὶ οὖν ἔλασσόν
ἐστι τὸ BI'E τρίγωνον τᾶς ὑπεροχᾶς, & ὑπερέχει τὸ ΒΘΓ'

40 τμᾶμα τοῦ Ζ χωρίου, δῆλον, ὡς τὰ συναμφότερα τό

τε Ζ χωρίον καὶ τὸ ΒΓΕ τρίγωνον ἐλάσσονά ἐντι
τοῦ τμάματος. καὶ τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ ἴσα τὰ τρα-
πέξιά ἐντι, δι’ ὧν ἁ τοῦ κώνου τομὰ πορευέται, τὰ
ME, Φ.4, ΘΡ, ΘΟ, καὶ τὸ ΓΟΣ τρίγωνον. τὸ μὲν

92. τμημὰα F; corr. Torellius, ut lin. ὅ. τῷ] vo F. 4.
ἄρα] addidi; om. F, uulgo. ὅ. BI'G] scripsi; ΒΓΖ F; Ber
uulgo. 6. ἔσται per comp. F, uulgo. — 8. δή] scripsi; δὲ F,
uulgo. 19. μέρεα)] scripsi; μερη F, uulgo. διαιρέσεων F,
uulgo. σημεια F; corr. Torellius. 18. τὸ ΓῚ τὰ EF;
corr. Torellius. ευϑεια F; corr. Torellius. 16. καϑ᾽ a]
om. F; corr. Torellius. 11. JIO] zo, ut uidetur (potest tamen
legi I1O) F ; corr. Torellius. etiam in figura F pro O habet C.
19. ΒΘΓῚ ΒΘΙ Ε. 20. τμημα F; corr. Torelliug, ut lin. 22.

QUADRATURA PARABOLAE. 881

trianguli ΒΖΓ... dico igitur, segmentum B6I' aequale
esse spatio Z.
nam si aequale non est, aut maius est aut minus.
prius igitur, si fleri potest, maius sit. excessus igitur,
2 M VW E ΜΠ rau segneum ΒΓΘ
spatium Z excedit, sibi
ipse additus maior erit
triangulo ΒΓΔ [p. 296,
9] οὐ fieri potest, ut
sumatur spatium aliquod
excessu minus, quod pars
sit trianguli ΒΖΓ. sit
igitur triangulus BI'E et
͵ excessu illo minor et
pars trianguli BT. ea-
dem autem pars lineae

ἐμ! z B4 erit linea BE [Eucl.
| ἢ VII, 1]. diuidatur igitur

/ linea B4 in partes [ae-

/ quales lineae BE], et

Z4 puncta diuisionum sint H,

I,K. et a punctis H, I, K ad punctum Γ' lineae ducan-
tur. secant igitur sectionem coni, quoniam linea I'4
eam in puncto I'contingit. et per puncta, in qui-
bus lineae illae sectionem secant, diametro parallelae
ducantur lineae M4, NP, ΞΘ, IIO. itaque etiam
lineae B.4 parallelae erunt. iam quoniam est
BDE«B6r--Z,

adparet, esse Z- BI'E« ΒΘΓ. triangulo BI'E autem
aequalia sunt trapezia, per quae coni sectio ducta est,
ME, 94, 9P, ΘΟ cum triangulo l'OZ. nam tra-

332 TETPALTOQNIZMOX IIAPABOAHX.

γὰρ ME τραπέξιον κοινόν, τὸ δὲ M4 ἴσον τῷ Φ A,
καὶ τὸ 4 ἴσον τῷ OP, καὶ τὸ XA ἴσον τῷ OO, καὶ
τὸ ΓΧΠ τρίγωνον τῷ ΓΟΣ τριγώνῳ. τὸ δὴ Ζ xo-
ρίον ἔλασσόν ἐστι τῶν τραπεξίων τῶν MA, EP, ΠΘ
5 καὶ τοῦ ΠΟΙ͂ τριγώνου. καί ἐστι τὸ ΒΖΓ τρίγωνον
τριπλάσιον τοῦ Ζ χωρίου. τὸ δὴ ΒΖΓ ἔλασσόν ἐστιν
ἢ τριπλάσιον τῶν MA, PA, ΘΠ τραπεζξίων καὶ τοῦ
ΠΟΓ τριγώνου" ὅπερ ἀδύνατον. ἐδείχϑη γὰρ μεῖξον
ἐὸν ἢ τριπλάσιον. οὐχοῦν οὐ μεῖξόν ἐστι τὸ ΒΘΙ'
10 τμᾶμα τοῦ Ζ χωρίου. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἔλασσον.
ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. πάλιν ἄρα & ὑπεροχά,
& ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ BOI' τμάματος, αὐτὰ
ἑαυτᾷ συντιϑεμένα ὑπερέχει καὶ τοῦ ΒΖΓ τριγώνου.
δυνατὸν δέ ἐστι λαβεῖν χωρίον ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς,
ὃ ἐσσείται μέρος τοῦ ΒΖΓ τριγώνου. ἔστω οὖν τὸ
ΒΓΕ τρίγωνον ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς καὶ μέρος τοῦ
ΒΖΓ τριγώνου, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευάσϑω.
ἐπεὶ οὖν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς,
& ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΒΘΓ τμάματος, τὸ BED
20 τρίγωνον καὶ τὸ ΒΘΙΓ τμᾶμα ἀμφότερα ἐλάσσονά ἐστι
τοῦ Z. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Ζ χωρίον ἔλασσον τῶν τε-
τραπλεύρων τῶν EM, ON, "5X, IIT καὶ τοῦ ΓΠΣ
τριγώνου" ἔστιν γὰρ τὸ ΒΖΓ τοῦ μὲν Z τριπλάσιον,
τῶν δὲ εἰρημένων χωρίων ἔλασσον ἢ τριπλάσιον, ὡς
26 ἐν τῷ πρὸ τούτου ἐδείχϑη. ἔλασσον ἄρα τὸ ΒΓΕ

9. o» F, uulgo; om. ed. Basil, Torellus. 10. τμημα F;
corr. Torellius, ut lin. 12, 19, 20. 11. ἄρα] addidi; om. F,
uulgo. 20. ἐστι] per comp. F.

QUADRATURA PARABOLAE. 333

pezium .M E commune est, οὐ M 4 — € 4, et 4&8 — ΘΡ,
εὗ XX — 00) et XII — I'02:?) itaque erit
Z«— MA -- ΞΡ- ΠΘ- HOI*9)
ei BA1I'— 3Z. itaque erit
BAT «3(MA - ΡΞ 4- 81II J- IIO);
quod fieri non potest. nam demonstratum est, maio-
rem eum esse quam íriplo maiorem [prop. 14— 15].
ilaque segmentum BOI' maius non est spatio Z. dico
igitur, id ne minus quidem esse. sit enim, si fieri
potest, minus. rursus igitur excessus, quo spatium Z
segmentum B GI' excedit, sibi ipse additus etiam trian-
gulum B.4I' excedet [p. 296, 9]. et fieri potest, ut
sumatur spatium excessu minus, ita ut pars sit trian-
gul ΒΖΓ. sit igitur triangulus BI'E et minor ex-
cessu el pars trianguli BI, et cetera eodem modo,
quo supra [p. 330, 10], comparentur. quoniam igitur
triangulus BI'E minor est excessu, quo spatium Z
segmentum BOI' excedit, triangulus B EI' οὐ segmen-
ium B6I'simul sumpta minora sunt spatio Z. sed
eliam Z « EM -- 6N -- *53 -- IIT-- I'IZ; nam
BADI'—3Z, sed
BAD «83(EM -4- ON 4- ΨΕ- IIT -- ΓΠΣ),

1) Nam MAÁA:04-— NA: AP (Zeitschr. f. Math., hist.
Abth. XXIV p. 180 nr. 11); sed INN A — AP, quia
NA: AP BE: EH (ibid. p. 178 nr. 8),
el BE — EH.

2) Nam II X — OZ, quia BE — K 4 (ibid. p. 178 nr. 3),
et altitudo communis est.

3) Nam ME -- Nó -- g - IIT - IIZI 7» ΒΘΓ et
ME - 64-- 9P-- 90 -- TOZ — ΒΓῈ
MA-r EP-L1I9-4j IHOrB6r- BDE.

sed ΒΘΓ -- BE » Z. |

334

TETPATS9NIZMOZ IIAPABOAHZ.

τρέγωνον καὶ τὸ ΒΘΓ τμᾶμα τῶν τετραπλεύρων τῶν
EM, ΦΝ, &'T, IIT καὶ τοῦ ΓΠΣῚ τριγώνου. ὥστε
κοινοῦ ἀφαιρεϑέντος τοῦ τμάματος ἔλασσον εἴη κα xol
τὸ ΓΒΕ τρίγωνον τῶν περιλειπομένων χωρίων" ὅπερ
5 ἐστὶν ἀδύνατον. ἐδείχϑη γὰρ ἴσον ἐὸν τὸ ΒΕΓ τρί-
yovov τοῖς τραπεζίοις τοῖς EM, 0.4, ΘΡ, ΘΟ καὶ
τῷ ΓΟΣ τριγώνῳ, & ἐντι μείξονα τῶν περιλειπομένων
χωρίων. οὐκ ἄρα ἔλασσον τὸ ΒΘΓ τμᾶμα τοῦ Z χω-᾿
ρίου" ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ μεῖζον. ἴσον ἄρα τὸ τμᾶμα

10 τῷ Ζ χωρίῳφ.

ιζ΄.

Τούτου δεδειγμένου φανερόν, ὅτι πᾶν τμᾶμα περι-
ἐχόμενον ὑπὸ εὐϑείας τε καὶ ὀρϑογωνίου. κώνου το-

ΖΦ 4E
15

1. supe

p μᾶς ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ τριγώνου
τοῦ ἔχοντος βάσιν τὰν αὐτὰν τῷ
τμάματι καὶ ὕψος ἴσον.
ἔστω γὰρ τμᾶμα περιεχόμενον
ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρϑογωνίουν
κώνου τομᾶς, κορυφὰ δὲ αὐτοῦ
ἔστω τὸ O σαμεῖον. καὶ ἐγγε-
γράφϑυ εἰς αὐτὸ τρίγωνον τὸ ΒΘΓ'
τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι
καὶ ὕψος ἴσον. ἐπεὶ οὖν τὸ O σα-
μεῖον κορυφά ἐστι τοῦ τμάματος,
& ἀπὸ τοῦ € εὐϑεῖα παρὰ τὰν διά-
μέτρον ἀχϑεῖσα δίχα τέμνει τὰν BT,
καὶ ἃ ΒΓ ἐστι παρὰ τὰν ἐπιψαύου-

F; corr. Torellius, ut lin. 3, 8, 9, 19, 16, 17, 22.

8. κα] addidi; om. F, uulgo. 18. τομῆς Hj 17. τμᾶμα τὸ

Ber Nieziug.

21. xat] ἐπεί Nizszius.

QUADRATURA PARABOLAE, 335

ui in propositione praecedenti! demonstratum est.
ilaque |

BDE - BGI' « EM -- óN 4- EY -- IIT-- ΓΙΣ.
quare ablato, quod commune est, segmento triangulus
I'BE minor erit spatiis reliquis; quod fieri non pot-
esl. nam demonsiratum est, triangulum B EI' aequa-
lem esse EM ]- 6.4 -- 9P 4- 60 4- ΓΟΣ [p. 330,
22], quae maiora sunt spaliis reliquis. itaque seg-
mentum BOI' minus non est spatio Z; et demonsira-
ium est, id ne maius quidem esse. itaque segmentum
aequale est spatio Z.

XVII.

Hoc demonstrato manifestum est, quoduis segmen-
tum linea recta et sectione coni rectanguli compre-
hensum tertia parie maius esse iriangulo eandem
basim habenti, quam segmentum, et altitudinem ae-
qualem.

sit enim [BO I'] segmentum linea recta eti sectione
coni rectlanguli comprehensum, uertex auiem eius sit
punctum Θ, οὐ ei inscribatur triangulus BG I' eandem
basim habens, quam segmentum, et altitudinem aequa-
lem. iam quoniam punctum 6 uertex esi segmenti,
linea ἃ puncto 9 diamebro parallela ducia lineam BI'
in duas partes aequales diuidit?), et linea BI' lineae
in Θ᾽ sectionem contingenti parallela est [prop. 1, b].

1) H. e. prop. 14—15, quae fortasse in unum coniungendae
erant.

2) Per conuersam prop. 18. mirum est, AÁrchimedem iam
hoc loco nomina βάσις vov τμάματος et κορυφὰ τοῦ τμάματος
Usurpasse, quae infra demum (p. 336, 12) definiuntur.

2236 TETPAT'QNIZMOZ IIAPABOAHZ,

cav tüg τομᾶς κατὰ τὸ O. ἄχϑω 03 ἁ EO παρὰ
τὰν διάμετρον, ἄχϑω δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ Β παρὰ τὰν
διάμετρον ἁ Bf, ἀπὸ δὲ vov D ἁ ΓΖ ἐπιψαύουσα
τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ I. ἐπεὶ οὖν à μὲν ΚΘ
παρὰ τὰν διάμετρόν ἐστιν, & δὲ ΓΖ ἐπιψαύουσδα τᾶς
τομᾶς κατὰ τὸ I, ἁ δὲ ΕΓ παράλληλός ἐστι τᾷ ἐπι-
ψαυούσᾳ τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ O, τὸ ΒΖΓ τρίγωνον
τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΘΓΓ τριγώνου. ἐπεὶ δὲ τὸ
BAT τρίγωνον τοῦ μὲν ΒΘΓ τμάματος τριπλάσιόν
ἐστι, τοῦ δὲ ΒΘΓ τριγώνου τετραπλάσιον, δῆλον, ὡς
ἐπίτριτόν ἐστι τὸ BOI' τμᾶμα τοῦ ΒΘΓ τριγώνου.

Τῶν τμαμάτων τῶν περιεχομένων ὑπό vs εὐϑείας
καὶ καμπύλας γραμμᾶς βάσιν μὲν καλέω τὰν εὐϑεῖαν,
ὕψος δὲ τὰν μεγίσταν κάϑετον ἀπὸ τᾶς καμπύλας γραμ-
μᾶς ἀγομέναν ἐπὶ τὰν βάσιν τοῦ τμάματος, κορυφὰν
δὲ τὸ δαμεῖον, ἀφ᾽ οὗ ἁ μεγίστα κάϑετος ἀγέται.

| ιη΄.

Εἴ κα ἐν τμάματι, ὃ περιεχέται ὑπὸ εὐϑείας καὶ
ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς, ἀπὸ μέσας τᾶς βάσιος ἀχϑῇ
εὐθεῖα παρὰ τὰν διάμετρον, κορυφὰ ἐσσείται τοῦ τμά-
ματος τὸ σαμεῖον, καϑ᾿ ὃ ἁ παρὰ τὰν διάμετρον
ἀχϑεῖσα τέμνει τὰν τοῦ κώνου τομάν.

ἔστω γὰρ τμᾶμα τὸ ABI περιεχόμενον ὑπό τε εὐ-
ϑείας καὶ ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς, καὶ ἀπὸ μέσας
vio 4Γ ἄχϑω à 48 παρὰ τὰν διάμετρον. ᾿ἐπεὶ οὖν
ἐν ὀρϑογωνίου κώνου τομᾷ & Ba ἄκται παρὰ “τὰν

9. τμηματος F, uulgo. 11. τμᾶμα τοῦ BOT] του Pd
F; corr. B (μημα; corr. xorellius). | 12. τμηματων TF; uen
Torellius, ut lin. 15, 18, 90, 28. . καλω P. uulgo.
ἀπό) «exo ἐπι FC. . 15. ἀπτομεναν 'F; cor B. 19. Buodl;

F, uulgo. 22. τὰν τοῦ] τα tov F. 528. ov] per comp. F.
26. ορϑωγωνιου F, uulgo. κώνου] om. F; corr. Torellius.

QUADRATURA PARABOLAE. 881

ducatur autem EO diameiro parallela, et etiam a
puncto B diameiro parallela ducatur Bi, et a I' linea
ΓΖ coni sectionem in puncto I'contingens. quoniam
igitur line. ΚΘ diametro parallela est, ΓΖ autem
sectionem in I'conlüngit, et EI' lineae sectionem in
6 contingenti parallela est, erit ΒΖΓ --- 4ΒΘΓ. et
quoniam iriangulus ΒΖΓ triplo maior esi segmento
B6I'[prop. 16], et quadruplo maior triangulo ΘΓ,
adparet, segmentum BOGT'terlia parte maius esse trian-
guo B6I.

Segmentorum linea recta et curua aliqua linea
comprehensorum basim uoco lineam rectam, altitu-
dinem autem maximam earum linearum, quae a curua
linea δὰ basim perpendiculares ducantur, uerticem
autem punctum, unde perpendicularis maxima ducatur.

XVIII.

Si in segmento linea recia et coni rectanguli sec-
lione comprehenso a media basi linea diametro par-
allela ducitur, uertex segmenti erii punctum, in quo
linea diametro parallela coni sectionem secat.)

sit enim 4BI' segmentum linea recta et coni
rectanguli seclione, comprehensum, et a media linea
AI' ducatur 4B diametro parallela. quoniam igitur
in sectione coni rectanguli linea Bf diametro par-

1) Nam EK:BZ — ED: Bl-1:2; sed E6 — 86K

(prop. 2. et BGI': BI'4 -« ΕΘ: Bá (Zeitschr. f. Math., hist.
bth. XXIV p. 178 nr. 7) — 1:4.

2) Linea 4B diametrus segmenti erit (cfr. Zeitschr. f.
Math., hist. Abth. XXV p. 44 et p. 51 nr. 14). tum ofr. Apol-
lon. I def. 11: κορυφὴν δὲ τῇρ. καμπύλης γραμμῆς τὸ πέρας τῆς
εὐθείας (h. e. τῆς διαμέτρου) τὸ πρὸς τῇ γραμμῇ.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 22

338 TETPAT'SNIZMOZ IIAPABOABE.

διάμετρον, καὶ ἴσαι ἐντὶ αἱ A4 4, AT, δῆλον, ὡς παρ-
ἀλληλός ἐντι & τε 4Γ καὶ ἁ κατὰ τὸ B ἐπιψαύουσα
E, τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς. φανε-

ρὸν οὖν, ὅτι τῶν ἀπὸ τᾶς το-

μᾶς ἐπὶ τὰν 4Γ ἀγομέναν κα-
ϑέτων μεγίστα ἐσσείται ἁ ἀπὸ
AL 4 τοῦ B ἀγομένα. κορυφὰ οὖν
ἐστιν τοῦ τμάματος τὸ B σαμεῖον.
i.
"Ev τμάματι περιεχομένῳ ὑπὸ εὐϑείας καὶ ὀρϑο-

γωνίου κώνου τομᾶς ἁ ἀπὸ μέσας τᾶς βάσιος ἀχϑεῖσα

-» 9. ? ^" e , 3 / ,
τὰς ἀπὸ μέσας τὰς ἡμισείας ἀγομένας ἐπίτριτος ἐσσεί-
ται μάκει.

ἔστω γὰρ τὸ ABI τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐ-
ϑείας καὶ ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς, καὶ ἄχϑω παρὰ
τὰν διάμετρον ἃ μὲν Β4 ἀπὸ μέσας τᾶς AT, ἁ δὲ
ΕΖ ἀπὸ μέσας τᾶς 44. ἄχϑω δὲ καὶ ἃ ΖΘ παρὰ AI.
ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίου κώνου τομᾷ & B παρὰ τὰν
διάμετρον ἄκται, καὶ αἱ 421, ZO παρὰ τὰν κατὰ τὸ
B ἐπιψαύουσαν τᾶς τομᾶς ἐντι, δῆλον, ὡς τὸν αὐτὸν
ἔχοντι λόγον & B4 ποτὶ τὰν BO μάκει,. ὃν & 44
ποτὶ τὰν ΖΘ δυνάμει. τετραπλασία ἄρα ἐστὶν καὶ ἁ
B4 τὰς BO μάκει. φανερὸν οὖν, ὅτι ἐπίτριτός ἐστιν
& B4 τᾶς ΕΖ μάκει.

1. παραλλήλοιϑ 4. τῶν] om. F; corr. Torellius. ὄὅ.
eyousvac F; corr. Torellius. καϑέτων) scripsi; καϑέετος F,
uulgo. 8. τμηματος F; corr. Torellius. 10. ἐν τμάματι
περιεχομένῳ scripsi; cfr. Quaest. Arch. p. 153; eux« τμημὰ
περιεχόμενον F, uulgo; εἴκα sig τμῆμα περιεχόμενον ed. Basil,
Torellius (αἴκα ---ττμᾶμα). 11. facsog F, uulgo. 18. «evo F.
20. τᾶς τομᾶς ivt] scripsi; αἰμεντι Ε΄, uulgo; ἔσται μέντοι B,

ed. Basil; ἔστι μέντοι 'lorellius. ταν αὐτὰαν F. 21. ἔχοντι)
ἔχει Ien.; fort. pro ὅν lin. 21 scrib. καί.

QUADRATURA PARABOLAE, 389

allela ducta est, et 444 — ZI, adparet, lineam ΑΓ
ei lineam in puncto B sectionem conj contingentem
parallelas esse [prop. 1, b]. itaque manifestum est,
linearum, quae a sectione ad lineam A4I' perpendicu-
lares ducantur, maximam fore lineam a puncto B
ductam." itaque punctum B uertex est sectionis
[p. 336, 15].

XIX.

In segmento linea recta et sectione coni rectan-
guli comprehenso linea a media basi [diametro par-
allela]?) ducta tertia parte maior est longitudine quam
linea 8 media basi dimidia [eodem modo] ducta.

sit enim 4BI' segmentum linea recta ei sectione
coni rectanguli comprehensum, et diametro parallelae
ducantur ἃ media linea A4I' linea Bf et a media

8 linea “414 linea EZ. et ducatur

g N euam ΖΘ lmeae AI' parallela.

quoniam igitur in sectione coni

rectanguli Bl diametro parallela

4 ducta est, et lineae 421, ZO

lineae in B sectionem contingenti parallelae sunt),

adparet, esse B4: ΒΘ — 42f* : ZO? [prop. 8]. ità-

que etiam Β 4 — 4BO.*) manifestum est igitur, esse
B4 -—31£EZ»)

1) Nam si ullius puncti sectionis distantia maior esset, pars
sectionis extra lineam in B contingentem caderet. itaque coni
sectionem secaret, quod contra hypothesim est.

2) Fortasse lin. 11 post ἀχϑεῖσα addendum: παρὰ τὰν διά-
μετρον.

8) Θυΐϊα 44 — 4Γ:; tum u. prop. 1, b.

4) Nam 44 — 22Θ.

5) Nam ΘΖ — 8B6 — EZ.
22

340 ΤΕΤΡΑΓΩΝΊΣΜΟΣ IIAPABOAHZ.

κ΄.

Εἴ κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπό τε εὐϑείας καὶ
ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς τρίγωνον ἐγγραφῇ τὰν αὖ-
τὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος τὸ αὐτό, μεῖξον

ὅ ἐσσείται τὸ ἐγγραφὲν τρίγωνον ἢ ἥμισυ τοῦ τμάματος.
ἔστω γὰρ τὸ 48Γ τμᾶμα, οἷον εἰρήται, καὶ ἐγγε-
γράφϑω εἰς αὐτὸ τρίγωνον τὸ ABI' τὰν αὐτὰν ἔχον
βάσιν τῷ ὅλῳ καὶ ὕψος ἴσον. ἐπεὶ οὖν τὸ τρίγωνον
τῷ τμάματι τὰν αὐτὰν ἔχει βάσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό,
10 ἀναγκαῖον, τὸ Βὶ σαμεῖον κορυφὰν εἶμεν τοῦ τμάμα-
Za 2 Ζ τος. παράλληλος ἄρα ἐστὶν
& AT τᾷ κατὰ τὸ B ἐπι-
ψαυούσᾳ τᾶς τομᾶς. ἄχϑω
& 4E διὰ vov B παρὰ
15 τὰν ALD, xol ἀπὸ τῶν A,
A LJ DI αἱ 44, ΓΕ παρὰ τὰν
διάμετρον. πεσούνται δὴ αὐταὶ éxvóg τοῦ τμάματος.
ἐπεὶ οὖν ἡμισύ ἐστι τὸ ABT τρίγωνον τοῦ AAET
παραλληλογράμμου, φανερόν, ὅτι μεῖξόν ἐστιν ἢ τὸ
90 ἥμισυ τοῦ τμάματος.

ΠΟΡΙΣΜΑ.

Τούτου δεδειγμένου δῆλον, ὅτι [ὡς] ἐς τοῦτο τὸ
τμᾶμα δυνατόν ἐστι πολύγωνον ἐγγράψαι, ὥστε εἶμεν
τὰ περιλειπόμενα τμάματα παντὸς ἐλάσσονα τοῦ προ-

26 τεϑέντος χωρίου. ἀφαιρουμένου γὰρ ἀεὶ μείξονος vot

2. τμᾶμα] τημα F; corr. Torellius; τμῆμα uulgo. 8. e»-
γραφῆ F. 5. secre, per comp. F, uulgo. τμηματος FE; corr.

orellius, ut lin. 6, 9, 10, 17, 20, 28. 10. ewet per comp.
F; corr. Torellius. — 15. τῶν] ταν F. — 21. πόρισμα addidi.
22. rovrov] om. F; corr. Torellius. ὡς] deleo. 84. περι-

zousvo FP; corr. BC

QUADRATURA PARABOLAE. 341

XX.

Si segmento linea recta ei coni rectanguli sectione
comprehenso iriangulus inscribitur eandem basim ha-
bens, quam segmentum, et altitudinem eandem, trian-
gulus inscriptus maior erit dimidia parte segmenti.

sit enim .4BI' segmentum, quale diximus, et ei
inseribatur triangulus A4BI' eandem basim habens,
quam totum [segmentum], et altitudinem aequalem.
quoniam igitur triangulus eandem basim habet, quam
segmentum, et altitudinem eandem, necesse est, punc-
ium B uerlicem esse segmenti!) itaque A4I'lineae in
B sectionem contingenti parallela est.) ducatur per
punctum B lineae “Γ᾽ parallelà linea Z/E, et ἃ punc-
lis 4, I' diamelro parallelae lineae 421, ΓΕ. cadent
igitur extra segmentum.) quoniam igitur

ABI —14A44ETFD [Eucl. I, 41),
manifestum esí, maiorem eum esse dimidia parte
segmenti.

COROLLARIUM.

Hoe demonstrato adparet, fieri posse, ut tali seg-
mento polygonum inscribatur, ita ut segmenta reliqua
minora sint quouis spatio dato. nam si semper spa-
tium, quod propter hanc propositionem [20] maius est

1) Nam altitudo trianguli linea est ἃ B ad A4I' perpendi-
cularis, quae cum etiam segmenli sit altitudo, maxima erit
linearum ἃ sectione ad 4I' perpendicularium (p. 336, 14); tum
u. p. 886, 15.

2) Nam linea à B diametro parallela ducta lineam AI'in
duas partes &equales diuidet (per € conuersam prop. 18; cfr. prop.
17 p. 384, 25); tum τι. prop.

8) Ii κωνοειδ. 16; δοῖεν f. Math., hist, Ábth. XXV
p. 58 nr. 19.

842 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ IIAPABOAHZ.

ἡμίδεος διὰ τοῦτο, φανερόν, ὅτι ἐλασσούντες ἀεὶ τὰ
λειπόμενα τμάματα ποιήσομες ταῦτα ἐλάσσονα παντὸς
τοῦ προτεϑέντος χωρίου.

κα΄.

δ — Ei κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐϑείας καὶ
ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς τρίγωνον ἐγγραφῇ τὰν αὐ-
τὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος τὸ αὐτό, ἐγγρα-
φέωντι δὲ καὶ ἄλλα τρίγωνα ἐς τὰ λειπόμενα τμάματα
τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος

10 τὸ αὐτό, ἑκατέρου τῶν τριγώνων τῶν εἰς τὰ περιλει-
πόμενα τμάματα ἐγγραφέντων ὀκχταπλάσιον ἐσσείται
τὸ τρίγωνον τὸ εἰς τὸ ὅλον τμᾶμα ἐγγραφέν.

ἔστω τὸ 4ΒΓ' τμᾶμα, οἷον εἰρήται, καὶ τετμάσϑω
ἃ ΑΓ δίχα τῷ 4, & δὲ BA ἄχϑω παρὰ τὰν διάμε-

15 τρον. τὸ B ἄρα σαμεῖον κορυφά ἐστιν τοῦ τμάματος.
τὸ ἄρα 4ΒΓ τρίγωνον τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχει τῷ τμά-
ματι καὶ ὕψος τὸ αὐτό. πάλιν τετμάσϑω δίχα ἁ 44

τῷ E, xol ἄχϑω ἁ ΕΖ παρὰ τὰν διάμετρον, τετμάσϑω
0b & AB κατὰ τὸ Θ. τὸ ἄρα Ζ σαμεῖον κορυφα ἐστι
20 τοῦ τμάματος τοῦ 4Ζ8. τὸ δὴ 428 τρίγωνον τὰν

1. ἡμισους F, uulgo. 2. τμηματὰ ἘΠ; corr. Torellius, ut
lin. 5, 7, 8, 11, 19, 183, 16, 16. ποιήσομεν F, uulgo. 9. τμη-

QUADRATURA PARABOLAE. 343

parte dimidia, abstulerimus, manifestum est, nos spa-
iia reliqua semper minuentes [aliquando] ea minora
facturos esse quouis spatio dato [Eucl. X, 1].

XXI.

Si segmento linea recta et coni rectanguli sectione
comprehenso triangulus inscribitur eandem basim ha-
bens, quam segmentum, et aliitudinem eandem, et:
etiam segmentis reliquis ali trianguli inscribuntur
eandem basim habentes, quam segmenta, ei altitudi-
nem eandem, triangulus toti segmento inscriptus ae-
qualis erit utriuis triangulorum segmentis reliquis in-
scriptorum octies sumpto.

sit 4BI' segmentum, quale diximus, et linea AI'
in puncto Z in duas partes aequales diuidatur, et B4
diameiro parallela ducatur. itaque B punctum uertex
est segmenti [prop. 18]. itaque triangulus 4 BI'eandem
basim habet, quam segmentum, οὐ altitudinem eandem.!)
rursus linea 412] in puncto E in duas partes aequales
diuidatur, et diameiro parallela ducatur EZ, et ab ea
linea 44B in Θ secetur. ilaque punctum Z uerlex est
segmenti 4Z B.) quare triangulus 4Z B eandem ba-

1) Nam altitudo trianguli linea est ab B ad Al" perpen-
dicularis, quae eadem altitudo est segmenti, quia B uertex est
(p. 836, 15).

2) Nam EO € B4; iaque 4E: ΕΖ τα 4Θ: ΘΒ; sed
AE — EZ; quare 460 — ΘΒ; tum ἃ. prop. 18.

μασιν PF; τμηματεσσι uulgo; τμαματεσσι᾿ "orellius. 11. Ἔσται
per comp. F, uulgo. 18. τετμησθϑὼ F; corr. Torellius, ut
lin. 17, 18. 19. σημειον F. κορυφῇ P corr. Torellius.
20. τοῦ} alterum suprascr. manu 1 F. τμήματος F.

944 TETPATQ9:NIZMOZ IIAPABOAHZ.

αὐτὰν βάσιν ἔχει và AZ B τμάματι καὶ ὕψος τὸ αὐτό.
δεικτέον, ὅτι ὀκταπλάσιόν ἐστι τὸ 4ΒΓ τρίγωνον τοῦ
ABZ τριγώνου.
ἔστιν οὖν & Β4 τᾶς μὲν ΕΖ ἐπίτριτος, τᾶς δὲ
5 ΕΘ διπλασία. διπλασία ἄρα ἐστὶν ἃ ΕΘ τᾶς ΘΖ.
ὥστε καὶ τὸ 4 ΕΒ τρίγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ZB 4"
τὸ μὲν γὰρ AEG διπλάσιόν ἐστι τοῦ A4OZ, τὸ ὃὲ
'€ BE τοῦ Ζ2ΘΒ. ὥστε τὸ ABI' τοῦ 428 ἐστι ὀκτα-
πλάσιον. ὁμοίως δὲ δειχϑησέται καὶ τοῦ εἰς τὸ ΒΗΓ'
10 τμᾶμα ἐγγραφέντος.

κβ΄.

Εἴ κα ἡ τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐϑείας καὶ ὁρ-
ϑογωνίου κώνου τομᾶς, καὶ χωρία τεϑέωντι ξξῆς ὅπο-
σαοῦν ἐν τῷ τετραπλασίονι λόγῳ, ἡ δὲ τὸ μέγιστον

16 τῶν χωρέων ἴσον τῷ τριγώνῳ τῷ βάσιν ἔχοντι τὰν
αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ὕψος τὸ αὐτό, σύμπαντα τὰ
χωρέα ἐλάσσονα ἐσσείται τοῦ τμάματος.

ἔστω γὰρ τμᾶμα τὸ 44ΒΕΓ περιεχόμενον ὑπό τε
εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς, χωρία δὲ ἔστω

20 ὁποσαοῦν ἑξῆς κείμενα τὰ Z, H, O, I, τετραπλάσιον
0à ἔστω τὸ ἁγούμενον τοῦ ἑπομένου, μέγιστον δὲ ἔστω
τὸ Ζ, καὶ ἔστω τὸ Ζ ἴσον τῷ τριγώνῳ τῷ βάσιν
ἔχοντι τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον. λέγω,
ὅτι τὸ τμᾶμα τῶν Z, H, Θ, I χωρέων usitóv ἐστιν.

26 ἔστω τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κορυφὰ τὸ B, τῶν δὲ
περιλειπομένων τμαμάτων τὰ Z1, E. ἐπεὶ οὖν τὸ ABI
τρίγωνον ὀκταπλάσιόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν 4Β4, BET

1. τῷ) το F. τμηματι F; corr. Torellius, ut lin. 12, 16,
17, 18, 23, 24, 256, 26. 10. τμηματος F; corr. B. 18. τομῆς

QUADRATUBA PARABOLAE. 94b

sim habei, quam segmentum ZB, et altitudinem
eandem. demonstrandum est, esse 4BI'-——8.4BZ.
iam est B — $ EZ [prop. 19], sed etiam
BA «2 EG)

itaque ΕΘ — 20Z?) quare etiam 4EB — 2ZB.4;
nam 4E — 240Z et BE — 2268 [Eucl. VI, 1].
quare est. 4BI' — 84ZB) et eodem modo demon-
sirabimus, esse eliam 4BI' —8BHI:

XXII.

Si datum est segmentum linea recta et coni rect-
anguli sectione comprehensum, et ponuntur spatia
quotlibei, quae deinceps in quadrupla proportione sunt,
οὐ maximum spatium aequale est triangulo basim ha-
benti eandem, quam segmentum, et altitudinem ean-
dem, omnia simul spatia minora erunt segmento.

si& enim 421 BETI' segmentum recta linea ei coni
rectanguli sectione comprehensum, et ponantur quotlibet
spatia deinceps, Z, H, Θ, I, et praecedens quadruplo
maius sii sequenti, el. maximum sit Z, ei Z aequale
git triangulo basim eandem habenti, quam segmentum,
et altitudinem aequalem. dico, segmentum maius esse
spatiis Z, H, 6, I.

totius segmenti uertex sit B, et segmentorum reli-
quorum uertices 4f, E. quoniam igitur

ABDI'—844B4 -—8BETF [prop. 21],

1) Nam AE: 4d — ΕΘ: ΒΖ 1:2.
2) Nam ΕΘ — $EZ; itaque ΘΖ — $4 EZ.
8) Nam 4ΒΓ τῷ 24B4 -ὟἮ 2(4BE -]- ΒΕΔ) το 4ABE.

F. — 17. ἐσται per comp. F, uulgo. 19. κώνου] om. F;
corr. V. 21. ηγουμενον F, uulgo. 26. ἐπεί] ἐπι F.

οι

946 TETPALTSNIZMOZX ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ.

τριγώνων, δῆλον, ὅτι [ὡς] ἀμφοτέρων αὐτῶν ἐστι τε-
τραπλάσιον. καὶ ἐπεὶ τὸ ABI' τρίγωνον ἴσον ἐστὶ
τῷ Z χωρίῳ, κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ τὰ 448, ΒΕΓ
τρίγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ Η χωρίῳ, ὁμοίως δὲ δειχϑησέται
9/1
4 E

“4 D

καὶ τὰ εἰς và περιλειπόμενα τμάματα ἐγγραφόμενα
τρίγωνα τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν
καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ ἴσα ἐόντα τῷ Θ, καὶ τὰ ἐς τὰ ὕστε-
ρον γενόμενα τμάματα ἐγγραφόμενα τρίγωνα ἴσα τῷ
I χωρέῳ, σύμπαντα ἄρα τὰ προτεϑέντα χωρία ἴσα ἐσ-
σούνται πολυγώνῳ τινι ἐγγραφέντι εἰς τὸ τμᾶμα. φα-
νερὸν οὖν, ὅτι ἐλάσσονά ἐστι τοῦ τμάματος.

κγ΄.

Ei κα μεγέϑεα τεϑέωντι ἑξῆς ἐν τῷ τετραπλασίονι
λόγῳ, τὰ πάντα μεγέϑεα καὶ ἔτι τοῦ ἐλαχίστου τὸ τρί-
τον μέρος ἐς τὸ αὐτὸ συντεϑέντα ἐπίτριτα ἐσσούνται
τοῦ μεγίστου.

ἔστω οὖν ὁποσαοῦν μεγέϑεα ἕξῆς κείμενα và Α, B,
I, 4, E τετραπλασίονα ἕκαστον τοῦ ἑπομένου, μέ-
γιότον δὲ ἔστω τὸ 4. ἔστω δὲ τὸ μὲν Ζ τρίτον τοῦ
B, τὸ δὲ H τοῦ I, vo δὲ Θ τοῦ 4, τὸ δὲ I τοῦ E.

1. ὡς deleo. 8. τῷ] vo F. 5. οτι καὶ F, uulgo; ὅτι
deleui. τμηματὰ F; corr. Torellius, ut lin. 8, 10, 11. 6.
τμημααιν F, uulgo. 7. ἴσα ἐόντα τῷ] scripsi; wc» ovrov τὸ

QUADRATURA PARABOLAE. 841

adparet, esse 4BI'— 4(48ΒἘ4 - ΒΕΓῚ. et quoniam
ABT — Z, et eodem modo 4418 -ἰ- ΒΕΓ — H, et!)
similiter demonsirabimus, etiam triangulos reliquis
segmentis inscriptos eandem basim habentes, quam

20 ||

|
Le | ir

segmenta, ei altitudinem eandem aequales esse spatio
O, et iriangulos segmentis deinde ortis inscriptos
aequales spatio 1, omnia igitur simul spalia data
aequalia erunt polygono cuidam segmento inscripto.
manifestum est igitur, minora ea esse segmento.

XXIII.

Si magnitudines quaedam ponuntur in quadrupla -
deinceps proportione, omnes magnitudines et praeterea
lerlia pars minimae simul sumptae tertia parte ma-
iores erunt maxima.")

ponantur igitur deinceps quotlibet magnitudines
4, B, I, 4, E, singulae quadruplo maiores sequenti,
el maxima sit 4. sil autem Z — $B, H — 41, 0—1 4,

1) Lin. 8—4 suspicor, potius sic scribendum esse: κατὰ
ταῦτα δὴ xa(... χωρίῳ. ὁμοίως δή.

2) Ofr. Quaest. Arch. p. 57—858. Figura aliter descripta
est in F (u. infra).

(ων bis per comp.) F, uulgo; ἴσα ἐντὶ τῷ B, Torellius. τὰ ἐς]
scripsi; ec F, uulgo. 9. rj Ger F; corr. B. 11. ἐλάσσονα͵
SCIipsl; ελασδον F, uulgo. 18. τεϑέωντι] Scripsi; συντεθεῶωντι
F; συντιϑέωντι uulgo. ἑξῆς ὁποσαοῦν Torellius, 18. τε-
τραπλάσιον Nizzius.

348 TETPALTQ9NIZMOZ IIAPABOAHX.

ἐπεὶ οὖν τὸ uiv Z τοῦ B τρίτον μέρος ἐστίν, τὸ δὲ
B τοῦ 4 τέταρτον μέρος ἐστίν, ἀμφότερα τὰ B, Z

| | e

15 |^ ^ I
2 |mxllà

μέρος teívov ἐστὶ τοῦ
A. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ
καὶ τὰ H, Γ τοῦ B,
καὶ τὰ Θ, 4 τοῦ I,
καὶ τὰ I, E τοῦ 4.
καὶ τὰ σύμπαντα δὴ
τὰ B, I; 4, E, Z,
H, 6, I τρίτον μέρος
ἐστὶ τῶν συμπάντων
τῶν 4, B, I, 4. ἐντὶ
ὃΣ xal αὐτὰ τὰ Ζ,
H, Θ τρίτον μέρος
αὐτῶν τῶν Β, Γ, 4.
καὶ τὰ λοιπὰ ἄρα τὰ
B, I, 4, E, I τοῦ

λοιποῦ τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ 4. δῆλον οὖν, ὅτι τὰ
σύμπαντα τὰ 4, B, D, 4, E καὶ τὸ I, τουτέστι τὸ
80 τρίτον τοῦ E, τοῦ 44 ἐστιν ἐπίτριτα.

κὃ΄.

Πᾶν τμᾶμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ εὐϑείας καὶ ὀρϑο-
γωνίου κώνου τομᾶς ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὰν
αὐτὰν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον.

25 ἔστω γὰρ τὸ 44ΒΕΓ τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ
εὐθείας καὶ ὀρϑογωνέου κώνου τομᾶς, τὸ 0b 4ΒΓ
τρίγωνον ἔστω τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ

10. Η] E F. T| I F. 11. τῶν] rov per comp. F.
12. 4, E Ἐς corr. Torellius. 29. τμημα F; corr, Torellius,
ut lin. 26, 97. 23. την αὐτὴν F; corr. Torellius. — 27. αὐτὰ F.

QUADRATURA PARABOLAE. 349

I-jE. quoniam igitur est Z — 1 Β οἱ B — 14,
ert B-]-Z — 4.4. eadem de causa etiam erit
H--DI-—4B,0--4-—jI]I-4-E-—1Z4.

erit igitur etiam

B--D4-4--E-Jd-Z--H-Jd-e6-4I
—i(4 4 BH TH A)

est autem etiam Z -]- H 4- 9 — 4(B -- Γ- 4) [ex

hypothesi J. quare etiam B -ἰ P - 4 -E--1-—44.

adparet igitur, esse 4 -]- B -]- I -- 4 -- E 4- I, h. e.
4-4d-B-FDP-d-4-4-E-Tj1E-—£A.

XXIV.

Quoduis segmentum linea recta et coni rectanguli
sectione coniprehensum tertia parte maius est trian-
gulo eandem basim habenti, quam segmentum, et alti-
ludinem aequalem.

sit enim 4218 ΕΓ segmentum linea recta et coni
rectanguli sectione comprehensum, οὗ 44 BI' triangulus
sib eandem basim habens, quam segmentum, ei alti-

350 TETPAT'29NIZMOZ IIAPABOAHZ.

ὕψος ἴσον, τοῦ δὲ 4ΒΓ τριγώνου ἔστω éxírQuov τὸ
K χωρίον. δεικτέον, ὅτι ἴσον ἐστὲ τῇ AABETDT
τμάματι.
& γὰρ μή ἐστιν ἴσον, ἤτοι μεῖξόν ἐστιν ἢ ἔλασδον.
ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, μεῖξον τὸ 44 ΒῈΓ τμᾶμα
2

A E
τοῦ Καὶ χωρίου. ἐνέγραψα δὴ τὰ 44 B, ΒΕΓ τρίγωνα,
ὡς εἰρήται. ἐνεγραψα δὲ καὶ εἰς τὰ περιλειπόμενα
τμάματα ἄλλα τρίγωνα τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς
τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό, καὶ ἀεὶ εἰς τὰ ὕστερον
γινόμενα τμάματα ἐγγράφω [δύο] τρίγωνα τὰν αὐτὰν
βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό.
ἐσσούνται δὴ τὰ καταλειπόμενα τμάματα ἐλάσσονα τᾶς
ὑπεροχᾶς, & ὑπερέχει τὸ 448ΕΓ τμᾶμα τοῦ K χω-
ρίου. ὥστε τὸ ἐγγραφόμενον πολύγωνον μεῖξον ἐσσεί-
ται τοῦ K- ὕπερ ἀδύνατον. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ἑξῆς κεί-
μενα χωρία ἐν τῷ τετραπλασίονι- λόγῳ, πρῶτον μὲν
τὸ ΑΒΓΓ τρίγωνον τετραπλάσιον τῶν 4248. ΒΕΓ
τριγώνων, ἔπειτα δὲ αὐτὰ ταῦτα τετραπλάσια τῶν εἰς
τὰ ἑπόμενα τμάματα ἐγγραφέντων, καὶ ἀεὶ οὕτω, δῆ-

2. τῷ] vo F. 4. ἐστιν (alterum) per comp. F. 6. 4A4EBT'
F; corr. Torellius, ut lin. 13. τμημα F; corr. Torellius, ut
lin. 8, 8, 10, 12, 13. 6. 44 B] 44 F. 9. τμημασιν F, uulgo,
ut lin. 11; τμάμασι Torellius. 10. δύο] deleo. 12. εσουν-

QUADRATURA PARABOLAE. 351

tudinem aequalem, et sit Καὶ — 44 BI: demonstrandum
est, esse Καὶ — AZ BET. -

nam si aequale non est, aut maius est aut minus.
prius, si fieri potest, sib segmentum 4.418 EI' maius

| * |Bs

spatio K. inscripsi igitur triangulos 421B, BET' ita,
ut diximus. et etiam segmentis reliquis alios irian-
gulos insceripsi eandem basim habentes, quam seg-
menta, ei altitudinem eandem, et semper segmentis
deinde ortis triangulos inscribo eandem basim haben-
ies, quam segmenta, et altitudinem eandem. erunt
igitur [aliquando] segmenta reliqua minora excessu,
quo segmentum 44 Z1 B EI' spatium K excedit [prop. 20
coroll] itaque polygonum inscriptum maius erit spa-
tio K; quod fieri non potest. nam quoniam deinceps
posita sunt spatia quaedam im quadrupla proportione,
primum iriangulus 4BI' quadruplo maior triangulis
44B, BET' [prop. 21; cfr. p. 346, 1], deinde hi
ipsi quadruplo maiores iriangulis segmentis sequenti-
bus inscriptis, et semper eodem modo, adparet, omnia

ται F. 15. γάρ] addidi; om. F, uulgo. 18. αὐτὰ ταῦτα]
scripsi; τὰ αὐτὰ F, uulgo.

852 TETPATSNIZMOZ IIAPABOAHZ.

λον, ὡς σύμπαντα τὰ χωρία ἐλάσσονά ἐστιν ἢ ἐπίτριτα
τοῦ μεγίστου. τὸ δὲ K ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ μεγίστου
χωρίου. οὐκ ἄρα ἐστὶν μεῖξον τὸ 44 ΒΕΓ τμᾶμα
τοῦ K χωρίου. ἔστω δέ, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. κείσθω
ὅ δὴ τὸ μὲν ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον τῷ Z, τοῦ δὲ Z τέ-
ταρτον τὸ H, καὶ ὁμοίως τοῦ Η τὸ O, καὶ ἀεὶ ἕξῆς
τιϑέσϑω, ἕως κα γενήται τὸ ἔσχατον ἔλασσον τᾶς ὑπερ-
οχᾶς, & ὑπερέχει τὸ Καὶ χωρίον τοῦ τμάματος, καὶ ἔστω
ἔλασσον τὸ 1. ἔστιν δὴ τὰ Ζ, Η, Θ, 1 χωρία καὶ τὸ
10 τρίτον τοῦ 1 ἐπίτριτα τοῦ Ζ. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Καὶ τοῦ
Z ἐπέτριτον. ἴσον ἄρα τὸ K τοῖς Z, H, O, I καὶ τῷ
τρίτῳ μέρει τοῦ 1. ἐπεὶ οὖν τὸ Καὶ χωρίον τῶν μὲν
Z, H, 0, I χωρίων ὑπερέχει ἐλάσσονι τοῦ I, τοῦ δὲ
τμάματος μείξονι τοῦ I, δῆλον, ὡς μείξονά ἔἐντι τὰ
15 Z, H, 0, I χωρία τοῦ τμάματος᾽ ὅπερ ἀδύνατον.
ἐδείχϑη γάρ, ὅτι, ἐὰν ἦ ὁποσαοῦν χωρία ἕξῆς κείμενα
ἐν τετραπλασίονι λόγῳ, τὸ δὲ μέγιστον ἴσον ἡ τῷ εἰς
τὸ τμᾶμα ἐγγραφομένῳ τριγώνῳ, τὰ σύμπαντα χωρία
ἐλάσσονα ἐσσείται τοῦ τμάματος. οὐκ ἄρα τὸ 448ΒΕΓ
80 τμᾶμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ Καὶ χωρίου. ἐδείχϑη δέ, ὅτι
οὐδὲ μεῖξον. ἴσον ἄρα ἐστὶν τῷ Κ. τὸ δὲ Κὶ χωρίον
ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ τριγώνου τοῦ ABI. καὶ τὸ 44 BED
ἄρα τμᾶμα ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ 48Γ τριγώνου.

8. τμῆμα F; corr. Torellius, ut lin. 8, 14, 15, 18, 19(?),
20, 28. ἕως κα γενήται) scripsi; στο ᾿καταγενῆται F,
uulgo. » ᾿ἤλασσον] b σχατον Nizzius. δή] scripsi; às "
uulgo. 11. τῷ] vo F. 12. vov] vo F; corr. 28. ἄρα]

om. F; corr. Torellius. In fine F: Αοχιμηδὲ οὐδ τετραγωνψισμος
παραβολης" ευτυχοιῆς λεον γεωμετρα: — -]- πολλοὺς ἐσ λυκάβαν-
τας ἴοισ πολὺ φίλτατε μούσαις.

QUADRATURA PARABOLAE. 353

simul spatia minora esse quam terti& parte maiora
maximo [prop. 23]. spalium autem XK tertia parte
maius estí maximo spatio. itaque segmentum 444 BET'
maius non est spatio K. — sit autem, si fieri potest,
minus. ponatur igitur 4BI'— Z^), H—12Z, 60 -—1H,
οὐ deinceps spatia ponantur, dum fiat ultimum spatium
minus excessu, quo spatium K segmentum excedit [Eucl.
X, 1], et [hoc excessu] minus sib 1. sunt igitur
Z--H-4-9--I-4-11I-—$Z [prop. 23];
sed erat etiam K «— $Z. itaque
K-—Z-r-H-4-9--1I-.
iam quoniam spatium K spatia Z, H, 90, I excedit
spatio minore, quam est spatium I, segmentum uero
spatio maiore, quam est I, adparet, spatia Z, H, 0, 1
maiora esse segmento; quod fieri non potest. nam
demonstratum est, si spatia quotlibel deinceps data
sint in quadrupla proportione, οὐ maximum triangulo
segmento inscriplo aequale sit, omnia simul spatia
minora fore segmento [prop. 22]. itaque segmentum
A4BEI' minus non est spatio K. demonstratum
autem est, id ne maius quidem esse. itaque spatio
K aequale est. sed spatium K tertia parie maius est
triangulo 4BI. itaque etiam segmentum A441BET'
tertia parte maius est triangulo 4 BI.

1) Fortasse scribendum est lin. 4—85 κεέσϑω δὴ τῷ piv
ABT' τριγώνῳ ἴσον τὸ Z.

Archimedes, ed. Hetberg. II. : 28

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUB,
LIBRI II.

IIcoi τῶν ὕδατι ἐφισταμένων 1j περὶ τῶν ὀχουμένων.
Aivqua α΄.
ὙὙποχεέσϑω τὸ ὑγρὸν τοιάνδε τινὰ φύσιν ἔχον, ὥστε
τῶν μερῶν αὐτοῦ ἐξ ἴσου κειμένων καὶ ὠϑεῖσϑαι συν-
- ». , | €T 3 , € o
b eyQv Ovtov ἐλαύνεσθαι τὸ ἧττον ὠϑούμενον ὑπὸ
τοῦ μᾶλλον. ὠθουμένου" καὶ πάντων αὐτοῦ μερῶν
9 6 3 "^ € € , 3 - 25 *
ὠϑεῖσθαι ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ ὑπεράνω αὐτοῦ ὄντος κατὰ
4 δ SONA € 4 ψ e ,
κάϑετον, ἐὰν τὸ ὑγρὸν m καταβαῖνον ἔν τινι καὶ ὑπό
τινος ἑτέρου πιεξόμενον.

10 - Θεώρημα πρῶτον.
᾿Εὰν ἐπιφάνειά τις ἐπιπέδῳ τμηϑῇ διά τινος ἀεὶ
σημείου, καὶ ἣ κοινὴ τομὴ ἀεὶ περιφέρεια ἦ ἔχουσα κέν-
τρον τὸ προειρημένον σημεῖον, σφαίρας ἐστὶν ἐπιφάνεια.
τετμήσϑω γὰρ ἐπιφάνεια ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ α΄ ση-
15 μείου, καὶ ἀεὶ ἡ κοινὴ τομὴ ἔστω κύχλου περιφέρεια.
λέγω, ὅτι σφαίρας ἐπιφάνειά ἐστιν, ἧς κέντρον τὸ α΄.
εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινες εὐθεῖαι ἀπὸ τοῦ α΄ ἐπὶ
τὴν ἐπιφάνειαν ἄνισοι. ἔστωσαν at αβ΄, αγ΄. τὰ ἄρα
β΄, γ΄ σημεῖα ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ. τετμήσθω ἡ ἐπιφά-
Hoc fragmentum edidit A. Mai: Classici auct. I p. 4236---80,

unde totidem litteris repetiui. usus est duobus codicibus Ua-
ticanis, quos signaui 8, b.

ὅ. ὠθούμενον om. &. 6. τοὺς μᾶλλον ὠθουμένους a et b
manui. 8. 9] ν b. 14. α΄] πρῶτον &; et sic etiam infra.

ΠΕΡῚ ΤΩΝ TAATI ESIZTAMENQSN. 801

veux. ἐπιπέδῳ διὰ τῶν B, γ΄, «' σημείων. κύκλου δὴ
ποιήσει περιφέρειαν ᾧ ὑποκείμενον, οὗ κέντρον τὸ α΄.
ἴσαι ἄρα αἱ αβ΄, αγ΄. ἀλλὰ καὶ ἄνισοι" ὅπερ ἀδύ-
νατον. σφαίρας ἄρα ἐστὶν ἐπιφάνεια" ὕπερ ἔδει δεῖξαι.

β΄.
Παντὸς ὕδατος ἡσυχάξοντος ὥστε ἀκίνητον μένειν
ἡ ἐπιφάνεια σφαιροειδὴς ἔσται ἔχουσα τὸ αὐτὸ τῇ γῇ
κέντρον.)

γ.

Τῶν στερεῶν μεγεθῶν τὰ ἰσομεγέϑη καὶ ὑποβαρῆ 10

τῷ ὑγρῷ καϑειμένα εἰς τὸ ὑγρὸν βαπτισϑήσονται ὥστε
τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν μὴ ὑπερβάλλειν, καὶ οὐκέτι
οἰσθήσεται εἰς τὰ κατωτέρω.3)

δ΄.

Τῶν στερεῶν μεγεϑῶν τὰ TOU, ὑγροῦ κουφότερα, 15

ἐὰν εἰς ὑγρὸν καϑιῶνται, οὐχ ὅλα βαπτισϑήσεται, ἀλλ᾽
ἔσται τι αὐτῶν καὶ ἔξω τῆς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ.

€ Φ
Τῶν στερεῶν μεγεϑῶν τὰ τοῦ ὑγροῦ κουφότερα
εἰς τὸ ὑγρὸν καϑειμένα ἐπὶ τοσοῦτον; βαπτισϑήσεται, 20

1) Strabo I p. 54: τὴν ᾿Δἀρχιμήδους βεβαιοῖ δόξαν, ὅτι φη-
σὶν ἐκεῖνος ἐν τοῖς περὶ τῶν ὀχουμένων, παντὸς ὑγροῦ καϑ-
εστηκότος καὶ μένοντος τὴν ἐπιφάνειαν σφαιρικὴν εἶναι σφαίρας
ταὐτὸ κέντρον ἐχούσης τῇ γῇ. ὕΟἱϊτυυλυθ VIII, 5, 8.

2) Hero pneumat. p. 161: ἀπεδείχθη γὰρ ᾿Δρχιμήδει ἐν τοῖς
ὀχουμένοις, ὅτι τὰ ἰσοβαρῆ τῷ ὑγρῷ σώματα ἀφεϑέντα εἰς τὸ
ὑγρὸν οὔτε ὑπερέξει τοῦ ὑγροῦ οὔτε καταδύσεται.

2. 0] óc? 10. ἐἰσοβαρῇ) 12. ἐπιβάλλειν b.

2358 ΠΕΡῚ ΤΩΝ TAATI ἘΦΙΣΤΆΜΕΝΟΝ,

ἐφ᾽ ὅσον τοσοῦτον τοῦ ὑγροῦ ὄγκον, ὅσος ἐστὶν ὁ τοῦ
βαπτισϑέντος “μέρους, ἰδοβαρεῖ εἶναι τῷ ὅλῳ μεγέϑει.
g.
Τὰ στερεὰ ὑγροῦ xovgórsoa βίᾳ εἰς τὸ ὑγρὸν
ὅ πιεσϑέντα ἐπανιστάμενα φέρονται ἐπὶ τὰ ἄνω τοσαύτῃ
δυνάμει, ὅσῳ τὸ ὑγρὸν ἰσομέγεϑες τῷ μεγέϑει βαρύ-
τερόν ἐστι τοῦ μεγέϑους.

ξ΄.
Τὰ βαρύτερα τοῦ ὑγροῦ στερεὰ καϑειμένα εἰς τὲ
10 ὑγρὸν οἰσθήσεται κάτω, ἕως οὗ καταβαίνωσι., καὶ ἔσται
τοσούτῳ κουφότερα ἐν τῷ ὑγρῷ, ὅσον ἔχει τὸ βάρος
τὸ ὑγρὸν ἰσομέγεθες τῷ; στερεῷ μεγέϑει.

Μῆμμα ἢ ὑπόθεσις.
Ὑποκείσϑω τῶν ἐν ὑγρῷ ἄνω φερομένων ἕκαστον
16 ἄνω φέρεσθαι κατὰ κάϑετον, ἥτις ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ
βάρους αὐτῶν ἐκβάλλεται.

Θεώρημα η΄.
"Exv στερεῶν τι μέγεϑος ἔχον σχῆμα τμήματος
σφαίρας εἰς τὸ ὑγρὸν καϑιῆται, ὥστε τὴν βάσιν τοῦ
80 τμήματος μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, τὸ σχῆμα ἐπιστα-
ϑήσεται ὀρθόν, ὥστε τὸν ἄξονα τοῦ τμήματος κατὰ
κάϑετον εἶναι. καί....

2. ἰσοβαφῆ᾽ῳ 106. βάρεος ἃ et b manu 1. 18. στερεόν
22. καί om. a.

De iis, quae in humido uehuntur.")
Liber I.
Suppositio prima.
Supponatur humidum habens talem naturam, ut

partibus ipsius ex aequo iacentibus et existentibus 5

continuis expellatur minus pulsa a magis pulsa; et
unaquaeque autem partium ipsius pellitur humido,
quod supra ipsius existente secundum perpendicularem,
si humidum sit descendens in aliquo et ab alio aliquo
pressum.

Theorema primum. Propositio prima.

Si superficies aliqua plane secta per aliquod sig-
num semper idem signum sectionem facientem circuli

Librum I primus edidit N. Tartalea Uenetiis 1648. deinde
ex schedis eius et primum et secundum librum edidit Troianus
Curtius Uenetiis 1565. hanc interpretationem emendauit F. Com-
mandinus (Bononiae 1565), quem sequitur Torellius (praef.

p. XVIID. cum Tartalea solus Graecum codicem habuisse ui-
doatur (Quaest. Arch. p. 101; cfr. p. 13; 23), eum secutus sum,
ita ui soloece et barbare dicta intacta relinquerem, et ea tan-
tum, quae in mathematicis peruersa erant, corrigerem qum

1) ,,De insidentibus aquae'* Tartalea. ,,De iis, quae in aqua
uehuntur* Commandinus; secutus sum Torellium p. XVIII.

8. ,supra ipsam existente" Comm. 9. et] aut Comm.
19. ,plano* Comm. ,per idem semper punctum, &itque sectio
circuli circumferentia Comm.

960 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

periferiam centrum habentem signum, per quod plano
secatur, sphaerae erit superficies.
sit enim superficies aliqua secta per signum XK
plano super sectionem facientes circuli periferiam, cen-
irum autem ipsius K. si igitur ipsa superficies non
est sphaerae superficies, non erunt
omnes quae a centro ad super-
ficiem occurrentes lineae aequales.
sib itaque 4, B, G, D signa in
superficie, et inaequales quae “44 K,
D e KB, per ipsas autem KA4, KB
planum educatur et faciat sectio-
nem in superficie lineam DDAJBG. circuli ergo est
ipsa, centrum autem ipsius K, quoniam supponebatur
superficies talis. non sunt ergo inaequales lineae K A,
KB. necessarium igitur est, superficies esse sphaerae
superficiem.

d Z

Theorema II. Propositio II.

Omnis humidi consistentis ita, ut maneat inmotum,
superficies habebit figuram sphaerae habentis centrum
idem cum terra. |

Intelligatur enim humidum consistens ita, ut ma-
Commandino et Nizzio, lectionibus Tartaleae in adnotationes
reileclis. sed ubi Tartaleae uerba intellegi non posse uideban-

iur, in adnotatione adtuli emendatam Commandini scripturam.
etium interpunctionem peruersissimam Tartaleae et orthogra-

phiam parum constantem tacite mutaui.

8. sit] ,si^ Tartalea. 4. super sectionem facientes] scrib.
semper sectionem faciente; ,,et sib sectio semper" Comm. 7.
duel hic, ut saepe, respondet articulo Graeco. 16. super-
ficies| nominatiuus respondet Graeco ὅτε ἡ ἐπιφάνεια; cfr.
p. 361 lin. 8.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 361

meat non motum, ei secelur ipsius superficies plano

per centrum terrae. sil autem terrae centrum K, super-
fieiei autem sectio linea 4.8.6 5. dico itaque, linea
ABG.D circuli esse periferiam, centrum autem ipsius K.
si enim non est, rectae a K ad lineam A4 BG D oc-
currentes non erunt aequales. sumatur igitur aliqua

Z recta, quae est qua-
rundam quidem a K
occurrentium ad li-
neam 4.86 7) ma-
ior, quarundam au-
lem minor, et centro
quidem K, distantia
4 X ᾿ 4 Ὁ Α͂ autem sumptae li-
neae cireulus describatur. cadet igitur periferia cir-
culi habens hoc quidem extra lineam 4 B G.D, hoc autem
inira, quoniam quae ex centro quorundam quidem a .K
occurrentium ad lineam .4 BG.) est maior, quorundam
auiem minor. sit igitur descripti circuli periferia quae
KR.BH, et ab B ad K recta ducatur, et. copulentur
quae AK, KEL aequales facientes angulos. descri-
batur autem et centro K periferia quidem quae X OP
in plano et in humido. partes ilaque humidi quae
secundum X O P periferiam ex aequo sunt positae con-
linue in uicem. premuntur quae quidem secundum

7. quarundam] genetiuus ex Graeco translatus est (riv μέν
— petto). 14. sumptae lineae] τῇ ληφϑέντι εὐθείᾳ. 16.
habens) om. Comm. hoc quidem] τὸ μέν — τὸ δέ. 19.
Sint Tartalea. 20. ,ducantur* Tartalea. 21. ΕΚΊ ἈΚ
Tartalea; Comm. litteras prorsus mutauit. KEL hel"
Tartalea. 23. quae secundum] τὰ κατά. 924. ,perifariam"
Tartalea.

σι

8602 DE IIS, QUAE ΙΝ HUMIDO UEHUNTUR.

XO periferiam POBE humido, quod secundum .4 B
locum, quae autem secundum periferiam OP humido,
quod secundum B.E locum. inaequaliter igitur pre-
muntur partes humidi, quae seeundum periferiam X O,
lis, quae secundum O P. quare expelletur minus pressa
& magis pressis [hypoth. 1]. non etiam ergo constare
fecimus aliquod humidum. supponebatur autem con-
Slans ita, ub. maneret non motum. necessarium ergo
linea A.B G.D est circuli periferiam, et centrum ipsius
K. similiter autem demonstrabitur et, si superficies
humidi plano secta fuerit per centrum terrae, quod
seclio erit circuli periferia, et centrum ipsius erit, quod
οὐ terrae centrum. palam igitur, quod superficies hu-
midi constantis non moti habet figuram sphaerae ha-
bentis centrum idem cum terra, quoniam talis est, ut
secta per idem signum sectionem faciat circuli peri-
feriam habentis signum, per quod secatur plano [prop. 1].

Theorema ΠῚ, Propositio III.

Solidarum magnitudinum, quae aequalis molis et
aequalis ponderis eum humido, dimissae in humidum
demergentur ita, αὖ superficiem humidi non excedant
nihil οὗ non adhuc referentur ad inferius.

demonstratur enim aliqua magnitudo aeque gra-
uium cum humido in humidum, et si possibile est,

1. POBE] om. Comm. quod] ,,quae^ Tartalea. 448]
,95'* Tartalea. 8. ,aequaliter^ T'artalea; corr. Comm. 4.
quae] ,,quod* Tartalea. 5. iis] ,,ei* Tartalea. »,non ex-
pelletur* Tartalea; corr. Comm. 6. ,costare"* Tartalea. 10.
si] om. Tartalea; ,,8i quomodocunque aliter" Comm. 11.
,0entrum habentis" Comm. 21. non excedant nihil] μὴ ὑπερ-
βάλλειν μηδέν. 28. demonstratur] scrib. demergatur.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. -963

excedat ipsa superficiem humidi. consistat autem hu-
midum, ui maneat immotum. intelligatur autem ali-
quod planum eductum per centrum terrae et humidi
et per solidam magnitudinem. sectio autem sit super-
ficiei quidem humidi quae 4.8.6 D, solidae autem mag-
nitudinis quae EZ H T insidentia, centrum autem ier-
rae .K. sint autem solidae quidem magnitudinis quod
quidem BGHT in
humido,.quod autem
BEZG exira. in-
telligatur et solida
figura eomprensa py-
ramide basem qui-
dem habente paral-
A ^ D lelogrammum, quod
in superficie humidi, uerticem autem centrum terrae.
seclio autem sit plani, in quo est quae A4 BG. D peri-
feria, eb planorum pyramidis quae KL, K M. desceri-
batur autem quaedam alterius sphaerae superficies
cirea centrum K in humido sub EZHT, quae XO P.
secelur hoc a superficie plani. sumatur autem et quae-
dam alia pyramis aequalis ei similis comprehendenti
solidam, continua ipsi. sectio autem sit planorum
ipsius quae K M, ΚΝ, et in humido intelligatur quae-
. dam magnitudo humido assumpta quae E S.E Y aequa-
lis et similis solidae, juae secundum B.HG T, quod
est ipsius in humido. partes autem humidi, quae sunt

ZM »

5. ,magnitudines" Tartalea. 6. ,insidentis^ Comm. 7.
K] om. Tartalea. 12. ,compressam"' Tartalea. 18. ,,bas-
sem" Tartalea. ^ 14. ,habentem paralelogrommum" Tartalea.
26. voe grid Tortalen. 27. ipsius] sc. totius solidi EZT H.
sunt] . T

364 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

in prima pyramide sub superficie, in qua est quae
XO, et quae in altera, in qua quae PO, ex aequo
sunt positae et continuae. similiter autem non pre-
muhiur. quae quidem etiam secundum XO premitur
a solido 7H ΕΖ et humido intermedio superficie, quae
secundum XO, LM, et planorum pyramidis; quae
autem secundum PO solido ASEY et humido inter-
medio superficierum, quae secundum PO, M N, et pla-
norum pyramidis. minor autem erit grauitas humidi,
quod secundum M N, O P, eo, quod secundum L M, XO.
quod enim secundum AR S E Y, est minus solido EZ H T*
ipsius enim ei, quod secundum .H BG T, est aequale,
quia magnitudine aequale et aeque graue supponitur
solidum cum humido. reliquum autem reliquo aequale
est. palam igitur, quia expelletur pars, quae secun-
dum periferiam OP, ab ea, quae secundum periferiam
OX, ei non erit humidum non motum [hypoth. 1].
supponitur autem non motum existens. :non ergo ex-
cedet superficiem humidi aliquid solidae magnitudinis.

90 demersum autem solidum non fertur ad inferiora. asi-

militer enim prementur omnes partes humidi ex aequo

. positae, quia solidum est aeque graue.

2. aequo] ,quo" Tartalea. 8. ,non continuae, Tartalea.
non] om. Tartalea. 4. etiam] scrib enim. 6. οὗλον Tar-
talea. ^ superficie] τὸ rais τῶν ἐπιφανειῶν καὶ... τῶν ἐπι-
πέδων; cfr. lin. 8. 4. rfoy : Tartalea, ut lin. 11. 11.
enim] -n- Tartalea. 14. aequ e| scripsi; ,,inaequale'* Tartalea
οὐ Comm. 15. quia] διότι. 21. aequo] ,,quo* Tartalea.

229. ,graue atque humidum* Comm.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 2365

Theorema IIII. Propositio IIII.

Solidarum magnitudinum quaecunque leuior fuerit
humidi, dimissa in humidum non demergetur tota, sed
erib aliquid ipsius exira superficiem humidi.

sit enim solida magnitudo leuior humido et di-
missa in humidum. demergatur tota, si possibile est,
et. nihil ipsius sit extra superfieiem humidi. consistat
aulem humidum ita, ut maneat non motum. intelli-
gatur etiam aliquod planum eductum per centrum ter-
rae Οὗ per humidum et per solidam magnitudinem.
secetur autem a plano
hoe superficies qui-
dem humidi secun-

dum superficiem
ABG.D, solida au-
tem magnitudo per
figuram in H. cen-
irum autem terrae
sit .K. intelhgatur autem quaedam pyramis compren-

dens figuram A, secundum quod et prius, uerlicem 20

habens signum .K. secentur autem ipsius plana a
superficie plani 4.86 secundum 4 Καὶ, K B. accipiatur
autem οὐ aliqua alia pyramis aequalis et similis huic.
secentur autem ipsius plana ἃ plano A BG secun-

dum KB, KG. describatur autem et quaedam alte- 25

rius sphaerae superficies in humido circa centrum ἈΚ,
sub solida autem magnitudine. secetur ipsa ab eodem
plano secundum XOP. intelligatur autem et magni-

8. dimissa] scrib. demissa, ut lin. 5 et p. 362, 90. 10.

,agnitudinum" Tartalea. 20. secundum quod et prius]
κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ πρότερον.

366 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

tudo absumpta ab humido, quae secundum H, in po-
steriori pyramide aequalis solidae, quae secundum R.
partes autem humidi, quod in prima pyramide, quae
sub superficiebus, quae secundum superficiem ΧΟ, et
5 quod in secunda, quae sub superficiebus, quae super-
fieie OP, ex aequo sunt positae el continuae inuicem.
non similiter autem. premuntur. quae quidem in prima
pyramide, premitur a solida magnitudine, quae secun-
dum A, et ab humido continente ipsam et exsistente
10 in loco pyramidis, quae secundum 4.BOX. quae au-
iem in altera pyra&mide, premitur ab humido conti-
nente ipsam exsistente in loco pyramidis, qui secun-
dum POJBG. est autem et grauitas, quae secundum
R, minor grauitate humidi, quod secundum HH, quo-
15 niam magnitudinem quidem est aequalis, solida autem
magnitudo supponitur esse leuior humido humidi con-
tinentis magnitudines E, H, eritque pyramidum aequa-
lis. magis igitur premitur pars humidi, quod sub su-
perfieiebus, quae secundum periferiam OP. expellet
20 ergo, quod minus premitur [hypoth. 1], et non manet
humidum non motum. supponebatur autem non mo-
tum. non ergo demergetur tota, sed erit aliquid ipsius
exira superficiem humidi.

3. quae sub superficiebus] obscura; om. Comm.; cfr. lin. 5,
18. 6. aequo] ,quo* Tartalea. 9. ipsam] ,,ipsas* Tartalea.
11. premitur] deest: ,ab magnitudine Η οὐδ. , Continent
Tartalea. — 14—17: ,quoniam magnitudo solida mole quidem
aequalis e£ humido leuior ponitur; grauitas autem humidi con-
linentis magnitudines AK, H est aequalis, cum pyramides aequa-
les sint^ Comm.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 961

Theorema V. Propositio V.

Solidarum magnitudinum quaecunque fuerit leuior,
dimissa in humidum in tanto demergetur, ut tanta
moles humidi, quanta est moles demersae, habeat ae-
qualem grauitatem cum tota magnitudine.

disponantur autem eadem prioribus, et sit humi-
dum non motum. sit autem magnitudo ΕΖΗ T' leuior
humido. si igitur humidum est non motum, similiter

» 4 A 2
prementur partes ipsius ex aequo positae [hypoth. 1].
similiter ergo premetur humidum, quod sub super-
fieiebus, quae secundum periferias XO et PO. quare
aequalis est grauitas, quae premitur. est autem et
humidi grauitas, quod in prima pyramide, sine BH TG.
solido aequalis grauitati humidi, quod in altera pyra-
mide, sine ΘΕ Y humido. palam igitur, quod gra-
uias magnitudinis EZH T est aequalis grauitati hu-
midi RS.EY. manifestum igitur, quod tanta moles
humidi, quanta est demersa pars solidae magnitudinis,
habet grauitatem aequalem toti magnitudini.

8. βου. demissa. 6. ,,eàndem" Tartalea. 19. quae

premitur] ,qua premuntur" Comm. . 15. ,rscy* Tartalea, ut
lin. 17.

pos

368 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

Theorema VI. Propositio VI.

Solida leuiora humido ui pressa in humidum sur-
rexi feruntur tanta ui ad superius, quanto humidum
habens molem aequalem cum magnitudine est grauius
magnitudine.

sib enim magnitudo .4 leuior humido. sit autem
magnitudinis quidem, in qua 44, grauitas B, humidi
autem habentis molem aequalem cum A grauitas 86.
demonstrandum, quod magnitudo 4, ubi pressa in hu-
midum, refertur ad superius tanta ui, quanta est gra-
uitas G. accipiatur enim quaedam magnitudo, in qua
D, habens grauitatem aequalem ipsi G. magnitudo
aulem ex utrisque magnitudinibus, in quibus 4, D, in
eadem composita est leuior humido. est enim magni-
tudinis quidem ex utrisque gra-
uitas B G, grauitias autem hu-

midi habentis molem aequalem
^ | [ipsis.A, D maior est quam BG,
G quoniam humidi molem haben-

lis aequalem] cum .A grauitas
est BG. dimittatur igitur in hu-
midum magnitudo ex utrisque
4, D composita. ad tantum demergetur, donec tanta mo-
les humidi, quantum est demersum magnitudinis, habeat
grauitatem aequalem eum tota magnitudine. demonstra-
tum est hoc [prop. 5]. sit autem superficies quaedam
humidi alicuius quae .4 B G.D periferia. quoniam igitur

2. surrexi] ἐπανιστάμενα p. 858, 5; om. Comm. 4.
mole" Tartaleg, ut lin. 8, 17. 14. humido] 8c. molem ha-
benti aequalem magnitudini A - D. 17. ipsis — lin. 19: ae-
qualem] om. Tartalea; suppleui ex Commandino.

DE ΠΗ͂, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 369

lanta moles humidi, quanta est magnitudo 4, habet
grauitalem aequalem cum magnitudinibus 4, D, pa-
lam est, quod demersum ipsius erit magnitudo 4, re-
liquum autem, in quo D, erit totum desuper supra

quanta ui magnitudo .A refertur ad superius, tanta
ab eo, quod supra est, D, premitur ad inferius, quo-
niam neutra ἃ neutra expellitur. sed D ad deorsum
premit tanta grauitate, quanta est Οὐ; supponebatur
enim grauitas eius, in quo 7), esse aequalem ipsi G.
palam igitur, quod oportebat demonstrare.

Theorema VII. Propositio VII.

Grauiora humido dimissa in humidum ferentur
deorsum, donec descendant, et erunt leuiora in humido
tantum, quantum habet grauitas humidi habentis tan-
iam molem, quanta est moles solidae magnitudinis.

quod quidem feretur in deorsum, donec descendat,
palam. partes enim humidi, quae sub ipsius, pre-
muniur magis quam partes ex aequo ipsis iacentes,
quoniam solida magnitudo supponitur grauior humido.
quod autem leuiora erunt, ut dictum est, demonstra-
bitur. sit enim aliqua magnitudo quae A, quae est

.Superfieiem humidi. si enim[i. palam igitur, quod 5

grauior humido, grauitas autem magnitudinis quidem,

in qua 4, sit quae BG, humidi autem habentis mo-

6. 51 enim] om. Comm.; lacuna uidetur esse. 7. est] .Λ
Tartalea. 8. neutra ἃ neutra] h. e. quoniam aequilibritatem
seruat .4 - D ita positum, ut 4 in humido sit, D autem supra.
male Nizzius: altera ab altera. 10. D] ,gd'" Tartalea. 18.
,ferrentur* Tartalea. 16. ,mole* Tartalea, ut lin. 94.

17. ,ferretur* Tartalea. 18. sub ipsius] ὑπ᾽ αὐτοῦ 19.
quam] ,,quae* Tartalea. aequo ipsis] ,quo ipsas' Tartalea.
24. sit quae] ἔστω 7; ,sitque' Tartalea.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 24

ϑι

310 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

lem aequalem ipsi .4 grauitas B. demonstrandum,
quod magnitudo 4 in humido existens habebit graui-
latem aequalem ipsi G. accipiatur enim aliqua alia
magnitudo, in qua D, leuior humido molis aequalis cum
ipsa. sit autem magnitudinis quidem, in qua D, graui-
ias aequalis grauitati B, humidi autem habentis molem
aequalem magnitudini D grauitas sit aequalis graui-
lati BG. compositis autem magnitudinibus, in quibus
A, D, magnitudo simul utrarumque

B erii aeque grauis humido. graui-

ias enim magnitudinum simul utra-

4 | j|D| rumque est aequalis ambabus gra-
G uitatibus, scilicet B G et B, grauitas

humidi huius habentis molem ae-
qualem ambabus magnitudinibus est
aequalis eisdem grauitatibus. dimissis igitur magnitu-
dinibus et proiectis in humidum aequerepentes erunt
humido et nec ad sursum ferentur neque ad deorsum
[prop.3], quoniam magnitudo quidem, in qua 4, exsistens
grauior humido feretur ad deorsum et tanta ui a magni-

- tudine, in qua D, reirahitur. magnitudo autem, in qua

D, quoniam est leuior humido, eleuabitur sursum tanta
ui, quanta est grauitas G; demonstratum est enim,
quod magnitudines solidae leuiores humido impressae
in humidum tanta ui referuntur ad sursum, quanto
humidum aequae molis cum magnitudine est grauius
magnitudine [prop. 6]. est autem humidum habens

6. ,mole aequale* Tartalea. 14. huius habentis] τοῦ
ἔχοντος. ,mole' Tartalea. 18. ,ferrentur" Tartalea, ut
lin. 20. 19. quoniam] debebat esse: itaque. 20. tanta]
95: tantadem.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 371

molem aequalem cum D [grauius quam D ipsa G- gra-
uitate]. Palam igitur, quod magnitudo, in qua 4,
fertur in deorsum tanta grauitate, quanta est G.

Suppositio IF.

Supponatur, eorum, quae in humido sursum ferun-
tur, unumquodque sursum ferri secundum perpendicu-
larem, quae per centrum grauitatis ipsorum producitur.

Theorema VIII. Propositio VIII.

Si aliqua solida magnitudo habens figuram portio-
nis Sphaerae in humidum dimittatur ita, ut basis por-
tionis non tangat humidum, figura insidebit recta ita,
ub axis portionis secundum perpendicularem sit. et
81 ab aliquo irahitur figura ita, ut basis portionis
iangat humidum, non manet declinata, secundum di-
mittatur, sed recta restituatur.)

1) Demonstratio huius propositionis apud Tartaleam deest
(diserte ad eam respicitur prop. 9 p. 872, 15; 21); sed figurae cum

e Ζ Á P e iv.
NZ
DR d EN v

iis, quae ad prop. 9 pertinent, mixtae inueniuntur hae; demon-
strationem de suo adiecit Commandinus.

1. grauius — grauitate lin. 2 om. Tartalea; suppleui ex
Commandino. 3. ,feri^ Tartalea. 13. secundum] ,,51."
Comm.

94*

CQ.

319 ΡῈ HS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

[Theorema IX. Propositio IX]

Et igitur, si figura leuior exsistens humido dimit-
tatur in humidum ita, ut basis ipsius tota sit in hu-
mido, figura insidebit recta ila, ut axis ipsius sit se-
cundum perpendicularem.

intelligatur enim aliqua magnitudo, qualis dicta
οὐ, i! humidum dimissa. intelligatur etiam et pla-
num productum per axem portionis eb per centrum
lerrae. sectio autem sit superficiei quidem humidi
quae 4 BG D periferia, figurae autem ΕΖΗ periferia,
el quae EH recta. axis autem portionis sit quae Z T.
si igitur est possibile, non secundum perpendicularem
sib quae ZT. demonstrandum igitur, quod non ma-
nei figura, secundum in rectum statuetur. est autem
centrum sphaerae usque Z7. rursum enim sit figura
maior emisperio, et sit centrum sphaerae usque ad
emisperium scilicet. Z", in minori autem PD, in maiori
autem K. per AK autem et per centrum terrae L du-
catur KL. figura aulem extra humidum assumpta a
superficie humidi axem habet in perpendiculari, quae
per A. propter eadem prioribus est centrum graui-
latis ipsius in linea ΝᾺ sit enim RH. tolius autem
portionis centrum grauitatis est in linea ZT inter K

1. Theorema cett. om. Tartalea, apud quem prop. 9 ita
typis expressa est, quasi sib demonstratio propositionis 8. — 11.
sit quae] ,,sitque" Tartalea. 14. secundum] ,,s8ed* Comm.
15. usque] ,jin*^ Comm. rursum] sc. ut in demonstratione
prop. 8. 106. emisperio] 9: hemisphaerio; cfr. lin. 17. — us-
que 84] ,in dimidia sphaera" Comm. 19. extra cett.] ,,quae
est extra humidi superficiem" Comm. 21. , eandem" Tar-
talea. ^ prioribus] in demonstr. prop. 8. 22. enim] δή

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 818

οὐ. Ζ, et sit C. reliquae ergo figurae eius, quae in
humido, centrum erit in recta C R inducta et absumpta,
quae habebit ad CR eandem proportionem, quam ha-
bet grauitas portionis, quae extra humiduu, ad gra-

εὖ

uitatem figurae, quae in humido [ἐπιπ. ἰδορρ. I, 8].
sit aulem O centrum dictae figurae, et per O per-
pendiculari[s ducatur LO]. feretur igitur grauitas
portionis quidem, quae est extra humidum, secundum

rectam EO ad deorsum, figurae autem, quae in hu-

mido, secundum rectam OL ad sursum [hypoth. 2].
non manet igitur figura, sed partes quidem figurae,
quae uersus H, ferentur ad deorsum, quae autem uer-

1. inducta] διηγμένῃ. 6. perpendiculari" Tartalea; ce-
tera suppleuit Comm. 7. ,ferretur* Tartalea, ut lin. 12.

314 X DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

sus E, ad sursum, et super hoc erit, donec quae ZT
secundum perpendicularem fiat!)

1) Haec quoque propositio mutila ad nos peruenit. neque
enim amplius quam primus casus pertractatus est, cum tamen
de duobus ceteris promissum sit (p. 872, 15), et praeparatum
(p- $72, 11) sed ne id quidem, quod exstat, satis perspi-
cuum eat.

1. super] scrib. semper. In fine: ,,explicit de insidentibus
aquae liber" Tartalea. ;

Liber II.
I.

S1 aliqua magnitudo existens leuior humido dimit-
tatur in humidum, hanc habebit proportionem in gra-
uitate ad humidum molis aequalis sibi, quam habet 5
demersa magnitudo ad totam magnitudinem.

demittatur enim in humidum aliqua magnitudo
solida, quae sit F4, leuior humido. sit autem quod
quidem demersum ipsum 44, quod autem exira humi-
dum PF. demonstrandum, quod mag- 10

| B nitudo F'A ad humidum aequalis mo-
p lis in grauitate hanc habet propor-
0 lionem, quam Α ad F'A. accipiatur

enim aliqua humida magnitudo, quae

sib NI, molis aequalis cum FA, et 15
& A ipsi quidem 7' sit aequale XN, ipsi

! autem Α I. et adhuc grauitas qui-

dem magnitudinis FA sit B, ipsius
N autem NNI quae AO, ipsius autem
41 R. magnitudo igitur FA ad NI 20
— T1 | bane habet proportionem, quam gra-
uias B ad grauitatem RO. sed quo-
niam magnitudo Z4 in humidum dimissa est leuior

5. molis] ,,mobilis* Tartalea. 8. quae] ,, quam": Tarta-
lea, ut lin. 14. 9. ipsum] ipsius?

316 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

existens humido, palam, quod demersae magnitudinis
moles humidi habet grauitatem aequalem cum magnmi-
ludine 74. demonstratum est enim hoc (I, 5]. et
quoniam quod secundum .4 humidum est I, ipsins

.5 autem 1 grauitas est E, ipsius autem 14. grauitas
esi DB, grauitas B, quae est habentis aequalem molem
tolius magnitudinis FA, est aequalis grauitati humidi J,
scilicet ipsi KK; et quoniam est, ut magnitudo FA
ad humidum, quod secundum ipsam, scilicet. N7, iia

10 B ad RO, aequale autem est B ipsi RH, αὖ autem ἢ
ad RO, ita I ad NI et A ad FA, ut ergo F.A ad
humidum, quod secundum ipsam, in grauitate, magni-
iudo.A ad F.A. jTfactum est aequale demersae mag-
nitudinis, scilicet 4. habet ergo magnitudo J'4 in

15 grauitate ad NI, ita B ad RO. quam autem pro-
portionem habet E ad EO, hane habet proportionem...
ad H,... et 4 ad FA. demonstratum est enim.

II.

Recta portio rectanguli conoidalis quando axem
habuerit non maiorem, quam emiolium eius, quae us-
que axem, omnem proportionem habens ad humidum
in grauitate, dimissa in humido ita, ut basis ipsius
non tangat humidum, posita inclinata, non manet in-

1. ,,demeraes'* Tartalea; ,,tantam humidi molem, quanta est
pars magnitudinis demersa* Comm. 4. quod secundum] τὸ
κατὰ τὴν 4 ὑγρόν. 6. ,aequalitate mole* Tartalea; jgrauita-
iem aequalem" Nizzius male. 10. B] (prius) ,,BO" Tartalea.
19. ,ipsa" Tartalea. 13. factum] sequentia uerba sensu ca-
rent, nec opus sunt; ,quod demonstrare oportebat'' Comm. ce-
teris omissis. 17. ad E] in media lácuna Tartalea. 20.
non maiorem] Torellius p. XVIII; maiorem" Tartalea; ,,mi-
norem* Comm.

DE II8, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 311

clinata, sed restituetur recta. rectam dico consistere
ialem portionem, quando quod secuit ipsam fuerit
aequidistanter superficiei humidi. |

sib portio rectanguli conoidalis, qualis dicia est,
οὐ iaceat inclinata. demonstrandum, quod non manet, 5
sed restituetur recta. secta aulem ipsa plano per

axem recte ad planum, quod in superficie humidi, por-
lionis sectio sit quae .4 POL rectanguli coni sectio
[περὶ κων. 11], axis autem portionis et diameter sec-
lionis quae NO, superficiei autem humidi quae I$. 10
si igitur portio non est recía, non utique erit quae
AL aequidistans ipsi JS. quare non faciet angulum
rectum quae NO ad IS. ducatur ergo quae K £ con-
tingens sectionem coni penes Δ ἢ)

1) Pars extrema demonstrationis apud Tartaleam deest; de
suo adiecit Commandinus. ;

8. quae APOL] ,,que apol." Tartalea. 10. superficiei]
pendet ab ,ectio'* hn. 8. quae Z S] ,quam K*, Tartalea.
12. IS] ,4s K^ Tartalea.

218 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

- III.

Recta portio rectanguli conoidalis, quando axem
habuerit non maiorem quam emiolium eius, quae us-
que ad axem, omnem proportionem habens ad humi-

5$ dum in grauitate, dimissa in humido ita, ut basis
ipsius tota sit in humido, posita inclinata, non manet
inclinata, sed restituetur ita, ut axis ipsius secundum
perpendicularem sit. |

dimitiatur enim aliqua portio in humidum, qualis

10 dicta est, et sit ipsius basis in humido. secta autem
plano per axem recto ad superficiem humidi sectio sit
quae .4 PO L rectanguli coni sectio [περὶ κων. 11], axis
autem portionis et diameter sectionis quae PF, super-
fieiei autem humidi sectio sit quae JS; et si inclinata

KU T0 4/2

15 lacel, portio, non erit secundum perpendicularem axis.
non ergo faciei quae P angulos aequales ad IS.
ducatur autem quaedam quae K 4) aequedistanter ipsi

3. non maiorem] Torellius p. XVIII; , maiorem" Tartalea ;

minorem" Comm. 9. qualis] ,2equalis" Tartalea. 18.
sectionis) »8ectio m, /* Tartalea. 14, sit quae] ,,sitque^
&

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR, 919

IS contingens sectionem 4. ΡΟ], penes O, et solidae
quidem magnitudinis A POL centrum grauitatis sit Rh,
ipsius autem 7 POS solidi centrum B, et copulata quae
BR educatur, et centrum grauitatis reliquae figurae,
scilicet 151. A, sit G. [efr. ἐπιπ. (609g. 1, 8]. similiter!)
demonstrabitur angulus quidem qui sub KO K acutus,
perpendieularis quae ab ER, ΤῊ, ad K£$ producitur,
cadens inter AK et $2, sitque ET. si autem ab ipsis
G, B ducantur aequedistanter ipsi ET, quod quidem
in humido absumptum feretur sursum secundum pro-
ductam per G [I hypoth. 2]. quod autem extra hu-
midum secundum productam per JB feretur deorsum,
el non manet solidum A4POL sic se habens in hu-
mido, sed quod quidem secundum 4 habebit lationem

sursum, quod autem secundum L deorsum? donec fiat 15

quae PF secundum perpendicularem.
IV.
Recta portio rectanguli conoidalis quando fuerit
leuior humido οὗ axem habuerit maiorem quam emi-

olium eius, quae usque ad axem, si in grauitate ad 20

humidum aequae molis non minorem proportionem ha-

beat illa, quam habet tetragonum quod ab excessu,
quo maior est axis quam emiolius eius, quae usque

1) Sc. ac suprà in demonstratione prop. 2, quae intercidit;
de re u. Nizze p. 384, 3.

6. ROK] ,,ro Κ΄’ Tartalea. 7. perpendicularis] scrib.
et perp. KR] om. Comm. ,k0* "Tartalea. 8. Q9] ,,o*
Tartalea. 10. ,ferret" Tartalea. 12, , producta" Tartalea.
21. aequae] »: aequalis; ,,a2eque* Taríalea.

380 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

ad axem, dimissa in humido ita, ut basis ipsius non
langat humidum, posita inclinata, non manet inclinata,
sed restituetur in rectum.
esto portio rectanguli econoidalis, qualis dicta est,
5 οὐ dimissa in humidum, si est possibile, sit non recta,
sed sit inclinata. secta autem ipsa per axem plano
- recto ad superficiem humidi
portionis quidem sectio sit
rectanguli coni sectio [περὶ
xov.11] quae APOL, axis
autem portionis et diameter
quae NO, superficie] autem
humidi sectio 81} JS. 81 igi-
tur portio non est recta,
non faciet quae .NO ad IS
&ngulos aequales. ducatur
autem quae K €) contingens sectionem rectanguli coni
penes D, aequidistans autem ipsi JS. & P autem ae-
quedistanter ipsi ΟΝ ducatur quae PF, et accipian-
20 tur centra grauitatum, et erit solidi quidem .4.POL
centrum A, eius autem, quod inter humidum, centrum
-—-—--- BB, et copuletur BR et educatur ad G', et sit solidi,
quod supra humidi, centrum grauitatis G' [éxuz. (6099.
I, 8]. et quoniam quae NO ipsius quidem XO est
emiolia!) eius autem, quae usque ad axem, est maior

15
P “2

1) Nam centrum grauitatis conoidis rectanguli ita in axi

1. axém] addendum: ad tetragonum quod ab axe. 4.
,rectangula* Tartalea. 11. diameter] sc. sectionis. 19.
quae] ,que* Tartalea. 230. ,contra grauitum" Tartalea. 91.
iter 2: intra. 22. BE] ,gir" Tartalea. — 28. quod supra
humidi] τὸ ὑπὲρ τοῦ ὑγροῦ.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 381

quam emiolia, palam, quod quae EO est maior quam
quae usque ad axem. sit igitur quae ΠΗ͂ aequalis ei,
quae usque ad axem, quae autem OH dupla ipsius
HM. quoniam igitur sit quae quidem NO ipsius RO
emiolia, quae autem MO ipsius OH, et reliqua quae
M N reliquae, scilicet EH, emiolia est.) ipsi MO est
maior quam emiolius est axis eius, quae usque ad
axem, scilicet 10.11.5) et quoniam supponebatur portio
ad humidum in grauitale non minorem proportionem
habens illa, quam habet teiragonum, quod ab excessu,
quo axis esí maior quam emiolius eius, quae usque
ad axem, ad tetragonum quod ab axe, palam, quod
non minorem proportionem habet portio ad humidum
in grauitate illa proportione, quam habet tetragonum
quod ab MO ad id quod ab NO. quam autem pro-
portionem habet portio ad humidum in grauitate, hanc
habet demersa ipsius portio ad totam solidam portio-
nem. demonstratum est enim hoc [prop. 1]. sed quam
habet proportionem demersa portio ad totam, hanc

positum est, αὖ pars ad uerlicem sita duplo maior sit altera;
Quaest. Arch. p. 33.

1) Nam MN — NO --- MO «- 4(RO — 0H) -—34RH.

2) H. e. VO — RH -- MO. ,quae usque ad axem* (ἡ
μέχρι τοῦ ἄξονος; περὶ κων. 8 p. 304, 8) est dimidia parametrus
( p); u. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 51 nr. 18. sed

RH-kkp (Apollon. « pon. '" Y, 18). est igitur
NO2HMN:- ΜΟ -— &RH -4- MO.

9. EH) »,1m' 'Tartalea. 8. OH] ,,0"'*' Tartalea. 4.
HM],rm* Tartalea. — 5. OH] sc. emiolia. 6, reliquae] ,,re-
liqua" Tartalea. est] (alt.) igitur? ,ergo axis tanto maior est
' quam sesquialter eius, quae usque ad axem, quanta est linea

10“ Comm. 8. RH)| »rm*' Tarlalea. 9. ,Àminuerem"
Tartalea. 14. proportione] ,,proportionem'' Tartalea. 19.
portio] ,proportio* Tartalea.

382 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

habet tetragonum quod ab P ad tetragonum quod
ab NO. demonstratum est enim in iis, quae de co-
noidalibus, quod, si a rectangulo conoidali duae por-
tiones qualitereunque productis planis abscindantur
portiones, adinuicem eandem habebunt proportionem,
quam tetragona quae ab axibus ipsorum [περὶ xcov. 24].
non minorem ergo proportionem habet tetragonum quod
a PF ad tetragonum quod ab NO, quam tetragonum
quod ab MO ad tetragonum quod ab NO. quare quae
P.F non est minor quam MO, neque quae B.P quam HO.!)
si igitur ab H ipsi NO recta ducatur, cadet intra B et P.
quoniam igitur quae quidem P.F' est aequidistanter dia-
metro, quae autem M T' est perpendicularis ad dia-
metrum, ei quae KH aequalis ei, quae usque ad axem,
ab ἢ ad T copulata et educta facit angulos rectos
ad contingentem secundum P.) quare et. ad IS et
ad eam, quae per 7$, superficiem humidi faciet aequa-
les angulos5) si autem per B, G ipsi RT aeque-
distantes ducantur, anguli recti erunt facti ad super-
fieiem humidi, et quod quidem in humido assumitur

1) Nam BP — 4 PF (p. 380 not. 1) et

HO —$M0»: BP Ξ HO.
2) Zeitschr. f£. Math., hist. Abth. XXV p. 54 nr. 21.
3) Nam 15 * Κῶ; tum ἃ. Eucl. I, 29.

1. ab PF ad tetragonum quod ab NO] om. Tartalea la-
cuna relicta; corr. Comm, 6. ipsorum] post hoc uocabulum
lacunam habet Tartalea. 10. HO] ,no' Tartalea. 11.
H)] ,m*' Tartalea (et fortasse in figura permutandae M et H;
nam in figura Tartaleae M loco litterae H positum est, sed.
praeterea inter M et O littera H). recta] πρὸς ὀρθάς. ,,ca-
dent" Tartalea. Post P desideratur: concidat in Τ᾽; cfr. p. 885,
10. 14. RH)],rm' Tartalea. 17. aequales] recios? 18.
autem] igitur? (δή).

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 383

solidum eonoidalis sursum fertur secundum eam, quae
per B, aequedistantem ipsi E T, quod autem extra hu-
midum assumptum deorsum fertur in humidum secun-
dum productam per G aequedistantem ipsi R T [I hy-
poth. 2], et per totum idem erit, donec utique conoi-
dale rectum restituatur.

Reeta portio rectanguli conoidalis, quando leuior
existens humido habuerit axem maiorem quam emio-
lium eius, quae usque ad axem, si ad humidum in gra-
uitlate non maiorem proportionem habeat illa, quam
habet excessus, quo maius est tetragonum quod ab
axe teiragono, quod ab excessu, quo axis est maior
quam emiolius eius, quae usque ad axem, ad telirago-
num quod ab axe, dimissa in humidum ita, ut basis
ipsius tota sit in humido, posita inclinata non manet
inclinata, sed restituetur, ità αὖ axis ipsius secundum
perpendicularem sit.

demittatur enim in humidum aliqua portio, qualis
dicia est, ei sit basis ipsius tota in humido. secta
autem ipsa plano per axem recto ad superficiem hu-
midi erit sectio rectanguli coni sectio [περὶ xov. 11];
et sit quae .A POL, axis autem et diameter sectionis
quae NO, superficiei autem humidi sectio quae 15.
et quoniam non esi axis secundum perpendicularem,
non faciet quae NO ad IS angulos aequales. ducatur

1. ,ea" Tartalea. 8. ,assumpta' Tartalea. 10. quae]
»que** Tartalea. 12. ,tetragonam"' Tartalea. 28. axis] sc.
portionis. 24. quae] (prius) ,,quam* Tartalea.

384 DE II8, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

autem quae AK, contingens sectionem A POL secun-
dum P aequidistans ipsi IS, et per P ipsi NO aeque-
distans quae PF, et accipiantur centra grauitatum, et
sit ipsius quidem 4 POL
centrum E, eius autem,
quod extra humidum, B,
et copulata quae BR
educatur ad G, et sit G
centrum grauitatis so-
lidi assumpti in humido
[ἐτιπ. (6099. 1, 8]. et ac-
cipiatur quae A.H aequalis
ei, quae usque ad axem,
quae autem OH dupla ipsius HM, ,et alia fiant con-
15 similiter superiori [prop. 4 p. 381, 4]. quoniam igi-
tur supponitur portio ad humidum in grauitate non
maiorem proportionem habens proportione, quam ha-
bet excessus, quo maius est tetragonum quod ab NO
tetragono quod ab MO, ad tetragonum quod ab NO, sed
20 quam proportionem habet in.grauitate portio ad humi-
dum aequalis molis, hanc proportionem habet demersa
ipsius portio ad totum solidum (demonstratum est enim
hoc in primo theoremate), non maiorem ergo propor-
lionem habet demersa magnitudo portionis ad totam
25 portionem, quam sit dicta proportio. quare non ma-
iorem proportionem habet iota portio ad eam, quae
exiraà humidum, portionem, quam habet tetragonum

2. ,grauitatem" Tartalea. 12. RH) ,rm*' Tartalea;
cfr. ad p. 382, 11. 18. axem] ,,axe'* lacuna relicta Tartalea.
19. ad] om. Tartalea. 25. proportio] »portio" Tartalea.

27. portionem] ,,proportionem" Tartalea

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 385

quod ab NO ad tetragonum quod ab MO:) habet
autem tota portio ad portionem quam extra humidum
eandem proportionem, quam habet tetragonum quod
ab NO ad id quod ἃ P [περὶ xov. 24]. non ma-

iorem ergo proportionem habet quod ab NO ad id a 5

PF, quam quod ab NO ad id quod ab MO. non mi-
nor ergo fii quae PF quam quae OM. quare nec
quae ΡΒ quam HO [p. 382 not. 1]. quae ergo ab
H producitur ipsi NO ad rectos angulos, concidet ipsi
BP inira P et B. concidat secundum 7. et quoniam
in rectanguli coni sectione quae P. est aequidistan-
ler diametro NO, quae autem HT perpendicularis
super diametrum, quae autem ΠΗ aequalis ei, quae
. usque ad axem, palam, quod quae AT educta facit
angulos rectos ad .KP£. quare et ad IS [p. 882
not. 2—3]. quae ergo ZE7' est perpendicularis ad
superfieiem humidi. et per signa JB, αἰ aequedistanter
ipsi KT productae erunt perpendiculares ad super-
fiiem humidi quae quidem igitur extra humidum
portio deorsum feretur in humidum secundum pro-
ductam per B perpendicularem, quae autem inira hu-
midum sursum feretur secundum perpendicularem, quae

1) Est ISAL: APOL 2 NO? — MOo': ΝΟ" siue
APOL:ISALS&NO?: NO! -:- MO;
itaque ἀναστρέψαντι (Eucl. V, 19 πόρισμα et Pappus VII, 48

p. 686)
APOL:APOL-- ISAL Φ NO? : MO*.

1. M 0] "mt Tartalea. 5. quod] "quae. Tartalea. 14]
id quod? . HO] ,n"o* Tartalea. Ὁ. H] ,m" Tartalea.
NO ad rectos angulos] »,T9 aequidistans' Tarialea, 19. N 0]
,T0' 'Tartalea. HT) ,nt" Tartalea. 18. R H] ,7"m*
"Tartalea. 20. ferretur "Tartalea, ut lin. 22. s producta
Tartalea.
Arcbimedes, ed. Heiberg. II. 25

μι

386 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

per G, et non manet solida portio 4 POL, sed intra
humidum erit motum, donec utique quae NO fiat se-
cundum perpendicularem.

VI.

Recta portio rectanguli econoidalis quando humido
leuior existens axem habuerit maiorem quidem quam
hemiolium, minorem autem, quam ut habet hanc pro-
portionem ad eam quae usque ad axem, quam habent
quindecim ad quattuor, dimissa in humidum ita, ut
10 basis ipsius contingat humidum, numquam stabit in-

elinata ita, ut basis ipsius secundum unum signum

contingat humidum.
sib portio, qualis dicta est, et dimissa i in humidum
consistat, sicut ostensum est, ita ut basis ipsius se-
15 cundum unum signum contingat humidum. secta autem
ipsa per axem plano recto ad superfieiem humidi
seclio superficiei portionis sit quae .4 PO L rectanguli
coni sectio [περὶ κων. 11], superficiei autem humidi
quae 4.3, axis autem portionis et diameter sit quae
20 NO, et secetur secundum Ε΄ quidem ita, ut quae O.P
sib quae dupla ipsius ΕΝ, secundum £2 autem ita,
αὖ quae NO ad Εἰ habeat proportionem quam quin-

decim ad qualiiuor, et ipsi NO adducatur quae € K.

quae autem ΝΟ maiorem proportionem habet ad 74,
25 quam ad eam, quae usque ad axem. sit quae F'B
aequalis ei, quae usque ad axem, et ducatur quae qui-

2. ,in motum" Tartalea (in motu?). 7. habet] habeat?
17. superficiei] deleo. 19. diameter] sc. sectionis, 20. ut]
em. Tartalea. 21. quae] deleo. 28. adducatur] ,ad rectos
angulos ducatur* Comm. 25. ,,ea" Tartalea.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 987

dem PC aequedistanter ipsi AS contingens sectionem
APOL secundum P, quae autem PI aequedistanter
2 ipsi NO. secet autem
quae PI prius ipsam
Κῶ. quoniam igitur in
portione APOL con-
Μ΄ tenta a recta ei a sec-
lione rectanguli coni
quae quidem KH ae-
quedistanter ipsi .AL,
quae autem PI aeque-
P " distanter diametro
secta ipsa A2, quae
autem .AS aequedistanter contingenti secundum JP,
necessarium est, ipsam 21 autem eandem pro-
portionem habere ad PH, quam habei quae .N£)
ad $20, aut maiorem proportionem. demonstratum
esbí enim hoc persumpta." quae autem (ὁ Ν᾽ est
emiolia ipsius $10.) et quae IP ergo aut emiolia
est ipsius Z7P aut maior quam emiolia. quae ergo
PH ipsius HI aut dupla est aut-minor quam dupla?)

1) À quo, nescimus; cfr. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV
p. 54 nr. 22.

2) Nam F0 —2FN;itaque FN:NO-—1:8-—5:15,.

et ex hypothesi est 79 : NO —4:15. quare addendo erit
FN --F29:N0-29:15—N2:N0O; unde 09:AN£ —0:9.
8) Erat PI: PH S N9:09 et ΝΩ — $092; unde
PISAÀPH.
itaque HI — ΡΙ --- PHS4PH,h.e. PH Z92HI.

9. KH] K$ Comm. 10. ipsa .A.L quo" Tartalea. 14.
P] hie lacunam habet Tartalea. 16. autem] aut? 17. aut]
om. Tartalea. 18. persumpta] per sumpta? QN] ,oh*^
Tartalea. 19. IP] 2^" Tartalea.

25*

388 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

sit autem quae PT ipsius TI dupla. centrum ergo
grauitatis eius, quod in humido, est signum 7' [p. 380
not. 1]. et copulata quae TF educatur, οὐ sit centrum
grauitatis eius, quod extra humidum, G' [ἐπιπ. (6099.

5 I, 8], et à B ipsi NO recta quae B.R. quoniam igi-
lur est quae quidem PI aequedistanter diametro NO,
quae autem B FR perpendicularis super diametrum, quae
autem .F'B aequalis ei, quae usque ad axem, palam, quod
quae PE educta aequales angulos faciet ad contingen-*

10 tem sectionem 4 POLL secundum P [p. 382 not. 2—3].
quare οὐ ad AS et ad superficiem aquae. ductis au-
iem per 7, (αὐ aequedistanter ipsi F'B, erunt et ipsae
perpendiculares ad superficiem aquae, et magnitudo
quidem inter humidum assumpta ex solido .4 POL sur-

15 ) sum feretur secundum eam,
| quae per 7, perpendicu-

larem; quae autem extra
humidum, deorsum feretur

in humidum secundum

. eam, quae per G, perpen-
di«ularem. reuoluetur ergo
Solidqm 4 POL, et basis
ipsiuS-non tanget super-
7: ficiem idi secundum
unum Sigiym, si autem

quae PI nó secuerit li-
neam K£, sicut in secunda figura deseptum est,
manifestum, quod signum T, quod est centra gg.

9. FR] ,tr" Tartalea. aequales] h. e. rectos. fad t]
om. Tartalea. 15. ferretur" Tartalea. 18. ,ferret* T
talea. 27. secunda] ,,solida^ Tartalea; corr. Comm.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 889

uitatis demersae porlionis cadet inter P et 7, et reli-
qua similiter demonstrabuntur.

VII.

Recta portio rectanguli conoidalis quando humido
leuior fuerit et axem habuerit maiorem quidem quam 65
emiolium eius, quae usque ad axem, minorem autem
quam ui proportionem habeat ad eam, quae usque ad
axem, quam quindecim ad quattuor, dimissa in humi-
dum ita, ut basis ipsius tota sit in humido, nunquam
stabit ita, ut basis ipsius tangat superficiem humidi, 10
sed ut tota sit in humido, nec secundum unum signum
langens superficiem.

sit portio, qualis dicta est, ei dimissa in humidum,
sicut dictum est, consistat ita, ut basis ipsius tangat
superficiem humidi. demonstrandum, quod non manet, 15
sed reuoluetur ita, ut basis ipsius tangal superficiem
humidi non secundum unum signum. secta enim ipsa
plano recto ad superfieiem humidi sectio sit quae
AOL xrectanguli coni sectio [περὶ xov. 11]. sit
autem ei superficiei humidi sectio quae S.L, axis au- 30
tem portionis et diameter quae PF. sit J. rursum
autem secetur quae P7 secundum E quidem ita, ui
quae AP sit dupla ipsius KE, secundum f2 autem
ita, αὖ quae P.F ad E proportionem habeat, quam
quindecim ad quattuor, et quae $21K recta ducatur 25
super PF. erit autem minor quae 1.42 quam ea quae

6. eius, quae] ,,eiusq * Tartalea. autem quam] ,aut'
Tartaleag. 18. recto] »recta^ Tartalea. 20. humidi] ,hu-
midea'* Tartalea. ] »,89* Tartalea. 21, εὐ 7]? 234.
PF],po' Tartalta. |

390 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

usque ad axem [cefr. p. 386, 24]. accipiatur igitur ei
quae usque ad axem aequalis quae AH, et quae qui-
dem CO ducatur contingens sectionem penes O existens

€

aequedistans ipsi $.L, et quae NO et aequedistans ipsi
P.F. seceb autem quae NO ipsam K€$) prius secun-
dum 1. consimiliter autem praecedenti demonstrabi-
tur, quod quae NO aut hemiolia est ipsius OI aut
major quam hemiolia. erit autem quae OI ipsi I.N
minor quam dupla. sit igitur quae OB dupla ipsius
B N, et disponantur eadem prioribus [p.388,1sq.]. simi-
liter igitur demonsitrabitur quae KT faciens angulos
rectos ad CO [p. 382 not. 2—3] et ad superficiem
humidi, et ab ipsis B, G' productae aequedistanter ipsi

1) ON:0I S F9: PA (p. 887 not. 8); F' τῷ αὶ PO ;itaque

ON Ξ 301. eG IN -— ON--OIS40l,he.OIZ2?IN.-—-
fig. 2 om. Tartalea.

8. sectionem] ,,sectiones'" Thrtalea. 4. d 508. 'Far-
talea. οὐ quae NO et] ἡ δὲ INNO καί. 8. erit] ,,sit^ Tar-
talea, Comm. OI] ,,ot* Tartalea. IN] ,in" Tartalea.
10. eadem] ,,&kandem" Tartalea. ,,r/'* Tartalea, ut p. 391 lin. 1.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 391

RT erunt perpendieulares super superficiem humidi.
portio igitur quae quidem extra humidum deorsum

feretur in humidum secundum eam, quae per B, per-
pendieularem, quae autem inter humidum, sursum fe-
retur secundum eam, quae per G. manifestum igitur,
quod uoluitur solidum ita, ut basis ipsius nec secun-
dum unum contingat superficiem humidi, quoniam
nunc secundum unum tangens ad deorsum feretur
ex parte 4. — manifestum autem, quod et, si quae
ANO non secuerit ipsam £) K, eadem demonstrabuntur.

VIII.
Recta portio rectanguli conoidalis quando axem
habuerit maiorem quam hémiolium eius, quae usque
ad axem, minorem autem quam ut ad eam, quae ad

8. , ferretur Tartalea, ut lin. 4. 5. ,quam" Tartalea.
manifestum] ,, maximum" Tartalea. 6. ,aduoluit^ Tartalea.
nec] οὐδέ. 8. ,ferret* Tartalea. 10. , eandem" Tartalea.

14. quam] om. Tartalea.

302 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

axem, habeat proportionem, quam habet quindecim ad
quattuor, si grauitate ad humidum habeat proportio-
nem minorem proportione, quam habet tetragonum -
quod ab excessu, quo axis est maior quam hemiolius

5 eius, quae usque ad axem, ad tetragonum quod ab axe,
dimissa in humidum ita, ut basis ipsius non tangat
humidum, nec in rectum restituetur nec manebit in-
clinata, nisi quando axis ipsius ad superficiem humidi
fecerib angulum aequalem ei, qui dicendus est.

10 sib portio, qualis dicta est, et sit quae B .D aequa-
lis axi, οὗ quae quidem ΒΑ sit dupla ipsius KD,
quae autem AK aequalis ei, quae usque ad axem. sit
autem et quae quidem C B hemiolia ipsius B E. quam
autem proportionem habet portio in grauitate ad hu-

15. midum, hane habeat quod ab FQ ietragonum ad id,
quod à DB. sit autem et quae F' dupla ipsius Q.
palam igitur, quod quae FQ ad ipsam D.JB propor-
lionem habet minorem proportione, quam habet quae
CB ad ipsam BD. excessus enim quod CB est,

80 quo axis esí maior quam hemiolius eius, quae usque
ad axem. quae ergo FQ erit minor ipsa BC. quare
el quae P minor ipsa DB .R. sit autem ipsi F' aequa-
lis quae EX, et super ipsa BD recta ducatur quae

1) Erat CB — BR. sed
CD—BD--BC-—à(BK--BR)-—iRERK.
et CB— Β7)᾽ -:- CD—BD--i&RK -— excessui et ex hy-
pothesi est CB? : B D* — sectio : humidum, h. e.
CB*':BD'-—FQ?: BD? (ex hypothesi).

2. grauitate] ,grauis* Tartalea. 13. CB] ,eb* Tarta-
lea. 15. habeat] om. Tartalea. 17. ,/g" Tartalea. 19.
CB] ,ib* Tartalea. — quod]? — CB] ,,ς 4" Tartalea. 922.
quae] ,,quam'' Tartalea.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 898

X E, quae possit dimidium eius, quod sub K R, B&X, et
TRE 2 qus B E. oup quod portio di-

missa in humidum, ut dictum est, consistet inclinata
iia, ut axis ad superfieiem humidi faciat angulum
aequalem angulo ΕΒ ἃ. — demittatur enim aliqua 5
portio in humidum, et basis ipsius non tangat super-
fielem humidi. et si possibile est, axis ipsius ad su-
perficiem humidi non faciat angulum aequalem angulo
B, sed primo maiorem. secta autem portione per
axem plano recto ad superficiem humidi sectio erit 10
quae .A4POL recianguli coni sectio [περὺὴὺ xov. 11],
superficies autem humidi quae XS, axis autem et dia-
melier porlionis quae NO. ducatur autem et quae qui-
dem PY aequedistanter ipsi XS contingens sectionem
APPOL secundum P, quae autem PM aequedistanter 15
ipsi NO, quae autem PI perpendicularis super NO,
BX] ,z' Tartalea. δ. ,demonstratur* Tartalea.
aliqua] delet Nizzius, 10. erit] sit? 11. ,quam" Tartalea.

12. superficiei? (sc. sectio) XS] ,,zs'' Tartalea, qui omnino
litteras X et X confundit.

994 DE 115, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

οὐ quae quidem B E. sit aequalis ipsi O£, quae autem
HRK ipsi T, et quae (9 Η͂ recta super axem. quo-
niam igitur supponitur axis portionis ad superficiem
humidi facere angulum maiorem angulo B, palam,

5 quod angulo PIN angulus qui ad PYI est maior

angulo B. maiorem igitur proportionem habet tetra-
gonum quod a PI ad tetragonum quod ab IY, quam
lelragonum quod ab EX ad tetragonum quod a X B.!)
sed quam quidem proportionem habet tetragonum quod
& PI ad id, quod ab IY, hanc habet quae K RE ad
Yl?; quam autem proportionem habet tetragonum
quod ab .EX ad tetragonum a XB, hanc habet me-
dietas ipsius KE ad XB.) maiorem ergo proportio-
nem habet quae KE ad YJ, quam medietas ipsius
KR ad XB. minor ergo est quam dupla quae IY
ipsius XB. ipsius autem OI dupla est quae IY

- propter septimum theorema primi libri elementorum

conicorum Apollonii?) est ergo quae OI minor quam

1) Sit | ACB —90* et | EDC B AC; du-
catur AF X DE. erit CF: AC — ÓB : AC; sed

cfr. Zeitschr. f. Math. XXIV p. 179 mr. 8.

2) Zeitschr. f. Math., hist. Ábth. XXV p. 51
nr. 13.

3) Nam ex b ypothesi: EX!4KB«BKX,h.e.
DC gpi:BE! —41KB:BÀ.
4) Zeitschr. f. Math. ixv- p. $83 nr. 16. ApolloniiI, 7, quae

1. O9] ,,$o*'* Tartalea. T 9] ΟΝ Tartalea. ,τθοὸ-
tam^ Tartalea. 5. angulo ΡΙΝῚ ? PYI],pim* "ar-
talea. — 7. IY] ,,0 ante lacunam Tartalea, ut ln. 10. 8.
XB], x0" Tartalea. He YI] ,'* post lacunam Tartalea,
ut Dn. 14, — 12. medietas] 2: dimidium. — 15. I Y] ,:" Tar-
talea. 16, € B] ,,cd* artalea. IY] ,o'' Tartalea; om.
Comm. 18. ,,conoycorum"* Tartalea.

CF: AC — CE:CD; h. e. CE:CD»CB: : AC. .

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 395

XB; quare quae 142 est maior quam XRK.') quae
autem XE est aequalis ipsi P. maior ergo est quae
142 quam JF. et quoniam supponitur portio ad hu-
midum in grauitate habere proportionem, quam tetra-
gonum quod ab FQ ad ietragonum quod a BD,
quam autem proportionem habet portio ad humidum
in grauitate, hanc habet proportionem pars ipsius de-
mersa ad iotam portionem [prop. 1], quam autem
pars demersa ad totam, hane habet tetragonum quod
ἃ PM ad tetragonum quod ab ΟΝ [περὶ κων. 24],
quam ergo proportionem habet tetragonum quod ab FQ
ad tetragonum quod a BD, hane proportionem habet
letragonum quod ab MP ad tetragonum quod ab ΟΝ.
aequalis ergo est quae FQ ipsi PM.) quae autem
PH demonstrata est esse maior quam 7?) palam
ergo, quod quae PM est minor quam hemiolia ipsius

ren

PH, εἰ PH maior quam dupla ipsius HM) sit -

igitur quae ΡΖ dupla ipsius Z.M. erit autem 7' qui-
dem centrum grauitatis solidi?), eius autem, quod intra
humidum, Z, reliquae autem magnitudinis centrum

hic locum non habet, Archimedes certe non citauerat; om.
Comm. '

1) Nam ex hypothesi est EB — O9.

2) Nam ex hypothesi est B D — ON.

3) Nam PH I9.

4 PM — FQ-—4F, sed PH» F; itaque PM-C$PH.

et HM — PM — PH«QPH- PH,h.e. PH 53HM.

5) Nam TQ -Ἔ RK, ΟἿ — BH; ergo BK — TO; sed
BK —2KD,et BD -— NO; quare TO -2NO; tum u. p. 880
not. 1.

4. ,perportionem* Tartalea. 6. portio] ,,proportio" Tar-
talea. 10. ad] ,,'* Tartalea. 18. MP] ,,mhA''* Tartalea.
16. hemiolia ipsius PH, et PH maior quam] om. Tartalea;
suppleui ex Comm. 19. solidi] ,,totius solidi Comm. 20.
,reliquam" Tartalea.

396 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

grauitalis erit in linea Z T' copulata et educta, οὐ edu-
eatur ad G' [ἐπιπ. (609p. I, 8]. demonsitrabitur autem
similiter quae ΤῊ perpendicularis existens ad super-
fieiem humidi [p. 382 not. 3]. οὐ portio quidem quae
5 inir humidum fertur ad extra humidi secundum per-
pendieularem ductam per Z ad superficiem humidi;
quae autem extra humidum feretur intra humidum
secundum eam, quae per G. non manet autem portio
secundum suppositam inclinationem nec etiam in rec-
10 tum restituetur. palam enim propter hoe, quoniam
quae producuntur per Z, G' perpendiculares quae qui-
dem per Z perducit ipsi G.L ad easdem partes ca-
dii, ad quas est L et secundum G', quae autem per
G ad easdem ipsi 4. palam, quod propter praedicta
15 Z quidem centrum sursum feretur, G autem deorsum.
quare totius magnitudinis quae ex parte .4 deorsum
'feretur. hoc autem erat inutile ad demonstrandum.
Supponatur rursum alia quidem eadem, axis autem
porlionis ad superficiem humidi faciat angulum mino-
20 rem eo, qui apud B; minorem autem proportionem
habet tetragonum quod a PI ad tetragonum quod ab
IY, quam quod ab EX ad id quod a XB [p. 894
not. 1] et quae KR ergo ad YI minorem propor-

3. similiter] sc. ac antea. 5. ad exira humidi] ἐπὶ τὰ
ἔξω τοῦ ὑγροῦ. 6. ,,ducta Tartalea. ad) om. Tartalea.
7. ,ferretur* Tartalea. 8. ,ea" Tartalea. ^ autem] ó7j?
11. Ante alt. ,quae'* lacunam habet Tartalea. 12. , perducit
ipsi G L' et lin. 18: ,,et secundum G** om. Comm.; locus cor-
ruptissimus. 13. L| om. Tartalea. 14. A] ,,29g'' Tartalea.
15. ferretur" Tartalea, ut lin. 17. 17. hoc autem] cet. om.
Comm. haec tota conclusio omnino obscurior est. 20. autem]
δή 92. IY] ,io'' Tartalea, ut p. 397 lin. 2. quod ab
EX] ad αι“ Tartalea. 28. Y I] ,o$'* Tartalea.

----

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 39

tionem habet, quam medietas ipsius KE ad XB. est
ergo quae IY maior quam dupla ipsius XB. ergo
quae «2.1 minor. ipsius autem O7 dupla. maior ergo

est quae OI ipsius XB. est autem et tota quae 0.9)

aequalis ipsi RB, οὐ reliqua minor est quam XR.!) 5

erit ergo et quae PH minor quam F. quae autem
MP ipsi FQ est aequalis. palam, quod PM est
maior quam emiolia ipsius P, quae autem PH mi-
nor quam dupla ipsius Z.M. sit igitur quae ΡΖ ipsius
ZHM dupla. igitur rursum totius quidem centrum gra-
ulitatis erit T, eius autem, quod intra humidum, Z.
copulata autem ZT inuenietur centrum eius, quod

1) Et haec omnia et sequentia satis adparent ex iis, quae
dicta sunt p. 394—965 cum notis. fig. 2 om. Tartalea.

2. ,maiorem' Tartalea. ^ ergo— minor] om. Comm. 8.
maior] om. Tartalea lacuna relicta. ergo] ,,ergo o'* Tarta-
lea. 4. O2] ,,ot* Tartalea, — 5. X R] τ" Tartalea.

οι

1ὅ

398 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

extra humidum, in educta, et sit G, et ducatur perpen- .

dieularis ad superficiem humidi per Z, G. aequedistan-
ter ipsi NO. palam igitur, quod non manet tota portio,
sed reuoluetur ita, ut axis ad superficiem humidi fa-
ciat angulum maiorem illo, quem nunc facit. quoniam
nec axe faciente ad humidum angulum maiorem quam
B consistit portio neque minorem, manifestum, quod
tantum angulum faciente consistel. sic enim erit quae
IO aequalis ipsi X B, et quae &I ipsi XR, et quae
PH ips PF.) erit igitur M P emiolia ipsius PH, quae
autem PH ipsi HM dupla. quod autem[1. ergo eius
quod in humido centrum grauitatis est H. quare se-
eundum eandem perpendicularem sursum feretur, et
quod extra deorsum feretur. manebit ergo. contra
pellentur enim ad inuicem.

IX.
Recta portio rectanguli eonoidalis quando axem

. habuerit maiorem quidem quam hemiolium eius, quae

usque ad axem, minorem autem quam ut hanc habeat

20 proportionem, quam habent quindecim ad quattuor,

1) Nam B EX ὦ PYI itaque, (Eucl. VL, 4)
RI'VYIDG- ER 2,
h.e. ΚΑ: γι κα, 28, οὖ YI 2X B 12201; XB-—ol.
sed B.E — 029; itaque subtrahendo XR» 9I siue PH — F.
et MP—FQ—34$F—3PH siue PH —2HM. (ium uv.
p. 880 not. 1.

1. ducantur perpendiculares? — 5. maiorem] cum Comm.;
,;minorem quam" Tartalea. 9. $7] ,,«e* Tartalea. 10. MP
, nh À** "Tartalea. 11. H M] ,,ho" Tartalea. — quod autem
lacuna relicta Tartalea; om. Comm. . 12. H] om. Tartalea.
13. ,ferretur* Tartalea, ut lin. 14. 14. conira celt.] ,,quo-
niam altera pars ab altera non repelletur" Comm. 19. quam]
om. Tartalea. 20. , proportione" Tartalea.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 399

et in grauitate ad humidum habeat proportionem ma-
jorem proportione, quam habet excessus, quo teira-
gonum quod ab axe esi maius tetragono, quod ab
excessu, quo axis est maior quam hemiolius eius, quae

usque ad axem, ad tetragonum quod ab axe, demissa 5

in humidum ita, ut basis ipsiüs tota sit in humido,
posita inclinata nec ut axis ipsius secundum perpen-
dicularem sib nec manebit inclinata, nisi quando axis
ipsius ad superficiem humidi fecerit angulum aequa-
lem accepto similiter ut prius (prop. 8].

esto portio, qualis dicta est, et ponatur quae D.B
aequalis axi portionis, οὐ quae quidem ΒΚ sit dupla
ipsius KD, quae autem .K.K aequalis ei, quae usque
ad axem, quae autem CB hemiolia ipsius B.R. quam

E—I7——— ———

9 X CX 2
aulem proportionem habet portio ad humidum in gra-
uitate, hanc Jabeat excessus, quo excedit tetragonum
quod a BD teiragonum quod ab F'Q, ad teiragonum
quod a BD. sit autem quae JF dupla ipsius Q. pa-

400 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

lam igitur, quod excessus, quo excedit telragonum
quod ἃ BD tetragonum quod a BO, ad tetragonum
quod ἃ BD minorem habere proportionem quam ex-
cessus, quo tetragonum quod ἃ BJ excedit tetra-
5 gonum quod ἃ ΕἸ, ad tetragonum quod a BD. est
enim BC excessus, quo axis portionis esi maior quam
hemiolius eius, quae usque δα axem [u. p. 392, 19 et
not. 1] minor est in f. maiori ergo tetragonum quod
ἃ BD excedit id, quod ab FQ, quam tetragonum
10 quod ἃ BD excedat tetragonum quod a BC. quare
quae ΕΟ est minor quam BC. ergo et quae F' quam
BR.) sit igitur ipsi F aequalis quae ZX, οὖ quae
XE recta ducatur super B D potens medietatem eius,
quod continetur sub KR, XB. dieo, quod portio
15 demissa in humidum ita, ut basis ipsius tota sit in
humido, consistat ita, ut axis ipsius ad superficiem
humidi faciat angulum aequalem angulo B.
demittatur quidem enim portio in humidum, ut
dietum est, et non faciat axis ad superficiem humidi
20 angulum aequalem B, sed maiorem primo. secta au-
tem ipsa plano recto ad superficiem humidi portionis
sectio sib quae .A4POL rectanguli coni sectio [περὶ
xov. 11], superficiei autem humidi quae C7, axis autem
portionis et diameter sectionis sit quae NO, et sit
25 secta secundum 4, T' ut et prius [u. prop.8 p.394,1—2].
ducatur autem quae quidem YP aequedistanter ipsi

1) Nam ex hypothesi est Κ᾽ τ $FQ et BE — 286.

1. excedit] ,excidit^ Tartalea. 8. ,minorem habere"
usque δὰ ,,est enim .B C excessus" lin. 6 (incl$ om. Tartalea;
suppleui ex Comm.; cfr. p. 392, 17 sq. 8. minor est in] ὃ;
om. Comm. 10. excedit? 14. XB] ,et iungatur B E*
addit Nizzius collato p. 893, 2.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHONTUR. 401

CI contingens sectionem secundum P, quae autem
MP aequedistanter ipsi NO, quae uero PS perpen-
dicularis super axem. quoniam igitur axis portionis
ad superfieiem humidi facit angulum maiorem angulo
DB, erit utique et angulus qui sub SY maior an-
gulo B. tetragonum ergo quod a PS ad tetragonum
quod ab SY habet proportionem maiorem, quam te-
iragonum quod ἃ XE ad tetragonum quod a XB.)
ergo et quae ΚΙ ad SY habet proportionem maio-
rem, quam medietas ipsius K E ad XB. minor ergo
quae SY quam dupla ipsius XB, et quae SO quam
XB minor. quae S$2 ergo maior quam AX, et quae
PH quam F. et si portio in grauitate ad humidum
habet proporlionem, quam excessus, quo tetragonum
quod a B.D est maius telragono quod ab ΖΚ Ὁ, ad te-
iragonum quod a B D, quam autem proportionem ha-
bet portio in grauitate ad humidum, hanc proportio-
nem habet demersa ipsius portio ad totam [prop. 1]
palam, quod eandem habebit proportionem demersa
ipsius portio ad totam poriionem, quam excessus, quo
tetragonum quod a B.D excedit tetiragonum quod ab
FQ, ad tetragonum quod a BD. habebit igitur et
iota portio ad eam, quae extra humidum, proportio-
nem, quam tietragonum quod 84 BD ad id, quod
ab .Q.?) quam autem proportionem habet tota

1) De hoc et de sequentibus u. p. 394, 6 seqq. cum notis.
2) Erat tota portio: pars demerea —— B D? : BD? — 705,
tum ἀναστρέψαντι sequitur, quod quaerimus.

3. igitur] ,egit" Tartalea. 17. portio] 1 opeoportio" Tar-

talea, ut p. 402 lin. 1. 19. quod] om.
Archimedes, ed. Heiberg. II. 26

.402 . DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

portio ad eam, quae extra humidum, hanc habet quod
ab NO ad id, quod a PM [περὶ xov. 24]. aequalis
ergo quae M.P ipsi FQ [p. 395, 14]. quae autem P.H
demonstrata es& maior quam quae P. ergo MH est
minor quam Q. ergo quae PA est maior quam dupla
ipsius ΗΜ.) sit igitur quae PZ dupla ipsius Z M,
et copulata quae Z T educatur ad G. erit ergo totius
quidem porlionis centrum grauitatis 7, eius autem,
quae exira humidum, Z [p. 395 not. 5], eius uero,
quae inira, in linea 7'G. [ἐπιπ. (6099.1, 8]. sit autem G.
demonstrabitur autem similiter prioribus quae T'T
perpendicularis ad superficiem humidi [p. 382 not. 2],
el quae per Z, G aequedistanter ipsi T'H productae
perpendieulares et ipsae super superficiem humidi. fere-

20 EK éR x^

15 tur ergo quae quidem exira humidum portio deorsum

1) U. p. 895 not. 4.

1. quae] ,quam" Tartalea. 4. F'] om. Tartalea. 5.
PH)|,pm" Tarialea. 18. TH] ,t»" Tartalea. — 14. ,fer-
retur" Tartalea, ut p. 403 lin. 6.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 408

secundum eam, quae per Z, quae autem inira secun-
dum eam, quae per G, eleuabitur. non manet ergo
iota portio sine inclinatione, nec etiam conuertetur
iia, αὖ axis sib perpendicularis super superficiem hu-
midi, quoniam quae ex parte L deorsum, quae autem
ex parte 4 ad superiora ferentur propter proportio-
nalia dielis in praecedenti [p. 396, 10 sq.].

si autem axis ad humidum faciat angulum mino-
rem angulo B, consimiliter prioribus demonsirabitur,
quod non manebit portio, sed inclinabitur, donec uti-
que axis ad superficiem humidi faciat angulum aequa-
lem angulo B [prop. 8 p. 396, 18 sq.].

Recta portio rectanguli conoidalis quando leuior
existens humido habuerit axem maiorem, quam ut ha-
beat proportionem ad eam, quae usque ad axem, quam
habent quindecim ad quattuor, demissa in humidum ita,
ut basis ipsius non tangat humidum, quandoque quidem
recta consistet, quandoque autem inclinata, et quando-
que quidem ita inclinata, ut basis ipsius secundum unum
signum tangat superficiem humidi, et hoec in duabus
dispositionibus faciet!), οὐ quandoque ita inclinata con-
sistet, ut basis ipsius secundum ampliorem locum hu-
mefiat, quandoque autem ita, ul basis ipsius nec se-

1) Ὁ. pars III; errat Nizze; idem infra p. 404 lin. 1 addi
potuit (pars II et V).

4. super] om. Tartalea. 5. deorsum, quae autem ex parte
.ÁA] om. Tartalea; suppl. Comm. 16. quae] ,,quam* Tartalea.
. 18. quandoque] ,,nonnunquam" Comm. 19. quandoque] ,,quin-
que' Tartalea.
26*

404 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

cundum unum tangat superficiem humidi; quam autem
proportionem habeant ad humidam in grauitate, sin-
gula horum demonstrabuntur.

sit portio, qualis dicta est, et secia ipsa plano
recto ad superficiem humidi sectio in superficie sit
quae 4 POL rectanguli coni sectio [περὶ κων. 11], axis
autem et diameter sectionis sit quae 8.1). secetur
autem quae BD secundum K ita, ut dupla sit quae
BK ipsi K D, secundum C autem, ut quae B D ad KC

4A — pHZXYNDr—rEr Z

᾿ς
-
M
€

man dcm ae im car mim m α-

e E //

έ
Ψ ΟῚ m^.

habeat proportionem, quam habent quindecim ad quat-
tuor. palam igitur, quod quae KC est maior ea, quae
usque ad axem [ex hypothesi] sit quae Καὶ αὶ aequalis
ei, quae usque ad axem, ipsius autem Καὶ KR sit hemiolia

— —À —— —À — 9 —

2. singula horum] x«9' ἕκαστον τούτων, quod interpre-
ilandum erat: in singulis. 9. BK] ,,bd" Tartalea. 12.
δὶ quae AK ἠδ" ad , axem" lin. 13 om. Tartalea; corr. Comm.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 405

quae 2.8. est auiem οὐ quae SB.hemiolia ipsius
BR.) copuletur autem ipsa 4.8, et ipsa CE recta
produeta ducatur quae ΕΖ aequedistanter ipsi B.D,
ei rursum ipsa A.B secta in duo aequala penes 7'

ducatur aequnedistanter ipsi B.D quae T'H, et accipiatur 5.

rectanguli coni sectio quae .4.E circa diametrum EZ,
et quae 41’ cirea diametrum 7 ΗΠ, ita ut similis sit
quae 481, AT portion ABL) describetur aütem
quae 4.1.1 coni seclio per K?); quae autem .ab Καὶ
recta producta ipsi DB.D secat ipsam 4.13) secet
secindum Y, G. cum per Y, G. ducantur aequedistan-
ler ipsi B.D quae OG.N, PYQ; secent autem ipsae
sectionem 47) penes X, F, ducantur autem ei quae
P à, O X contingentes sectionem .A PO L secundum O, P.
sunt tres quaedam portiones quae A POL, AEI, ATD
contentae a rectis et a sectionibus rectangulorum eo-

1) Nam SB— BD--SD-—$BK--$KR
— 3(BK —— ΚΙ -αἪ $BR.

2 H.e. BD: EZ — AD:AZ οἱ EZ: HT — AI:AD.
efr. Zeitechrift f. Math., hist, Abth. XXV p. 46 nr. 3.

3) Nam B K — 2KD; unde BC -- CK — 2(CD — CK);
et CK — 4(20D — BO) uerum

BD:KO-—15:4— BC-- CD: 22 Ὁ -- BO),
unde 2CD — 38BC. sed BC: CD— BE: EA — DZ:ZA,
quia EC 4t AL et EZ * BD. itaque
DZ:2Z2A4-2:8-— BK:BD;

μυλ

tum u. τετρ. παραβ. 4 conuersa; Zeitschr. f. Math. XXV p. ὅδ᾽

nr. 2

4) Nam ex hypothesi est XE « KC, quare DE « DC.

. DS] om, lacuna relieta Tartalea. autem| δή 2.
recta] 9: ad BD perpendicularis. 8. quae] ,,que'* Tartalea.
figura et ordo litterarum apud Tartaleam corrupta sunt. 68.
ΑἹ] ath" Tartalea. 11. cum] ,,et* Comm. 12. OG.N]
om. Tartalea. ,8ecet/ Tartalea. ,ipse'" Tartalea. 18.
ATD)],aod'" Tartalea. — 14. P2, 0 X] »92:0* ante lacunam
Tartalea. |

404 " gui? UEHUNTUR.
cu pk I$ us gos. σέ inaequales el tangentes
P 406 (se θέ a users ab N autem sursum ducta

aper s pssaq uan c “9 quae QFYP, OG ergo ad
pp" o ? ionem compositam ex proportione,

E fabet Pr F IL ad LA, et. quam habet quae AD

; qum ?; habet autem. et quae LI ad LA, quam duo
pr? 4: quae enim CB ad BD habet proportio-
«ὦ qu? n 'gex ad quindecim?), hoe est quam duo ad
neum, ἫΝ et est, αὖ quae CB ad BD, ita quae EB ad
quinq" / quae DZ ad DA. harum autem DZ, DA

1 pe gunt ipsae LI, LA) quae autem 4D ad DI
proportionem habet, quam quinque ad unum.) pro-

— 1) Dueatur Aw contingens .4 B L in A, et secet lineas NO,
ΖΕ, HT productas in c, v, t; erit (p. 405 not. 2)
BD: EZ -— AD: AZ— Dw:Zv;
sed D: — 2 BD (τετραγ. παραβ. 2); itaque Ze — 9 EZ, et Aw
tangens A.EI; eodem modo etiam 4.7. tangit. quare (rere.
παραβ. ὃ LN : AN — NO :Oc, e συνθέντι
AL:AN--Nc:
unde Oc -ὸῤ AN »« Nc: AL; eodem modo
Gc -- AN x Nc:AI
et Kc — AN 2€ Nc: AD..
et OG — Gc —- 0c — AN »« Noe» (AL -- 1A): IA» AL,
et GX -- c Gc — ΑΝ». Ne x (LA— AD): AD »« I4.
itaque 0G: GX — AD»«(AL —1IA): AL »Κ(ΙΑ -:- A D)
- 42) ». "1: Α1,;»« 1}.
2) Nam BD: ΚῪΟὋΟ-παιδ: 4, et KC -ὰ 26} -:- ΒΟΥ ΒΟ
(p. 405 not. 8). itaque ἢ BD: Dun 15 : 4, h. e. BC: BD
DZ: DÀ (p. 408 not. 8)

3) Nam BD: BC — 5:2 (not. 3$, quare ἀναστρέψαντι
BD:DO 5:8 siue
DC:4BD-6: δ. ΕΖ: HT — AI: AD;
et διελόντι DI : AD —1:

2. unamquanque] ? ab JN] post lacunam Tartalea. 8.
»nczpno' Tartalea. et à Q quae QF''Y P] om. Tartales;
corr. Comm. 10. harum] ,, habeant" Tartalea; corr. Comm,
11. sunt ipsae] om. Tartalea, lacuna relicta.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. A01

porlio autem composita ex proportione, quam habent
duo ad quinque, et ex proportione, quam habent quin-
«que ad unum, est eadem cum proporiione, quam
habent duo ad unum. dupla ergo est quae 6 Ὁ ipsius
GX. propter eadem autem et quae PY ipsius YF.
quoniam igitur quae DS est hemiolia ipsius K B, pa-
lam, quod quae JBS est excessus, quo axis est maior
quam hemiolius eius, quae usque ad axem.!)

- Pars I.

Si quidem igitur poriio ad humidum in grauitate
hane habet proportionem, quam ietragonum quod a
BS ad id, quod a B.D, aut maiorem hac proportione,
portio demissa in humidum ita, ut basis ipsius non
tangat humidum, recta consistel. demonstratum est
enim prius, quod si portio habens axem maiorem quam
hemiolium eius, quae usque ad axem |j minorem pro-
portione, si ad hümidum in grauitate non minorem
proportionem habeat proportione, quam habet tetra-
gonum quod ab excessu, quo axis esí maior quam

hemiolium eius, quae ad axem, ad teiragonum quod 90

ab axe, demissa in humidum ita, ut dictum est, recta
consistet [prop. 4].

1) DS — &4KR; sed KE ea est, quae ad axem (p); quare

8. ,eandem*' Tartalea, ut lin. 6. 9. Pars I] addidit Niz-
zius. 15. enim] ,,ei^ Tartalea. ^ 16. minorem proportione]
om. Comm. 17. non] ,5, o** Tartalea.

408 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

Pars II.

Si autem portio ad humidum in grauitate minorem
quidem proportionem habeat proportione, quam habet
tetragonum quod ab S.B ad tetragonum quod ἃ BD,

5-maiorem autem proportionem, quam habet tetragonum
quod ab XO ad id, quod ἃ B.D, demissa in humidum
inclinata ita, ut basis contingat humidum, consistet
inclinata ita, ut basis ipsius nihil tangat superficiei
humidi, et axis ipsius faciat ad superficiem humidi
10 angulum maiorem angulo X.

Pars III.

1. Si autem portio ad humidum in grauitate hanc
habet proportionem, quam habet tetragonum quod ab
XO ad id, quod ἃ 1), demissa in humidum inclinata

15 ita, ut basis ipsius non.tangat humidum, consistet et
manebit ita, ut basis ipsius secundum unum signum
tangat superficiem humidi, et axis cum superficie hu-
midi angulum faciat angulo X aequalem.

2. Si uero portio ad humidum in grauitate hane

20 proportionem habet, quam habet tetragonnm quod a

^. PF ad tetragonum quod ἃ B D, demissa in humiduni
et posita inclinata ita, ut basis ipsius non tangat hu-
midum, consistet inclinata ita, ut basis ipsius secun-
dum unum signum tangat superficiem humidi, et axis

25 ipsius faciat angulum aequalem angulo 4. |

1. Pars II] addidit Comm., et sic etiam infra. 2. minorem]
mailorem** Tartalea. 6. ,,zi'^ et ,,5* Tartalea. 10. X
»m' Tartalea, 14. inclinata] u. infra p. 418 not. 2. 15.
Uangunt'" Tartalea. 16. unum signum tangat superficiem
humidi] ,ampliorem locum humectetur ab humido* Tartalea.

17. ,,et axis^ ad 18: ,&aequalem* om. Tartalea; corr. Comm.
25. ,ipsi" Tartalea. o] ,z* Tartalea.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 409

Pars IV.

Si portio ad humidum in grauitate maiorem qui-
dem proportionem habeat, quam quadratum ΕἾ ad
quadratum DD, minorem uero, quam quadratum
XO ad BD quadretum, in humidum demissa et in-
elinata adeo, ut basis ipsius non contingat humidum,
consistet el manebit ita, ut basis in humidum magis
demergatur.")

Pars V.

Si autem portio ad humidum in grauitate habeat
proportionem minorem proportione, quam habet tetra-
gonum quod ab F'P ad tetragonum quod a BD, di-
missa in humidum et posita inclinata ita, ut basis
ipsius non tangat humidum, consistet inclinata iia, ut
axis quidem ipsius ad superficiem humidi faciat an-
gulum minorem angulo Ó, basis autem ipsius nec se-
eundum unum tangat superficiem humidi.

Demonstrabitur itaque haec deinceps.

: Demonstratio partis II.

Habeat itaque primo portio ad humidum in gra-
uitate proportionem quidem maiorem ea, quam habet
tetragonum quod ab XO ad id, quod a .B.D, minorem
autem ea, quam habet tetragonum quod ab excessu,
quo axis est maior quam hemiolius eius, quae usque

1) Tota pars IV lin. 1—8 a Tartalea omissa est (cfr. uesti-
gium eius p. 408, 16 not); suppleuit Comm.

16. d] ,z'* Tartalea. 19. Titulum hic et infra addidit
Comm. 22. ,minore* Tartalen.

410 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

δὰ axem, ad teiragonum quod a B.D!), et supponatur
ut prius disposita figura. quam autem proportionem
habet portio ad humidum in grauitate, hanc tetrago-
num quod a 7" ad id, quod a BD. est autem quae
5 Ψ' maior quidem quam XO, minor autem excessu,
quo axis est maior quam hemiolius eius, quae usque
&d axem. inaptetur autem quaedam intermedia coni-
earum sectionum APOL, AXD quae MN aequalis
ipsi 7?) et secet ipsa reliquam coni sectionem penes
«4 2 zZ

10 H, ipsam autem RG rectam penes V. demonstrabitur
autem quae MH dupla ipsius H N, sicut demonstra-

1)Nam 88.» OZ, quia OG — 2GX, OX — 40G; sed
BS —-i4BR οἱ DR 0G.
3) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 54 nr. 20,

2. ut] om. Tartalea. 8. hanc] ,eam habeat" Comm. 4.
JP] cum Comm.; ,2' Tartalea; sio etiam infra — autem] δή
5. ,zp" Tarale — 8. AZ D] ,azd" Tartales. — MN] ,uo*
T: lea. 10. H] om. Tartalea (lacuna). ,jipsa' Tartalea.
78 et ,b" Tartalea. 11. autem] δή — M H] ,ov'* Tar-
ialea. — dupla] om. Tartalea. — ,an* Tartalea.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 411

íum esti quae OG ipsius GX dupla [p. 407, 4]. ab
M autem ducatur quae MY contingens sectionem
APOL, quae autem MC perpendicularis super BD.
οὐ ab A ad N copuletur. erunt autem quae AN, QN
aequales inuicem. quoniam enim in similibus sectio-
nibus APOL, AXD productae sunt ἃ basibus ad
sectiones quae A.N, AQ aequales angulos facientes ad
bases, eandem proportionem habebunt quae QA, AN
cum ipsis LA, AD!) propter secundam figuram prae-
scriptarum. aequalis ergo quae .4 N ipsi ΟΝ, et aeque-
distans ipsi M Y?) demonstrandum, quod demissa in
humidum ita, ut basis ipsius non secundum unum
tangit 1 axis ad superfieiem humidi angulum acu-
tum faciat maiorem angulo X [u. figura p. 404].
dimittatur enim, et consistat ita, ut basis ipsius tangat
secundum unum signum superfieiem humidi secta
autem portione per axem plano recto ad superficiem hu-
midi superficiei quidem portionis sectio sit quae 4 POL
rectanguli coni sectio [περὶ κῶν. 11], superficiei autem

1) Ducatur in figura p. 404 linea AX Q; erit (τετρ. erago. 5)
LN:NA — NO:0Oc et συνθέντι LA: ΝΑ — Nc:Oc; si-
militer erit DA : ΝΑ z Nc:&c; unde LA: AD — Χο: 0c;
sed eodem modo est QX : ΧΑ »» XO : Oc, siue
QA:XA z €Xc:Oc,
h. e. in nostra fig. LA: AD— 04: ΝΑ.
2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 52 nr. 14.

1. ,p8'* et ,8x'* Tartalea. .M c) ,0" Tartalea. 27 Y]
5,08" Tartalea, u $n. 11. 8. AP OL] sc. in M. M Ἢ
00^ "Tartalea. N] ,qw* Tartalea. 5. sgeotionibus
Nizze; m ortionibnse dd. sic etiam lin. 7. 6. ,pro-
ducto* Tartalea. & basibus] 2,80 axibus* Tartalea. 13.
Ante ,,axis" lacunam Tartalea. 14. angulo X] ,,excessu' ante
lacunam Tartalea. 17. recta" Tartalea. 18. ,,sitque** Tartalea.

412 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

humidi quae. O.4, axis autem portionis et diameter
sectionis quae DD, et secetur quae BD penes K, R,
ut dietum est [p. 404, 7sq.] ducatur autem et quae
quidem PG aequedistanter
ipsi 4 rectaT et contingat
sectionem 4.001, secun-
dum P, quae autem PT
aequedistanter ipsi B.D, quae
autem PS perpendicularis
super B.D. quoniam igitur
portio ad humidum in gra-
uitale proportionem habet,
| quam (tetragonum ᾿ quod a
Ψ ad id, quod a BD, quam autem proportionem
15 habet portio ad humidum, hane habet demersa ipsius
portio ad totam [prop. 1], quam autem demersa ad
totam, tetragonum quod a ΤΙ ad id, quod a D B [περὶ
xov.24], erit quae 9 ipsi 7 P aequalis; et quae NM.
ergo ipsi 7'P aequalis est. quare et portiones AM Q,
20 4PO inuicem sunt aequales [περὶ κων. 20]. quoniam
autem in portionibus aequalibus et similibus 4 PO L,
AMQL ab extremitatibus basium productae sunt quae
OA, AQ, et portiones ablatae faciunt ad diametros
angulos aequales propter tertiam figuram praescripta-

25 rum!), quare anguli qui apud Y, G. sunt aequales; et
1) Quae sit haec figura, nescio. res ipsa salis inde ad-

1. portionis] scripsi; ,,sectionis" Tartalea. 8. pee
om. Tartalea. secetur qu&àe] ,secetque'" Tartalea. ^5. recta
'om. Comm. . et] om. Tartalea. GContingent^ Tartalea.
18. N M] ,no"* artalea; οὐ fortasse in figura p. 410 litterae
M, O permuiandae erünt; Tartaleae figura corrupta est.
19—90, 5»8pq, apf"* Tartalea. 22. AMQL)] »a5 i" Tar-
talea. 38. O.A] ra" Tartalea.

DE II8, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 413

quae YB, 6.18 ergo aequales sunt. quare ei quae
SR, CHR, et quae ΡΖ, MV, et quae ZT, VN. quo-
niam minor quam dupla quae MV ipsius V.N?), pa-
lam, quod quae PZ ipsius Z T est minor quam dupla.
sit igitur quae P) ipsius $2 7' dupla, et copulata quae 5
ΚΑ educatur ad .E. totius quidem igitur centrum
grauitatis erit K, eius autem portionis, quae inter hu-
midum, centrum (ὦ [p. 380 not. 1], eius autem, quae
extra, in linea KE, et sit .E [ἐπιπ. (6099. I, 8]. quae
autem KZ perpendicularis erit super superficiem hu- 10
midi [p. 382 not. 3]; quare et quae per signa Κ΄, 9
aequedistanter ipsi .KZ. non ergo manet portio, sed
inreclinabitur, ut basis ipsius nec secundum unum
tangat superficiem humidi, quoniam nunc secundum
unum tacta ipsa T reclinatur. manifestum ergo, quod 15
portio consistet ila, αὖ axis ad superfieiem humidi
faciat angulum maiorem angulo X.

Demonstratio partis IIL?)

1. Habeat autem portio ad humidum in grauitate
proportionem, quam habet tetragonum quod ab XO 20
ad id, quod a B D, et dimittatur in humidum ita in-

paret, quod segmenta & portionibus aequalibus et. similibus
similiter abscisa sunt (nam 40, 40 ab eodem puncto duc-
iae sunt et aequalia segmenta abscindunt) tum reliqua per
se intelleguntur.

1)Nam MH —9HXN; u. p. 401, 4.

2) Figura 2 huius partis apud Tartaleam in demonstratione

2. MV].,0u* Tartalea. VN] ,skn* Tartalea. 8.
,minorem" 'Tartalea. MV] ,o" Tartalea. VN] ,saw*
Tartalea. 15. ipsa reclinatur] ,,ursum fertur & parte A*
Comm. 17. X] cum Comm.; ,,y^ Tartalea. 21. inclinata]
sc. ut basis eius non contingat humidum, quod addidit Comm.

414 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

elinata. secta autem ipsa per axem plano recto ad
superficiem humidi, solidi quidem sectio sit quae 4.01,
rectanguli coni seclio, superficiei autem humidi quae
Ol, axis autem «porlionis et diameter sectionis quae
BD, ei secetur quae BD ut prius [p. 404, 7 sq.],

4A Dp 7 Z

et ducatur quae quidem PN aequedistanter ipsi 70

partis II posita est (figura 8 omissa est) sed praeterea huc
perlinent duae figurae, quae ad
partem 1Π (p.408) positae aunt,
quarum altera similis eat figurae

. 404, alteram hic adposui. infra

&nc apud Tartaleam legitur:
,diuersimode figuratur et tum
inter ,inclinata'' et ,ita'* p. 408,
14 haec leguntur ad figuram per-
nd & ó e 7 linentia: ,,hz uult diuidi in quin-
que aequalia, media quinta pars sib £, k, 6, 4. mn uult esse
aequalis os et nx."

2. APOL)] in fig. 2; ,APM L'' Comm.,, qui in fig. 2 M
. pro O posuit; cum figura Tartaleae hoc loco satis perspicua sit,
eum gecutus sum. 4. diameter] ,,diametris" Tartalea.

DE 185, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 415

conlingens sectionem secundum. P, quae autem PT
aequedistanter ipsi B.D, quae autem PS perpendicu-
laris super B.D. demonstrandum, quod portio non ma-
net inclinata sic, sed inclinatur, donec utique basis
secundum unum signum tangat superficiem humidi.
praeiaceant autem et quae in superiori figura prius
disposita sunt [p. 410], et quae CO perpendicularis
ducatur super BD.D, et quae AX, copulata educatur
ad Q. erii autem AX ipsi XQ aequalis [p. 411
not. 1]; et ducatur ipsi 40. quae OX aequedistans.
el quoniam supponitur portio ad humidum in gra-
uitate hane habere proportionem, quam habet teira-
gonum quod ab XO ad id, quod a BD, habet au-
iem hane proportionem et demersa porlio ad totam
[prop. 1], hoe est quod ἃ ΤΡ ad id, quod ἃ BD
[περὶ xov. 24], aequalis utique erit quae P7' ipsi XO.
et quoniam portionum 1.80, A ΒΩ axes sunt aequales,
aequales et portiones [περὶ κων. 24]. rursum quoniam
in portionibus aequalibus et similibus 4POL, AOQL
productae sunt 4Q, IO aequales portiones auferentes,
hoc quidem ab extremitate basis, hoc autem non ab
extremitate, palam, quod minorem facit acutum an-
gulum ad axem íotius portionis, quae ab extremitate
basis producta est) et quoniam angulus qui apud

1) Nam ducatur .4.4,; cum sectiones aequales sint, etiam
axes aequales erunt; itaque et 4.4, et IO per T'cadet; iam
adparet ( AT P — IT P; sed ATP — AXO (p. 412 not. 1).

10. OX] ,0y'** Tartalea. 18. XO] ,,za" Tartalea. 17.
axes] Nizzius; , diametri Tartalea, Comm.; sic etiam lin. 23;
sed fort. potius scrib. ,sectionum'" pro ,portionum". 18. ae-
quales] alterum om. Tartalea.

416 DE ΠΕ, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

X est minor quam qui apud NN, maior est quae BC
quam DS, quae autem C. minor quam KS.) quare et
quae OG. minor quam PZ.
maior est quam dupla.
, et quoniam quae OG dupla
est ipsius G.X?), palam,
quod quae PZ maior est
quam dupla ipsius Z T. sit
igiiur quae PH dupla
ipsius JT, οὐ copuletur
quae AK οἱ educatur
ad 42, erit autem totius
quidem portionis centrum
grauitatis A, eius autem, quae intra humidum, JH
15 [p. 980 not. 1], eius autem, quae extra, in linea
Kf, et sit 4Ὁ [ἐπιπ. í(60go. I, 8]. demonsirabitur
autem similiter [p. 382 not. 3| quae ΚΖ perpen-
dicnlaris super superficiem humidi, e& quae per signa
H, €) aequedistanter ipsi KZ. manifestum igitur, quod
20 non manebit portio, sed inclinabitur, donec utique
basis ipsius secundum unum signum tangat superficiem

1) Nam BC — B X et BS — BN (τετραγ. παραβ. 2); si
L X — N, erit B X — BN (p. 412, 25); et quo minor est { X,
eo maior erii B X; itaque & X «— N, ent BX — BN siue
BC^BS. e&t CER - BR -— BC, RS— BR --- BS.

2) U. p. 411, 1.

——— —— —— . -.-. ῦσς-...

1. X] ,9y" Tartalea. quam] om. Tartalea. N] ,^*
Tartales, 93. CR] ,,er'* Tartalea. 8. OG] ,0y* Tartalea,
ut lin. 5. PZ],pn" Tartalea. 4. maior est quam dupla]
,et GX maior quam Z T" Comm.; ante ,maior* apud Tar-
taleam lacuna est. 6. GX] ,so'" Tartalea. 7. ,pa* οἱ
lin. 8 ,at'* Tartalea. 8. ,ipsis" Tartalea. 12, autem] δή
16. ΚΩ] h. e. H K producta.

DE I8, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 411

humidi, sicut demonsirabitur in terlia figura, quomodo
se habet in tertio theoremate, et manebit portio ita
consistens. in portionibus enim aequalibus 4.001),
AOQL productae erunt ab extremitatibus basiurm quae
AQ, .AO aequales auferentes. demonstrabilur enim
APQ sequalis ipsi APO similiter prioribus [p. 412,
19 sq.J aequales igitur facient aeutos angulos quae
A0, AQ ad axes portionum [p. 412 not. 1. quoniam
aequales sunt qui apud .N, X anguli T et Z7. copu-
lata autem ipsa HX οὐ educta ad «(ὦ erit totius qui-
dem portionis centrum grauitalis K, eius autem quae
intra humidum ἢ [p. 380
not. 1] eius autem, quae
extra, in linea Κῶ, οἱ
sib € [émux. ἰσορρ. I, 8].
et quae KH perpendicu-
laris est super superficiem
humidi [p. 382 not. 3].
secundum easdem igitur

7g rectas quod quidem in
y humido sursum feretur,
οὗ quod extra humidum deorsum feretur. manebit
autem portio, et basis et magnitudo et secundum
unum signum tanget superficiem humidi, et axis por-
lionis ad superficiem humidi faciet angulum aequalem
praeseripto.

2, in terlio theoremate]? immo in demonstratione. par-
tis II. 8. enim] οὗ Tartalea, ut etiam lin. 5. 4. erit
Tartalea. axes] Nizze; ,,diametros" Tartalea; cfr. p. 415,
17 not. 9. t ZT' lacuna aperta est, quae ex p. 418, 1 sq.
supplenda est. 10. ,ipsi zk* Tartalea. 11. quae] 9. 1-
dem" Tartalea. 28. autem] δή ,Culus basis humidi gu-
perficiem in uno puncto continget Comm.

Archimedes ed. Heiberg. II. 21

[wy

418 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

2. similiter autem demonstrabitur, et si portio ad
humidum in grauitate habeat proportionem eandem,
quam teitragonim quod ab FP ad id, quod a BD,
dimissa in humidum ita, ui basis ipsius non tangat

5 superficiem humidi, consistet inclinata iia, ut basis
ipsius secundum unum signum tangat superficiem hu-
midi, ei axis ipsius ad superficiem humidi faciat an-
gulum aequalem angulo, qui apud Φ [u. fig. p. 414].

Demonsiratio partis IV.

10 Sit autem rursum portio ad humidum in grauitate
habens quidem proportionem majorem illa, quam ha-
bet tetragonum quod a 1} ad id, quod ἃ BD, mi-
norem autem proportionem, quam habet tetragonum
quod ab XO ad id, quod ἃ BD.) quam autem pro-

15 portionem habet portio ad humidum in grauitate,
hane habeat tetragonum quod a Ψ ad id, quod a B D,
palam igitur, quod quae "7 est quidem maior quam
J'P, minor autem quam XO. inaptetur autem inter-
media sectionum .4 POL, AX D aequalis ipsi 9, aeque-

20 distans autem ipsi BJ) quae VI secans sectionem
intermediam coni penes Y. rursum autem quae VY

1) Hoc fieri potest, quia F'P « 20, (u. fig. p. 404). nam
PY --2YF (p. 407,5), h e. PP —3PY;et OX — 3GO
(p. 407, 4): sed GO — PY.

8. ab FP] ,hp*'* Tartalea. 8. ,quae'* Tartalea. Φ]
ἡ 7“. Tartalea. 19. Ζ.}1.,2»" Tartalea. minorem] ,,ma-
lorem" Tartalea. 16. ,,habet^ Tartalea. UV] hic et infra
cum Comm.; ,2* Tartalea. 17. quod] om. Tartalea. Ψ
»£0' Tarialea. 18. ,2p'* et ,,zt*" Tartalea. —,intermedio'
Tartalea. 19. ,portionum" Tartalea; corr. Nizzius. |. AXD]
»ad* Tartalea. 20. VI] ,fi* Tartalea, qui etiam infra
semper pro V habet ,f**.

DE II8, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 419

dupla ipsius Y7 demonstrabitur, sieut quae OG. ipsius

GX, ut οἱ prius demonstratum est [p. 407, 4]. du-

catur autem ab V sectionem 4POL contingens quae
4 zZz

V9. similiter autem prioribus demonstrabitur quae
quidem AI ipsi QI aequalis [p. 411 not. 1], quae au-
tem AQ ipsi V aequedistans [p. 411 not. 2]. demon-
strandum autem, quod portio demissa in humidum ita,
ut basis ipsius non tangat humidum, et posita incli-
nata, iia inelinabitur, ut basis ipsius secundum am-
pliorem locum humectetur ab humido. demittatur
enim in humidum, ut dictum est, et iaceat primo sic
inclinata, ut basis ipsius neque secundum unum tangat
superficiem humidi secta autem ipsa per axem plano
recto ad superficiem humidi in superficie quidem por-
-tionis sit sectio quae 4BG, in superficie autem hu-
midi quae EZ, axis autem portionis et diameter sec-

1. 06 ράσο G£] ,t(lacun.) ipsi zy* Tartales, 11.
enim] ,h^ Tartalea. ^ 16. sectionis et ,portionis" permu-
iauit Tartalea. — ,dyhametrum'* lea.

215

οι

420 DE II8, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

lionis sit qnae B D, οἱ secebur quae D.D penes signum
K, E similiter prioribms [p.404, 1 8q.]. dueatur autem
οὗ quae quidem M L asequedistanter ipai EZ eoniingens
sectionem 486 penes H, quae autem HT aeque-
distanter ipsi B D, quae au-
iem HS perpendicularis su-
per 1). quoniam portio
ad humidum in grauitate
proportionem habet, quam
leiragonum quod a 97 ad id,
quod à BD, palam, quod
quae 79) est aequalis ipsi
HT; demonstrabitur enim
similiter prioribus [per prop.
1; cfr. p. 412,15 sq.]. quare
16 et quae .H 7 et aequalis ipsi V I. et portiones ergo A VQ,
EBZ sunt aequales inuicem. quoniam in aequalibus et
similibus portionibus 4 POL, .A BG. sunt productae quae
AQ, ΕΖ aequales porliones auferentes, et hoc quidem
ab exiremitate basis, hoc autem non ab extremitate,
20 minorem fa&ciebl acutum angulum ad axem portionis,
quae &b extremitate basis producta est [p. 415 not. 1].
οὐ quoniam irigoni Z LS angulus esi maior angulo Q9,
p&lam, quod minor est quae B5 quam JC, quae autem
SE maio quam ΠΟ [p. 416 not. 1], et quae ZX
25 maior quam ΓΗ, quae autem X7' minor esi quam
HI. ei quoniam dupla est quae V Y ipsius Yi, pa-

19. enim] ,,À" Tartalea. 20. axem] Nizzius; ,,diame-
irum" Tartalea. 22. HLS| ,hle* Tarialea. 28. palam]
post lacungm 'Partalea. 24. H X] ,,hi* Tartalea. 25.
autem] lacunam Tartalen. XT]| ,at* Tartalea, ut p. 421
in. 1.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEBUNTUR. 421

lam, quod quae H X est maior quam dupla ipsius X 7.)
sib igitur quae HM dupla ipsius MT. palam autem
ex hiis, quod non manebih poriio, sed inclinabitur,
donee. utiyue basis ipsius tangab seeundum unum. sig-
num superfitiem humidi jefr. p. 416, 19 seq.]. tangat
autem seeundum unum signum, ui in teriia figura
seriptum est, et alia eadem disponantur. demonsira-
bitur autem rursum quae 7'M?) aequalis existens ipsi
VÍ, et portiones AVQ, A BZ aequales inuieem, et
quoniam in portionibus aequalibus et similibus 4. PO L,
4165) sunt produetae quae 40, 42 aequales por-
liones auferenies, aequales faciunt angulos ad axes
porionum [p. 412 not. 1).
triangulorum igitur VC £2,
MSL qui apud mgna L?),
“Ὁ anguli sunt aequales, et
quae .BS recta?) ipsi BC
aequalis, οὐ quae S A?) ipsi
RC, et quae M X?) ipsi V H,
ek quae XT?) ipsi HI
jcfr. p. 413, 1 sq.]. et quo-
niam dupla est quae VY

ipsius YI, manifestum, quod quae M X?) est& maior

1) Nam eum x e PR. erit ΤΗΣ ΔλΗ., et
ΧῸῈΡΗ, HIXT.

2) In fig. 8.

1. H X] ,ha"^ Tartalea. hi" et ,U" Tartalea.
8. ,,aequales* Tartalea. 12. «χοῦ Nizzius; sd yametros
Tartalea. 14. triangulorum] Comm.; om. T »ahbzafq''
Tartalea (retulit portionum) 19. M X] ,ha" Tarte-
lea, ut lin, 23. 20. XT] ,at* Tartales, ut p. 422 lin. 1.

29. υἷα ipsi'" Tartalea.

422 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

quam dupla ipsius X 7.1) sit igitur quae M N?) ipsius
N T?) dupla. rursum autem ex hiis palam, quod non
manet portio, sed inclinabitur ex parte A [efr. p. 413,
5 gq.. quoniam supponebatur portio seeundum unum
5 signum tangere humidum, palam, quod secundum am-
pliorem locum basis ab humido comprehendetur.

Demonstratio partis V.

Habeat etiam rursum portio ad humidum in gra-
uitate proportionem minorem ea, quam habet tetra-
10 gonum quod ab FP ad id, quod a BD. quam autem
proportionem habet portio ad humidum in grauitate,

. hane habeat tetragonum quod a *"/U ad teiragonum
quod à BJ. minor autem est quae "7 quam FP.
rursum igitur inaptetur quaedam intermedia portionum

15 AX D, APOL quae VI aequedistanter ipsi BD pro-
ducta aequalis ipsi "7 [p. 410 not. 2]. secet autem
ipsa intermediam coni sectionem penes Y, ipsam autem
XH rectam penes JH. demonstrabitur autem quae
VY dupla ipsius Y 7, sicut demonstrata est quae G.O

20 ipsius G'X [p. 407, 4]. ducatur autem et quae qui-
dem Κῶ contingens sectionem .4PO.L secundum V,
quae autem C perpendicularis super B.D, et A co-

1) Nam rH 2HI, et Mx! VH, XT — HI.
2) In fig. 3

1. ,ha ipsi 14" Tartalea. 10. F'P],,no'' Tartalea. 13.
ΨΊ οὐ Tartalea (sic etiam infra). δὰ tetragonum quod ἃ
B | Tartalea. 18. minorem" Tartalea. ^ autem] δή
FP|,0on'" Tartalea. ,0md* 'Tartalea. VI] ,ps*
Tartalea (et per totam hanc partem P pro V). 17. ,inter-
media coni sectione" Tartalea. 18. X B] ,,«r'* Tartalea.
20. GX] ,,gh" Tartalea. 22. VC] ,,pe'* Tartalea.

DE II8, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. . 4238

pulata ducatur ad Q. erit autem quae AI ipsi IQ
aequalis, el quae 40 ipsi V, aequedistans [p. 411

N j
€

Ne LA

not. 1—2]. demonstrandum est autem, quod portio
demissa in humidum posita inclinata ita, ut basis ipsius
non tangat hümidum inclinata consistet ita, ut axis 5
ipsius ad superficiem humidi faciat angulum minorem
angulo Φ [u. fig. p. 404], basis autem ipsius nec secun-
dum unum tangat superficiem humidi. demittatur enim
in humidum et consistat ita, ut basis ipsius secundum
unum signum tangat superficiem humidi. secta autem 10
porlione per axem plano recto ad superficiem humidi
sectio sib superficiei quidem portionis quae A4HBL
rectanguli coni sectio [περὶ xov. 11], superficiei autem
humidi quae AZ, axis autem portionis et diameter

4. ,ipsis4 Tartalea. 8. enim] ,,h" Tartalea. 14. ,,por-
tioni" Tartalea.

494 . DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

sectionis quae 181), et secetur quae 8.) penes signa
K, R consnmiliter superioribus [p. 404, 7]. ducatur
aulem et quae HI aequedistanter ipsi 4 Z eontingens
sectionem coni penes H, quae autem H T' aequedistan-
5 ter ipsi B.D, quae autem .HS perpendicularis super
BD. quoniam igitur porlio ad humidum in grauitate

hanc habet proportiogem, quam teiragonum a "Y, ad
id, quod a B D, quam autem proportionem habet portio
ad humidum in grauitate, hanc habet tetragonum quod
10 ab HT ad id, quod α 1820 propter eadem prioribus
[prop. 1; efr. p. 412, 18], palam, quod quae HT est
aequalis ipsi VU quare et portiones AHZ, APQ
sunt aequales [759i κων. 24] et quoniam in portio-
nibus aequalibus οὗ similibus A4 POL, AHL ab ex-
15 tremitatibus basium sunt productae quae AQ, AZ
aequales poriiones auferentés, palam, quod aequales

4. HT] ,,habet" Tartalea, ut lin. 11. 5. ,quam" Tar-
talea. 8. portio] ,proportio" Tartalea. 10. ,,eandem"
Tartalen. 12. AHZ] ,amz*' Tartalea. 14. AH L) ,akhlk*

artalea.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 425

facient angulos δα axes porüionum [p. 412 not. 1].
adhuc autem et trigonorum 5118, VY $C aequales sunt
anguli, qui apud 1, £9. erum et SB, CB aequales.
quare et quae S.B, CE aequales, et quae HX, V H,
οὐ quae X T, HI [cfr. p. 418, 18sq.]. et quoniam est
dupla quae Y ipsius YI, manifestum, quod minor
est quam dupla quae ZX ipsius X7!) smt igitur
HY dupla ipsius Y 7T, et copulata proitrahatur quae
YKC. sunt autem centra grauitatum totius quidem
K, eius autem, quod intra humidum, Y [p. 380 not. 1],
eius autem, quod extra, in linea KO, et sit C [ἐπιπ.
ἰσορρ. I, 8]. erit autem propter praecedens theorema
hoc manifestum, quod non manet portio, sed inclina-
bitur ita, ui basis ipsius nec secundum unum tangat
superficiem humidi [cfr. p. 4183, 9 sq.]. quod autem
consistel ita, ut axis ipsius ad superficiem humidi fa-

eal angulum minorem angulo d, demorstrabitur.

consistat enirr, si possibile est, ita, ut faciat angulum
non riminorem angulo ὦ, et alia disponantur eadem
hiis, quae.in tertia figura. similiter autem demonstra-
bitur quae 7'M aequalis ipsi 3"U (cfr. p. 412, 18 sq.],
quare et ipsi 7H. et quoniam L non minor est quam

1)Nam VH «2HT,ect HX — VH, XT — HI.

1. angulos] om. Tartalea axes] Nizzius; ,dyametros'^
Tartalea. 2. rA Tartalea. 3. I] ,,/* Tartalea.
ἐδ" et lin. ud 417“ Tartalea, et fort. in ΠΕ Ἢ 423 pro Che
nendum E. HX] ,ha' Tartalea, ot XT]
»at** TTartalea, ^t lin. 7. — 7. quam] ,,quae* "Tartalea: 8.
H Y] ,ny^ Tartalea. » y hi^ artalea. 17. ] ,, f"

Tartaleg, ut lin. 19. 1 enim] A" Tartalea. 19. ,ean-
dem*'* Tartalea. 29. TH] ,ih" Tartalea. L] ,,^1* Tar-
talea. — non] om. Tartalea.

[O1

496 . DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

ὦ, non ergo maior est .BS quam BC,, neque minor
quae S.E quam ΟἽ, Καὶ neque MX quam T OG, οὖ quo-
niam quae JH est hemiolia ipsius PY, minor autem
quae PY quam GO, et quae quidem habet aequalis

5 ipsi PC est, quae autem .H.A non esü minor quam
OG, maior ergo quae AH quam PY.) quae ergo
MX esü maior quam dupla ipsius T'X. sit autem
MY dupla ipsius Y 7T, et copulata quae Y K educatur.
palam autem similiter prioribus [p. 413, 6 sq.], quod

10 non manet portio, sed uoluetur 108, ut axis ipsius ad
superficiem humidi faciat angulum minorem angulo 4.

1) Locus corruptissimus inde ab lin. 2. res salis patet ex
figura p. 498. nam PF τὸΖἼ ἔν, Py z— EC, siue M X S Py.
et PF—Vl,hePFTM. ergo TM -«—4Py, h.e

TM-«&iMX,siuee MX —2TX.

1. ,f/" Tartalea, ut lin. 11. BS quam BOC,] lacunam
Tartalea. minor] om. Tartalea. 2. C, 1] ,,5r'* Tartalea.
7. ,ha'* ei ,ta* Tartalea. 8. M Y] ,^y* Tartalea.

LEMMATA.

——— . M—À n

Liber Assumptorum.
I.

Si mutuo se tangant duo circuli, ut duo circuli
AEB, CED in E, fuerintque eorum diametri paral-
lelae, ut sunt duae diametri
A B, CD, et iungantur duo
puncta JB, D et contactus .E
[lineis] DE, B D, erit linea
DB E recta.

sint duo centra G, F, et
iungatur GF, et produca-
mus ad .E [Eucl. TIT, 12], et
educamus DH parallelam
ipsi G.F. et quia H' ae-
qualis est ipsi G.D, suntque G.D, ΕΟ aequales, ergo
ex aequalibus FB, F'E remanebunt G.F, nempe DH,

Hunc libellum primus edidit S. Foster: Miscellanea (Lond.
. 1659) ex interpretatione I. Grauii, qui usus erat codice Arabico;
neque enim Graecus exstat. deinde eum e codice Mediceo de-
nuo Latine uertit Abrahamus Ecchellensis, quam interpretatio-
nem cum Apollonii libb. V—VII edidit I. À. Borellus (Floren-
liae 1661). Arabice exstat in tribus codd. Mediceis, sed cum
cod. CCLXXV (u. Catalog. codd. oriental. bibl. Medic. Laur.
ed. S, E. Assemanus, Florenti. 1742 p. 886) solus nostrum libellum
et Apollonii libb. V—VII continet, sine dubio hoc ipso codice
usus est Borellus (cfr. praeterea Assemanus p. 383 nr. COLXXI et
p. 892 nr. CCLXXXVT). recepi interpretationem Borelli. apud eum
titulus hic est: liber assumptorum Archimedis interprete
Thebit ben Kora et exponente Doctore Almochtasso

LIBER ASSUMPTORUM. 429

et HB, quae erumi aequales, aique duo anguli H.D B,
H.BiD &equales οὐ quia duo anguli EG D, EFB
suni reci, atque duo anguli EG D, DH B sunt aequa-
les, remanebunt duo anguli G ED, GE, qui inter
se et duobus angulis HJ DB, HBD aequales erunt.
ergo angulus .E DG. aequalis est angulo D.B F, et com-

Abilhasan Hali ben Ahmad Nosuensi. propositiones
sexdecim (,quindecim* Foster, ut re uera sunt; Borellus male
adiecit fragmentum Archimedis aped Eutocium seruatum). Thebit
ben Kora hane praefationem praemisit (Borellus p. 385): ,,Asserit
Doctor Almochtasso hunc librum referri ad Archimedem, in
quo sunt propositiones pulcherrimae paucae numero, utilitatis
uero maximae de principiis geometriae, optimae atque elegan-
lissimae, quas &dnumerant professores huius scientiae summae
intemmediorum, quae legi oportet inter librum Euclidis et AI-
magestum; αὖ uero quaedam illius propositionum loca indigent
alis propositionibus, quibus propositiones illae clariores eua-
dant. et quidem ipse Archimedes has indicauit propositiones
easque retulit in alns suis operibus, dum dixit: quemadmodum
demonstrauimus in propositionibus rectangulorum; item eti:
quemadmodum demonstrauimus in nostra expositione agentes
de iriangulis; rursus: quemadmodum demonstrauimus in pro-
positionibus quadrilaterum; et retulit in propositione quinta
demonstrationem hac de re magis peculiarem. deinde compo-
suit Abusahal Alkuhi librum, quem inscripsit: ordinationem
libri Archimedis de assumptis, et tractauit demonstrationem
huius propositionis via universaliori ac meliori, nec non ea
quae dependent ex compositione proportionis. quod quidem,
cüm id comperi, attexui locis obscurioribus huius libri exposi-
tionem seu marginales postillas et confirmaui, quod ille indi-
cauerat, propositionibus, uti iudicaueram, eli retuli ex propo-
sitionibus Abihasal duas propositiones, quibus opus est ad pro-
positionem quintam deolarandam, reliqua omittens breuitatis
gratia, οὐ eo quod non sint necessariae." cfr. Wenrich: de
auct. Graec. vers Àrab. p. 199 sq. ex his Árabum commen-
Qariis usus sum, quae mihi utilia nis& sunt, ceteris abiectis. —
Sicut dubitari nequit, librum ipsum, qualem nunc habeamus,
&b Archimede profectum non esse, ita ueri simile est, aliquas
tamen proportionum eius, quae fere satis scite et inuentae et
demonstratae sunt, re uer&, ut prae se ferunt, Archimedeas
esse, sed quantum ei tribuendum sit, nondum satis exploratum
est. ofr. Quaest. Arch. p. 24—965.

430 LIBER ASSUMPTORUM.

prehensus angulus G.D.B est communis. ergo erunt
duo anguli G.D B, F'B D (qui sunt pares duobus rectis)
[Eucl I, 29] aequales duobus angulis GDB, G.DE.
igitur ipsi quoque sunt aequales duobus rectis. ergo
linea EDB est recta, et hoc est, quod uoluimus.!)

II.

Sit CB.A semicirculus, quem DC, DB tangant, et
B.E perpendicularis super AC, et iungamus AD; erit
BF aequalis ipsi ΖΕ.

Demonstratio. iungamus 44 B eamque producamus
in directum, et educamus CD, quousque illi occurrat

in G, et iungamus CB. οἱ

quia angulus CB A est in

semicirculo, erit rectius

2 [Eucl. IIT, 31]. remanet

CBG rectus, et DBEOC

est parallelogrummum

rectangulum.?) ergo in

triangulo G. B C rectangulo

Ao. E € educitur perpendicularis
BD ex B erecia super basim, et B.D, DC erunt ae-
quales eo, quod tangunt circulum [Zeitschr. f. Math.,
hist. Ábth. XXIV p. 181 nr. 15]. ergo CD est etiam
aequalis ipsi DG, quemadmodum ostendimus in pro-

1) Utitur hac propositione Pappus IV, 23 p. 214, 5. idem
fit, ut recte adnotauit Almochtasso, si circuli sese exürinsecus
contingunt; demonstrat Pa&ppus VII, 175 p. 840.

2) Error apertissimus est. neque enim necesse est, lineas
BD, DC inter se perpendiculares esse, neque esse B.D 4 AC
et DC * B.E. propomtio tamen ipsa per se uera est; demon-

strat Torellius p. 855. errorem iam Foster notauit p. 18; con-
ira Arabes fugit.

LIBER ASSUMPTORUM. 481

positionibus, quas confecimus de rectangulis.") et quia
in triangulo G.AC linea B.E educta est parallela basi,
ei iam educta est ex JD semipartitione basis linea DA
secans paralllam in PF, erit B aequalis ipsi FE
[ib. p. 178 nr. 3], et hoc est, quod uoluimus.

IIT.

Sit C.A segmentum circuli, οὐ 18 punctum super
illud ubieunque, et BD perpendicularis super AC, et
segmentum .D.E aequale DA, et areus B.F aequalis
arcui BA, utique iuncta CF erit aequalis ipsi CE)

Demonsiratio. iungamus lineas AD, B F, FE, EB.

et quia arcus D.A aequa-

Bg lis est arcui B F, erit AB

aequalis BI. et quia AD

aequalis est. E.D, et duo

anguli D sunt recti, et
4A4ADnD—-xE € DB communis, ergo AB
aequalis est B E [Eucl. I, 4], et propterea BF, B.E
sunt aequales, et duo anguli B F' E, B.EF sunt aequa-
les. et quia quadrilaterum CF B A est in circulo, erit
angulus CF B cum angulo CAB ipsi opposito, immo
eum angulo B.EA, aequalis duobus rectis [Eucl. III,
22]. sed angulus CEB cum angulo B.EA aequales
sunt duobus rectis. ergo duo angu CFB, CEB

— —— —

1) Talem librum Archimedes non scripsit. rem ipsam sic
demonstrat Almochtasso: quia B D— DC, erit |[L. DCB-DBC;
sed DBC -- DBG -ὰ 909 — DCB -- CGB. itaque

DBG -— GB siue BD « DG - DC.

2) Cfr. Ptolemaeus συντ. I, 9 p. 31 ed. Halma. in figura
codicis 4B F'C semicireulus est, sed proportio de quauis arcu
circuli uera est.

432 LIBER ASSUMPTORUM.

sunt aequales. et remanent CF'E, CE aequales. ergo
CE aequalis est. CF, eb hoc est, quod uoluimus.

IV.

Sit 4.8 C semicirculus, et fiant super AC diametrum
duo semicireuli, quorum unus 4 D, alter uero DC, et
DB perpendicularis, utique figura proueniens, quam
uocat Árchimedes Árbelon (est superficies comprehensa
ab arcu semicirculi maioris ei duabus cireumferentiis
semicirceulorum minorum), est aequalis circulo, cuius
diameter est perpendicularis D B.!)

Demonstra&tio. quia linea D.B media proportionalis

p est inter duas lineas D) A,

DC [Eucl. VI, 13; Zeit-

schrift £. Math., histor.

Abth. XXIV p. 181 mr.

16], erit planum 4.) in

DC aequale quadrato DB

e D 44 ([Eucl. VI, 17]. et pona-
mus 4) in DC cum duobus quadratis 4D, DC com-
muniter; fiet planum .4.D in DC bis cum duobus qua-
dratis 4D, DC, nempe quadratum .AC [Eucl. II, 4],
aequale duplo quadrati D.B cum duobus quadratis
A.D, DC. et proportio circulorum eadem est ac pro-
portio quadratorum [Eucl XII, 2]. ergo circulus,
cuius diameter est 4C, aequalis est duplo circuli, cuius
diameter est DB, cum duobus cireulis, quorum dia-

1) Has propositiones de arbelo (4, 6, 6 et 1) non dubito
Archimedi tribuere. proprietates arbeli antiquitus tractatas
esse, testatur Pappus iv, 19 p. 208, 9: ἀρχαία πρότασις. nO-
men accepit ex similitudine culteli sutorii (schol δὰ Nicandri
Theriac. 423).

LIBER ASSUMPTORUM. 433

meiri sunt 4D, DO [Quaest. Arch. p. 48], et semi-
circulus AC aequalis est circulo, cuius diameter est
DB, cum duobus semicirculis A.D, DC. et auferamus
duos semicirculos 4 D, DC communiter; remanet figura,
quam continent semicireuli AC, A.D, DO (et est figura,
quam uocauit Archimedes Arbelon) aequalis circulo,
cuius diameter est DB; et hoc est, quod uoluimus.

Si fuerit semicirculus 4B, et signatum fuerit in
eius diametro punctum C ubicunque, et fiant super
diametrum duo semicirculi AC, CB, et educatur ex C
perpendicularis CD super 4.8, et describantur ad
uirasque partes duo circuli tangentes illam et tan-
gentes semicirculos, utique illi duo circuli sunt aequales.

Demonstratio. sit alter circulorum tangens DC in
E et semicireulum 4B in F' et semicireulum AC in G.

et educamus diametrum H.E; erit parallela diametro
AB eo, quod duo anguli HEC, ACE sunt recti
[Eucl.l 28] et iungamus FH, HA. ergo linea AF
est recta, uti dictum est in propositione L et occur-
Archimedes, ed. Heiberg. II. 28

434 LIBER ASSUMPTORUM.

rent AF, ΟΕ in D eo, quod egrediuntur ab angulis
A, C minoribus duobus rectis [Eucl. 1 αἴτ. 5] et iun-
gamus eliam FE, EB; ergo EF'B est etiam recta,
uii diximus [prop. 1], et est perpendicularis super 4
eo, quod angulus A.B est recius, quia cadit in
semicirceulum 4.8 [Eucl. III, 31). et iungamus HG,
G-C; erit HC etiam recta. et iungamus EG, G A; erit
ΕΑ recta [u. p. 430 not. 1]; et producamus eam ad
I et iungamus DI, quae sit etiam perpendicularis su-
per AI [Eucl III, 31]. et iungamus Dl. et quia
AD, AB sunt duae rectae, et educta ex D ad lineam
AB perpendicularis DC et ex B ad DA perpendicu-
laris B.F, quae se mutuo secant in E, et educta A4.E ad
I est perpendicularis super BJ, erunt BID reciae, quem-
admodum ostendimus in propositionibus, quas confeci-
mus in expositione tractatus de triangulis rectangulis.!)
et quia duo anguli AG C, 418 sunt recti, utique B D,
CG sunt parallelae [Eucl. I, 28], οὐ proportio 4D ad
DH, quae est ut AC ad H.E?), est ut proportio 48
ad BC?) ergo rectangulum AC in CB aequale est
rectangulo 4.B in H.E [Eucl. VI, 16]. et similiter
demonstratur in circulo LM N, quod rectangulum AC

1) Uidetur significari commentarium nescio cuius in Árchi-
medis librum de triangulis rectangulis ab Arabibus solis com-
memoratum (Quaest. Arch. p. 30); idem fortasse significatur in
prop. 2. demonstrationem dedit Almochtasso praemissa pro-
positione notissima, altitudines trianguli acutianguli in eodem
puncto concurrere. ne sit igitur B I D recta; ducatur alia linea,
quae 47 in m secet; erit |. ÁAm.D - 90^; sed [| AID «90;
itaque 4511) — AID, quod fieri non potest; demonstrationem
eandem de quouis triangulo ualere, ostendit Nizzius p. 957.

2) Zeitschr. f. Math., hist, Abth, XXIV p. 178 nr. 4.
3) Ex πο). VI, 2 componendo.

LIBER ASSUMPTORUM, 435

in CB aequale sit rectangulo 4B in suam diametrum,
et demonstratur inde etiam, quod duae diametri cir-
culorum .EFG, ΜΝ sint aequales. ergo ili duo
eirculi sunt aequales; et hoc est, quod uoluimus.!)

VI.

Si fuerit semicirculus .4.B C, et in eius diametro
sumatur punctum JD, et fuerit 4.) ipsius DC sesqui-
altera, οὐ describantur super 4.1), DC duo semicirculi,
ei ponatur circulus EJ inter ires semicirculos tan-
gens eos, οὗ educatur diameter EF in illo parallela
diametro AC, reperiri debet proportio diameiri AC
ad diametrum EF.)

iungamus enim duas lineas 4.8, EB et duas li-
neas CF, FB. erunt CB, AB rectae, uti dictum est

in prima propositione. describamus etiam duas lineas
FGA, EHC, ostendeturque esse quoque rectas [p. 430
noi. 1]; similiter duas lineas D.E, D.F, et iungamus
DI, DL et EM, FN et producamus eas ad O, P. et

1) Plura de arbelo habet Pappus IV, 19 p. 208 sq. duas
propositiones hoc loco addidit Alkauhi, mathematicus Arabs;
u. Borellus p. 398—965, Nizze p. 257.

2) Cfr. Pappus IV, 26 p. 224 sq.

28*

436 LIBER ASSUMPTORUM.

quia in iriangulo AED AG est perpendicularis ad
ED, et DI est quoque perpendicularis ed AE, et
iam se mutuo secuerunti in M, ergo .E.MO erit etiam
perpendicularis, quemadmodum ostendimus in exposi-
lione, quam confecimus de proprietatibus triangulo-
rum, οὗ cuius demonstratio iam quidem praecessit in
superiori propositione [p. 434 not. 1] similiter quo-
que erii FP perpendicularis super CA, et quia duo
anguli, qui sunt apud L et B, sunt recti, erit DL
perallela ipsi 4.18, οἱ pariter DI ipsi CB. igitur
proportio 4D ad DC est ut proporlio 4M ad ΕΜ
[Eucl. VI, 2], immo ut proportio 40 ad OP, et pro-
portio CD ad DA vut proportio CN ad ΝΕ, immo
αὖ proportio CP ad PO. et erat 4.) sesquialtera
DC; ergo AO est sesquialtera OP et OP sesquialtera
CP. ergo tres lineae 40, OP, PC sunt proportio-
nales, et in eadem mensura, in qua est PC quattuor,
erit OP sex, οὐ AO nouem, et C.A nouendecim. et
quia PO aequalis est .E, erit proportio AC ad EF
ut nouendecim ad sex. igitur reperimus dictam pro-
portionem. etiam si fuerit 4D ad DC qualiscunque,
ut sesquiterlia aut sesquiquarta aut alia, erit iudicium
et ratio, uti dictum est. et hoc est, quod uoluimus.

VII.

Si circulus cirea quadratum descriptus fuerit, et
alius inira illum, utique erit cireumscriptus duplus
inscripti. sit itaque circulus comprehendens quadratum
AB circulus AB, et inscriptus CD, et sit. diameter
quadrati A.B, et est diameter circuli circumscripti, et
educamus CD diametrum circuli inscripti parallelam

LIBER ASSUMPTORUM. 491

ipsi.4.E, quae est ei aequalis. et quia quadratum 4.8
duplum est quadrati A4.E [Eucl. I, 47] siue DC, et
proportio quadratorum ex diameiris circulorum est

eadem proporiioni circuli ad circulum [Eucl. XII, 2],
igitur circulus 4.18 duplus est circuli CD; et hoc est,
quod uoluimus.

VIII.

Si egrediatur in circulo linea .4.B ubicunque, et
producatur in directum, et ponatur BC aequalis semi-
diameiro circuli, e£ iungatur ex C ad centrum circuli,
quod est D, et producatur ad E, erit arcus A E triplus
arcus BF.
educamus igitur EG parallelam ipsi 4.8, et iun-

gamus DB, DG. οἱ quia

EN ^0 duo anguli D.EG, DG. E sunt

d aequales, erit angulus G.DC

c duplus anguli DEG [Eucl. I,
Pu | 32]. et quia angulus B.DC

€ aequalis est angulo BC D, et
angulus C.EG aequalis est
angulo ACE [Eucl. I, 29), erit angulus G.DC duplus

4938 LIBER ASSUMPTORUM.

anguli CDB, et totus angulus BDG iriplus anguli
B.DC, et arcus BG aequalis arcui AE iriplus est
arcus B.F [Eucl. III, 26]. et hoc est, quod uoluimus.!)

IX.

Si mutuo se secuerint in circulo duae lineae .4 B, C.D
(sed non in centro) ad angulos rectos, utique duo ar-
cus 4D, CB sunt aequales duobus arcubus AC, DB.

educamus diametrum E parallelam ipsi 4 B, quae
secet C.D bifariam in G; erit EC aequalis ipsi ED
[Eucl. III, 3]. et quia tam arcus
? EDF, quam ECF est semicircu-
lus, et arcus .ED aequalis arcui
EA. cum arcu AD, erit arcus CF
cum duobus arcubus ΚΑ, 4 D ae-
qualis semicirculo. et arcus EA
aequalis arcui B.F; ergo arcus Ο
cum arcu .AD aequalis est semicirculo. et remanent
duo arcus EC, E.A, nempe arcus 4C, cum arcu DB
aequales illi. et hoc est, quod uoluimus.

Si fuerit circulus 4.80, et D.A tangens illum, et
D.B secans ilum, et DC etiam tangens, et educta
fuerit CE parallela ipsi DB, et iuncta fuerit EA
secans DB in F, et educta fuerit ex 2 perpendicu-
laris F'G. super CE, utique bifariam secabit illam in G.

iungamus AC, et quia DA est tangens οὐ AC
secans circulum, erit angulus DAC aequalis angulo

— 1) Apte : tfe monuit Mauritius Cantor (Zeitschr. f. Math., hist.
Abth. p. 169), hanc propositionem uere Archimedeam
egge. breuiorem demonstrationem dedit Borellus.

LIBER ASSUMPTORUM. 439

eadenti in allerno segmento AC, nempe angulo AEC
[Eucl. IIT, 32], et est aequalis angulo 4D eo, quod
CE, BD sunt parallelae [Eucl. I, 29]. ergo anguli
DAC, AFD suni aequales, et in duobus triangulis
DAF, AHD sunt
duo anguli AFD,
ΗΑ) aequales, et
angulus D commu-
nis. propierea erit
rectangulum FD in
DH aequale qua-
drato D.A!), immo
quadrato DC [p.480, 22]. et quia proportio FD ad
DC est eadem proportioni CD ad DH [Eucl. VI, 11],
et angulus D communis, erunt triangula DF'C, DCH
similia [Eucl. VI, 6], et angulus DC aequalis DCH,
qui aequalis est angulo D.AH; et hic est aequalis
angulo AFD. ergo duo anguli 41, ΟΕ sunt
aequales, et .DF'C aequalis angulo F'C.E [Eucl. I, 29];
ei erai DA aequalis angulo A4.EC. ergo in trian-
gulo F'EC sunt duo anguli C, E aequales, οὐ duo an-
guli G. recti, et latus G.F' commune. propterea erit
ΟἿ aequalis ipsi GE [Eucl.I, 26]. ergo C.E bifariam
secatur in G. et hoc est, quod uoluimus.

XI.

Si mutuo se secuerint in cireulo duae lineae 4 B,
CDD ad angulos rectos in Εἰ, quod non sit in centro,

1) Nam ADH -- ADF (Eucl. VI def. 1); ergo
FD:DA-DA:DH (Eucl. VI, 4;
tum u. Eucl. VI, 17.

440 LIBER ASSUMPTORUM.

utique omnia quadrata A.E, B.E, EC, ED aequalia
quadrato diametri.
educamus diametrum 4 7. et iungamus lineas .AC,
AD, CF, DB. ei quia angu-
lus 41} est rectus, erit aequa-
lis angulo AC [Eucl. III, 31],
ei angulus 4DOC aequalis 4 ΕὉ
eo, quod suni super arcum AC
[Euel. IIT, 27]; et remanent in
duobus triangulis ADE, AFC
duo anguli CA F, D.A E aequa-
les. erunt pariter duo areus CF, DB aequales [Eucl.
III, 26], immo et duae chordae eorum aequales. [Eucl.
ΠῚ, 29]; et duo quadrata-D.E, EB aequantur qua-
drato .B.D [Eucl. I, 47], nempe CF, et duo quadrata
A E, EC aequantur quadrato C.A, et duo quadrata CF,
CA. aequantur quadrato F4, nempe diametri. igitur
quadrata .4 E, E B, CE, ED omnia sunt aequalia qua-
drato diametri οὐ hoc est, quod uoluimus.

ΧΗ.

Si fuerit semicirculus super diametrum 48, et
eductae fuerint ex C. duae lineae tangentes illum in
duobus punctis D, E, et iunctae fuerint E.A, DB se
mutuo secantes in PF, οὐ iuncta fuerit CF, et produ-
catur ad G, erit CG. perpendicularis ad AB.

iungamus 2.4, EB. et qui& angulus DB.DA est
rectus [Eucl. IIT, 31], erunt duo anguli 2.4.8, DBA
reliqui in triangulo D.4.B aequales uni recto; et an-
gulus A.EB rectus. igitur sunt aequales ei. et po-
namus angulum FB E communem; ambo anguli DA B,

LIBER ASSUMPTORUM. | A41

A B.E sunt aequales F'B.E, ΣῈ B, immo angulo DF.E
exierno in 5.8 [Eucl. I, 32]. et quia CD est tan-
gens circulum, et D B secans illum,
angulus CDB. aequatur angulo DAB,
eb pariter angulus C.EF aequatur
angulo .E.B.A [Eucl. IIT, 32]. ergo
duo anguli CEF, CDF simul ae-
quales sunt angulo 2... et iam
quidem planum fit ex nosiro irac-
tatu de figuris quadrilateris'"), quod,
si educantur inter duas lineas ae-
quales sibi occurrentes in aliquo
puncto; uti sunt duae lineae CD, ΟΕ [cfr. p. 430, 22],
duae lineae se mutuo secanies, uti sunt duae lineae
D.F, EF, et fuerit angulus ab illis contentus, ut est
angulus JF, aequalis duobus angulis, qui occurrunt
duabus lineis se inuicem secantibus, uti sunt duo an-
guli E, 10, simul, erit linea egrediens a puncto con-
cursus ad punctum sectionis, uti est linea CF, aequa-
lis cuilibet linearum sibi occurrentium, ut CD uel CE?)
propterea erit CI aequalis ipsi CD. ergo angulus
ΟΕ esi aequalis angulo C.D.F, nempe angulo D.AG.
sed angulus ΟΕ) cum angulo D.F'G est aequalis duo-
bus rectis. ergo angulus DAG cum angulo DEG

à,

Pd
Ld
E t"

' 1) De eiusmodi libro Árchimedis nemo praeterea uerbum
ecit.
2) Demonstrationem indirectam dedit Almochtasso. Borel-
lus propositionem ita demonstrat: producatur DC, et sit
CH - OE. iam cum / H -Ἢ, CEH et ex hypothesi
DFEs-CDF.--CEF,
ert DFE--H-CDF-L-FEH:1805 itaque DE*EH
circulo inscribi potest (Eucl. III, 22), et centrum erit C, cum
CH » DC -- CE. itaque erit CF — CD

442 LIBER ASSUMPTORUM.

aequalis est duobus rectis. et remanent in quaádri-
latero 4D .FG duo anguh ADF, AG.F aequales duo-
bus rectis. sed angulus 4.8 rectus est; ergo an-
gulus AG.C e&t rectus, et CG. perpendicularis ad A B.
et hoc est, quod uoluimus.

XIII.

Si mutuo se secent duae lineae 4B, CD in cir-
culo, et fuerit 4 B diameter illius, at non CD, et edu-
cantur ex duobus punctis 4, DB duae perpendiculares
ad CD, quae sint AE, BF, utique abscindent ex illa
CF, D.E aequales.

iungamus J.B et educamus ex 7, quod est centrum,
perpendieularem ZG super
CD et producamus eam ad
H in EB. ei quia IG
est perpendicularis ex centro
ad CD, illam bifariam diui-
det in G. [Eucl. III, 3]; et
quia ZG, A.E sunt duae per-

pendieulares super illam,
erunt parallelae [Eucl. I, 28].
et quia BI aequalis est 1A,
erit B.H aequalis ipsi H.E [Eucl. VI, 2], et propter
earum aequalitatem, et quia .Β F' est parallela ipsi HG,
erit FG. aequalis ipsi G.E, et ex G'C, G.D aequalibus
remanent F'C, ED aequales. et hoc est, quod uoluimus.

XIV.

Si fuerit 4 B semicirculus, et ex eius diametro AB
dissectae sint AC, B.D aequales, et efficiantur super

LIBER ASSUMPTORUM. 443

lineas AC, CD, DB semicirculi, et sit centrum duo-
rum semicireulorum 4.8, CD punctum E, et sit EF
perpendieularis super A.B, et producatur ad G', utique
eireulus, cuius diameter est F'G, aequalis est super-
ficiei contentae a semicirculo maiori et a duobus se-
micireulis, qui sunt inira illum, et ἃ semicirculo me-
dio, qui est extra illum, et est figura, quam uocat
Archimedes Salinon.)
quia DC bifariam secatur in E, et addita est illi
CA, erunt duo quadrata DA, CA dupla duorum qua-
dratorum DE, EA
[Eucl. II, 10]. sed
FG aequalis est ipsi
DA.) ergo duo qua-
drata F'G, AC dupla
sunt duorum quadra-
torum D.E, EA. et
quia 4.8 dupla est
AE, ei CD dupla
. quoque ED, erunt
duo quadrata 4B, DC quadrupla duorum quadrato-
run DE, E 44, immo dupla duorum quadratorum G F,
AC. similiter etiam duo circuli, quorum diametri sunt
AB, DC, dupli sunt.eorum, quorum diametri sunt
G.F, AC [p. 433, 1], et dimidii eorum, quorum dia-
metri sunt 4B, CD, aequales duobus circulis, quo-

1) Haec propositio fortasse re uera Archimedis est. quid
Salinon sit, uerbum sine dubio ab Arabibus deprauatum, du-
bito. pro σελίνιον Accepit Barrowius p. 276. contra Mauritius
Cantor l c. &b σάλος deriuat (,Wellenlinie"). ipse de uerbo
σέλινον cogitaui (ex similitudine frondis apii).

23) Nam GF —GE--EF--AE--ED-AD.

444. LIBER ASSUMPTORUM.

rum diameiri sunt G.F, AC. sed circulus, cuius dia-
meter AC, est aequalis duobus semicirculis 406, .B D.
ergo si auferamus ex illis duos semicirculos .4C, B.D,
qui sunt communes, remanet figura contenta a quattuor
semicireuis 4B, CD, DB, AC (quae ea esi, quam
uocat Archimedes Salinon) aequalis circulo, cuius dia-
meter est F'G. οὐ hoc est, quod uoluimus.

XV.

Si fuerit 4.B semicirculus, et 4C chorda penta-
goni, ei semissis arcus .4C sib AD, iungatur CD et
producatur, ut cadat super E, et iungatur DB, quae
secet CA in PF, et ducatur ex F perpendicularis FG
super 4 B: erit linea .EG aequalis semidiametro circuli.

iungamus itaque lineam C.B, et sit centrum .H, et
iungamus HD, DG et AD. et quia angulus ABC,

EF 24 0 Ζ 2

euius basis est latus pentagoni, est duae quintae par-
ies recti [Eucl. III, 20], quilibet duorum angulorum
CB.D, D.B A est quinta pars recti. et angulus DH A
duplus est anguli D.B H [Eucl. III, 20]; ergo angulus
DH A est duae quintae. partes recti. ei quia in duo-
bus triangulis C.B.F, G.B.F duo anguli B sunt aequa-
les, οὐ G, C recti, et latus FB commune, ert BC

LIBER ASSUMPTORUM. 445

aequale ipsi BG [Eucl I, 26] et quia in duobus
triangulis CB D, G.B D duo latera CB, BG. sunt ae-
qualia, et similiter duo anguli ad B, et latus BD
commune, erunt duo anguli BCD, BGJD aequales
[Euecl I, 4], et quilibet eorum est sex quintae partes
recti!), οὐ est aequalis angulo DAE externo quadri-
lateri .B.A.DC, quod est in circulo.) ergo remanet
angulus DA aequalis angulo DGA, et erit DA
aequalis ipsi DG. οὐ quia angulus DHG est duae
quintae partes recti, et angulus DG H sex quintae
partes recti, remanet angulus Z DG duae quintae partes
recli, οὐ erit DG. aequalis G H. et quia .A.D E externus
quadrilateri 4 DC B, quod est in circulo, est aequalis
angulo CB A [not.2], et est duae quintae partes recti
et aequalis angulo G.D.H. et quia in duobus trian-
gulis EDA, HDG sunt duo anguli EDA, HDG
aequales, et pariter duo anguli DG. H, DAE, et duo
latera DA, DG, erit EA aequale HG. (Eucl. I, 26].
el ponamus AG. commune; erit EG aequale A4.H. οἱ
hoc est, quod uoluimus.

Et hine patet, quod linea D E aequalis sit semi-
diametro circuli, quia angulus 44 aequalis est angulo
DG H*); ideo erit linea DH aequalis lineae D.E. et
dico, quod EC diuiditur media et extrema proportione*)
in D, eti maius segmentum est DE, et hoc quia ED

1) Nam DCA —$DHA (Eucl, III, 20) et F'CB τα 905,

2) Nam
BOD - 248 - 180? (Eucl. III, 92) 2 DAE - DAB.
8) Fort. scribendum: ,,quia angulus E aequalis est angulo
DHG-*.
4) H. e. ἄκρον καὶ μέσον λόγον, siue EC: ED ED: DC
(Eucl. VI def. 3).

446 LIBER ASSUMPTORUM,.

est chorda hexagoni [Eucl IV, 15 πόρ.] et DC deca-
goni, et hoc iam demonsiratum est in libro elemen-
torum." οὐ hoc est, quod uoluimus.

1) H. e. ἐν τῇ στοιχειώσει, Eucl. elem. XIII, 9: ἐὰν ἡ τοῦ
ἑξαγώνου πλευρὰ wal ἡ τοῦ δεκα ὥνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύ-
κλον ἐγγραφομένων συντεϑῶσιν, 7, ὕλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον
λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖξον αὐτῆς τμῆμα ἔστιν ἡ τοῦ ἔξα-
j«vov πλευρα.

——

PROBLEMA BOUINUM.

Anüquitus clarum erat problema Archimedis de
numero boum Solis (πρόβλημα fosuxóv); ἃ. Scholia
ad Platonis Charmid. 165 e: ϑεωρεῖ (ἡ λογιστική) ovv
τοῦτο uiv τὸ χληϑὲν ox ᾿Δρχιμήδους βοεικὸν πρό-
βλημα, τοῦτο δὲ μηλίτας καὶ φιαλίτας ἀριϑμούς (cfr.
Anthol. Palat. XIV, 3 et 12); cfr. Anonymus Hultschii
(Heron) 9 p. 248 et Cicero ad Attic. XII, 4; XIII, 28:
πρόβλημα "Aoxywujósuov(?). epigramma infra adlatum
problema eiusmodi tractans e codice Guelferbytano
(1 Gud. Graec.), primus edidit G. E. Lessingius (Sáàmmt-
liche Schriften ed. Lachmann IX p. 285 sq.), addito
scholio et disputatione mathematica Chr. Leistii (ib.
p. 29T). deinde id ediderunt I. et K. L. Struuii (Altes
griechisches Epigramm mathematischen Inhalts, Altona
1821. 8), G. Hermannus (De Archimedis problemate
bouino. Lipsiae 1828. 4. cfr. Opuscula IV p. 228 et
recensio I. F. Wurmii in Jahns Jahrbücher XIV p. 194,
ad quam respicit Hermannus Opusc. IV praef. p. III),
Terquem (Bulletin de bibliogr. d'histoire et de biogr.
mathématiques I p. 121; cfr. ibid. p. 113 sq., p. 130),
B. Krumbiegel (Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV
p. 121 sq.). problema ipsum praeterea iractauerunt
Nesselmannus: Algebra der Griechen p. 481 sq., A. I.
H. Vincentius: Bulletin Terquem I p. 165 sq., II p. 39,
A. Amthor: Zeitschr. f. Math. ἃ. Physik, hist. litt. Abth.
XXV p. 158 sq., quamquam nondum satis constat

PROBLEMA BOUINUM,. 449

quomodo Archimedes hoc problema soluerit, iamen
plerique consentiunt (uelut Hermannus, Libri: hist.
des mathém. en Italie I p. 206, Cantor: Zeitschr. f.
Math, hist, Abth. XXIV p. 169), eos, qui Árchimedi
abiudicant, quod soluere non potuerit, nimis inconsi-
derate egisse (uelut Sitruui, Nesselmannus, Vincen-
tius); efr. Quaest. Arch. p. 66— 68.

epigramma et scholium edidi Lessingium secutus.
in notis adieci coniecturas omnes Hermanni, Sitruuii,
Vincentii, Krumbiegelii scripturas cod. Parisiensis nr.
2448, quas mecum communieauit Henricus Lebégue,
qui meo rogaiu beneuolentissime hunc codicem in-
uestigauit et contulit, in praefatione huius uoluminis
rettuli. )

Arohimedes, ed. Heiberg. IL 29

Πρόβλημα,
ὅπερ ᾿Δρχιμήδης ἐν ἐπιγράμπμασιν εὑρὼν τοῖς ἐν »λεξαν-
δφείᾳ περὶ ταῦτα πραγματευομένοις ξητεῦν ἀπέστειλεν
ἐν τῇ πρὸς ᾿Εφρατοσϑένην τὸν Κυρηναῖον ὀκιστολῇ.

1 Πληϑὺν Ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον
φροντίδ᾽ ἐπιστήσας. εἰ μετέχϑις σοφίης
πόσδη ἄρ᾽ ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτ᾽ ἐβόσκετο νήσου
Θρινακίης τετραχῇ στέφεα δασσαμένη

5 χροίην ἀλλάσσοντα' τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος,
κυανέῳ δ᾽ ἕτερον χρώματι λαμπόμενον,
ἄλλο γε μὲν ξανϑόν, τὸ δὲ ποικίλον. ἐν δὲ ἑκάστῳ
στίφει ἔσαν ταῦροι πλήϑεσι βριϑόμενοι
συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες᾽ ἀργότριχας μέν

10 κυανέων ταύρων ἡμίσει ἠδὲ τρίτῳ
καὶ ξανϑοῖς σύμπασιν ἴσους, ὦ ξεῖνε, νόησον,
αὐτὰρ κυανέους τῷ τετράτῳ τε μέρει
μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ, ἔτι ξανϑοῖσί ve πᾶσιν
τοὺς δ᾽ ὑπολειπομένους ποικιλόχρωτας ἄϑρει

15 ἀργεννῶν ταύρων ἕκτῳ μέρει ἑβδομάτῳ τε
καὶ ξανϑοῖς αὖτις πᾶσιν ἰδαξομένου:.
ϑηλείαισι δὲ βουσὶ τάδ᾽ ἔπλετο λευκότριχες μέν
ἦσαν συμπάσης κυανέης ἀγέλης
τῷ τριτάτῳ τε μέρει καὶ τετράτῳ ἀτρεκὲς ἴδαι"

In titulo: πραγματουμένοις cod. Guelferb.; corr. Struuius.
1. Ἠελίοιο] cfr. Homeri Od. XII, 127 sq. '$. σωφίῃς Les-

Problema,

quod Archimedes inuenit et in epigrammate ad eos,
qui Alexandriae eiusmodi rebus studebant, misit in
epistula ad Eratosthenem Cyrenensem.

Multitudinem boum Solis, hospes, computato dili-
gentiam adhibens, si sapientiae particeps es, quanta
quondam in campis Thrinaciae Siculae insulae pasce-
retur in quattuor greges diuisa colore diuersos, unum
lactis albi colore, alterum caeruleo nitentem, tertium
flauum, quartum uarium. in singulis autem gregibus
tauri erant numero praeualidi, hanc rationem seruan-
les: finge, hospes, albos numero aequales dimidiae et
lerliae partibus taurorum caeruleoruüm ei simul omni-
bus flauis, caeruleos autem quartae et quintae parti-
bus uariorum et praeterea flauis omnibus. reliquos
autem uarios uide sextae et septimae partibus albo-
rum et rursus omnibus flauis aequales. in uaecis au-
tiem hae erant rationes: albae tertiae et quartae par-
tibus totius gregis caerulei aequales erant, caeruleae
autem quartae et quintae simul partibus uariorum si-

singius. 8. πλήθει Struuius. 12. τετάρτῳ cod. Guelferb.;
corr. Lessingius. τε om. cod. Guelferb.; corr. Hermannus.
18. στικτοχρόων Siruuius. ' πᾶσι Lessingius cum Guelferb.;
corr. Hermannus. 14. ποικιλόχροας Lessingius. 16. αὖτις]

Hermannus; αὐτούς Lessingius cum Guelferb. 17—26 delet
Vincentius. 19. τετάρτῳ cod. Guelferb.;. corr. Leseingius;
item lin. 920.

29*

452 IIPOBAHMA BOEIKON.

20 αὐτὰρ κυάνεαι τῷ τετράτῳ τε πάλιν

σι

μικτοχρόων xal πέμπτῳ ὁμοῦ μέρει ἰσάξοντο

σὺν ταύροις᾽ πάσης δ᾽ εἰς νομὸν ἐρχομένης
ξανϑοτρίχων ἀγέλης πέμπτῳ μέρει ἠδὲ καὶ ἕκτῳ
ποικίλαι ἰσάριϑμον πλῆϑος ἔχον τετραχῇ.

ξανϑαὶ δ᾽ ἠριϑμεῦντο μέρους τρίτου ἡμίσει loa.
ἀργεννῆς ἀγέλης ἑβδομάτῳ τε μέρει.

ξεῖνε. σὺ δ᾽ Ἠελίοιο βοῶν πόσαι ἀτρεκὲς εἰπών,
χωρὶς μὲν ταύρων ξατρεφέων ἀριϑμόν,

χωρὶς δ᾽ αὖ ϑήλειαι ὅσαι κατὰ χρῶμα ἕκασται,
οὐκ ἄιδρίς xs λέγοι᾽ οὐδ᾽ ἀριϑμῶν ἀδαής,

οὐ μὴν πώ γε σοφοῖς ἐναρίϑμιος. ἀλλ᾽ ἴϑι φράξευ
καὶ τάδε πάντα βοῶν Ἠελίοιο πάϑη.

ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο᾽ πληϑύν
κυανέοις, ἴσταντ᾽ ἔμπεδον ἰσόμετροι

εἰς βάϑος εἰς εὐρός τε, τὰ δ᾽ αὖ περιμήκεξα πάντῃ
πίμπλαντο πλίνϑου Θρινακίης πεδία.

ξανϑοὶ δ᾽ αὖτ᾽ εἰς ἕν καὶ ποικίλοι ἀϑροισϑέντες
ἴσταντ᾽ ἀμβολάδην ἐξ évog ἀρχόμενοι

σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον οὔτε προσόντων
ἀλλοχρόων ταύρων οὔτ᾽ ἐπιλειπομένων.

ταῦτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀϑροίσας
καὶ πληϑέων ἀποδοὺς, ὦ ξένε, πάντα μέτρα

ἔρχεο κυδιόων νικηφόρος, ἴσϑι τε πάντως
κεκριμένος ταύτῃ ὄμπνιος ἐν δοφέῃ.

21. στικτοχρόων Struuius. ἰσάξοντο. σὺν ταύροις πάσης
Vincentius; ἰσάξοντο, σὺν ταύροις πάσης Lessingius. 22. πα-
σης — ἐρχομένης] Lessingius; πάσαϊς — ἐρχομέναις cod. Guel-
ferb. πασῶν — ἐρχομένων Struuius. δ΄ εἰς] Hermannus,
εἰς cod. Guelferb., uulgo. 234. τετραχῇ] corruptum; ἀτρδκές
Struuius; ἔχοντ᾽ ἀτρεκές Vincentius. τελέως Krumbiegel.
ἔχον. τετραχῇ Lessingius. 21. πόσοι Vincentius. βοῶν] Her-

PROBLEMA BOUINUM. 408

mul eum tauris aequales erant, uariae numerum habe-
bant aequalem quintae et sextae partibus totius fla-
uorum gregis pascentis; flauae autem aequales sextae
et seplimae parlibus gregis albi numerabantur. tu
uero, hospes, dihgenter indicato numero boum Solis,
quot tauri robusti quotque uaccae essent singulis co-
loribus, non imperitus rudisque numerorum uoceris,
neque tamen inter sapientes numereris. at dic age
has quoque omnes boum Solis rationes: sicubi tauri
albi suam multitudinem cum :caeruleis coniungebant,
stabant firmiter aequali in altitudinem et latitudinem
mensura, ei longi latique campi Thrinaciae undique
solido quadrangulo complebantur. rursus autem flaui
el uari coniuncli ila stabant, ui numerus sensim ex
uno aderesceret, figuram irilateram efficientes tauris
ceterorum colorum neque praesentibus neque deside-
ralis. haec si simul inueneris et mente complexus eris,
hospes, omnes multitudinum mensuras indicans, vic-
ioria gloriatus abito et putato, te ita demum sapien-
tia praestantem esse iudicatum.

——À

--.-....-..............,...................,..-................ . .... ....... —

mannus; βόες cod. Guelferb., Lessingius. 28---29 delet Vin-
centius. 29. γρῶμα] Stiruuius; γροέαν cod. Guelferb., Lessin-

ius. 31—44 delet Vincentius. ἐναρέθμιος] Struuius; iv
ἀριϑμοῖς cod. Guelferb., Lessingius. 82. τάδε πάντα] τάδ᾽ ἔτ᾽
ἄλλα Struuius. W'urmius has emendationes superuacuas cen-
sei, muiato εἰπών Ὁ. 27 in εἶπον (imperal.). 84. ἔμβαδον
Vincentius. 85. πέρι μήκεα Hermannus. 86. πλένϑου] for- -
tasse corruptum; πλῆϑος Vincentius. πσπλ-ήϑους Krumbiegel.
89. οὔτε --- οὔτε] εἴτε — εἴτε Hermannus. 44. ταύτῃ y Her-
mannus.

454 IIPOBAHMA BOEIKON.

ι «Σχόλιον.

Τὸ μὲν οὖν πρόβλημα διὰ τοῦ ποιήματος ὁ ᾿άρχι-
μήδης ἐδήλωσε σαφῶς. ἰστέον δὲ τὸ λεγόμενον, ὅτι
τέσσαρας ἀγέλας εἶναι δεῖ βοῶν: λευκοτρίχων μὲν
μίαν ταύρων καὶ ϑηλειῶν, ὧν τὸ πλῆϑος ὁμοῦ συν-
ἄγει μυριάδας διπλᾶς ιδ΄ καὶ ἁπλᾶς pz καὶ μονάδας
,ví'* κυανοχρόων δ᾽ ἄλλην ὁμοῦ ταύρων καὶ ϑη-
λειῶν, ὧν τὸ πλῆϑός ἐστι μυριάδων διπλῶν ἐννέα
καὶ ἁπλῶν ηωλ΄ καὶ μονάδων c'. μιξοτρίχων δ᾽ ἄλ-
λὴν ταύρων καὶ ϑηλειῶν, ὧν τὸ πλῆϑός ἐστι μυριά-
δων διπλῶν η΄ καὶ ἁπλῶν ςλ4α΄ καὶ μονάδων v'
τῆς δὲ λοιπῆς ἀγέλης τῶν ξανϑοχρόων ἢ. συνάγει τὸ
πλῆϑος διπλᾶς μυριάδας ξ΄ καὶ ἁπλᾶς Ξψη΄, μονάδας
ὃὲ η΄. ὥστε συνάγεσθαι ὁμοῦ τὸ πλῆϑος τῶν δ'
ἀγελῶν μυριάδας διπλᾶς μ' καὶ ἁπλᾶς you καὶ μο-
νάδας c£. καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύ-
ρῶν ἔχει μυριάδας διπλᾶς η΄ καὶ ἁπλᾶς βὉ λα’ καὶ
μονάδας «ot, ϑηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς ε΄ καὶ
ἁπλᾶς ξχν' καὶ μονάδας ηω΄" ἡ δὲ ἀγέλη τῶν κυ-
ανοχρόων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε΄ καὶ
ἁπλᾶς ὃ.χπδ' καὶ μονάδας αρκ΄, ϑηλειῶν δὲ μυριά-
δας διπλᾶς y' καὶ ἁπλᾶς ϑομε΄ καὶ μονάδας ὃ.χπ'᾿
ἡ δ᾽ ἀγέλη τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων ἔχει μὲν μυ-
ριάδας διπλᾶς ε΄ καὶ ἁπλᾶς ηωΐξ δ΄. καὶ μονάδας 3e,
ϑηλειῶν δὲ᾽ μυριάδας διπλᾶς β΄ καὶ ἁπλᾶς moxe' καὶ
μονάδας εχ᾽ “Ἷ ἡ δ᾽ ἀγέλη τῶν ξανϑοχφωμάτων ταύ-
ρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς y' καὶ ἁπλᾶς ,ygQs
καὶ μονάδας ξ΄, ϑηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς Ó' καὶ

) ξανϑοτρίχων Hermannus.
) ,ex]- ,9*4' cod. Guelferb.; corr. Lessingius.

IIPOBAHMA BOEIKON. 455

ἁπλᾶς γφιγ΄ καὶ μονάδας ξμ΄. καί ἐστι τὸ πλῆϑος
τῶν λευχοτρίχων ταύρων ἴσον τῷ ἡμίσει καὶ τρίτῳ
μέρει τοῦ πλήϑους τῶν κυανοχρόων ταύρων καὶ ἔτι
ὅλῃ τῇ τῶν ξανϑοχρωμάτων ἀγέλῃ, τὸ δὲ πλῆϑος τῶν
κυανοχρωμάτων ἴσον τῷ τετάρτῳ καὶ πέμπτῳ μέρει
τῶν ποικιλοτρίχων Ὁ ταύρων καὶ ὅλῳ τῷ πλήϑει τῶν
ξανϑοχρωμάτων, τὸ δὲ πλῆϑος τῶν ποικιλρτρίχων ταύ-
ρῶν ἴσον τῷ ἕκτῳ καὶ ἑβδόμῳ μέρει τῶν λευκοτρίχων
ταύρων καὶ ἔτι τῷ πλήϑει ὅλῳ ξανϑοχρωμάτων ταύ-
ρων, καὶ πάλιν τὸ πλῆϑος τῶν λευκῶν ϑηλειῶν ἴσον
τῷ τρίτῳ καὶ τετάρτῳ μέρει ὅλης τῆς ἀγέλης τῶν
κυανοχρόων, τὸ δὲ τῶν κυανοχρόων ἴδον τῷ τετάρτῳ
καὶ πέμπτῳ μέρει τῆς ὕλης ἀγέλης τῶν ποικιλοτρίχων,
τὸ δὲ τῶν ποικιλοτρίχων ἴσον τῷ πέμπτῳ xci ἕκτῳ
μέρει τῆς ὅλης τῶν ξανϑῶν βοῶν. πάλιν δὲ τὸ τῶν
ξανϑῶν ϑηλειῶν πλῆϑος ἦν ἴσον τῷ ἕκτῳ vc?) καὶ ἐβ-
δόμῳ μέρει τῆς ὕλης ἀγέλης τῶν λευκῶν βοῶν. καὶ
ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύρων καὶ ἡ τῶν
κυανοχρόων ταύρων συντεϑεῖσα ποιεῖ τετράγωνον
ἀριϑμόν, ἡ δ᾽ ἀγέλη τῶν ξανϑοτρίχων ταύρων μετὰ
τῆς ἀγέλης τῶν ποικιλοχρόων συντεϑεῖσα ποιεῖ τρί-
yovov, ὡς ἔχει τὰ τῶν ὑποχειμένων κανόνων x«9
ἕκαστον χρῶμα.

1) ποικιλοχρόων Hermannus.
2) ve om. Hermannus.

FRAGMENTA.

——— —

Omissis libris, qui ab Arabibus solis commemoran-
tur, de quibus ἃ. Quaest. Árch. p. 29—30, hoc loco
omnia testimonia οὐ fragmenta librorum Archimedis,
qui interciderunt, quae quidem inuenire potuerim, col-
legi; pleraque indieaui Quaest. Arch. p. 30 sq.

De polyedris.

1 Pappus V,34 p. 352: ταῦτα δ᾽ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ
παρὰ τῷ ϑειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα, τουτέστιν
τετράεδρόν ve καὶ ἔξάεδρον, ὀκτάεδρόν vs καὶ δωδε-
κάεδρον, πέμπτον δ᾽ εἰκοσάεδρον, ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ
᾿ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριϑ-
μὸν ὑπὸ ἐσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων, οὐχ ὁμοίων
δὲ πολυγώνων περιεχόμενα.

τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον
ὑπὸ τριγώνων Ó' καὶ ἕξαγώνων δ΄.

τρία δὲ -μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ
μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η΄ καὶ τετραγώνοις ς΄,
τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ς΄ καὶ ἑξαγώνοις η΄, τὸ
δὲ τρίτον τριγώνοις η΄ καὶ ὀκταγώνοις ς΄.

μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο, ὧν τὸ
μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η΄ καὶ τετραγώνοις
ιη΄, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβ΄, ἑξαγώνοις η΄ καὶ
ὀκταγώνοις ς΄.

μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία, ὧν
τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις x' καὶ πενταγώ-

FRAGMENTA. 459

νοις ιβ΄, τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ΄ καὶ ἑξαγώ-
νοις κ΄, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄.

μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περι-
ἐχόμενον ὑπὸ τριγώνων λ.β' καὶ τετραγώνων ς΄.

μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιδξηκοντάεδρά ἐστι δύο, ὧν τὸ
μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις x' καὶ τετραγώνοις λ΄
καὶ πενταγώνοις ιβ΄, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ΄
καὶ ξξαγώνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις εβ΄.

μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκον-
τάεδρον, ὃ περιέχεται τριγώνοις π΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄.

ὅσας δὲ γωνέας ἕκαστον ἔχει στερεὰς τῶν ιγ΄ τού-
τῶν σχημάτων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς, διὰ τοῦδε
τοῦ τρόπου ϑεωρεῖται" ὅσων μὲν γὰρ ἁπλῶς πολυ-
ἔδρων αἵ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται
γωνίαις, ἐξαριϑμηϑεισῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν, ἃς
ἔχουσιν πᾶσαι αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρον, δῆλον, ὡς ὁ
τῶν στερεῶν γωνιῶν ἄριϑμος τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ
γενομένου ἀριϑμοῦ" ὅσων δὲ πολυέόδρων ἡ στερεὰ γω-
vía περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις, ἐξαριϑμηϑεισῶν
πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν, ἃς ἔχουσιν αἴ ἔδραι τοῦ.
πολυέδρου, τοῦ γενομένου ἀριϑμοῦ τὸ τέταρτον μέρος
ἐστὶν ὁ ἀριϑμὸς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου.
ὁμοίως 0b καὶ ὅσων πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περι-
ἔχεται ὑπὸ ε΄ γωνιῶν ἐπιπέδων, τὸ πέμπτον τοῦ πλή-
ϑους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὁ ἀριϑμὸς τοῦ πλή-
ϑους τῶν στερεῶν γωνιῶν. .

τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆϑος, ἃς ἕκαστον ἔχει τῶν
πολυέδρων. τόνδε τὸν. τρόπομ εὑρήσομεν. ἐξαριϑμη-
ϑεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν, ἃς ἔχει τὰ ἐπίπεδα
τὰ περιέχοντα τὸ πολύεδρον, ὁ ἀριϑμὸς αὐτῶν δῆλον
ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλήϑει τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν. ἀλλ᾽

460 FRAGMENTA.

ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἑχάστη vOv πλευρῶν αὐτοῦ κοινή
ἐστιν, δῆλον, ὅτι τοῦ πλήϑους τὸ ἥμισυ al πλευραί
εἰσι τοῦ πολυέδρου.

τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγ΄ πολυ-
ἔδρων ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις Ó' καὶ ἑξαγώνοις δ΄,
γωνίας μὲν ἔχει στερεὰς εβ΄, πλευρὰς δὲ ιη΄. τῶν μὲν
γὰρ τεσσάρων τριγώνων ct τε γωνίαι ιβ΄ εἰσιν καὶ αἴ
πλευραὶ ιβ΄, τῶν δὲ Ó' ἑξαγώνων ci vs γωνίαι κδ'
εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ κδ΄. γενομένου δὴ τοῦ ἀρυϑμοῦ
παντὸς λς΄ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν μὲν τῶν στερεῶν γω-
νιῶν ἀριϑμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ προειρημένου
ἀριϑμοῦ, ἐπεὶ καὶ ἑχάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ γωνιῶν
ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γ΄, τὸ δὲ τῶν πλευρῶν
σλῆϑος τὲ ἥμισυ τοῦ ἀριϑμοῦ τουτέστιν τοῦ λε΄, ὥστε
εἶναι πλευρὰς εη΄.

τῶν δὲ τετρακαιδεκαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται
τριγώνοις η΄ καὶ τετραγώνοις ς΄, ὥστε ἔχειν στερεὰς
μὲν γωνίας ιβ΄ (ἑκάστη γὰρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσά-
ρων ἐπιπέδων γωνιῶν περιέχεται). πλευρὰς δὲ ἔχει
κδ΄. τὸ δὲ δεύτερον τῶν τετρακαιδεκαέδρων, ἐπεὶ
περιέχεται τετραγώνοις σ΄ καὶ ἑξαγώνοις η΄, ἕξει στε-
ρεὰς μὲν γωνίας xÓ' (ἑκάστη γὰρ τῶν γωνιῶν αὖ-
τοῦ περιέχεται ὑπὸ y' γωνιῶν ἐπιπέδων), πλευρὰς δὲ
ἔχει λς΄.ἢ

τῶν δὲ ἑκκαιεικοσαέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περι-
ἔχεται τριγώνοις τε η΄ καὶ τετραγώνοις ιη΄, ἕξει στερεὰς
μὲν γωνίας xà', πλευρὰς δὲ μη΄. τὸ δὲ δεύτερον τῶν

1) Lacunam cum Eisenmanno sic expleuit Hultschius: τὸ
δὲ τρίτον τῶν τετρακαιδεκαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις ῆ
καὶ ὀκταγώνοις ς΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας xà , πλευρὰς δὲ Ac.
aliter scholiastes; u. p. 468.

éfayo vog η΄ καὶ ὀκταγώνοις ς΄, ξξει στερεὰς μὲν yo-
νίας μη΄, πλευρὰς δὲ. οβ΄.

τῶν δὲ δυοκαιτριακονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ
περιέχεται τριγώνοις τὲ κ΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει
στερεὰς μὲν γωνίας λ΄, πλευρὰς δὲ ξ΄. τὸ δὲ δεύτερον
τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται πενταγώ-
νοις LB' καὶ ἑξαγώνοις κ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄,
πλευρὰς δὲ α΄. τὸ δὲ τρίτον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων,
ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε x' καὶ δεκαγώνοις εβ΄,
ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας &', πλευρὰς δὲ α΄.

τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τρι-
γώνοις τε λ1β᾽ καὶ τετραγώνοις 8E, ἕξει στερεὰς μὲν
γωνίας κδ΄, πλευρὰς δὲ ξ΄.

τῶν δὲ δυοκαιεξηκονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ
περιέχεται τριγώνοις τε κ΄ καὶ τετραγώνοις λ΄ καὶ
πενταγώνοις εβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὰς
ὃὲ ρκ΄. τὸ δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιδξηκονταέδρων, ἐπεὶ
περιέχεται τετραγώνοις λ΄ καὶ ἑξαγώνοις x' καὶ δεκα-
γώνοις εβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ρκ΄, πλευρὰς δὲ oz.

τὸ δὲ δυοκαιενενηκοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τρι-
γώνοις τε π΄ καὶ πενταγώνοις εβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν
γωνίας ξ΄, πλευρὰς δὲ gv.

Haec omnia sine dubio iam ipse Archimedes pro-
posuerat, cfr. de his polyedris Keppler: Harmon. mundi
p. 62.

Scholia Uaticana in Pappum III p. 1111): 2

α΄. ὀκτάεδρον ἔχει τρίγωνα 0', é&iyovo δὲ δ΄, πλευ-
ρὰς ιη΄, γωνίας δὲ στερεὰς ιβ΄, ἑκάστη δὲ στερεὰ

1) Hoc scholium in cod. Uaticano prauo ordine scriptum

FRAGMENTA. 461
ὁκκαιεικοσαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις vB. καὶ

462 FRAGMENTA.

γωνία περιέχεται ὑπὸ γ΄ γωνιῶν ἐπιπέδων, Qv
δύο μὲν ἑξαγωνικαί, μέα δὲ τριγωνική, ὥστε λεί-
zem τῶν Ó ὀρθῶν μιᾶς ὀρϑῆς γωνίας δύο τρι-
τημορίοις. τοῦτο γεννᾶται ἐκ τῆς πρώτης πυρα-
μέδος διαιρουμένων τῶν πλευρῶν αὐτῆς εἰς γ΄
ἴσα καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων
καὶ τῶν γωνιῶν ἐκπιπτουσῶν.

β΄. τεσσαρεςκαιδεκάξδρον (scil τὸ πρῶτον) περι-
ἔχεται ὑπὸ μὲν τριγώνων η΄, ὑπὸ δὲ τετραγώ-
νῶν 5΄, ἔχει δὲ πλευρὰς κδ΄, γωνίας δὲ στερεὰς
LB', ἑκάστη δὲ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ δ΄
γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο uiv τετραγωνικαί, β΄
ὃὲ τριγωνικαί, ὥστε λείπειν τῶν δ΄ ὀρθὼν μιᾶς
γωνίας ὀρϑῆς δύο τριτημορίοις. τοῦτο γεννᾶται
ἐκ 'τοῦ κύβου διαιρουμένων δίχα τῶν πλευρῶν
αὐτοῦ καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομέ-
νῶν, τῶν η΄ γωνιῶν ἐκπιπτουσῶν. |

y. τεσσαρεσκαιδεκάεδρον (scil τὸ δεύτερον) περι-
ἔχεται ὑπὸ μὲν τετραγώνων c', ὑπὸ δὲ ξξαγώ-
vov ηἡ΄.. ἔχει δὲ πλευρὰς Ae, γωνίας δὲ στερεὰς
κδ΄, ἑκάστη δὲ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ y'
γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο μὲν ξξαγωνικαί, μία
δὲ τετραγωνική. τοῦτο γεννᾶται ἐκ τοῦ ὀχταέδρον
τεμνομένης τρίχα ἑκάστης τῶν αὐτοῦ πλευρῶν
καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπιπέδων ἐχβαλλομένων καὶ
τῶν ς΄ γωνιῶν ἐκπιπτουσῶν.

δ΄. τὸ ὃὲ τρίτον (scil. τῶν τετρακαιδεκαέδρων), ἐπεὶ
περιέχεται τριγώνοις η΄ καὶ ὀκταγώνοις σ΄, ἕξει
στερεὰς μὲν γωνίας κδ΄ (ἑκάστη δὲ περιέχεται

digessit Hultschius, quem secuti sumus, nisi quod δ΄ lin, 1-- ὅ
suo loco reposuimus (cfr. III p. 1170).

FRAGMENTA. 463

ὑπὸ γ΄ γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο ὀχταγωνικαί,
μέα δὲ τριγωνική), πλευρὰς δὲ ἔχει λ1ς΄.1) τοῦτο
γεννᾶται ἐκ τοῦ κύβου τεμνομένης ἑκάστης αὐὖ-
τοῦ πλευρᾶς οὕτως, ὥστε γένεσϑαι τρία τμήματα,
ὧν τὸ μέσον ἑκατέρου τῶν ἄκρων διπλάσιόν
ἐστιν δυνάμει.

ε΄. ἑκκαιεικοσάεδρον (scil. τὸ πρῶτον) γεννᾶται ἐκ
τοῦ τεσδσαρεσκαιδεκαέδρου τοῦ περιεχομένου ὑπὸ

m τριγώνων καὶ ς΄ τετραγώνων, τεμνομένης

ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς δίχα καὶ διὰ τῶν τομῶν

ἐκβαλλομένων ἐπιπέδων xat.

Origiem huius íragmenti Archimedeam agnouit
Hultschius III p. 1241.

Hine satis adparet, Heronem definit. 101 p. 29 3
male narrare: ᾿ἀρχιμήδης δὲ τρισκαίδεκα ὅλα (ὅλως Ὁ)
φησὶν εὑρίσκεσϑαι σχήματα δυνάμενα ἐγγραφῆναι τῇ
σφαίρᾳ προστιϑεὶς ὀκτὼ μετὰ τὰ εἰρημένα πέντε. non
octo, sed tredecim noua polyedra Platonicis quinque
adiecit Archimedes, quae omnia, ut illa quinque, sphae-
rae inscribi possunt.

Ad hune librum Archimedis spectare puto Simpli- 4
eium in Aristot. IV p. 494 a (ed. Berol): ἐλαχίστη δὲ
τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ αὐτό, τουτέστι τῶν σχῆμα
περιεχουσῶν τι καὶ ὁριξουσῶν διαστάσεων, ἐν μὲν ἐπι-
πέδοις ἡ κυχλική, ἐν δὲ στερεοῖς ἡ σφαιρική, διότι
δέδεικται καὶ πρὸ ᾿Δριστοτέλους μὲν πάντως, εἴπερ
αὐτὸς ὡς δεδειγμένῳ συγκέχρηται, καὶ παρὰ ᾿4ρχι-
μήδους καὶ παρὰ Ζηνοδώρου πλατύτερον, ὅτι τῶν
ἐσοπεριμέτρων σχημάτων πολυχωρητότερός ἐστιν ἐν μὲν
τοῖς ἐπιπέδοις ὃ κύκλος, ἐν δὲ τοῖς στερεοῖς ἡ σφαῖρα.

1) Hid uerbis scholiastes expleuerat lacunam p. 460 not. 1.

464 FRAGMENTA.

Eadem fere habet Proclus in Timaeum p. 384:
τοσοῦτον δὲ ὅμως ἱστορητέον, ὅτι τῶν ἰσοπλεύρων τε
καὶ ἰσογωνέων καὶ ἴσην περίμετρον ἐχύντων τὸ πολυ-
γωνότερον μεῖξον ἀποδείξαντες πρῶτον καὶ τὸν κύχλον
ἑξῆς μείξονα οὐ τῶν ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων, ἰδο-
περιμέτρων δέ, δεικνῦσι καὶ τὴν σφαῖραν τῶν ἴσην
ἐπιφάνειαν ἐχόντων στερεῶν σωμάτων ἑπομένως μεί-
ξονα καὶ διαφερόντως τῶν παρὰ Πλάτωνι λεγομένων
πολυέδρων ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων, τὰ μὲν χρώ-
μενοι τοῖς παρὰ τῷ Εὐκλείδῃ δειχϑεῖσι, τὰ δὲ τοῖς
παρὰ τῷ ᾿Ἀρχιμήδει.

fieri tamen potest, ut his duobus locis (4—5) tan-
ium ad dimensionem circuli et librum I de sphaera
et cylindro respicitur.

Appendix libri II de sphaera et cylindro.

Archimedes uol. I p. 214, de sph. et cyl. II, 4 so-
lutionem prohlematis: δύο δοϑεισῶν εὐθειῶν τῶν 4B,
ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς 4B τῆς ΒΖ καὶ σημείου
ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν 4B κατὰ v0 X καὶ
ποιεῖν, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ 4X, τὴν XZ
πρὸς ZO οὖ uniuersalis et specialis daturum se pro-
mittit (p. 214, 25), sed solutio intercidit. postea uero
Eutocius eam inuenit et suis uerbis proposuit Comm.
ad librum de sph. et cyl. IT, 4. cfr. Zeitschr. f. Math.,
hist. Abth. XXV p. 51 not.

Apa í. |
Archimedes Veguuír. 1, 1 (uol II p. 246): καὶ ov-
τῶς τινὰς δειχϑήδειν τῶν ἐν doyalg τὰν κατονομα-

FRAGMENTA. 465

ξίαν ἐχόντων ὑπερβαλλόντας τῷ πλήϑει τὸν ἀριϑμὸν
τοῦ ψάμμου. cfr. I, 8 p. 242: τῶν ὑφ᾽ ἁμῶν κατ-
ὠνομασμένων ἀριϑμῶν καὶ ἐνδεδομένων ἐν τοῖς ποτὶ
Ζεύξιππον γεγραμμένοις. summam huius libri
habemus *Peuu. III, 1— 4 p. 266 sq. (III, 1 p. 266,
12: và βιβλίῳ τῷ ποτὶ Ζεύξιππον yeygouuévo).
Ἐφόδιον. 7

Suidas s. u. Θεοδόσιος p. 495, 1 ed. Bekker: Θεο- 8
δόσιος φιλόσοφος ἔγραψε... ὑπόμνημα εἰς τὸ Moyr-
μήδους Ἐφόδιον.

Περὶ ξυγῶν.

Pappus VIII, 24 p. 1068: ἀπεδείχϑη γὰρ ἐν τῷϑ
περὶ ξυγῶν AoxyiuquOovg xol τοῖς Φίλωνος καὶ
Ἥρωνος μηχανικοῖς, ὅτι οἱ μείζονες κύκλοι κατακρα-
τοῦσιν τῶν ἐλασσόνων κύκλων, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ
κέντρον ἡ κύλισις αὐτῶν γίνηται.

Pappus VIII, 19 p. 1060: τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν ϑεω- 10
ρίας τὸ δοϑὲν βάρος τῇ δοθείσῃ δυνάμει κι-
νῆσαι' τοῦτο γὰρ ᾿Αρχιμήδους μὲν εὕρημα λέγεται
μηχανικόν, ἐφ᾽ ᾧ λέγεται εἰρηκέναι δός μοί, φησι,
ποῦ στῷ, καὶ κινῶ τὴν γῆν. cfr. Quaest. Arch. p. 10
ποῦ. 6.

Archimedes ἐπίσ. (Goog. I, 4 p. 148: ὅτι γάρ ἐστιν 11
ἐπὶ τὰς A4 B, προδεδείκται. cfr. I, 13 p. 182, 3; II, 2
p. 194, 6; II, 5 p. 204, 10.

Archimedes τετραγ. παραβ. 6 p. 806, 23: ἕκαστον γὰρ 12
TOV κρεμαμένων, ἐξ οὗ σαμείου κα κατασταϑῇ. μένει,

ὥστε κατὰ κάϑετον εἶμεν τό τε σαμεῖον τοῦ κρεμαστοῦ
Archimedes, ed. Heiberg. II. 80

466 FRAGMENTA.

καὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ κρεμαμένου. δεδείκται
γὰρ καὶ τοῦτο.

In hoc libro sine dubio definitionem centri graui-
latis dederat, quae in libris de planorum aequilibriis
desideratur.

Κατοπτρικά.

13 Theon in Ptolemaei συντ. I p. 10 ed. Basil: καὶ
τῶν ἀπ᾽ αὐτῆς (τῆς ὄψεως) ἐπὶ τὸν ἀέρα προσπιπτου-
σῶν ἀκτίνων κλάσιν ὑπομενουσῶν καὶ μείζονα ποιου-
σῶν τὴν πρὸς τῇ ὄψει γωνίαν, καϑὰ καὶ Aoyuus-
δης ἐν τοῖς περὶ κατοπτρικῶν ἀποδεικνύων
φησίν, ὅτι [καϑάπερ}]) καὶ τὰ εἰς ὕδωρ ἐμβαλ-
λόμενα μείξονα φαίνεται, καὶ ὅσῳ κάτω χωρεῖ,
μείξονα. et paullo infra: καὶ κεκλάσϑωσαν ἐπὶ τὰ
A, B, ὡς E04, EKB, καϑὰ καὶ ᾽'Φρχιμήδης ἐν τοῖς
περὶ κατοπτρικῶν, ὡς ἔφαμεν.

1{ Olympiodorus in Aristotelis Meteorolog. II p. 94
ed. Ideler: ἄλλως ve καὶ ogiucógg αὐτὸ τοῦτο
δείκνυσιν, ὅτι κλᾶται ἡ ὄψις, ἐκ τοῦ δακτυλίου
τοῦ ἐν ἀγγείῳ βαλλομένου.

15 . Georgius Ualla de expetendis et fugiendis rebus
XV. 23): Sane Archimedes inquit, quod f angulus
ipsi e aut aequalis est aut minor aut maior. sit sane

1) Delendum puto.

2) Hunc uirum codices Graecos habuisse, qui nunc uel ia-
ieant uel interciderint, breui spero, me pluribus demonstratu-
rum. quamquam hoc fragmentum ita mutilum est ac depra-
ualum, ut neque sententia constel neque dignoscatur, quan-
ium eius Archimedi tribuendum sit, t&men reiiciendum non
existimaul. non dubite, quin Graece inueniri possit in aliquo co-
dice calopiricorum Euclidis scholiis instructo.

FRAGMENTA. 461

prius maior f quam e. ponatur itaque oculus d, et
ab oculo rursus refringatur in rem
uisam b. erit igitur e angulus ma-
7* jor quam f. aliqui erat minor, quod
plane absurdum est, uel quod cera-
ioides angulus omni angulo minor,
uel si ἃ centro iungamus ad contactum, totus qui
est sub kí, aequalis erit qui semicirculi ei qui est
semicireculi aequalis superimpositus et ei accommoda-
tus. reliquus igitur h ipsi | aequalis. sumpto e non
amplius spectatur spectatum, quod plane extrorsus
spectatur d. censetur uero spectari incoincidentia. ipso
e sumpto non amplius spectatur spectatum, quod est d,
quod certe spectatur in loco e regione posito ipsius b.
apparens autem in coincidentia.

Apuleius Apolog. 16: alia praeterea eius modi plu- 16
rima (sc. de speculis), quae tractat ingenti uolumine
Archimedes Syracusanus. cfr. Tzetzes Chiliad. XII, 973:
κατόπτρων τὰς ἐξάψεις (inter scripta Archimedis re-
latum).

Περὶ σφαιροποιίας.

Carpus apud Pappum VIII, 3 p. 1026: Κάρπος 0217
πού φησιν ὁ vriogevg ᾿ἀρχιμήδη τὸν Συρακόσιον ἕν
μόνον βιβλίον συντεταχέναι μηχανικὸν τὸ κατὰ τὴν
σφαιροποιίαν, τῶν δὲ ἄλλων οὐδὲν ἠξιωκέναι συν-
τάξαι. cfr. Proclus in Eucl p. 41, 16: ἡ σφαιρο-
ποιία κατὰ μίμησιν τῶν οὐρανίων περιφορῶν, otav
καὶ ᾿ἀρχιμήδης ἐπραγματεύσατο. huc refero Ma-
erobii locum in Somn. Scipion. II, 8: et Archimedes

quidem stadiorum numerum deprehendisse se credidit,
80* —-—

468 FRAGMENTA.

quibus a terrae superficie luna distaret-et a luna Mer-

eurius, ἃ Mercurio Venus, sol a Venere, Mars a sole,
a Marte lupiter, Saturnus.a loue; sed et a Saturni
orbe usque ad ipsum stelliferum caelum omne spa-
tium se ratione emensum putauit. quae tamen Archi-
medis dimensio a Platonicis repudiata est quasi dupla
et tripla interualla non seruans.

De anni magnitudine.

18 . Hipparchus apud Ptolemaeum συντ. I p. 153 ed.
Halma: ἐκ μὲν oov τούτων τῶν τηρήσεων δῆλον, ὅτι
μικραὶ παντάπασιν γεγόνασιν αἱ τῶν ἐνιαυτῶν δια-. .
φοραί: ἀλλ᾽ ἐπὶ μὲν τῶν τροπῶν οὐκ ἀπελπίξω καὶ
ἡμᾶς καὶ τὸν ᾿ἀρχιμήδη καὶ ἐν τῇ τηρήσει καὶ ἐν τῷ
συλλογισμῷ διαμαρτάνειν καὶ ἕως τετάρτου μέρους
ἡμέρας. cfr. Ammianus Marcellinus XXVI, 1, 8: spa-
iium anni uertentis id esse periti mundani motus et
siderum definiunt ueteres, inter quos Meton et Eucte-
mon οὖ Hipparchus et Archimedes excellunt, cum
50] perenni rerum sublimium lege polo percurso signi-
fero, quem Zodiacum sermo Graecus adpellat, trecen-
lis et sexaginta quinque diebus emensis et noctibus
ad eundem redierit cardinem.

Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Texts

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

Full text of "Archimedis opera omnia"

See other formats